黃志偉 楊宏宇 翟峰 陸肖勵 盧軍強? 吳健

1) (浙江師范大學物理系，金華 321004)

2) (清華大學物理系，北京 100084)

Frame 等提出采用特征矢量延拓方法求解關聯(lián)量子模型的高維多體波函數:當模型哈密頓矩陣包含光滑變化的參數時，其特征矢量隨參數變化的軌跡集中在1 個低維的子空間中，因此可以將哈密頓量投影到該子空間的一組基矢量來簡化求解(Frame D，He R Z，Ipsen I，Lee D，Lee D，Rrapaj E 2018 Phys.Rev.Lett.121 032501).但是他們沒有明確給出軌跡子空間的維度以及其與模型大小之間的聯(lián)系.本文系統(tǒng)研究了大小不同的反鐵磁Heisenberg 鏈模型，其交換相互作用隨參數光滑變化.首先通過主成分分析方法分別確定了包含4 個自旋的模型和包含6 個自旋的模型的基態(tài)多體波函數矢量軌跡子空間，并分別繪制了子空間中的軌跡.然后分析了包含 8，···，14 個自旋的模型基態(tài)矢量軌跡的主成分分量，并指出:當采用特征矢量延拓方法求解反鐵磁Heisenberg 鏈模型基態(tài)時，所需基矢數目隨模型所包含自旋個數的增加而增加.本文研究可用于指導采用特征矢量延拓方法求解包含更多自旋的反鐵磁Heisenberg 鏈模型哈密頓量.

1 引言

關聯(lián)量子模型的希爾伯特空間維度通常隨模型所含粒子數呈指數增長，如果不采取任何近似，即使包含較少粒子數目的模型哈密頓矩陣也很容易超出計算機的內存空間而不能載入，嚴格的數值求解更是無從談起.現(xiàn)有的關聯(lián)量子模型哈密頓量近似求解手段包括變分方法[1-6]、量子蒙特卡羅方法[7-11]以及圖展開方法[12-15]等;這些方法的有效性依賴于模型哈密頓量所包含的某些參數的取值范圍:在一定的參數區(qū)間范圍內，可以利用這些方法進行有效求解，超出了這些范圍，采用這些方法求解所導致的誤差往往無法控制而導致求解失敗.

最近，F(xiàn)rame 等[16]提出了一種新方法求解關聯(lián)量子模型哈密頓量:特征矢量延拓.其關鍵思路是:盡管高維哈密頓矩陣的特征矢量在高維空間中，當哈密頓矩陣隨參數光滑變化時，相應特征矢量的變化軌跡集中在1 個低維的子空間中;因此可以選取少量對應不同參數的特征矢量作為基矢來構建這個低維子空間，將哈密頓量在此子空間中展開，從而只需求解低維哈密頓矩陣.他們將1 個具有可調參數的 4×4×4 晶格的Bose-Hubbard 模型哈密頓量分別展開到1 個由3 個參數互相遠離的特征矢量為基矢構成的三維子空間和1 個由5 個參數互相接近的特征矢量為基矢構成的五維子空間，通過求解三維矩陣和五維矩陣均可獲得高精度的近似解.

然而，文獻[16]中子空間基矢數量主要是以猜測的方式進行選取，因此，當模型粒子數目稍有增加，比如從4×4×4晶格增加到 6×6×6 晶格，獲得高精度近似解需要的基矢是3 個還是5 個，或者說軌跡子空間到底應該是三維還是五維，亦或更高維，文獻中并沒能給出明確答案.確定或至少估計軌跡子空間維度大小是重要的:一方面，如果軌跡子空間維度大小隨模型所含粒子數目的增加而迅速增加，也就是采用特征矢量延拓方法所需的基矢數量迅速增加，特征矢量延拓方法將很難奏效;另一方面，如果在特征矢量延拓計算中選用的基矢數目大于軌跡子空間的維度，基矢有可能是線性相關的，從而導致不合理的錯誤結果.

確定或估計軌跡子空間維度大小的困難在于:盡管隨參數光滑變化的高維哈密頓矩陣的特征矢量變化軌跡所在的子空間是低維的，低維子空間的維度與多體模型所含粒子數目之間并不顯含簡單直接的函數關系.本文系統(tǒng)性地研究了反鐵磁Heisenberg 鏈模型哈密頓矩陣的特征矢量隨參數光滑變化的軌跡，通過對特征矢量軌跡進行主成分分析畫出其所在低維子空間，指出采用特征矢量延拓求解反鐵磁Heisenberg 鏈模型哈密頓量所需基矢數目隨其所包含自旋個數的增加而增加.

2 研究內容和方法

采用由L個(L為偶數)自旋格點組成的，具有周期邊界條件的一維Heisenberg 鏈模型(以下簡稱為模型)，如圖1 所示.模型哈密頓量為

圖1 一維Heisenberg 鏈模型示意圖Fig.1.Schematic diagram of a one-dimensional Heisenberg chain model.

當參數θ∈[0°，90°]，Ji≥0，模型為反鐵磁Heisenberg 鏈.

