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        波利亞在LP類函數(shù)猜想上的工作

        2021-12-31 20:28:54王全來(lái)
        關(guān)鍵詞:波利亞實(shí)根勒斯

        王全來(lái)

        (天津師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,天津300387)

        整函數(shù)零點(diǎn)分布的研究是數(shù)學(xué)分析研究中一個(gè)重要領(lǐng)域,整函數(shù)中一重要類是拉蓋爾-波利亞類函數(shù)(簡(jiǎn)記為L(zhǎng)P類)。該類函數(shù)首先由拉蓋爾(E.Laguerre,1834—1886)在1882年研究①為了節(jié)省篇幅,本文涉及拉蓋爾的學(xué)術(shù)論文可參見(jiàn)其數(shù)學(xué)全集,不再進(jìn)行標(biāo)注。。由于這個(gè)主題與黎曼猜想有一定關(guān)系,故吸引了許多大數(shù)學(xué)家如胡爾維茲(A.Hurwitz,1859—1919),波利亞(G.Pólya,1887—1985),布呂恩(de Bruijn),埃德雷(A.Edrei)等人的興趣。1859年,黎曼(B.Riemann,1826—1866)將素?cái)?shù)分布問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)問(wèn)題,現(xiàn)稱為黎曼zeta函數(shù)ζ(s)。黎曼猜想是指ζ(s)的所有非實(shí)根位于臨界線上。設(shè)ξ(s)=s(s-1)π-s/2Γ(s/2)?(s)/2,則ξ(iz+1∕2)是型為1的偶整函數(shù),且若z取實(shí)值,則該函數(shù)取實(shí)值。黎曼猜想暗示ξ(s)的零點(diǎn)有實(shí)部1∕2,故ξ(iz+1∕2)屬于LP類函數(shù)。對(duì)于ξ(s)研究激起了對(duì)LP類函數(shù)性質(zhì)的探討。波利亞在“只具實(shí)根的三角積分”,勒文(B.Levin)在1980年再版的“整函數(shù)零點(diǎn)分布”第八章中指出,若黎曼猜想成立,則ξ(s)屬于LP類函數(shù)。

        一個(gè)整函數(shù)屬于LP類當(dāng)且僅當(dāng)f(z)=exp(-γz2+βz+α)zmΠ(1-z∕zn)exp(z∕zn),zn,α,β為實(shí)數(shù),γ≤0,m為正整數(shù),Σ|zn|-2收斂。LP類函數(shù)在卷積變換理論,變差變換理論,樣條函數(shù)插值理論等有重要應(yīng)用。該類函數(shù)在理論和應(yīng)用上的研究依舊活躍,且在分析的許多方面扮演著重要角色。關(guān)于LP類函數(shù)猜想的歷史研究文章目前國(guó)內(nèi)外尚未見(jiàn)到,本文將詳細(xì)研究這一歷史發(fā)展,以補(bǔ)現(xiàn)有文獻(xiàn)不足。

        1 波利亞提出猜想的工作背景

        1.1 波利亞之前一些學(xué)者的工作

        魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass,1815—1897)關(guān)于整函數(shù)展成無(wú)窮乘積的因子定理對(duì)于整函數(shù)性質(zhì)和零點(diǎn)分布的研究有重要作用,在復(fù)函數(shù)理論中開(kāi)創(chuàng)了新篇章。幾乎所有關(guān)于整函數(shù)理論的文獻(xiàn)第一部分都以魏爾斯特拉斯因子定理開(kāi)始,足見(jiàn)其影響。拉蓋爾從1882年開(kāi)始發(fā)表了一些與魏爾斯特拉斯因子定理有關(guān)的論文,給出了整函數(shù)的一些重要概念和性質(zhì),其中就有型的引入。整函數(shù)的型和階是該理論的兩個(gè)最基本概念。龐加萊(H.Poincaré,1854—1912)、阿達(dá)瑪(J.Adamard,1865—1963)、皮卡(E.Picard,1856—1941)、波萊爾(E.Borel,1871—1956)等人依據(jù)整函數(shù)階的概念探討了整函數(shù)的一些問(wèn)題,其中包括整函數(shù)的增長(zhǎng)和零點(diǎn)分布之關(guān)系的問(wèn)題。拉蓋爾的大部分工作是研究型為0和1的整函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)分布。

        由冪級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)表明一個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí),任一個(gè)整函數(shù)為多項(xiàng)式序列的極限,該序列在每個(gè)有界區(qū)域內(nèi)一致收斂。若附加多項(xiàng)式序列一致收斂于一個(gè)其零點(diǎn)屬于某一集合的整函數(shù)的條件,則極限函數(shù)依賴于該集合形成一個(gè)特殊類。拉蓋爾在這個(gè)方向上區(qū)分了兩種情況。第一種,在其中這些多項(xiàng)式的零點(diǎn)都是正的;第二種,在其中這些零點(diǎn)都是實(shí)的。遺憾的是,拉蓋爾對(duì)第二種情況沒(méi)有給出證明,波利亞在1913年給出證明。這樣的多項(xiàng)式序列更全面的考察由林德瓦特(E.Lindwart)和波利亞在1914年進(jìn)行探討。

