文∣吳青

蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)安排了可能性的內(nèi)容，通過摸球、摸牌等游戲，引導(dǎo)學(xué)生在操作、實(shí)驗(yàn)、觀察、比較中認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象，了解事件發(fā)生的確定性和不確定性，感受簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的特點(diǎn)，初步形成概率思想。

可能性在生活中的應(yīng)用非常廣泛，而在各種球類比賽中，則更是普遍地采用拋硬幣的方式來決定場(chǎng)地和發(fā)球順序。但是教材的例題部分和習(xí)題中都沒有安排讓學(xué)生拋硬幣的操作活動(dòng)，只是在“你知道嗎”欄目中向?qū)W生介紹了數(shù)學(xué)家拋硬幣的試驗(yàn)結(jié)果，在“拓展應(yīng)用”中讓學(xué)生分析兩人同時(shí)各拋一枚硬幣的可能性問題。

考慮到拋硬幣在生活中的運(yùn)用是非常多的，所以我們應(yīng)該充分發(fā)揮硬幣的價(jià)值，幫助學(xué)生更好地體會(huì)事件發(fā)生的可能性，更加深刻地理解概率思想。

一、生活情境導(dǎo)入新課

由于學(xué)生對(duì)乒乓球、足球等球類運(yùn)動(dòng)非常感興趣，所以在本課教學(xué)時(shí)，教師就從球類比賽導(dǎo)入，首先播放奧運(yùn)會(huì)乒乓球決賽剛開始時(shí)的一段視頻，然后問學(xué)生，有沒有注意到，在開始比賽之前，裁判員做了一個(gè)什么動(dòng)作？只有部分細(xì)心的學(xué)生注意到了，于是教師把開頭的這一段重新播放了一遍，這下子大家都發(fā)現(xiàn)了，裁判員在拋硬幣。

接下來教師讓學(xué)生思考，裁判員為什么要拋硬幣？你們覺得用拋硬幣的方式?jīng)Q定誰先發(fā)球，這種做法公平嗎？為什么？許多學(xué)生都認(rèn)為是公平的，因?yàn)閽佊矌艜r(shí)，可能會(huì)拋到正面，也可能會(huì)拋到反面，甚至有學(xué)生認(rèn)為，正面朝上和反面朝上的可能性相等。在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師及時(shí)進(jìn)行小結(jié)，肯定了他們回答中所包含的兩個(gè)觀點(diǎn)：①認(rèn)為在拋硬幣時(shí)，可能是正面朝上，也可能是反面朝上；②認(rèn)為正面朝上和反面朝上的可能性相等。

教師向?qū)W生提出一個(gè)問題串，“可能性指的是什么？”“拋硬幣時(shí)，真的會(huì)可能正面朝上，也可能反面朝上嗎？”“正面朝上和反面朝上的可能性確實(shí)相等嗎？”“我們?cè)撊绾悟?yàn)證呢？”由此就順利地導(dǎo)入了新課的探究之中。

在這個(gè)課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師巧妙地利用了乒乓球比賽中的拋硬幣環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)裁判員通過拋硬幣來決定雙方的場(chǎng)地和發(fā)球的先后順序時(shí)，他們的好奇心一下子就被激發(fā)了出來，對(duì)拋硬幣產(chǎn)生了濃厚的興趣，從而拉近了可能性的知識(shí)與學(xué)生之間的心理距離，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，更加積極主動(dòng)地投入接下來的課堂探究之中。

二、實(shí)踐操作認(rèn)識(shí)可能性

在導(dǎo)入環(huán)節(jié)分析了乒乓球比賽中拋硬幣的過程后，接下來教師就順勢(shì)展開課堂的探究活動(dòng)，讓學(xué)生通過拋硬幣來認(rèn)識(shí)可能性。教師讓學(xué)生以小組為單位，每個(gè)學(xué)生各拋一次硬幣，組長(zhǎng)把拋硬幣的結(jié)果按順序記錄下來。接下來進(jìn)行全班對(duì)比分析，讓學(xué)生觀察各小組記錄的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)第一次拋硬幣時(shí)，有的小組是正面朝上多，有的小組是反面朝上多；第二次拋硬幣時(shí)，也是有的小組正面朝上多，有的小組反面朝上多……最后歸納，每一次拋硬幣時(shí)，可能會(huì)正面朝上，也可能會(huì)反面朝上，每一次拋硬幣的結(jié)果都是不確定的，是隨機(jī)出現(xiàn)的，在拋之前我們無法預(yù)測(cè)會(huì)是哪個(gè)面朝上。

