鐘 銳， 謝 非， 秦 斌， 王青山*

(1.中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410083；2.中南大學 交通運輸工程學院，長沙 410083)

1 引 言

階梯圓柱形耦合封閉聲場是一種外徑參數(shù)沿長度方向呈現(xiàn)階梯變化的聲場。作為典型的室內(nèi)聲學建筑，這類聲場廣泛存在于船舶艙室、海洋平臺、運輸管道和回轉(zhuǎn)類建筑等工程領(lǐng)域，有關(guān)其內(nèi)部噪聲控制的研究始終是室內(nèi)聲學領(lǐng)域關(guān)注的熱點和難點，而進行室內(nèi)噪聲控制研究有賴于精準有效的聲場建模和聲學特性分析。因此，對階梯圓柱形耦合聲場進行理論建模及聲學特性研究具有重要的科學意義和實用價值。

目前，對等徑圓柱形封閉聲場已有豐富的研究成果[1-4]，有助于了解和認識階梯柱形耦合聲場的聲學特性，但由于該類聲場幾何形狀的不規(guī)則性以及聲學邊界的復雜性，一般認為無法獲得精確的解析解[5,6]。Williams[1]通過改進格林函數(shù)描述聲壓函數(shù)進而求解了圓柱形聲場的聲學問題，這一研究僅考慮了諾伊曼邊界和狄利克邊界。Chen等[2]結(jié)合邊界元法(BEM)和Helmholtz外部積分公式法分析了圓形和矩形聲場的聲學特性，但研究僅局限于等徑柱形聲場。Xiao等[3]提出三維改進傅里葉級數(shù)方法建立了不同阻抗邊界下單一環(huán)形段聲場的聲學模型，考察了角度、半徑比、阻抗大小及阻抗壁面數(shù)目對聲場聲學特性的影響，對回轉(zhuǎn)類柱形耦合聲場的研究具有一定的借鑒意義。Zhang等[4]從能量的角度提出了任意阻抗壁面條件下包含錐形、柱形和球形在內(nèi)的回轉(zhuǎn)類封閉聲場的統(tǒng)一求解方法，豐富了現(xiàn)有的回轉(zhuǎn)類聲場計算體系，但并未涉及幾何形狀更為復雜的柱形耦合聲場的研究。Choi等[7]基于波動方程提出一種解析法，獲得了環(huán)形聲場的自然頻率和固有模態(tài)，探討了聲學特性與聲場介質(zhì)局部偏差的關(guān)系。Shao等[8]提出了一種基于格林函數(shù)原理的簡化聲學模型，對有限長柱形管的聲場模態(tài)特性進行了分析，有效提高了柱形管聲場模態(tài)的計算效率?；诮鼒鋈⒃?，王健等[9]構(gòu)建了兩端封閉的有限長圓柱殼體內(nèi)部聲場，但該方法僅適用于低頻率段聲學問題求解。熊路[10]根據(jù)真空中、內(nèi)部充液和浸沒在流場中幾種情況下的橢圓柱殼和單層偏心圓柱薄殼的特性，分別采用雙Fourier級數(shù)展開法、傳遞矩陣法和Helmholtz方程對其振聲特性進行了系統(tǒng)研究。除上述提及的數(shù)值方法外，研究人員也提出了有限元法[11-13]和邊界元法[14]等數(shù)值手段用于封閉聲場的聲學特性研究。事實上，利用數(shù)值方法如有限元法可以對階梯柱形耦合聲場進行分析，但隨著計算波數(shù)和頻率的增加，數(shù)值方法往往需要占用大量計算資源，且對具有耗散壁面的聲學問題，數(shù)值方法缺乏靈活性和普適性。另外，分析已有的文獻可以發(fā)現(xiàn)，對幾何形狀沿長度方向呈現(xiàn)階梯變化的柱形耦合聲場的研究尚不多見，且由于聲學設計指標的高要求，對于具有一定能量耗散作用的聲學阻抗壁面研究有迫切需求。因此，開展阻抗壁面下階梯圓柱形耦合聲場的建模及聲學特性研究具有重要的意義。

