亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        波利亞在LP類函數(shù)猜想上的工作

        2021-12-31 20:28:54王全來
        關(guān)鍵詞:波利亞實根勒斯

        王全來

        (天津師范大學(xué) 計算機(jī)與信息工程學(xué)院,天津300387)

        整函數(shù)零點分布的研究是數(shù)學(xué)分析研究中一個重要領(lǐng)域,整函數(shù)中一重要類是拉蓋爾-波利亞類函數(shù)(簡記為LP類)。該類函數(shù)首先由拉蓋爾(E.Laguerre,1834—1886)在1882年研究①為了節(jié)省篇幅,本文涉及拉蓋爾的學(xué)術(shù)論文可參見其數(shù)學(xué)全集,不再進(jìn)行標(biāo)注。。由于這個主題與黎曼猜想有一定關(guān)系,故吸引了許多大數(shù)學(xué)家如胡爾維茲(A.Hurwitz,1859—1919),波利亞(G.Pólya,1887—1985),布呂恩(de Bruijn),埃德雷(A.Edrei)等人的興趣。1859年,黎曼(B.Riemann,1826—1866)將素數(shù)分布問題歸結(jié)為函數(shù)問題,現(xiàn)稱為黎曼zeta函數(shù)ζ(s)。黎曼猜想是指ζ(s)的所有非實根位于臨界線上。設(shè)ξ(s)=s(s-1)π-s/2Γ(s/2)?(s)/2,則ξ(iz+1∕2)是型為1的偶整函數(shù),且若z取實值,則該函數(shù)取實值。黎曼猜想暗示ξ(s)的零點有實部1∕2,故ξ(iz+1∕2)屬于LP類函數(shù)。對于ξ(s)研究激起了對LP類函數(shù)性質(zhì)的探討。波利亞在“只具實根的三角積分”,勒文(B.Levin)在1980年再版的“整函數(shù)零點分布”第八章中指出,若黎曼猜想成立,則ξ(s)屬于LP類函數(shù)。

        一個整函數(shù)屬于LP類當(dāng)且僅當(dāng)f(z)=exp(-γz2+βz+α)zmΠ(1-z∕zn)exp(z∕zn),zn,α,β為實數(shù),γ≤0,m為正整數(shù),Σ|zn|-2收斂。LP類函數(shù)在卷積變換理論,變差變換理論,樣條函數(shù)插值理論等有重要應(yīng)用。該類函數(shù)在理論和應(yīng)用上的研究依舊活躍,且在分析的許多方面扮演著重要角色。關(guān)于LP類函數(shù)猜想的歷史研究文章目前國內(nèi)外尚未見到,本文將詳細(xì)研究這一歷史發(fā)展,以補(bǔ)現(xiàn)有文獻(xiàn)不足。

        1 波利亞提出猜想的工作背景

        1.1 波利亞之前一些學(xué)者的工作

        魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass,1815—1897)關(guān)于整函數(shù)展成無窮乘積的因子定理對于整函數(shù)性質(zhì)和零點分布的研究有重要作用,在復(fù)函數(shù)理論中開創(chuàng)了新篇章。幾乎所有關(guān)于整函數(shù)理論的文獻(xiàn)第一部分都以魏爾斯特拉斯因子定理開始,足見其影響。拉蓋爾從1882年開始發(fā)表了一些與魏爾斯特拉斯因子定理有關(guān)的論文,給出了整函數(shù)的一些重要概念和性質(zhì),其中就有型的引入。整函數(shù)的型和階是該理論的兩個最基本概念。龐加萊(H.Poincaré,1854—1912)、阿達(dá)瑪(J.Adamard,1865—1963)、皮卡(E.Picard,1856—1941)、波萊爾(E.Borel,1871—1956)等人依據(jù)整函數(shù)階的概念探討了整函數(shù)的一些問題,其中包括整函數(shù)的增長和零點分布之關(guān)系的問題。拉蓋爾的大部分工作是研究型為0和1的整函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)零點分布。

        由冪級數(shù)表示的整函數(shù)表明一個簡單事實,任一個整函數(shù)為多項式序列的極限,該序列在每個有界區(qū)域內(nèi)一致收斂。若附加多項式序列一致收斂于一個其零點屬于某一集合的整函數(shù)的條件,則極限函數(shù)依賴于該集合形成一個特殊類。拉蓋爾在這個方向上區(qū)分了兩種情況。第一種,在其中這些多項式的零點都是正的;第二種,在其中這些零點都是實的。遺憾的是,拉蓋爾對第二種情況沒有給出證明,波利亞在1913年給出證明。這樣的多項式序列更全面的考察由林德瓦特(E.Lindwart)和波利亞在1914年進(jìn)行探討。