        1.2 波利亞的早期工作

        波利亞特別喜歡整函數(shù)和用多項(xiàng)式逼近整函數(shù)的零點(diǎn)集的性質(zhì)有關(guān)的定理①為了節(jié)省篇幅,本文涉及波利亞的學(xué)術(shù)論文可參見(jiàn)其數(shù)學(xué)全集,不再進(jìn)行標(biāo)注。。波利亞在“利用具有全部實(shí)根的多項(xiàng)式逼近”(1913)、“全部根落在一個(gè)角形域內(nèi)的多項(xiàng)式逼近”(1913)及“根與多項(xiàng)式序列收斂之關(guān)系”(1914)中研究了整函數(shù) (fz)的特征,多項(xiàng)式序列{f(nz)}在D內(nèi)一致收斂于 (fz),當(dāng)每個(gè)f(nz)的全部根αnk位于給定的集合T內(nèi)或當(dāng)對(duì)αnk指定某個(gè)收斂指數(shù)k(即∑|αnk|-k≤M)一般化了拉蓋爾的早期結(jié)果。波利亞后來(lái)的大部分工作起源于此。波利亞在“利用具有全部實(shí)根的多項(xiàng)式的逼近”(1913)中證明,若αnk是實(shí)的,則 (fz)=exp(az2+b)Φ(z),其中 Φ(z)為型是0或1的整函數(shù),a,b為實(shí)數(shù),a≤0。在“根與多項(xiàng)式序列收斂之關(guān)系”(1914)中證明,若指數(shù)k為給定整數(shù),則f(z)=exp(bz)Φ(z),Φ(z)為型是k-1的整函數(shù)。受這些文章激勵(lì),其他學(xué)者從不同的區(qū)域和集合T研究了類似問(wèn)題。

        在拉蓋爾、阿達(dá)瑪?shù)热斯ぷ骰A(chǔ)上,波利亞和舒爾(I.Schur,1875—1941)在開(kāi)創(chuàng)性的論文“在代數(shù)方程理論中的兩類因子序列”(1914)中把LP類函數(shù)特征化。他們證明所有把具有實(shí)根的多項(xiàng)式變?yōu)榫哂袑?shí)根的多項(xiàng)式的乘積序列可由特殊類型的整函數(shù)產(chǎn)生。這些函數(shù)現(xiàn)在被稱為波利亞-舒爾函數(shù)或拉蓋爾-波利亞類函數(shù)。乘積序列理論始于拉蓋爾的工作,深化于波利亞和舒爾的開(kāi)創(chuàng)性工作。波利亞和舒爾指出,實(shí)序列T={γk}使得,若一個(gè)多項(xiàng)式p(x)=∑akx k只有實(shí)根,則多項(xiàng)式T[p(x)]=T[∑akxk]=∑γk akxk也只有實(shí)根,γk為實(shí)數(shù)。以此揭示了LP類函數(shù)的一些重要性質(zhì)。

        令Ψ(s)=∑(βjsj)∕j!為一個(gè)整函數(shù),則下面性質(zhì)等價(jià):(1)Ψ屬于LP類;(2)Ψ可在緊致集上利用只具有實(shí)根的多項(xiàng)式p(nx)=∑βjcjnx j,q(nx)=∑βjcjnx n-j一致逼近;(3)若p(x)=∑Cjx j是一個(gè)只具有非正實(shí)根的多項(xiàng)式,則q(x)=∑βj Cjxj只有實(shí)根。對(duì)形式冪級(jí)數(shù)F(s)~∑akxk,F(xiàn)(D)p(x)=∑akDkp(x),其中D=d∕dx,上述結(jié)論也成立。波利亞在“關(guān)于型為0和1的整函數(shù)的代數(shù)研究”(1915)中指出,假設(shè)Ψ(s)屬于LP類,Ψ(0)>0,Ψ(s)≠eas+b,1∕Ψ(s)有泰勒展開(kāi)∑(βjsj)∕j!,則由此確定的漢克爾矩陣為正定的。設(shè)p→(1∕Ψ(D))p為零點(diǎn)減少的變換,p(x)=(∑aj xj)2,通過(guò)計(jì)算(1∕Ψ(D))p,得到了屬于LP類函數(shù)的一些必要條件。然而,漢克爾矩陣的正定性對(duì)Ψ(s)屬于LP類不是充分的,由漢伯格爾(H.Hamburger)在“關(guān)于波利亞所提問(wèn)題的注釋”(1920)中證明。這些工作為波利亞提出其猜想奠定了基礎(chǔ)。

