王全來(lái)

（天津師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，天津300387）

整函數(shù)零點(diǎn)分布的研究是數(shù)學(xué)分析研究中一個(gè)重要領(lǐng)域，整函數(shù)中一重要類是拉蓋爾-波利亞類函數(shù)（簡(jiǎn)記為L(zhǎng)P類）。該類函數(shù)首先由拉蓋爾（E.Laguerre，1834—1886）在1882年研究①為了節(jié)省篇幅，本文涉及拉蓋爾的學(xué)術(shù)論文可參見(jiàn)其數(shù)學(xué)全集，不再進(jìn)行標(biāo)注。。由于這個(gè)主題與黎曼猜想有一定關(guān)系，故吸引了許多大數(shù)學(xué)家如胡爾維茲（A.Hurwitz，1859—1919），波利亞（G.Pólya，1887—1985），布呂恩（de Bruijn），埃德雷（A.Edrei）等人的興趣。1859年，黎曼（B.Riemann，1826—1866）將素?cái)?shù)分布問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)問(wèn)題，現(xiàn)稱為黎曼zeta函數(shù)ζ（s）。黎曼猜想是指ζ（s）的所有非實(shí)根位于臨界線上。設(shè)ξ（s）=s（s－1）π－s/2Γ（s/2）?（s）/2，則ξ（iz+1∕2）是型為1的偶整函數(shù)，且若z取實(shí)值，則該函數(shù)取實(shí)值。黎曼猜想暗示ξ（s）的零點(diǎn)有實(shí)部1∕2，故ξ（iz+1∕2）屬于LP類函數(shù)。對(duì)于ξ（s）研究激起了對(duì)LP類函數(shù)性質(zhì)的探討。波利亞在“只具實(shí)根的三角積分”，勒文（B.Levin）在1980年再版的“整函數(shù)零點(diǎn)分布”第八章中指出，若黎曼猜想成立，則ξ（s）屬于LP類函數(shù)。

一個(gè)整函數(shù)屬于LP類當(dāng)且僅當(dāng)f（z）=exp（－γz2+βz+α）zmΠ（1－z∕zn）exp（z∕zn），zn，α，β為實(shí)數(shù)，γ≤0，m為正整數(shù)，Σ|zn|－2收斂。LP類函數(shù)在卷積變換理論，變差變換理論，樣條函數(shù)插值理論等有重要應(yīng)用。該類函數(shù)在理論和應(yīng)用上的研究依舊活躍，且在分析的許多方面扮演著重要角色。關(guān)于LP類函數(shù)猜想的歷史研究文章目前國(guó)內(nèi)外尚未見(jiàn)到，本文將詳細(xì)研究這一歷史發(fā)展，以補(bǔ)現(xiàn)有文獻(xiàn)不足。

1 波利亞提出猜想的工作背景

1.1 波利亞之前一些學(xué)者的工作

魏爾斯特拉斯（K.Weierstrass，1815—1897）關(guān)于整函數(shù)展成無(wú)窮乘積的因子定理對(duì)于整函數(shù)性質(zhì)和零點(diǎn)分布的研究有重要作用，在復(fù)函數(shù)理論中開(kāi)創(chuàng)了新篇章。幾乎所有關(guān)于整函數(shù)理論的文獻(xiàn)第一部分都以魏爾斯特拉斯因子定理開(kāi)始，足見(jiàn)其影響。拉蓋爾從1882年開(kāi)始發(fā)表了一些與魏爾斯特拉斯因子定理有關(guān)的論文，給出了整函數(shù)的一些重要概念和性質(zhì)，其中就有型的引入。整函數(shù)的型和階是該理論的兩個(gè)最基本概念。龐加萊（H.Poincaré，1854—1912）、阿達(dá)瑪（J.Adamard，1865—1963）、皮卡（E.Picard，1856—1941）、波萊爾（E.Borel，1871—1956）等人依據(jù)整函數(shù)階的概念探討了整函數(shù)的一些問(wèn)題，其中包括整函數(shù)的增長(zhǎng)和零點(diǎn)分布之關(guān)系的問(wèn)題。拉蓋爾的大部分工作是研究型為0和1的整函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)分布。

由冪級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)表明一個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí)，任一個(gè)整函數(shù)為多項(xiàng)式序列的極限，該序列在每個(gè)有界區(qū)域內(nèi)一致收斂。若附加多項(xiàng)式序列一致收斂于一個(gè)其零點(diǎn)屬于某一集合的整函數(shù)的條件，則極限函數(shù)依賴于該集合形成一個(gè)特殊類。拉蓋爾在這個(gè)方向上區(qū)分了兩種情況。第一種，在其中這些多項(xiàng)式的零點(diǎn)都是正的；第二種，在其中這些零點(diǎn)都是實(shí)的。遺憾的是，拉蓋爾對(duì)第二種情況沒(méi)有給出證明，波利亞在1913年給出證明。這樣的多項(xiàng)式序列更全面的考察由林德瓦特（E.Lindwart）和波利亞在1914年進(jìn)行探討。