然后教師再選擇一組連續(xù)出現(xiàn)幾次正面(或反面)朝上的，讓學(xué)生觀察思考，這一組已經(jīng)連續(xù)有幾次正面朝上了，那么接下來再拋一次，一定還是正面朝上(或反面)朝上嗎？讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，盡管前面已經(jīng)連續(xù)拋出了幾次正面朝上，但是接下來仍然無法預(yù)測(cè)，同樣可能會(huì)正面朝上也可能會(huì)反面朝上，前面拋硬幣的結(jié)果對(duì)后面沒有任何影響。

在此基礎(chǔ)上，教師告訴學(xué)生，每一次拋硬幣都可能會(huì)正面朝上，也可能會(huì)反面朝上，這就是一個(gè)事件發(fā)生的“可能性”。在這樣的操作和分析的基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)可能性的認(rèn)識(shí)會(huì)更加深刻，從而更好地認(rèn)識(shí)隨機(jī)事件。

三、深入體會(huì)可能性相等

小學(xué)階段所研究的概率知識(shí)，都是屬于古典概型，每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都是相等的。比如把4張撲克牌反扣在桌上，任意摸一張，那么每張牌被摸到的可能性是相等的，都是四分之一。

在摸牌活動(dòng)中，當(dāng)把3張紅桃和1張黑桃反扣在桌上，任意摸一張牌，學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn)，摸到紅桃的可能性比黑桃大，從而認(rèn)識(shí)到事件發(fā)生的可能性是有大有小的。從操作的數(shù)據(jù)上，我們可以直接看出哪個(gè)事件發(fā)生的可能性大。

但是可能性相等就不那么容易看出來了。因?yàn)槲覀冎?，拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，但事實(shí)上，隨便我們拋多少次硬幣，隨便什么時(shí)候拋，很少會(huì)出現(xiàn)正面和反面次數(shù)正好相等的情形，絕大多數(shù)情況下出現(xiàn)的次數(shù)都是不相等的，甚至有時(shí)候還會(huì)相差比較大。那么，怎樣讓學(xué)生理解“可能性相等”這個(gè)知識(shí)呢？

可能性相等可以從兩個(gè)層面上去理解。第一是理論分析層面，因?yàn)橛矌庞姓磧擅妫瑨佊矌艜r(shí)可能正面朝上也可能反面朝上，這兩種情況出現(xiàn)的可能性是相等的。至于為什么這時(shí)候正面朝上和反面朝上的可能性相等，學(xué)生沒辦法具體說明，而只能直觀感覺。

第二是大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)層面。我們可以進(jìn)行許多次試驗(yàn)，把每一次試驗(yàn)的結(jié)果都記錄下來，然后觀察，隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，某個(gè)事件發(fā)生的頻率越來越接近于某個(gè)固定的數(shù)值，如果逐漸穩(wěn)定在這一數(shù)值附近，那么這個(gè)數(shù)值就是該事件發(fā)生的概率，這就是概率的統(tǒng)計(jì)定義。當(dāng)兩個(gè)事件都不斷接近于某個(gè)相同的數(shù)值時(shí)，我們就認(rèn)為這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性是相等的。

拿拋硬幣來說，要想驗(yàn)證正面朝上和反面朝上的可能性相等，我們可以采用大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法。歷史上有許多數(shù)學(xué)家就進(jìn)行了大量的拋硬幣試驗(yàn)，得到了許多寶貴的數(shù)據(jù)，在數(shù)學(xué)教材的“你知道嗎”部分作了介紹。分析這些數(shù)據(jù)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)拋硬幣的總次數(shù)越來越多時(shí)，正面朝上和反面朝上的次數(shù)會(huì)越來越接近。這里所說的“越來越接近”，不是指它們數(shù)量的絕對(duì)差越來越小，而是指數(shù)量差與總次數(shù)的比值(即相對(duì)差)越來越小，因此我們就認(rèn)為拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等。