        1.2 波利亞的早期工作

        波利亞特別喜歡整函數(shù)和用多項式逼近整函數(shù)的零點集的性質(zhì)有關(guān)的定理①為了節(jié)省篇幅,本文涉及波利亞的學(xué)術(shù)論文可參見其數(shù)學(xué)全集,不再進(jìn)行標(biāo)注。。波利亞在“利用具有全部實根的多項式逼近”(1913)、“全部根落在一個角形域內(nèi)的多項式逼近”(1913)及“根與多項式序列收斂之關(guān)系”(1914)中研究了整函數(shù) (fz)的特征,多項式序列{f(nz)}在D內(nèi)一致收斂于 (fz),當(dāng)每個f(nz)的全部根αnk位于給定的集合T內(nèi)或當(dāng)對αnk指定某個收斂指數(shù)k(即∑|αnk|-k≤M)一般化了拉蓋爾的早期結(jié)果。波利亞后來的大部分工作起源于此。波利亞在“利用具有全部實根的多項式的逼近”(1913)中證明,若αnk是實的,則 (fz)=exp(az2+b)Φ(z),其中 Φ(z)為型是0或1的整函數(shù),a,b為實數(shù),a≤0。在“根與多項式序列收斂之關(guān)系”(1914)中證明,若指數(shù)k為給定整數(shù),則f(z)=exp(bz)Φ(z),Φ(z)為型是k-1的整函數(shù)。受這些文章激勵,其他學(xué)者從不同的區(qū)域和集合T研究了類似問題。

        在拉蓋爾、阿達(dá)瑪?shù)热斯ぷ骰A(chǔ)上,波利亞和舒爾(I.Schur,1875—1941)在開創(chuàng)性的論文“在代數(shù)方程理論中的兩類因子序列”(1914)中把LP類函數(shù)特征化。他們證明所有把具有實根的多項式變?yōu)榫哂袑嵏亩囗検降某朔e序列可由特殊類型的整函數(shù)產(chǎn)生。這些函數(shù)現(xiàn)在被稱為波利亞-舒爾函數(shù)或拉蓋爾-波利亞類函數(shù)。乘積序列理論始于拉蓋爾的工作,深化于波利亞和舒爾的開創(chuàng)性工作。波利亞和舒爾指出,實序列T={γk}使得,若一個多項式p(x)=∑akx k只有實根,則多項式T[p(x)]=T[∑akxk]=∑γk akxk也只有實根,γk為實數(shù)。以此揭示了LP類函數(shù)的一些重要性質(zhì)。

        令Ψ(s)=∑(βjsj)∕j!為一個整函數(shù),則下面性質(zhì)等價:(1)Ψ屬于LP類;(2)Ψ可在緊致集上利用只具有實根的多項式p(nx)=∑βjcjnx j,q(nx)=∑βjcjnx n-j一致逼近;(3)若p(x)=∑Cjx j是一個只具有非正實根的多項式,則q(x)=∑βj Cjxj只有實根。對形式冪級數(shù)F(s)~∑akxk,F(xiàn)(D)p(x)=∑akDkp(x),其中D=d∕dx,上述結(jié)論也成立。波利亞在“關(guān)于型為0和1的整函數(shù)的代數(shù)研究”(1915)中指出,假設(shè)Ψ(s)屬于LP類,Ψ(0)>0,Ψ(s)≠eas+b,1∕Ψ(s)有泰勒展開∑(βjsj)∕j!,則由此確定的漢克爾矩陣為正定的。設(shè)p→(1∕Ψ(D))p為零點減少的變換,p(x)=(∑aj xj)2,通過計算(1∕Ψ(D))p,得到了屬于LP類函數(shù)的一些必要條件。然而,漢克爾矩陣的正定性對Ψ(s)屬于LP類不是充分的,由漢伯格爾(H.Hamburger)在“關(guān)于波利亞所提問題的注釋”(1920)中證明。這些工作為波利亞提出其猜想奠定了基礎(chǔ)。