近來，Qin等[15]利用特征正交-里茲法研究了具有任意邊界條件的圓柱薄殼結(jié)構(gòu)的自由振動特性。本文在此基礎(chǔ)上，將特征正交-里茲法擴展到柱形耦合聲場，建立包含任意階梯分段和阻抗壁面在內(nèi)的聲場模型，通過數(shù)值對比分析驗證本建模方法的可靠性，進而研究聲場幾何參數(shù)、阻抗邊界以及聲源幅值對于其聲學特性的影響。

2 階梯柱形耦合聲場建模

2.1 柱形耦合聲場物理模型

圖1給出了沿長度方向階梯變化的柱形耦合聲場幾何參數(shù)和坐標系統(tǒng)。坐標原點O在耦合聲場的最底面，沿長度方向柱形耦合聲場根據(jù)外徑大小分割為N段柱形聲場，Ri表示第i段聲場外徑，Li表示第i段聲場在長度方向上的分段長度，耦合聲場總長定義為L，所有分段的內(nèi)徑統(tǒng)一設為R0。圖中為耦合聲場的橫截面示意圖，該截面繞中心軸旋轉(zhuǎn)θ=2π，即可獲得周向封閉的柱形耦合聲場。另外，對于聲學穩(wěn)態(tài)特性，通過在聲場內(nèi)部設置點聲源Q的方式來開展相應的聲場內(nèi)部聲壓響應研究。

圖1 柱形耦合聲場的幾何參數(shù)和坐標系統(tǒng)

2.2 基于特征正交-里茲法的聲壓容許函數(shù)

圓柱形耦合聲場沿長度方向x和以外徑Ri為依據(jù)進行階梯分段變化，從本質(zhì)上講，每段聲場均為等徑的柱形封閉聲場，因而具有通用性。本文建模思路分為兩部分，首先構(gòu)建單段聲場的聲學求解模型；在此基礎(chǔ)上，借鑒有限元或者區(qū)域能量分解的思想，建立柱形耦合聲場分段與分段之間的聲學協(xié)調(diào)方程，并將各聲場分段在整體系統(tǒng)聲學變量下進行組裝，進而獲得任意阻抗壁面條件下任意階梯分段的圓柱形耦合聲場聲學特性求解方程。由于分段i具有通用性，因而聲學建模主要基于通用柱形分段聲場i進行。就耦合聲場而言，其內(nèi)部聲場變量在空間中具有對稱性，可將其沿周向坐標方向采用傅里葉級數(shù)進行展開，同時根據(jù)Zhang等[4]提出的三維聲壓函數(shù)構(gòu)造形式，給出基于特征正交多項式的單段柱形聲場i的聲壓容許函數(shù)表達式

P(x,r,θ)Aiei ω t

(1)

(m≥1)(2a)

(q≥1)(2b)

(4)

圖2 求解區(qū)域轉(zhuǎn)換

2.3 柱形耦合聲場能量方程

基于聲學原理建立阻抗聲學壁面條件下的柱形耦合聲場分析模型的能量方程，階梯分段的柱形耦合聲場拉格朗日能量方程可表示為

(5)

對于第i段柱形聲場，其動能和勢能表達式分別為

(6)

(7)

式中ρ為腔內(nèi)聲學介質(zhì)密度，c為聲波在聲學介質(zhì)中的傳播速度，ω為耦合聲場的圓頻率，pi為腔內(nèi)的聲壓梯度函數(shù)。柱形封閉聲場包含內(nèi)徑柱面(r=R0)、外徑柱面(r=Ri)、下表面(x=0)和上表面(x=Li)在內(nèi)的四個阻抗壁面，其壁面耗散能表示為

(8)

對于研究封閉聲場的內(nèi)聲場特性而言，其側(cè)重點一般是通過場內(nèi)放置一個單極子點聲源來對聲場內(nèi)部的聲場特性進行激振，進而開展不同聲學阻抗壁面條件下的聲場特性研究。而單極子點聲源一般是由脈動壓力球構(gòu)成，其入射壓力可表示為