        2 波利亞在LP類函數(shù)猜想上的工作

        2.1 LP類函數(shù)猜想的提出

        在多項(xiàng)式和超越整函數(shù)零點(diǎn)分布理論中,考慮施于微分運(yùn)算的整函數(shù)零點(diǎn)將如何變化的一般性問(wèn)題,波利亞做出許多貢獻(xiàn),其中之一是提出LP類函數(shù)的有關(guān)猜想。LP類函數(shù)在微分運(yùn)算下保持封閉,故屬于LP類函數(shù),其任意階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)根。一個(gè)函數(shù)在何種條件下為L(zhǎng)P類函數(shù)呢?對(duì)于該問(wèn)題涉及較早的是數(shù)學(xué)家威曼(A.Wiman)。據(jù)威曼的學(xué)生阿朗爾(M.?lander)在其博士論文中稱,威曼在1911年曾猜想,若(fx)為實(shí)整函數(shù)②在實(shí)軸上取實(shí)值的整函數(shù)稱為實(shí)整函數(shù)。,且 (fx)和二階導(dǎo)數(shù)f(??x)只有實(shí)根,則 (fx)屬于LP類。威曼關(guān)于整函數(shù)的首篇論文處理了米塔格-萊夫勒函數(shù)E(αz)=∑zn∕Γ(αn+1)的零點(diǎn)問(wèn)題,與魏爾斯特拉斯因子定理有關(guān),這可能是其提出該猜想的重要原因。威曼的猜想暗示如下結(jié)果,“若一個(gè)超越實(shí)整函數(shù)和其二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)的,則所有導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)位于實(shí)軸上”。

        在定理中假設(shè)(fx)為實(shí)整函數(shù)是該猜想的最基本要求,這一點(diǎn)由波利亞的學(xué)生埃德雷在1955年通過(guò)例子 (fz)=exp(exp(iz))說(shuō)明[1]。波利亞1914年前往瑞士蘇黎世,在此期間,他研究的問(wèn)題之一是整函數(shù)的性質(zhì)和逼近于整函數(shù)多項(xiàng)式零點(diǎn)集性質(zhì)之間的聯(lián)系。他和胡爾維茲經(jīng)常探討這方面的學(xué)術(shù)問(wèn)題,為波利亞深入研究波利亞-舒爾函數(shù)或拉蓋爾-波利亞函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。

        波利亞在“關(guān)于整函數(shù)的一個(gè)問(wèn)題”(1914)中提出一個(gè)比威曼猜想稍弱的猜想,指出若(fx)為實(shí)整函數(shù),且它同其各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)根,則(fx)應(yīng)屬于LP類函數(shù)。該問(wèn)題現(xiàn)被稱為波利亞猜想。波利亞在該文開(kāi)篇提到了LP類函數(shù)的性質(zhì),隨后指出,“是否存在其它函數(shù),其和它的各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)根。這個(gè)問(wèn)題,我感到非常困難,然而,我將能夠解決非常簡(jiǎn)單的一部分”。實(shí)際上,證明了如下定理。

        設(shè)整函數(shù)F(x)滿足條件:(1)F(x)的型有限;(2)F(x)的零點(diǎn)數(shù)有限;(3)F(x)各階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)全為實(shí)數(shù),則F(x)∈LP。若F(x)滿足條件(1)和(2),F(xiàn)(x)=g(x)exp(H(x)),g(x)和H(x)為多項(xiàng)式,設(shè)H(x)的次數(shù)為m+1,則命題可以轉(zhuǎn)化為:若m+1≥3,F(xiàn)(x)=g(x)exp(H(x))及其導(dǎo)數(shù)有些非實(shí)根;若m+1=2,H(x)中x2的系數(shù)為正的,結(jié)論同樣成立。波利亞利用舒爾告知的微分多項(xiàng)式方法給出了簡(jiǎn)要證明。

        波利亞的“整函數(shù)理論注釋”(1915)是其上文的擴(kuò)展。他在該文猜想,除去形如f(z)=aebz,f(z)=a(eicz–eid),(a,b,c,d為常數(shù),c,d為實(shí)數(shù),b為復(fù)數(shù))的函數(shù)外,所有整函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)根一定為下列形式czrexp(-γ2z2+dz)Π(1-d nz)exp(d nz),其中除c外,所有常數(shù)都是實(shí)的,Σdn2收斂。并給出如下3個(gè)定理。

        定理1:F(x)為有限型,且只有有限個(gè)根,F(xiàn)(x)的各階導(dǎo)數(shù)無(wú)虛根,則F(x)為L(zhǎng)P類函數(shù)或?yàn)镕(z)=aebz(a,b為復(fù)數(shù))。

        定理2:若F(x)=g(x)exp(H(x)),g(x),H(x)為多項(xiàng)式,H(x)的次數(shù)至多為2,最高次的系數(shù)為正,則F(x)的各階導(dǎo)數(shù)從某階起至少有一對(duì)虛根。