        2 波利亞在LP類函數(shù)猜想上的工作

        2.1 LP類函數(shù)猜想的提出

        在多項式和超越整函數(shù)零點分布理論中,考慮施于微分運算的整函數(shù)零點將如何變化的一般性問題,波利亞做出許多貢獻(xiàn),其中之一是提出LP類函數(shù)的有關(guān)猜想。LP類函數(shù)在微分運算下保持封閉,故屬于LP類函數(shù),其任意階導(dǎo)數(shù)只有實根。一個函數(shù)在何種條件下為LP類函數(shù)呢?對于該問題涉及較早的是數(shù)學(xué)家威曼(A.Wiman)。據(jù)威曼的學(xué)生阿朗爾(M.?lander)在其博士論文中稱,威曼在1911年曾猜想,若(fx)為實整函數(shù)②在實軸上取實值的整函數(shù)稱為實整函數(shù)。,且 (fx)和二階導(dǎo)數(shù)f(??x)只有實根,則 (fx)屬于LP類。威曼關(guān)于整函數(shù)的首篇論文處理了米塔格-萊夫勒函數(shù)E(αz)=∑zn∕Γ(αn+1)的零點問題,與魏爾斯特拉斯因子定理有關(guān),這可能是其提出該猜想的重要原因。威曼的猜想暗示如下結(jié)果,“若一個超越實整函數(shù)和其二階導(dǎo)數(shù)的零點是實的,則所有導(dǎo)數(shù)的零點位于實軸上”。

        在定理中假設(shè)(fx)為實整函數(shù)是該猜想的最基本要求,這一點由波利亞的學(xué)生埃德雷在1955年通過例子 (fz)=exp(exp(iz))說明[1]。波利亞1914年前往瑞士蘇黎世,在此期間,他研究的問題之一是整函數(shù)的性質(zhì)和逼近于整函數(shù)多項式零點集性質(zhì)之間的聯(lián)系。他和胡爾維茲經(jīng)常探討這方面的學(xué)術(shù)問題,為波利亞深入研究波利亞-舒爾函數(shù)或拉蓋爾-波利亞函數(shù)的相關(guān)問題奠定了基礎(chǔ)。

        波利亞在“關(guān)于整函數(shù)的一個問題”(1914)中提出一個比威曼猜想稍弱的猜想,指出若(fx)為實整函數(shù),且它同其各階導(dǎo)數(shù)只有實根,則(fx)應(yīng)屬于LP類函數(shù)。該問題現(xiàn)被稱為波利亞猜想。波利亞在該文開篇提到了LP類函數(shù)的性質(zhì),隨后指出,“是否存在其它函數(shù),其和它的各階導(dǎo)數(shù)只有實根。這個問題,我感到非常困難,然而,我將能夠解決非常簡單的一部分”。實際上,證明了如下定理。

        設(shè)整函數(shù)F(x)滿足條件:(1)F(x)的型有限;(2)F(x)的零點數(shù)有限;(3)F(x)各階導(dǎo)數(shù)的零點全為實數(shù),則F(x)∈LP。若F(x)滿足條件(1)和(2),F(xiàn)(x)=g(x)exp(H(x)),g(x)和H(x)為多項式,設(shè)H(x)的次數(shù)為m+1,則命題可以轉(zhuǎn)化為:若m+1≥3,F(xiàn)(x)=g(x)exp(H(x))及其導(dǎo)數(shù)有些非實根;若m+1=2,H(x)中x2的系數(shù)為正的,結(jié)論同樣成立。波利亞利用舒爾告知的微分多項式方法給出了簡要證明。

        波利亞的“整函數(shù)理論注釋”(1915)是其上文的擴(kuò)展。他在該文猜想,除去形如f(z)=aebz,f(z)=a(eicz–eid),(a,b,c,d為常數(shù),c,d為實數(shù),b為復(fù)數(shù))的函數(shù)外,所有整函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)只有實根一定為下列形式czrexp(-γ2z2+dz)Π(1-d nz)exp(d nz),其中除c外,所有常數(shù)都是實的,Σdn2收斂。并給出如下3個定理。

        定理1:F(x)為有限型,且只有有限個根,F(xiàn)(x)的各階導(dǎo)數(shù)無虛根,則F(x)為LP類函數(shù)或為F(z)=aebz(a,b為復(fù)數(shù))。

        定理2:若F(x)=g(x)exp(H(x)),g(x),H(x)為多項式,H(x)的次數(shù)至多為2,最高次的系數(shù)為正,則F(x)的各階導(dǎo)數(shù)從某階起至少有一對虛根。

        定理3:F(x)=g(x)exp(H(x)),g(x),H(x)為多項式,F(xiàn)(x)的各階導(dǎo)數(shù)只有實的非正根,則在給定g(x)和H(?x)為常數(shù)的情況下,H(x)=γx+δ,γ≥0,δ為常數(shù)。