對(duì)于這個(gè)內(nèi)容，許多教師都是在課堂的最后向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家拋硬幣的結(jié)果，讓學(xué)生簡(jiǎn)單了解。但是這樣的安排，學(xué)生并不能認(rèn)識(shí)到表格中數(shù)據(jù)的真實(shí)價(jià)值，無法理解拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等的真正含義，所以感覺是膚淺的，流于形式。因此，我們一定要充分利用硬幣的價(jià)值，讓學(xué)生通過拋硬幣的實(shí)踐操作，體會(huì)概率的這種統(tǒng)計(jì)定義，真正理解可能性相等的實(shí)質(zhì)，對(duì)概率思想有更加深刻的認(rèn)識(shí)。

在教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生通過摸牌活動(dòng)，認(rèn)識(shí)到可能性有大有小之后，教師讓學(xué)生再次思考乒乓球比賽前拋硬幣這個(gè)環(huán)節(jié)，提問學(xué)生：“我們知道可能性是有大小的，那么通過拋硬幣的方式來決定誰先發(fā)球，這種做法公平嗎？”“你們覺得拋硬幣時(shí)，正面朝上和反面朝上的可能性相等嗎？為什么相等？”關(guān)于這些問題，學(xué)生只能從經(jīng)驗(yàn)的角度，覺得可能性是相等的，但是無法說出具體理由。

接下來教師就讓學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證，每個(gè)學(xué)生各自拋10次硬幣，記錄正面朝上和反面朝上的次數(shù)，然后匯報(bào)給組長(zhǎng)，組長(zhǎng)對(duì)本組的數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，然后教師把各組的數(shù)據(jù)填寫在一個(gè)表格中。在全班總共不到500次的操作中，正面朝上和反面朝上的次數(shù)相差幾十次，相差看似挺多，這是否表明，拋硬幣的時(shí)候正面朝上和反面朝上的可能性不相等？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了深入思考。學(xué)生認(rèn)為可能性是相等的，但是又說不出具體的理由，無法解釋為什么會(huì)有這么大的相差數(shù)。于是教師向?qū)W生提問：“剛才每個(gè)人都拋了10次，有哪些同學(xué)正面朝上的次數(shù)超過了反面朝上的3倍的？2倍的呢？”我們發(fā)現(xiàn)，都沒有，只是多了那么一點(diǎn)兒。由此可見，一個(gè)人拋10次，出現(xiàn)的差距可能會(huì)比較大，但是全班這么多同學(xué)進(jìn)行匯總，總數(shù)量變大了，差距反而變小了。

通過對(duì)部分學(xué)生拋硬幣的結(jié)果和全班的統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，一個(gè)人拋硬幣出現(xiàn)的差距可能會(huì)比較大，而一旦把全班那么多同學(xué)的數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，差距就會(huì)變小了，當(dāng)然這種變小，指的是與總數(shù)量相比而言的變小。這種教學(xué)方式已經(jīng)初步滲透了大數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)意義了。接下來讓學(xué)生思考，如果我們繼續(xù)拋下去，結(jié)果會(huì)怎樣呢？學(xué)生自然會(huì)想到，繼續(xù)拋下去，正面朝上和反面朝上的次數(shù)會(huì)越來越接近。此時(shí)，教師再出示教材中介紹的幾個(gè)數(shù)學(xué)家拋硬幣的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生進(jìn)行分析，更加肯定他們的想法，當(dāng)拋的總次數(shù)越來越多，正面朝上和反面朝上的次數(shù)會(huì)越來越接近。于是教師告訴學(xué)生，從這個(gè)角度來說，拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。

至此，學(xué)生已經(jīng)完全經(jīng)歷了拋硬幣時(shí)的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程，對(duì)可能性相等的含義有了更加深刻的理解，而不僅僅是停留于直觀的表層，那么以后他們?cè)儆龅礁怕蕟栴}，也會(huì)嘗試著運(yùn)用類似的方法進(jìn)行分析，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和探究能力。