        定理3:F(x)=g(x)exp(H(x)),g(x),H(x)為多項(xiàng)式,F(xiàn)(x)的各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)的非正根,則在給定g(x)和H(?x)為常數(shù)的情況下,H(x)=γx+δ,γ≥0,δ為常數(shù)。

        波利亞在假設(shè)整函數(shù)是有限型的,且只有有限個(gè)零點(diǎn)的情況下通過(guò)構(gòu)造多項(xiàng)式序列及其微分多項(xiàng)式巧妙地給出證明。

        2.2 波利亞后續(xù)的相關(guān)工作

        波利亞雖然未能證明自己提出的猜想,但在后續(xù)工作中亦對(duì)此有一定研究,得到一些重要結(jié)果,與之有關(guān)的論文是“具有三個(gè)零點(diǎn)的有限型整函數(shù)的確定”(1921),“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1922),“傅里葉關(guān)于超越方程有關(guān)的一些問(wèn)題”(1930),“某個(gè)整函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的實(shí)性”(1937),“一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和其解析性”(1943)等。在“具有三個(gè)零點(diǎn)的有限型整函數(shù)的確定”及“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”中,波利亞繼承了其在1914年、1915年上述論文中的思想,采用構(gòu)造輔助函數(shù)列的方法證明,當(dāng)f是一個(gè)實(shí)整函數(shù),且f,f?,f"無(wú)零點(diǎn),則f是一個(gè)指數(shù)型函數(shù)。這一結(jié)果以各種方式被一般化,特別是柯達(dá)斯(G.Csordas),諾福克(T.Norfolk),瓦爾加(R.Varga)在1986年證明,若f,f?,f?,f?只有實(shí)根,則f或?yàn)橹笖?shù)類型函數(shù),或?yàn)椴ɡ麃?舒爾函數(shù),或?yàn)锳(eicz-eid),A為常數(shù),c,d為實(shí)數(shù)[2]。海勒斯坦(S.Hellerstein)、陳(Li-Chien Shen)、威廉森(J.Williamson)1983年對(duì)亞純函數(shù)得到進(jìn)一步的結(jié)果[3]。

        波利亞在“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”的注腳處指出,若g(z)為整函數(shù),且假設(shè)(1)g(z)和g(?z)無(wú)零點(diǎn);(2)g(??z)至多有有限個(gè)非實(shí)根,則g(z)具有下列形式之一:g(z)=exp(az+b),a和b為常數(shù)或g(z)=exp[c+exp((iξz+η))],ξ,η為實(shí)常數(shù),c為常數(shù)。埃德雷在1955年的論文中推廣了上述定理。令g(z)為至多有有限個(gè)非實(shí)根,形如g(z)=P(z)eQ(z)的整函數(shù),Q(z)為任意整函數(shù),P(z)為有限階的整函數(shù)。方程g(z)=0,g(?z)=0,g(??z)=0除有限個(gè)零點(diǎn)外為實(shí)的,則Q(z)的階一定是實(shí)的,且不超過(guò)1。在該文中,波利亞引入了對(duì)于一個(gè)整函數(shù)或亞純函數(shù)關(guān)于連續(xù)階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)集的極限點(diǎn)集合的最后集概念,并確定亞純函數(shù)的最后集,最后集是一個(gè)多邊形,其頂點(diǎn)距離兩個(gè)最近的極點(diǎn)等距。確定整函數(shù)的最后集比較困難,對(duì)于一個(gè)拉蓋爾-波利亞類函數(shù),其階大于1,在實(shí)軸上取實(shí)值,以整個(gè)實(shí)軸為最后集似乎是成立的。在一些條件限制下,這個(gè)結(jié)果由陳1986年證明[4]。波利亞在“傅里葉關(guān)于超越方程有關(guān)的一些問(wèn)題”中證明對(duì)于階小于2∕3的實(shí)整函數(shù),只有有限多個(gè)非實(shí)根,則零點(diǎn)幾乎全部是實(shí)的。威曼在1930年、1937年中改進(jìn)到階至多為1[5],波利亞在“某個(gè)整函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的實(shí)性”中改進(jìn)到4∕3。在“一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和其解析性”中,波利亞考察了到1942年之前幾乎每個(gè)與之有關(guān)的問(wèn)題,并進(jìn)一步指出,若階小于2的實(shí)整函數(shù)f只有有限多個(gè)非實(shí)根,則存在正整數(shù)m0,使得若m≥m0,f(m)只有實(shí)根。這個(gè)結(jié)果由柯瑞文(T.Craven),柯達(dá)斯,史密斯(W.Smith)在1987年[6]和同年的論文得到證明[7]。在證明過(guò)程中,詹森-納格-沃什定理起著重要作用。早在1836年,高斯在數(shù)學(xué)筆記中就對(duì)多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)給出了物理解釋。1874年,拉卡奇(G.Lucás)闡述并證明了高斯-拉卡奇定理。該定理描述了復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的一個(gè)性質(zhì):多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)一定在原多項(xiàng)式的零點(diǎn)所構(gòu)成的凸包內(nèi)。除了高斯-拉卡奇定理外,詹森(J.Jensen,1859—1925)在1913年發(fā)表了一個(gè)未證明的定理,基于詹森橢圓思想給出了實(shí)多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)更為準(zhǔn)確的信息。該定理的第一個(gè)證明由沃什(J.Walsh)1920年基于高斯-拉卡奇定理給出,納格(J.Nagy)1922年也給出證明。其實(shí)早在1914年,阿朗爾已有該定理的思想,并證明若 (fz)為有限階ρ=ρ(f)的整函數(shù),λ>ρ,w∈C,C為復(fù)數(shù)域,存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n,使得f(n)(zn)=0,則|zn-w|>(log2)n-1+1∕λ。阿朗爾1914年在威曼指導(dǎo)下完成博士論文《整函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)遷移》,對(duì)函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行深入研究,先后發(fā)表與之有關(guān)的幾篇論文,主要結(jié)果和型是2,3,4,5的整函數(shù)及有理函數(shù)有關(guān),闡述了一些值得注意的觀點(diǎn)和猜想,以及一些啟發(fā)性研究的例子,對(duì)波利亞的研究有重要影響,這一點(diǎn)可從波利亞的“某類整函數(shù)幾乎所有導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)的實(shí)性”(1937)論文中看出。