        波利亞在假設(shè)整函數(shù)是有限型的,且只有有限個零點的情況下通過構(gòu)造多項式序列及其微分多項式巧妙地給出證明。

        2.2 波利亞后續(xù)的相關(guān)工作

        波利亞雖然未能證明自己提出的猜想,但在后續(xù)工作中亦對此有一定研究,得到一些重要結(jié)果,與之有關(guān)的論文是“具有三個零點的有限型整函數(shù)的確定”(1921),“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點”(1922),“傅里葉關(guān)于超越方程有關(guān)的一些問題”(1930),“某個整函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)零點的實性”(1937),“一個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點和其解析性”(1943)等。在“具有三個零點的有限型整函數(shù)的確定”及“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點”中,波利亞繼承了其在1914年、1915年上述論文中的思想,采用構(gòu)造輔助函數(shù)列的方法證明,當(dāng)f是一個實整函數(shù),且f,f?,f"無零點,則f是一個指數(shù)型函數(shù)。這一結(jié)果以各種方式被一般化,特別是柯達(dá)斯(G.Csordas),諾??耍═.Norfolk),瓦爾加(R.Varga)在1986年證明,若f,f?,f?,f?只有實根,則f或為指數(shù)類型函數(shù),或為波利亞-舒爾函數(shù),或為A(eicz-eid),A為常數(shù),c,d為實數(shù)[2]。海勒斯坦(S.Hellerstein)、陳(Li-Chien Shen)、威廉森(J.Williamson)1983年對亞純函數(shù)得到進(jìn)一步的結(jié)果[3]。

        波利亞在“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點”的注腳處指出,若g(z)為整函數(shù),且假設(shè)(1)g(z)和g(?z)無零點;(2)g(??z)至多有有限個非實根,則g(z)具有下列形式之一:g(z)=exp(az+b),a和b為常數(shù)或g(z)=exp[c+exp((iξz+η))],ξ,η為實常數(shù),c為常數(shù)。埃德雷在1955年的論文中推廣了上述定理。令g(z)為至多有有限個非實根,形如g(z)=P(z)eQ(z)的整函數(shù),Q(z)為任意整函數(shù),P(z)為有限階的整函數(shù)。方程g(z)=0,g(?z)=0,g(??z)=0除有限個零點外為實的,則Q(z)的階一定是實的,且不超過1。在該文中,波利亞引入了對于一個整函數(shù)或亞純函數(shù)關(guān)于連續(xù)階導(dǎo)數(shù)零點集的極限點集合的最后集概念,并確定亞純函數(shù)的最后集,最后集是一個多邊形,其頂點距離兩個最近的極點等距。確定整函數(shù)的最后集比較困難,對于一個拉蓋爾-波利亞類函數(shù),其階大于1,在實軸上取實值,以整個實軸為最后集似乎是成立的。在一些條件限制下,這個結(jié)果由陳1986年證明[4]。波利亞在“傅里葉關(guān)于超越方程有關(guān)的一些問題”中證明對于階小于2∕3的實整函數(shù),只有有限多個非實根,則零點幾乎全部是實的。威曼在1930年、1937年中改進(jìn)到階至多為1[5],波利亞在“某個整函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)零點的實性”中改進(jìn)到4∕3。在“一個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點和其解析性”中,波利亞考察了到1942年之前幾乎每個與之有關(guān)的問題,并進(jìn)一步指出,若階小于2的實整函數(shù)f只有有限多個非實根,則存在正整數(shù)m0,使得若m≥m0,f(m)只有實根。這個結(jié)果由柯瑞文(T.Craven),柯達(dá)斯,史密斯(W.Smith)在1987年[6]和同年的論文得到證明[7]。在證明過程中,詹森-納格-沃什定理起著重要作用。早在1836年,高斯在數(shù)學(xué)筆記中就對多項式導(dǎo)數(shù)的零點給出了物理解釋。1874年,拉卡奇(G.Lucás)闡述并證明了高斯-拉卡奇定理。該定理描述了復(fù)系數(shù)多項式的一個性質(zhì):多項式導(dǎo)數(shù)的零點一定在原多項式的零點所構(gòu)成的凸包內(nèi)。除了高斯-拉卡奇定理外,詹森(J.Jensen,1859—1925)在1913年發(fā)表了一個未證明的定理,基于詹森橢圓思想給出了實多項式導(dǎo)數(shù)零點更為準(zhǔn)確的信息。該定理的第一個證明由沃什(J.Walsh)1920年基于高斯-拉卡奇定理給出,納格(J.Nagy)1922年也給出證明。其實早在1914年,阿朗爾已有該定理的思想,并證明若 (fz)為有限階ρ=ρ(f)的整函數(shù),λ>ρ,w∈C,C為復(fù)數(shù)域,存在無窮多個正整數(shù)n,使得f(n)(zn)=0,則|zn-w|>(log2)n-1+1∕λ。阿朗爾1914年在威曼指導(dǎo)下完成博士論文《整函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點遷移》,對函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點問題進(jìn)行深入研究,先后發(fā)表與之有關(guān)的幾篇論文,主要結(jié)果和型是2,3,4,5的整函數(shù)及有理函數(shù)有關(guān),闡述了一些值得注意的觀點和猜想,以及一些啟發(fā)性研究的例子,對波利亞的研究有重要影響,這一點可從波利亞的“某類整函數(shù)幾乎所有導(dǎo)數(shù)的零點的實性”(1937)論文中看出。