四、體會(huì)確定性與不確定性之間的辯證關(guān)系

對(duì)于不可能發(fā)生的事件和一定發(fā)生的事件，在事件發(fā)生之前，我們就已經(jīng)能夠知道結(jié)果了，因此這種結(jié)果是確定的。對(duì)于確定和不確定這兩種不同的情形，我們?cè)谡n堂上都可以通過讓學(xué)生摸球的操作來體會(huì)。比如，讓學(xué)生在裝有一個(gè)紅球和一個(gè)黃球的不透明袋子里摸球，發(fā)現(xiàn)摸出來的球可能是紅球，也可能是黃球，每次摸球的結(jié)果都是不確定的，摸球之前無法預(yù)測(cè)摸出的是什么顏色的球，讓學(xué)生理解操作結(jié)果的不確定性。然后在袋子中裝進(jìn)兩個(gè)紅球，再讓學(xué)生摸球，這時(shí)發(fā)現(xiàn)摸出來的一定是紅球，不可能是黃球，每次摸球的結(jié)果是確定的，摸球之前就能夠知道摸球的結(jié)果了，讓學(xué)生理解操作結(jié)果的確定性。

關(guān)于確定性和不確定性，許多教師的教學(xué)就到此為止，然后接下來就研究可能性的大小。但是，在現(xiàn)在這種情況下，學(xué)生對(duì)于確定性與不確定性的認(rèn)識(shí)還是初步的。學(xué)生并沒有真正認(rèn)識(shí)到這兩種不同情形之間的辯證關(guān)系。因此，我們的教學(xué)不能就此止步，而應(yīng)該繼續(xù)探究下去，讓學(xué)生深入體會(huì)確定性與不確定性之間的辯證關(guān)系，從而對(duì)可能性以及概率思想有更加深刻的認(rèn)識(shí)。

在教學(xué)中，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到確定性與不確定性之間的辯證關(guān)系，教師利用摸球和摸牌這兩個(gè)操作活動(dòng)，設(shè)計(jì)了兩個(gè)對(duì)比性的探究環(huán)節(jié)。

首先是結(jié)合剛才袋中裝有兩個(gè)紅球的情形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每次摸出的“一定”是紅球，“不可能”是黃球，從而理解了“確定”的含義。此時(shí)，教師緊接著提問，剛才這個(gè)口袋里裝的是兩個(gè)紅球，所以摸出來的一定是紅球，不可能是黃球，這個(gè)結(jié)果是確定的，有沒有什么不能確定的情況出現(xiàn)呢？當(dāng)學(xué)生回答不出時(shí)，教師接著提示，如果把這里的兩個(gè)紅球分別標(biāo)上1號(hào)和2號(hào)，任意摸出一個(gè)球，會(huì)有什么結(jié)果？學(xué)生立刻意識(shí)到了，摸出來的可能是紅球1號(hào)，也可能是紅球2號(hào)，這時(shí)候的結(jié)果是不確定的。此時(shí)，教師稍作小結(jié)：換一個(gè)角度分析，確定性之中也隱含著不確定的因素，一定會(huì)發(fā)生的事件背后也存在著不同的可能。

接下來，教師出示4張撲克牌，分別是紅桃A、紅桃2、紅桃3和紅桃4，把這4張牌反扣在桌上，打亂順序，讓學(xué)生思考：“任意摸一張，可能摸到哪一張牌？”“在摸牌之前你能夠確定摸到的是哪張牌嗎？”學(xué)生回答：“無法確定能夠摸到哪張牌，這個(gè)結(jié)果是不確定的?！边@時(shí)教師緊接著進(jìn)行追問：“在這4張牌中任意摸一張，有沒有能夠確定的結(jié)果？”細(xì)心的學(xué)生發(fā)現(xiàn)這4張牌都是紅桃，于是回答說摸到的一定是紅桃。由此看來，在不確定性的背后也可能會(huì)隱含著確定性的因素。

通過上面這兩個(gè)小環(huán)節(jié)的探究分析，學(xué)生能夠深刻地認(rèn)識(shí)到確定性與不確定性兩者并不是相互割裂的，而是密切相關(guān)的。同時(shí)也體會(huì)到，換一個(gè)角度分析，得到的結(jié)果可能就會(huì)不相同，從而真正理解確定性與不確定性之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系。