        3 LP類函數(shù)猜想的影響

        3.1 LP類函數(shù)猜想的解決

        波利亞關(guān)于LP類猜想的工作在20世紀(jì)引起許多學(xué)者的關(guān)注,研究成果眾多。阿朗爾受威曼和波利亞影響,隨后發(fā)表了一些相關(guān)文章。阿朗爾在1914年[8]、1916年[9]證明,若f是整函數(shù),其階為 λ,型小于 σ,則(fz)=AzkeP(z)(1-z∕an)exp(z∕an+··+zq∕qaqn),A為常數(shù),k為非負(fù)整數(shù),P(z)為多項(xiàng)式,q為最小非負(fù)整數(shù)使Σ|an|-q-1<+∞。f的型 σ 是q和P(z)的次數(shù)的最大值,且滿足 σ≤λ≤σ+1。他于1922年引入一種整函數(shù)分類方法[10],對(duì)任意整數(shù)p>0,類V2p為g(z)exp(-az2p+2)構(gòu)成的集合,其中a≥0,g(z)為一個(gè)具有實(shí)根的實(shí)整函數(shù),且階至多為2p+1;類U2p由U0=V0,U2p=V2p/V2p-2,p≥1定義;由定義知U0=LP。阿朗爾證得,若f∈U2p,f?只有實(shí)根,則f"恰有2p個(gè)復(fù)根。

        需要指出的一點(diǎn)是,阿朗爾在該文中只對(duì)有限型的整函數(shù)研究了該定理,但勒文、奧斯特羅夫斯基(I.Ostrovskii)1960年論文的第324頁(yè)注腳1[11]、海勒斯坦、威廉森1975年論文第229頁(yè)注腳[12]和1977年的論文[13],坎貝爾(D.M.Campbell)、克拉尼(J.Clunie)、海曼(W.K.Hayman)在“在復(fù)分析中的研究問(wèn)題”2.64問(wèn)題中未有關(guān)于有限型的限制[14]。他在該文中稱可以將這個(gè)結(jié)果推廣到任意p。阿朗爾1923年將這個(gè)結(jié)果推廣到有限階的任意整函數(shù),并證明,若f是一個(gè)有限階的嚴(yán)格非實(shí)整函數(shù),f,f?,f?只有實(shí)根,則(fz)=aebz或 (fz)=A(eicz–eid)[15],詳細(xì)證明出現(xiàn)在海勒斯坦、威廉森的1975年論文中。

        然而波利亞1943年的論文中只提到了阿朗爾1914年、1916年的論文,并未提到1922年的論文。海勒斯坦向其老師埃德雷提出這個(gè)奇怪現(xiàn)象,引起埃德雷的注意。為回答埃德雷的疑問(wèn),波利亞在一封信中回應(yīng)稱,他注意到了阿朗爾1922年的論文,但文中的證明不能使他信服,且他也不能證明該證明是錯(cuò)誤的。阿朗爾的證明涉及在U2p中與調(diào)和函數(shù)水平集有關(guān)的研究。