        3 LP類函數(shù)猜想的影響

        3.1 LP類函數(shù)猜想的解決

        波利亞關(guān)于LP類猜想的工作在20世紀(jì)引起許多學(xué)者的關(guān)注,研究成果眾多。阿朗爾受威曼和波利亞影響,隨后發(fā)表了一些相關(guān)文章。阿朗爾在1914年[8]、1916年[9]證明,若f是整函數(shù),其階為 λ,型小于 σ,則(fz)=AzkeP(z)(1-z∕an)exp(z∕an+··+zq∕qaqn),A為常數(shù),k為非負(fù)整數(shù),P(z)為多項式,q為最小非負(fù)整數(shù)使Σ|an|-q-1<+∞。f的型 σ 是q和P(z)的次數(shù)的最大值,且滿足 σ≤λ≤σ+1。他于1922年引入一種整函數(shù)分類方法[10],對任意整數(shù)p>0,類V2p為g(z)exp(-az2p+2)構(gòu)成的集合,其中a≥0,g(z)為一個具有實根的實整函數(shù),且階至多為2p+1;類U2p由U0=V0,U2p=V2p/V2p-2,p≥1定義;由定義知U0=LP。阿朗爾證得,若f∈U2p,f?只有實根,則f"恰有2p個復(fù)根。

        需要指出的一點是,阿朗爾在該文中只對有限型的整函數(shù)研究了該定理,但勒文、奧斯特羅夫斯基(I.Ostrovskii)1960年論文的第324頁注腳1[11]、海勒斯坦、威廉森1975年論文第229頁注腳[12]和1977年的論文[13],坎貝爾(D.M.Campbell)、克拉尼(J.Clunie)、海曼(W.K.Hayman)在“在復(fù)分析中的研究問題”2.64問題中未有關(guān)于有限型的限制[14]。他在該文中稱可以將這個結(jié)果推廣到任意p。阿朗爾1923年將這個結(jié)果推廣到有限階的任意整函數(shù),并證明,若f是一個有限階的嚴(yán)格非實整函數(shù),f,f?,f?只有實根,則(fz)=aebz或 (fz)=A(eicz–eid)[15],詳細(xì)證明出現(xiàn)在海勒斯坦、威廉森的1975年論文中。

        然而波利亞1943年的論文中只提到了阿朗爾1914年、1916年的論文,并未提到1922年的論文。海勒斯坦向其老師埃德雷提出這個奇怪現(xiàn)象,引起埃德雷的注意。為回答埃德雷的疑問,波利亞在一封信中回應(yīng)稱,他注意到了阿朗爾1922年的論文,但文中的證明不能使他信服,且他也不能證明該證明是錯誤的。阿朗爾的證明涉及在U2p中與調(diào)和函數(shù)水平集有關(guān)的研究。

        薩克斯(W.Saxer)為波利亞的博士生,受波利亞工作的影響,于1923年利用威曼-瓦利龍法指出,若f為整函數(shù),且在假設(shè)f,f?,f"無零點的情況下,(fz)=P(z)exp(Q(z)),P(z),Q(z)為多項式[16]??扑垢瘢≒.Csillag)1935年在假設(shè)f,f(m),f(n)對某些m,n只有有限多個根時加強(qiáng)了薩克斯的上述定理,1≤m≤n[17]。薩克斯-科斯格定理后由圖目若(Y.Tumura)1937年推廣:令f(z)為一個無零點整函數(shù),且存在導(dǎo)數(shù)f(n)(z)(2≤n)不為0,則 (fz)=eaz+b[18]。海曼1959年在假設(shè)f和f"只有有限多個零點的情況下,將薩克斯的結(jié)果進(jìn)一步一般化。海曼提出是否他的結(jié)果同科斯格一樣,可以在只假設(shè)f,f(n)(n≥2)有有限多個根的情況下,一般化薩克斯的結(jié)果[19]??死?962年肯定回答了這個問題。克拉尼的證明基于早期由圖目若考慮的一類微分多項式的結(jié)果[20]。海勒斯坦、楊(C.Yang)1972年進(jìn)一步在半平面內(nèi)推廣了克拉尼定理[21]。