五、理解可能性與現(xiàn)實(shí)性之間的關(guān)系

拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等，那么拋2次硬幣，是不是一定會(huì)出現(xiàn)1次正面朝上、1次反面朝上呢？拋10次硬幣，正面朝上和反面朝上是不是肯定各有5次呢？或者，如果某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率是十分之一，是不是買10張獎(jiǎng)券就一定會(huì)有一張中獎(jiǎng)呢？答案都是否定的。這些都屬于不確定事件中的可能性問題，涉及確定事件與不確定事件的重要區(qū)別。對(duì)于確定事件來說，我們根據(jù)實(shí)際情況所計(jì)算出來的結(jié)果是確定的，是必然會(huì)實(shí)現(xiàn)的。但是，對(duì)于不確定事件來說，根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的概率所計(jì)算得到的結(jié)果，僅僅表示一種可能性，是不確定、隨機(jī)的。

所以在課堂上，我們應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到隨機(jī)事件中的不確定性，體會(huì)可能性與現(xiàn)實(shí)性之間的關(guān)系，從而真正理解概率思想。

在這節(jié)課上，教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題：“小明說，我拋2次硬幣，一定會(huì)有1次正面朝上，1次反面朝上。”“小麗說，我拋10次硬幣，那么正面朝上和反面朝上肯定各有5次?！弊寣W(xué)生判斷他們兩人說得對(duì)不對(duì)。這時(shí)，結(jié)合學(xué)生剛才所進(jìn)行的每人各拋10次硬幣的操作，了解有哪些學(xué)生正面朝上和反面朝上各有5次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)只有很少的幾個(gè)學(xué)生得到這樣的結(jié)果，其他學(xué)生正面朝上和反面朝上的次數(shù)都不相等，甚至有的學(xué)生還出現(xiàn)了9次正面朝上和1次反面朝上的情況。結(jié)合學(xué)生拋硬幣的結(jié)果進(jìn)行分析，讓學(xué)生明白“盡管我們知道拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等，從而可以計(jì)算出拋10次硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上應(yīng)該各5次，但是因?yàn)閽佊矌攀且环N隨機(jī)事件，拋的結(jié)果是不確定的”，所以，我們不能說正面朝上和反面朝上一定各有5次，而只能說“可能”各有5次。每一次的結(jié)果都是不確定的，那么我們剛才得到的結(jié)論“拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等”，是不是就沒有意義了呢？學(xué)生可能會(huì)有這樣的疑惑。教師可以結(jié)合剛才的統(tǒng)計(jì)過程，和學(xué)生進(jìn)行分析，盡管在某個(gè)范圍內(nèi)，不能保證正面朝上和反面朝上的次數(shù)相等，但是，當(dāng)拋的次數(shù)越來越多時(shí)，正面朝上和反面朝上的次數(shù)就會(huì)越來越接近。所以，從這個(gè)意義上來說，拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性確實(shí)是相等的。

六、拓展延伸

一節(jié)好課，必須具有一定的拓展性。下課時(shí)，不僅要讓學(xué)生把本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)全都掌握，而且還要讓學(xué)生帶著問題和思考下課，讓學(xué)生把課堂上的探究活動(dòng)延伸到課后，從而培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的能力。

在課堂的最后，教師讓學(xué)生思考，同時(shí)拋兩枚硬幣，會(huì)有幾種情況出現(xiàn)。哪種情形出現(xiàn)的可能性最大？這時(shí)學(xué)生眾說紛紜，教師沒有作任何判斷，只是告訴他們，要想知道正確的答案，可以自己課后進(jìn)行探究，就像課堂上拋一枚硬幣那樣，同時(shí)拋兩枚硬幣，然后記錄下每一次得到的結(jié)果，當(dāng)拋的次數(shù)越來越多時(shí)，再來看看會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)。

這節(jié)課雖然結(jié)束了，但學(xué)生的思考并沒有結(jié)束，探究也沒有停止，相信會(huì)有一些感興趣的學(xué)生在課后繼續(xù)探究，數(shù)學(xué)研究的意識(shí)逐漸萌芽，數(shù)學(xué)研究的能力也在逐步培養(yǎng)。

通過對(duì)拋硬幣資源的充分利用，學(xué)生在拋硬幣的過程中，充分理解可能性的含義，認(rèn)識(shí)可能性相等的真正內(nèi)涵，體會(huì)隨機(jī)事件中不確定性與確定性的辯證關(guān)系，明確可能性與現(xiàn)實(shí)性之間的區(qū)別，從而能更好地感受隨機(jī)事件，深刻地理解概率思想。