        薩克斯(W.Saxer)為波利亞的博士生,受波利亞工作的影響,于1923年利用威曼-瓦利龍法指出,若f為整函數(shù),且在假設(shè)f,f?,f"無(wú)零點(diǎn)的情況下,(fz)=P(z)exp(Q(z)),P(z),Q(z)為多項(xiàng)式[16]??扑垢瘢≒.Csillag)1935年在假設(shè)f,f(m),f(n)對(duì)某些m,n只有有限多個(gè)根時(shí)加強(qiáng)了薩克斯的上述定理,1≤m≤n[17]。薩克斯-科斯格定理后由圖目若(Y.Tumura)1937年推廣:令f(z)為一個(gè)無(wú)零點(diǎn)整函數(shù),且存在導(dǎo)數(shù)f(n)(z)(2≤n)不為0,則 (fz)=eaz+b[18]。海曼1959年在假設(shè)f和f"只有有限多個(gè)零點(diǎn)的情況下,將薩克斯的結(jié)果進(jìn)一步一般化。海曼提出是否他的結(jié)果同科斯格一樣,可以在只假設(shè)f,f(n)(n≥2)有有限多個(gè)根的情況下,一般化薩克斯的結(jié)果[19]。克拉尼1962年肯定回答了這個(gè)問(wèn)題。克拉尼的證明基于早期由圖目若考慮的一類微分多項(xiàng)式的結(jié)果[20]。海勒斯坦、楊(C.Yang)1972年進(jìn)一步在半平面內(nèi)推廣了克拉尼定理[21]。

        LP類函數(shù)猜想第一個(gè)重要的進(jìn)步由勒文和奧斯特羅夫斯基在1960年上述論文中獲得。他們以整函數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)證明,若f為無(wú)窮階的只有實(shí)根的實(shí)整函數(shù),則f"有無(wú)窮多個(gè)非實(shí)根。他們把對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)表示成兩個(gè)函數(shù)的乘積,其中一個(gè)沒(méi)有極點(diǎn),另一個(gè)將上半平面映射成自身。這種思想成為研究LP類函數(shù)猜想的基礎(chǔ)。勒文和奧斯特羅夫斯基在該文中另一貢獻(xiàn),是對(duì)來(lái)自半平面內(nèi)亞純函數(shù)值分布理論思想的運(yùn)用。他們的思想和方法在整函數(shù)零點(diǎn)分布研究中起著關(guān)鍵性作用,并為后來(lái)學(xué)者廣泛使用。海勒斯坦1966年通過(guò)引入復(fù)數(shù)上A-集的概念,精確化了勒文和奧斯特羅夫斯基的相關(guān)結(jié)果[22]。

        海勒斯坦、威廉森利用函數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法在LP類函數(shù)猜想上取得重大成就,1975年證明,若f為有限階,且f,f?,f"只有實(shí)根,則LP類函數(shù)猜想成立。隨后,海勒斯坦、威廉森1977年對(duì)無(wú)窮階的情況證明了波利亞猜想。至此,LP類函數(shù)猜想完全解決。在證明LP類函數(shù)猜想的過(guò)程中,對(duì)于f為實(shí)的,且為有限階,海勒斯坦、威廉森發(fā)現(xiàn)了f的增長(zhǎng)和f"的非實(shí)根數(shù)之間的關(guān)系,并為其后研究者使用。對(duì)于具有有限多個(gè)實(shí)根的實(shí)整函數(shù),貝韋勒(W.Berweiler)、甫士(W.Fuchs)在1993年證明,若f為實(shí)整函數(shù),且f,f"只有實(shí)根,則 (fx)屬于類LP[23]。

        3.2 LP類函數(shù)猜想的相關(guān)工作

        解決了LP類函數(shù)猜想后,許多學(xué)者開(kāi)始研究整函數(shù)倒數(shù)的表示問(wèn)題,并獲得一些重要成果。海勒斯坦、威廉森1977年證明,若f為實(shí)整函數(shù),連同其各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)的非正根,則(fz)=Ceaz,C和a為實(shí)常數(shù),或 (fz)=CzreazΠ(1+z∕|zn|),a≥0,Σ|zn|-1<∞[24]。海勒斯坦、威廉森1981年發(fā)現(xiàn)在f"的非實(shí)根和(1∕f)"的實(shí)根之間的關(guān)系,并證明,若F=1∕f,f為只有實(shí)根(至少有一個(gè)根)的有限階的實(shí)整函數(shù),F(xiàn)?,F(xiàn)"只有實(shí)根,則(fz)=(az+b)n,a為不等于0的實(shí)數(shù),n為正整數(shù)。此外,F(xiàn)"的實(shí)根數(shù)和f"的非實(shí)根數(shù)相等且有限[25]。羅西(J.Rossi)在威廉森指導(dǎo)下完成博士論文,受其工作影響,他于1982年將上述結(jié)果推廣到f為無(wú)窮階的情況[26]。