        LP類函數(shù)猜想第一個重要的進(jìn)步由勒文和奧斯特羅夫斯基在1960年上述論文中獲得。他們以整函數(shù)對數(shù)導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)證明,若f為無窮階的只有實根的實整函數(shù),則f"有無窮多個非實根。他們把對數(shù)導(dǎo)數(shù)表示成兩個函數(shù)的乘積,其中一個沒有極點,另一個將上半平面映射成自身。這種思想成為研究LP類函數(shù)猜想的基礎(chǔ)。勒文和奧斯特羅夫斯基在該文中另一貢獻(xiàn),是對來自半平面內(nèi)亞純函數(shù)值分布理論思想的運用。他們的思想和方法在整函數(shù)零點分布研究中起著關(guān)鍵性作用,并為后來學(xué)者廣泛使用。海勒斯坦1966年通過引入復(fù)數(shù)上A-集的概念,精確化了勒文和奧斯特羅夫斯基的相關(guān)結(jié)果[22]。

        海勒斯坦、威廉森利用函數(shù)對數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法在LP類函數(shù)猜想上取得重大成就,1975年證明,若f為有限階,且f,f?,f"只有實根,則LP類函數(shù)猜想成立。隨后,海勒斯坦、威廉森1977年對無窮階的情況證明了波利亞猜想。至此,LP類函數(shù)猜想完全解決。在證明LP類函數(shù)猜想的過程中,對于f為實的,且為有限階,海勒斯坦、威廉森發(fā)現(xiàn)了f的增長和f"的非實根數(shù)之間的關(guān)系,并為其后研究者使用。對于具有有限多個實根的實整函數(shù),貝韋勒(W.Berweiler)、甫士(W.Fuchs)在1993年證明,若f為實整函數(shù),且f,f"只有實根,則 (fx)屬于類LP[23]。

        3.2 LP類函數(shù)猜想的相關(guān)工作

        解決了LP類函數(shù)猜想后,許多學(xué)者開始研究整函數(shù)倒數(shù)的表示問題,并獲得一些重要成果。海勒斯坦、威廉森1977年證明,若f為實整函數(shù),連同其各階導(dǎo)數(shù)只有實的非正根,則(fz)=Ceaz,C和a為實常數(shù),或 (fz)=CzreazΠ(1+z∕|zn|),a≥0,Σ|zn|-1<∞[24]。海勒斯坦、威廉森1981年發(fā)現(xiàn)在f"的非實根和(1∕f)"的實根之間的關(guān)系,并證明,若F=1∕f,f為只有實根(至少有一個根)的有限階的實整函數(shù),F(xiàn)?,F(xiàn)"只有實根,則(fz)=(az+b)n,a為不等于0的實數(shù),n為正整數(shù)。此外,F(xiàn)"的實根數(shù)和f"的非實根數(shù)相等且有限[25]。羅西(J.Rossi)在威廉森指導(dǎo)下完成博士論文,受其工作影響,他于1982年將上述結(jié)果推廣到f為無窮階的情況[26]。

        海勒斯坦、陳、威廉森在1983的上述文章中考慮了嚴(yán)格非實整函數(shù)類,證明若f為整的嚴(yán)格非實函數(shù)(即不是一個實函數(shù)與一個常數(shù)之積),f,f?,f"只有實根,則:(1)若f為有限階的,f(z)=aebz或f(z)=a(eicz–eid),其中a不等于0,b,c,d為常數(shù),b為非實數(shù),c,d為實數(shù);(2)若f為無窮階的,則(fz)=aexp(e(icz+d))或 (fz)=Aexp{k[(icz+d)-e(icz+d)]},A不等于0,c,d為實數(shù),-∞<k≤-1∕4。他們在該文中還證明,若f為嚴(yán)格非實亞純函數(shù),且只有實極點,f,f?,f"只有實根,則 (fz)=Ae-(icz+d)∕sin(cz+d)或 (fz)=Aexp[-2(icz+d)-2exp2(icz+d)]∕sin(2cz+d),A為常數(shù),c,d為實數(shù)。他們的工作后由欣克內(nèi)(A.Hinkkanen)和羅西于1984年進(jìn)一步研究,科斯(W.Kohs)和威廉森1988年進(jìn)一步減弱了定理成立的條件。尼克斯(A.Nicks)2009年通過利用科斯和威廉森的有關(guān)方法將欣克內(nèi)和羅西的結(jié)果一般化[27]。