(9)

式中點聲源幅值(kg/s2)和聲源的輻射距離分別采用符號A和r表示；聲波波數(shù)k與波速c以及圓頻率ω之間存在等式關(guān)系，即k=ω/c。根據(jù)以上描述，單極子點聲源的聲源強度Qpoint(m3/s)可以表示為

Qpoint=4πA/(jρck)

(10)

由此，點聲源Qpoint所做的功WS可表示為

δδ=δ(x-x0)δ(r-r0)δ(θ-θ0)

(11)

式中δ為三維狄拉克函數(shù)，Q是點聲源的體積速度幅值，(x0,r0,θ0)為點聲源在聲場內(nèi)的加載位置坐標。

本文建立的分析模型適用于階梯柱形耦合聲場系統(tǒng)，此時需要考慮分段與分段之間的聲學協(xié)調(diào)條件。由于耦合聲場系統(tǒng)是沿長度方向x進行階梯變化，因此分段與分段之間的耦合界面是在第i段柱形聲場單元的上表面x=Li和第i+1段柱形聲場單元下表面x=0之間。在此耦合界面上，第i段和第i+1段聲場的聲壓大小和粒子速度保持一致，具體可表示為

(12)

{Pi +1(0,r,θ)Ai +1Pi,i +1}rdrdθ

(13)

圖3 耦合界面積分區(qū)域

2.4 柱形耦合聲場求解

將能量表達式(6～8,11,13)代入阻抗壁面下柱形耦合聲場總的拉格朗日能量方程的表達式(5)，并結(jié)合瑞利-里茲能量法，對系統(tǒng)的拉格朗日能量方程LC求極值，可得

?LC/?A=0

(A=[A1…Ai…AN])(14)

將式(13)以矩陣形式給出得

(K+C-ωZ-ω2M)A=Q

(15)

式中K和M分別為耦合聲場的整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，Z為因引入阻抗壁面而產(chǎn)生的耗散矩陣，C為柱形耦合聲場的耦合矩陣，Q為外部單極子點聲源的力矢量。

對于方程(15)，通過令等式右邊為零，同時設Y=ωA，可以將方程(15)轉(zhuǎn)換為求解待求圓頻率的特征方程問題[16-18]，即

(R-ωS)H=0

(16)

(17)

通過求解線性方程組(16)，即可獲得柱形耦合聲場的聲學固有頻率和聲壓函數(shù)展開表達式的未知展開系數(shù)。將獲得的未知展開系數(shù)代入方程(1)，即可獲得柱形耦合聲場的聲壓分布云圖。

3 柱形耦合聲場聲學特性分析

圖4 兩種典型柱形耦合聲場算例

3.1 收斂性和數(shù)值驗證

本文建立的分析模型計算精度及效率取決于聲壓函數(shù)的截斷數(shù)Mc和Qc，表1和表2分別給出了兩段柱形耦合聲場和三段柱形耦合聲場的前20階固有頻率收斂性結(jié)果，截斷數(shù)Mc和Qc保持在 4～20之間同步變化。由表1和表2可知，當截斷Mc和Qc都等于12時，本文方法的計算結(jié)果已完全收斂；對于兩段和三段耦合聲場而言，Mc×Qc=12×12的計算結(jié)果與截斷值Mc×Qc=20×20的計算結(jié)果之間的絕對誤差不超過0.05%。因此，在接下來的數(shù)值計算中，聲壓容許函數(shù)的截斷值統(tǒng)一選取為Mc×Qc=12×12。

表1 兩段柱形耦合聲場前20階固有頻率(Hz)的收斂性與正確性分析Tab.1 Convergence and accuracy of the first twenty frequencies (Hz) for two section cylindrical coupled sound field