        海勒斯坦、陳、威廉森在1983的上述文章中考慮了嚴(yán)格非實(shí)整函數(shù)類,證明若f為整的嚴(yán)格非實(shí)函數(shù)(即不是一個(gè)實(shí)函數(shù)與一個(gè)常數(shù)之積),f,f?,f"只有實(shí)根,則:(1)若f為有限階的,f(z)=aebz或f(z)=a(eicz–eid),其中a不等于0,b,c,d為常數(shù),b為非實(shí)數(shù),c,d為實(shí)數(shù);(2)若f為無(wú)窮階的,則(fz)=aexp(e(icz+d))或 (fz)=Aexp{k[(icz+d)-e(icz+d)]},A不等于0,c,d為實(shí)數(shù),-∞<k≤-1∕4。他們?cè)谠撐闹羞€證明,若f為嚴(yán)格非實(shí)亞純函數(shù),且只有實(shí)極點(diǎn),f,f?,f"只有實(shí)根,則 (fz)=Ae-(icz+d)∕sin(cz+d)或 (fz)=Aexp[-2(icz+d)-2exp2(icz+d)]∕sin(2cz+d),A為常數(shù),c,d為實(shí)數(shù)。他們的工作后由欣克內(nèi)(A.Hinkkanen)和羅西于1984年進(jìn)一步研究,科斯(W.Kohs)和威廉森1988年進(jìn)一步減弱了定理成立的條件。尼克斯(A.Nicks)2009年通過(guò)利用科斯和威廉森的有關(guān)方法將欣克內(nèi)和羅西的結(jié)果一般化[27]。

        對(duì)于實(shí)亞純函數(shù)f,使得f,f?,f"只有實(shí)根的一個(gè)完整特征由陳、威廉森、海勒斯坦1984年給出。設(shè)f是具有實(shí)根和實(shí)極點(diǎn)(每個(gè)至少有一個(gè))的實(shí)亞純函數(shù),若f?無(wú)根,f"只有實(shí)根,則f為下列三種形式之一:(fz)=Atan(az+b),(fz)=(az+b)∕(cz+d),ad-bc≠0,(fz)=A(1-a(2z-b)-2),A,a,b,c,d為實(shí)常數(shù),A,a,c都不等于0。此外,若f是有限階,且f的極點(diǎn)為單重,則不需要對(duì)f"的零點(diǎn)進(jìn)行限制,且f為上述前兩式之一[28]。科斯1986年去掉f?無(wú)零點(diǎn)的要求下證明了最后一式[29]。陳、威廉森、海勒斯坦在該文中還提出如下猜想,至今未能解決。設(shè)f是非有理實(shí)亞純函數(shù),只有單重實(shí)極點(diǎn),若f,f?,f"只有實(shí)根,則f(z)=A[tan(az+b)-(cz+d)],A,a都不等于0,c,d為適當(dāng)選擇的實(shí)常數(shù)。

        希爾司馬(T.Sheil-Small)1989年通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù),且研究這些函數(shù)水平線的方法證明,若f∈U2p,則f"至少有2p個(gè)非實(shí)根[30]。同年,他利用上文中有關(guān)結(jié)果得到如下定理:令f為至多有有限個(gè)實(shí)零點(diǎn)的有限階的整函數(shù),假設(shè)f"無(wú)非實(shí)根,則f(z)=eb+az,a,b為常數(shù),或存在實(shí)常數(shù)θ,使得f(z)=eiθg(z),其中g(shù)(z)∈LP[31]。2002年愛(ài)德華茲(S.Edwards)、海勒斯坦將希爾司馬的結(jié)果推廣到具有有限多個(gè)非實(shí)根的實(shí)整函數(shù),引入實(shí)整函數(shù)的另一類U2p*,其為f=Pf0的集合,f0∈U2p,P為實(shí)多項(xiàng)式。每個(gè)有限階的具有有限多個(gè)非實(shí)根的實(shí)整函數(shù)屬于U*。f∈U*當(dāng)且僅當(dāng)f=c(z)g(z),g(z)∈U,c(z)為無(wú)實(shí)根的實(shí)多項(xiàng)式。

        2p2p2p

        愛(ài) 德 華 茲 和 海 勒 斯 坦 證 明 ,若f∈U2p*,則2p為f(k)的 非 實(shí) 根 數(shù) 的 下 界 ,k≥2[32]。 貝 韋 勒 、赫 曼(A.Eremenko)、蘭利(J.K.Langley)2003年推廣到無(wú)窮階的函數(shù),即對(duì)每個(gè)無(wú)窮階的實(shí)整函數(shù),f,f?有無(wú)窮多個(gè)非實(shí)根。蘭利2005年證明,若f為平面內(nèi)無(wú)窮階的實(shí)亞純函數(shù),且f有有限個(gè)極點(diǎn),則f和f(k)至少一個(gè)有許多非實(shí)根,k≥3。其結(jié)果和愛(ài)德華茲、海勒斯坦的結(jié)果相結(jié)合,證明了類似的LP類函數(shù)猜想。若f為實(shí)整函數(shù),f,f(k)只有實(shí)根,k≥3,則f∈LP。2009年蘭利確定了在平面內(nèi)所有實(shí)亞純函數(shù)的形式,使得f?有有限個(gè)零點(diǎn),而f,f(k)有限個(gè)非實(shí)根,k≥2。2011年證明,若f為平面內(nèi)無(wú)窮階的實(shí)亞純函數(shù),具有有限多個(gè)根和非實(shí)根,則f"有無(wú)窮多個(gè)非實(shí)根[33]。