哈密頓量(1)的每個特征波函數可以對應于1 個N維矢量.由于單個自旋的波函數可以由1 個2 維矢量表示，兩個維度可以分別對應于Sz向上和向下的狀態(tài)，從而N(L)2L，波函數矢量和哈密頓矩陣的維度隨L的增加而指數增加.在本文中，研究該模型的基態(tài)，它對應的總自旋角動量z分量0，因此自旋算符Sz向上和向下的狀態(tài)數都是L/2個，所以波函數的維度N減 少 為N(L).例如N(4)=6，N(6)=20，N(14)=3432，N(16)=12870，N依然隨自旋個數L的增加而迅速增加.只有對自旋個數L不太大的情形，多體哈密頓量(1)的特征波函數和特征能量可通過精確對角化哈密頓矩陣的數值方法嚴格求解.

在本文中，對L4，6，···，14 的模型哈密頓量的基態(tài)矢量和能量進行了系統(tǒng)性研究.對每一個L，將哈密頓矩陣的參數θ從0°到90°每隔1°連續(xù)變化，通過對角化求解基態(tài)矢量和能量，所獲得的M個基態(tài)矢量軌跡構成一個M ×N的矩陣，記為XL，其中M91，N.

我們的目標是通過對具有不同自旋個數L的模型基態(tài)矢量軌跡矩陣XL分別進行主成分分析[17-20]，找出軌跡所在低維子空間的維度大小隨自旋個數L的變化關系，從而用于指導利用特征矢量延拓法求解模型哈密頓矩陣的基態(tài)矢量和能量.主成分分析是一種非監(jiān)督學習算法，被廣泛應用于數據特征提取[17-20].在軌跡矩陣XL中，每一行是1 個基態(tài)波函數，對應于1 個N維空間中的矢量;根據特征矢量延拓法的思路[16]，XL中的M個基態(tài)矢量所構成的軌跡僅在部分基矢方向具有比較大的投影，而且與其他基矢方向近似正交.通過主成分分析找出這部分基矢，并將原始高維基態(tài)矢量在其方向上投影，從而可以在低維空間中直觀而生動的展示軌跡圖像.

由于矩陣XL不是方陣，首先對其進行變換Y，然后求解Y矩陣的特征值和特征矢量，即

其中特征值λn按從大到小的順序排列λ1≥λ2≥λ3≥···≥λN≥0，而對應的特征矢量v1，v2，v3，···，vN是相互正交的，稱具有較大特征值λn的特征矢量方向vn為主成分方向，原始高維波函數軌跡可以投影到相應主成分vn方向進行展示，即

其中PCn是波函數軌跡在第n(n1，2，3，···，N)個主成分方向上的投影.

3 研究結果

首先計算了L4的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡并將其投影到各主成分方向，發(fā)現(xiàn)其僅在2 個主成分方向v1，v2的投影PC1，PC2不為零，其中

而在其他主成分方向的投影都小于 10-8.圖2(a)用v1，v2構成的2 維空間中單位圓上的一段圓弧完整直觀地展示了L4的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡，說明盡管基態(tài)矢量是6 維的，其隨θ變化的軌跡僅處于由前兩個主成分方向所張成的2 維空間中.接著計算了L6的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡并將其投影到各主成分方向，發(fā)現(xiàn)其不為0的主成分分量個數不再為2，而是增加到了3.圖3(a)用這3 個主成分方向構成的3 維空間中單位球上的一段弧線完整直觀地展示了L6 的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡.

圖2 L=4的Heisenberg 鏈 (a) 基態(tài)矢量隨 θ 變 化 的軌跡(從紅到藍是0°到90°);(b) 在6 維和2 維空間中分別求得的基態(tài)能量Fig.2.The Heisenberg chain with L=4 :(a) Ground state vector trajectory (from red to blue:θ =0° to θ=90°);(b) ground state energies calculated in a 6-dimensional space and in a 2-dimensioanl space，respectively.

圖3 L=6的Heisenberg 鏈 (a) 基態(tài)矢量隨 θ 變化的軌跡(從紅到藍是0°到90°);(b) 在20 維和3 維空間中分別求得的基態(tài)能量Fig.3.The Heisenberg chain with L=6 :(a) Ground state vector trajectory (from red to blue:θ=0° to θ=90°);(b) ground state energies calculated in a 20-dimensional space and in a 3-dimensioanl space，respectively.

以上通過主成分分析方法獲得了L=4 或6的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡子空間的維度為2 或3，也就確定了采用特征矢量延拓方法求解具有其他角度θ的基態(tài)所需的基矢數目為2 或3.于是對L4 的模型哈密頓量分別在原6 維空間(N(4)6)中和2 維軌跡子空間中求解基態(tài)能量，記為E4，6和E4，2，畫在圖2(b)當中.毫不奇怪地，E4，2和E4，6幾乎一樣，它們的最大絕對誤差，δE|E4，2(θm)-E4，6(θm)|＜10-15.同樣地，對L=6 的模型哈密頓量分別在原20 維空間(N(6)20)中和3 維軌跡子空間中求解基態(tài)能量，并記為E6，20和E6，3，如圖3(b);E6，3和E6，20的最大絕對誤差 δE也小于 10-15.然而，確定采用特征矢量延拓方法求解L=4 或6 的模型所需的基矢數目并不是非常有用，因為利用計算機求解6×6或20×20 的哈密頓矩陣并不非常困難.我們的目標是能夠確定或估計采用特征矢量延拓方法求解具有更大L的模型所需的基矢數目.隨著模型中自旋數目L的增加，基態(tài)矢量的原空間維度N(L)迅速增長，例如，N(16)12870，利用計算機求解N ×N的哈密頓矩陣變得困難，因此需要找出軌跡子空間維度，從而用于指導特征矢量延拓方法的求解計算.