本文給出本方法的計算正確性分析，由于關(guān)于此類問題的文獻結(jié)果缺失，因此采用基于有限元法獲得的結(jié)果作為參照來驗證所建立分析模型的正確性。有限元分析模型的單元類型為標準的六面體聲學單元，單元尺寸全局設置為0.03 m。相關(guān)的有限元結(jié)果已在表1和表2給出，由表1和表2可知，基于本方法的預測結(jié)果和有限元數(shù)值結(jié)果之間的最大絕對誤差不超過0.09%。表中也給出了不同截斷值下本方法的計算時間與有限元法的對比，可以看出，盡管隨著截斷值的增加，本方法的計算時間也隨之增加，但本方法在Mc×Qc=12時已完全收斂，滿足計算精度要求，此時本方法的計算耗時遠小于有限元法計算耗時，表明在保證計算準確性的前提下，本方法可以有效提高耦合聲場的計算效率。此外由式(15)可知，除了能獲得固有頻率信息，還能獲得聲場的聲壓分布云圖，而聲壓分布云圖有助于理解聲場的內(nèi)部聲場特性。圖5和圖6分別呈現(xiàn)了通過本方法所獲得的兩段和三段柱形耦合聲場的前8階聲壓云圖，同時也給出了與之對應的基于有限元法的聲壓云圖?？梢钥闯觯痉椒ú粌H能夠預測精確的固有頻率信息，同時能夠獲得對應的聲壓分布云圖。

表2 三段柱形耦合聲場前20階固有頻率(Hz)的收斂性與正確性分析Tab.2 Convergence and accuracy of the first twenty frequencies (Hz) for three section cylindrical coupled sound field

圖5 兩段柱形耦合聲場聲壓分布云圖

圖6 三段柱形耦合聲場聲壓分布云圖

圖7和圖8分別給出了通過本方法和有限元法得到的兩段耦合聲場和三段耦合聲場的聲學穩(wěn)態(tài)響應對比曲線。在兩段耦合聲場算例中，聲壓觀測點1、點2和點3的坐標分布定義為(r1,θ1,x1)=(0.2,0,1)，(r2,θ2,x2)=(0.4,180°,1)，(r3,θ3,x3)=(0.3,0,2)，聲源激勵點位置為(r0,θ0,x0)=(0.3,0,1)。在三段耦合聲場算例中，聲壓觀測點1、點2和點3的坐標分布定義為(r1,θ1,x1)=(0.55,0,0.5)，(r2,θ2,x2)=(0.3,0,1.5)和(r3,θ3,x3)=(0.35,0,2.5)，聲源激勵點位置為(r0,θ0,x0)=(0.4,0,0.5)。聲源幅值Q=1 kg/s2。可以看出，由本文方法及有限元法預測的穩(wěn)態(tài)響應曲線具有良好的一致性。綜合以上對比研究，證明本文提出的建模方法適用于具有任意階梯分段的柱形耦合聲場聲學問題的求解。

3.2 聲學特性分析

本節(jié)詳細討論關(guān)鍵參數(shù)對于聲場聲學特性的影響。表3給出了兩段柱形耦合聲場在不同外徑參數(shù)R2下的固有頻率結(jié)果，可以看出，其變化規(guī)律整體上是隨著外徑參數(shù)R2增大，聲場固有頻率普遍增大，但少數(shù)模態(tài)階次(n=1)呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，這表明耦合聲場外徑參數(shù)對固有頻率的影響與模態(tài)階次存在較大的關(guān)聯(lián)性。圖9給出了聲場深度參數(shù)對于聲場在n=1和n=6下的前4階固有頻率變化規(guī)律。耦合聲場幾何參數(shù)除了整體深度變化，其余參數(shù)和圖4保持一致。必須說明的是，圖9的橫坐標為聲場整體深度L，縱坐標為頻率差Δf(Δf=f(x)-f(2))?？梢钥闯?，聲場的腔深L對聲場特性有著重要影響，隨著腔深L的增加，固有頻率參數(shù)逐漸減小，而且不同模態(tài)階次的變化趨勢也存在一定差異，這表明腔深對聲場的影響也與模態(tài)階次相關(guān)聯(lián)。