        在LP類函數(shù)猜想的影響下,2012年尼克斯給出了一個(gè)實(shí)整函數(shù)屬于類LP或類U*之一的條件。他

        2p證明,若f為一個(gè)實(shí)整函數(shù),M>0,1≤j<k,設(shè)f,f(j),f(k)的非實(shí)根有有限的收斂指數(shù),f的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少為k,至多為M,則f∈LP,且f(m)的所有零點(diǎn)為實(shí)的,m≥0。利用這個(gè)結(jié)果,蘭利證明,若f為實(shí)整函數(shù),f和f(n)只有非正實(shí)根,則 (fz)=ceaz,a為實(shí)數(shù),或f∈LP。在這個(gè)假設(shè)中,條件f(n)不能弱化為對(duì)一些N只有非正實(shí)根,n=1,2,···,N。在尼克斯的證明過(guò)程中用到了與埃德雷有關(guān)的一個(gè)定理:令 (fz)=exp(-rz2)G(z),r>0,G(z)∈LP,且型小于等于1,則f連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)在實(shí)軸上幾乎處處稠密。尼克斯給出一個(gè)實(shí)函數(shù)屬于LP或U2p*的條件,這些條件涉及f或其導(dǎo)數(shù)或ff?-a(f)?2非實(shí)根的探討,a為參數(shù)[34]。2019年蘭利又證明,若f為具有有限多個(gè)非實(shí)根的無(wú)窮階的實(shí)整函數(shù),a為正實(shí)數(shù),則f"+af有無(wú)窮多個(gè)非實(shí)根[35]。

        4 結(jié)語(yǔ)

        波利亞關(guān)于LP類函數(shù)猜想的工作,不僅豐富了整函數(shù)零點(diǎn)理論的內(nèi)容,產(chǎn)生許多重要結(jié)果,而且在證明的過(guò)程中出現(xiàn)一些重要思想和方法,如函數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法和零點(diǎn)的最后集思想。在證明波利亞猜想的過(guò)程中,許多學(xué)者都是師生關(guān)系,如阿朗爾為威曼的學(xué)生,海勒斯坦為埃德雷的學(xué)生,尼克斯為蘭利的學(xué)生等,可見(jiàn)學(xué)術(shù)傳承在數(shù)學(xué)研究中的重要性。

        此外,許多學(xué)者如科雷瓦(J.Korevaar)、蘭利、蘇亞雷斯(D.Suárez)等人把LP類函數(shù)的概念一般化[36],勒文在“LP類的整函數(shù)”(1984)中引入了另一類類似于LP類的整函數(shù),并得到與LP類函數(shù)猜想相似的結(jié)果[37]??逻_(dá)斯等人1989年從積分變換的角度[38]、柯(H.Ki)和柯姆(Y.O.Kim)2016年從微分算子的角度[39]更廣泛的研究了LP類函數(shù)的性質(zhì);德米特里(K.Dimitrov)和謝赫(Y.B.Cheikh)2009年探討了詹森多項(xiàng)式和LP類函數(shù)的關(guān)系,以此為據(jù)給出貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)為實(shí)的一個(gè)簡(jiǎn)短優(yōu)美的證明[40]。

        1914年波利亞和舒爾證明,實(shí)序列{γn}為乘積序列當(dāng)且僅當(dāng)∑γnzn∕n!在類LP中表示一個(gè)整函數(shù)。特別是,{γn}為型是1的序列乘積,當(dāng)且僅當(dāng)∑γnzn∕n!表示在Lp1類中的一個(gè)整函數(shù)。其實(shí),拉蓋爾早在1881年就已經(jīng)給出了一個(gè)在LP類中整函數(shù)參數(shù)族的例子φ(z)=∑cos(ψ+nθ)zn∕n!,對(duì)某個(gè)參數(shù)θ選擇,其系數(shù)符號(hào)形成一個(gè)非規(guī)則序列。因此,給定一個(gè)具有邁克勞林級(jí)數(shù)φ(z)=∑anzn的實(shí)整函數(shù),如何利用系數(shù)序列{an}給出保證φ∈LP的條件,是德米特里和奧利讓(W.D.Oliveira)2016年研究的問(wèn)題,并建立了一些重要定理[41]。

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