        對于實亞純函數(shù)f,使得f,f?,f"只有實根的一個完整特征由陳、威廉森、海勒斯坦1984年給出。設(shè)f是具有實根和實極點(每個至少有一個)的實亞純函數(shù),若f?無根,f"只有實根,則f為下列三種形式之一:(fz)=Atan(az+b),(fz)=(az+b)∕(cz+d),ad-bc≠0,(fz)=A(1-a(2z-b)-2),A,a,b,c,d為實常數(shù),A,a,c都不等于0。此外,若f是有限階,且f的極點為單重,則不需要對f"的零點進(jìn)行限制,且f為上述前兩式之一[28]??扑?986年去掉f?無零點的要求下證明了最后一式[29]。陳、威廉森、海勒斯坦在該文中還提出如下猜想,至今未能解決。設(shè)f是非有理實亞純函數(shù),只有單重實極點,若f,f?,f"只有實根,則f(z)=A[tan(az+b)-(cz+d)],A,a都不等于0,c,d為適當(dāng)選擇的實常數(shù)。

        希爾司馬(T.Sheil-Small)1989年通過構(gòu)造輔助函數(shù),且研究這些函數(shù)水平線的方法證明,若f∈U2p,則f"至少有2p個非實根[30]。同年,他利用上文中有關(guān)結(jié)果得到如下定理:令f為至多有有限個實零點的有限階的整函數(shù),假設(shè)f"無非實根,則f(z)=eb+az,a,b為常數(shù),或存在實常數(shù)θ,使得f(z)=eiθg(z),其中g(shù)(z)∈LP[31]。2002年愛德華茲(S.Edwards)、海勒斯坦將希爾司馬的結(jié)果推廣到具有有限多個非實根的實整函數(shù),引入實整函數(shù)的另一類U2p*,其為f=Pf0的集合,f0∈U2p,P為實多項式。每個有限階的具有有限多個非實根的實整函數(shù)屬于U*。f∈U*當(dāng)且僅當(dāng)f=c(z)g(z),g(z)∈U,c(z)為無實根的實多項式。

        2p2p2p

        愛 德 華 茲 和 海 勒 斯 坦 證 明 ,若f∈U2p*,則2p為f(k)的 非 實 根 數(shù) 的 下 界 ,k≥2[32]。 貝 韋 勒 、赫 曼(A.Eremenko)、蘭利(J.K.Langley)2003年推廣到無窮階的函數(shù),即對每個無窮階的實整函數(shù),f,f?有無窮多個非實根。蘭利2005年證明,若f為平面內(nèi)無窮階的實亞純函數(shù),且f有有限個極點,則f和f(k)至少一個有許多非實根,k≥3。其結(jié)果和愛德華茲、海勒斯坦的結(jié)果相結(jié)合,證明了類似的LP類函數(shù)猜想。若f為實整函數(shù),f,f(k)只有實根,k≥3,則f∈LP。2009年蘭利確定了在平面內(nèi)所有實亞純函數(shù)的形式,使得f?有有限個零點,而f,f(k)有限個非實根,k≥2。2011年證明,若f為平面內(nèi)無窮階的實亞純函數(shù),具有有限多個根和非實根,則f"有無窮多個非實根[33]。

        在LP類函數(shù)猜想的影響下,2012年尼克斯給出了一個實整函數(shù)屬于類LP或類U*之一的條件。他

        2p證明,若f為一個實整函數(shù),M>0,1≤j<k,設(shè)f,f(j),f(k)的非實根有有限的收斂指數(shù),f的零點重數(shù)至少為k,至多為M,則f∈LP,且f(m)的所有零點為實的,m≥0。利用這個結(jié)果,蘭利證明,若f為實整函數(shù),f和f(n)只有非正實根,則 (fz)=ceaz,a為實數(shù),或f∈LP。在這個假設(shè)中,條件f(n)不能弱化為對一些N只有非正實根,n=1,2,···,N。在尼克斯的證明過程中用到了與埃德雷有關(guān)的一個定理:令 (fz)=exp(-rz2)G(z),r>0,G(z)∈LP,且型小于等于1,則f連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點在實軸上幾乎處處稠密。尼克斯給出一個實函數(shù)屬于LP或U2p*的條件,這些條件涉及f或其導(dǎo)數(shù)或ff?-a(f)?2非實根的探討,a為參數(shù)[34]。2019年蘭利又證明,若f為具有有限多個非實根的無窮階的實整函數(shù),a為正實數(shù),則f"+af有無窮多個非實根[35]。