圖7 兩段柱形耦合聲場在單位點聲源激勵下的聲壓響應

圖8 三段柱形耦合聲場在單位點聲源激勵下的聲壓響應

通過圖9和表3的分析可知，聲場的幾何參數(shù)對于聲場固有模態(tài)特性具有至關(guān)重要的作用，而且這種影響從本質(zhì)上是對聲場剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的影響。

由本文模型建立可知，聲源激勵的幅值和聲場的阻抗壁面對于聲學穩(wěn)態(tài)響應比較敏感，因此開展上述參數(shù)的聲學穩(wěn)態(tài)特性研究。圖10給出了不同阻抗壁面條件下，柱形耦合聲場在單位點聲源激勵下的聲壓響應，本文阻抗壁面的位置設置于柱形耦合聲場的上下底面，即x=0和x=L的環(huán)形面。聲源激勵位置和聲壓觀測點位置和圖7及圖8保持一致，三種阻抗壁面的阻抗值分布定義為Z1=ρc0(20-j)，Z2=ρc0(50-j)和Z3=ρc0(100-j)。同時，完全剛性壁面條件下的計算響應曲線也在圖中給出。通過對比可知，由于阻抗壁面的存在，聲學穩(wěn)態(tài)響應的共振峰值能受到有效抑制?？梢钥闯?，隨著阻抗值的降低，阻抗壁面吸收耗散能的能力變強，使得聲場內(nèi)部的聲學響應共振峰值的抑制效果越顯著。但需注意，阻抗壁面的引入對其聲場共振頻率的影響甚微。

圖9 在不同深度下柱形聲場的頻率變化曲線

表3 兩段柱形耦合聲場在不同外徑參數(shù)R2下固有頻率(Hz)計算結(jié)果Tab.3 Natural frequencies of the two section cylindrical coupled cavity with various outside diameter parameter R2

不同外界激勵幅值下柱形耦合聲場聲壓特性曲線如圖11所示。其中，聲源激勵位置和聲壓觀測點位置與圖7和圖8保持一致，所有壁面均設定為剛性，算例采用三種聲源幅值，即A=1 kg/s2，2 kg/s2和3 kg/s2。通過圖11的響應曲線能夠看出，聲源幅值A(chǔ)的變化會導致聲壓響應曲線的幅值在縱向發(fā)生偏移，而且當激勵幅值增大時，聲壓響應幅值也會增大。產(chǎn)生這種線性變化的主要原因是隨著聲源激勵自身強度的增加，聲場內(nèi)部的聲學響應特性也會增強，但是由于聲場自身的聲學模態(tài)特性不變，因此最終僅影響其自身聲壓級的大小。另外，從以上聲場特性的研究可以發(fā)現(xiàn)對于聲場特性的研究，本建模方法僅修改相關(guān)參數(shù)即可實現(xiàn)，無需重新推導編程，因而具備較強的靈活性。

圖10 不同阻抗邊界條件下柱形聲場在單位點聲源激勵下的聲壓響應

圖11 不同幅值下柱形聲場在點聲源激勵下的聲壓響應

4 結(jié) 論

本文提出基于特征正交-里茲能量原理的階梯圓柱形耦合聲場建模方法，該方法采用二維特征正交多項式和傅里葉級正余弦級數(shù)構(gòu)建耦合聲場子分段聲壓函數(shù)，從能量角度建立了鄰近聲場間耦合能量方程，進而結(jié)合里茲法對圓柱形耦合聲場聲學問題進行求解。對不同分段的柱形耦合聲場聲學特性研究結(jié)果表明，在保證計算準確性的前提下，本文建模方法改善了傳統(tǒng)有限元法計算效率不高的問題，并且對于聲場特性規(guī)律的研究僅修改相關(guān)參數(shù)即可實現(xiàn)，因而具備較強的靈活性；另外，對聲場進行參數(shù)化研究發(fā)現(xiàn)，隨著聲場外徑R2增加，聲場固有頻率普遍增大，并且這種現(xiàn)象與模態(tài)階次相關(guān)聯(lián)，而腔深L的影響呈現(xiàn)相反的變化規(guī)律；降低阻抗壁面和聲源幅值的大小可抑制聲場的聲學響應幅值。