盡管可以用主成分分析方法確定對L=4 或6的模型基態(tài)能量進行特征矢量延拓方法求解所需的基矢數目，當模型變大以至于用計算機求解N ×N的哈密頓矩陣變得非常困難甚至不可能時，主成分分析方法將不再適合用于確定或估計采用特征矢量延拓方法求解所需的基矢數目;因為首先需要進行N ×N的哈密頓矩陣求解獲得足夠數量M的基態(tài)矢量，比如本文中，M91，然后才能對這M個矢量進行主成分分析.為解決這個困難，進一步研究了采用特征矢量延拓求解模型基態(tài)能量所需基矢數目與其所包含的自旋個數之間的關系.

對L8的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡進行主成分分析獲得各主成分方向，并分別在原70 維空間(N(8)70)中和由前Nsub個主成分方向構成的子空間中求解基態(tài)能量，記為E8，70和E8，Nsub.當Nsub6 ，E8，70和的最大絕對誤差 δE小于10-7.同樣，對L10的模型，當Nsub8 ，E10，252和的最大絕對誤差 δE小于10-7;對L12的模型，當Nsub8 ，E12，924和的最大絕對誤差 δE小于10-7;對L14的模型，當Nsub9，E12，924和E12，Nsub的最大絕對誤差 δE小于10-7.明顯地，隨著L的增加，Nsub也在增加，這個事實必須在采用特征矢量延拓進行計算時加以考慮.將Nsub作為L的函數畫在圖4(a)中，發(fā)現(xiàn)Nsub隨L的增加而迅速增長，盡管其總是遠遠小于N.Nsub的快速增長對于特征矢量延拓方法的應用是非常不利的.幸運的是，當我們稍稍降低計算結果的精度要求，比如從δE ＜10-7到 δE ＜10-4，盡管對L4和6，Nsub(L)保持不 變，Nsub(8) 則從6 降到了5，Nsub(10)從8 降到了5，Nsub(12) 從8 降到了6，Nsub(14) 從9 降到了6.從圖4(a)可以看出，如果采用 δE ＜10-4，當L≤8時，Nsub隨L的增加而快速增長，而當L≥8時，Nsub的 增長速度開始變得緩慢，從而為特征矢量延拓方法的應用提供了可能性.

圖4 (a) 采用特征矢量延拓方法求解隨 θ 變化的Heisenberg 鏈基態(tài)能量所需基矢數目與其所含自旋個數之間的關系;(b) L=16 的Heisenberg 鏈在10 維和6 維空間中分別求得的基態(tài)能量Fig.4.(a) Relationship between the number of basis vectors needed to calculate θ -dependent ground state energies of the Heisenberg chain by eigenvector continuation and the number of spins in the chain;(b) ground state energies of the Heisenberg chain with L=16 calculated in a 10-dimensional space and in a 6-dimensioanl space，respectively.

圖4(a)清楚地展示了采用特征矢量延拓方法求解隨θ變化的模型基態(tài)能量所需基矢數目隨其自旋個數增加而增加的關系圖像，因此可用于指導求解具有更多自旋的模型基態(tài).通過延伸圖4(a)中的關系曲線(圖中的虛線)，可以預測，如果采用δE ＜10-4，Nsub(16)6;而如果采用 δE ＜10-7，Nsub(16)10.于是分別計算了隨θ變化的L16的模型基態(tài)能量E16，6，E16，10，如圖4(b)，其中6 維子空間的基矢由θ=0°，18° ，···，72°，90°的基態(tài)矢量構成，10 維子空間的基矢由θ=0°，10°，···，80°，90°的基態(tài)矢量構成.從圖4(b)可以看出，E16，6和E16，10非常吻合，計算可得E16，6和E16，10的最大絕對誤差 δE小于 10-4，證實了圖4(a)中關系曲線的預測能力.

4 結論

本文通過采用主成分分析方法研究反鐵磁Heisenberg 鏈基態(tài)多體波函數矢量隨參數變化的軌跡，畫出了采用特征矢量延拓方法求解其基態(tài)能量所需基矢數目隨其所包含自旋個數增加而增加的函數曲線，用于指導采用特征矢量延拓方法求解包含更多自旋的Heisenberg 鏈模型哈密頓量.將類似的方法應用于指導求解高維Heisenberg 模型和其他關聯(lián)量子模型以總結更一般的函數關系，將在后續(xù)文章中報道.