        4 結(jié)語

        波利亞關(guān)于LP類函數(shù)猜想的工作,不僅豐富了整函數(shù)零點理論的內(nèi)容,產(chǎn)生許多重要結(jié)果,而且在證明的過程中出現(xiàn)一些重要思想和方法,如函數(shù)對數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法和零點的最后集思想。在證明波利亞猜想的過程中,許多學(xué)者都是師生關(guān)系,如阿朗爾為威曼的學(xué)生,海勒斯坦為埃德雷的學(xué)生,尼克斯為蘭利的學(xué)生等,可見學(xué)術(shù)傳承在數(shù)學(xué)研究中的重要性。

        此外,許多學(xué)者如科雷瓦(J.Korevaar)、蘭利、蘇亞雷斯(D.Suárez)等人把LP類函數(shù)的概念一般化[36],勒文在“LP類的整函數(shù)”(1984)中引入了另一類類似于LP類的整函數(shù),并得到與LP類函數(shù)猜想相似的結(jié)果[37]??逻_(dá)斯等人1989年從積分變換的角度[38]、柯(H.Ki)和柯姆(Y.O.Kim)2016年從微分算子的角度[39]更廣泛的研究了LP類函數(shù)的性質(zhì);德米特里(K.Dimitrov)和謝赫(Y.B.Cheikh)2009年探討了詹森多項式和LP類函數(shù)的關(guān)系,以此為據(jù)給出貝塞爾函數(shù)的零點為實的一個簡短優(yōu)美的證明[40]。

        1914年波利亞和舒爾證明,實序列{γn}為乘積序列當(dāng)且僅當(dāng)∑γnzn∕n!在類LP中表示一個整函數(shù)。特別是,{γn}為型是1的序列乘積,當(dāng)且僅當(dāng)∑γnzn∕n!表示在Lp1類中的一個整函數(shù)。其實,拉蓋爾早在1881年就已經(jīng)給出了一個在LP類中整函數(shù)參數(shù)族的例子φ(z)=∑cos(ψ+nθ)zn∕n!,對某個參數(shù)θ選擇,其系數(shù)符號形成一個非規(guī)則序列。因此,給定一個具有邁克勞林級數(shù)φ(z)=∑anzn的實整函數(shù),如何利用系數(shù)序列{an}給出保證φ∈LP的條件,是德米特里和奧利讓(W.D.Oliveira)2016年研究的問題,并建立了一些重要定理[41]。

        猜你喜歡
        波利亞實根勒斯
        北京酷勒斯技術(shù)發(fā)展有限公司
        波利亞的“解題表”
        北京酷勒斯技術(shù)發(fā)展有限公司
        解一元二次方程中的誤點例析
        ex≥x+1與lnx≤x-1的應(yīng)用
        高考·上(2019年4期)2019-09-10 02:55:41
        波利亞——本老師不是變態(tài)
        百科知識(2018年18期)2018-09-12 18:52:52
        論索福克勒斯悲劇中的孤獨意識
        《蠅王》中菲勒斯的否定與消解
        關(guān)于四奇數(shù)平方和問題
        二次函數(shù)迭代的一個問題的探究
        国产黑色丝袜在线观看网站91 | 97色伦综合在线欧美视频| 国产精品久久久久久妇女6080| 在线观看国产三级av| 国内精品少妇久久精品| 久久精品第九区免费观看| 国产成人综合久久亚洲精品| 国产一区曰韩二区欧美三区| 台湾佬中文偷拍亚洲综合| 91色区在线免费观看国产| 国产午夜福利久久精品| 少妇高潮惨叫喷水在线观看| 日韩中文字幕无码av| 一级老熟女免费黄色片| 精品国产这么小也不放过| 国产mv在线天堂mv免费观看| 四虎成人精品国产永久免费| 精品国产一区二区三区香| 九色综合九色综合色鬼| 四虎影视一区二区精品| 久久久国产精品粉嫩av| 精品在线观看一区二区视频| 人妻夜夜爽天天爽三区麻豆av网站| 亚洲一区中文字幕在线电影网 | 伊人久久大香线蕉av波多野结衣| 亚洲欧美日韩中文在线制服| 人妻人妻少妇在线系列| 日本女优久久精品观看| 亚洲va韩国va欧美va| 国产农村妇女高潮大叫| 色琪琪一区二区三区亚洲区| 成年人干逼视频水好多| 国产女人水真多18毛片18精品| 一级片久久| 亚洲人妻精品一区二区三区| 久久国产人妻一区二区| 天天躁日日躁狠狠躁人妻| 亚洲女同系列高清在线观看| 精品亚洲一区二区三区四区五| 精品淑女少妇av久久免费| 五月婷婷激情六月|