1.2 波利亞的早期工作

波利亞特別喜歡整函數(shù)和用多項(xiàng)式逼近整函數(shù)的零點(diǎn)集的性質(zhì)有關(guān)的定理①為了節(jié)省篇幅，本文涉及波利亞的學(xué)術(shù)論文可參見(jiàn)其數(shù)學(xué)全集，不再進(jìn)行標(biāo)注。。波利亞在“利用具有全部實(shí)根的多項(xiàng)式逼近”（1913）、“全部根落在一個(gè)角形域內(nèi)的多項(xiàng)式逼近”（1913）及“根與多項(xiàng)式序列收斂之關(guān)系”（1914）中研究了整函數(shù) （fz）的特征，多項(xiàng)式序列｛f（nz）｝在D內(nèi)一致收斂于 （fz），當(dāng)每個(gè)f（nz）的全部根αnk位于給定的集合T內(nèi)或當(dāng)對(duì)αnk指定某個(gè)收斂指數(shù)k（即∑|αnk|－k≤M）一般化了拉蓋爾的早期結(jié)果。波利亞后來(lái)的大部分工作起源于此。波利亞在“利用具有全部實(shí)根的多項(xiàng)式的逼近”（1913）中證明，若αnk是實(shí)的，則 （fz）=exp（az2+b）Φ（z），其中 Φ（z）為型是0或1的整函數(shù)，a，b為實(shí)數(shù)，a≤0。在“根與多項(xiàng)式序列收斂之關(guān)系”（1914）中證明，若指數(shù)k為給定整數(shù)，則f（z）=exp（bz）Φ（z），Φ（z）為型是k－1的整函數(shù)。受這些文章激勵(lì)，其他學(xué)者從不同的區(qū)域和集合T研究了類似問(wèn)題。

在拉蓋爾、阿達(dá)瑪?shù)热斯ぷ骰A(chǔ)上，波利亞和舒爾（I.Schur，1875—1941）在開(kāi)創(chuàng)性的論文“在代數(shù)方程理論中的兩類因子序列”（1914）中把LP類函數(shù)特征化。他們證明所有把具有實(shí)根的多項(xiàng)式變?yōu)榫哂袑?shí)根的多項(xiàng)式的乘積序列可由特殊類型的整函數(shù)產(chǎn)生。這些函數(shù)現(xiàn)在被稱為波利亞-舒爾函數(shù)或拉蓋爾-波利亞類函數(shù)。乘積序列理論始于拉蓋爾的工作，深化于波利亞和舒爾的開(kāi)創(chuàng)性工作。波利亞和舒爾指出，實(shí)序列T=｛γk｝使得，若一個(gè)多項(xiàng)式p（x）=∑akx k只有實(shí)根，則多項(xiàng)式T［p（x）］=T［∑akxk］=∑γk akxk也只有實(shí)根，γk為實(shí)數(shù)。以此揭示了LP類函數(shù)的一些重要性質(zhì)。

令Ψ（s）=∑（βjsj）∕j！為一個(gè)整函數(shù)，則下面性質(zhì)等價(jià)：（1）Ψ屬于LP類；（2）Ψ可在緊致集上利用只具有實(shí)根的多項(xiàng)式p（nx）=∑βjcjnx j，q（nx）=∑βjcjnx n－j一致逼近；（3）若p（x）=∑Cjx j是一個(gè)只具有非正實(shí)根的多項(xiàng)式，則q（x）=∑βj Cjxj只有實(shí)根。對(duì)形式冪級(jí)數(shù)F（s）～∑akxk，F(xiàn)（D）p（x）=∑akDkp（x），其中D=d∕dx，上述結(jié)論也成立。波利亞在“關(guān)于型為0和1的整函數(shù)的代數(shù)研究”（1915）中指出，假設(shè)Ψ（s）屬于LP類，Ψ（0）＞0，Ψ（s）≠eas+b，1∕Ψ（s）有泰勒展開(kāi)∑（βjsj）∕j！，則由此確定的漢克爾矩陣為正定的。設(shè)p→（1∕Ψ（D））p為零點(diǎn)減少的變換，p（x）=（∑aj xj）2，通過(guò)計(jì)算（1∕Ψ（D））p，得到了屬于LP類函數(shù)的一些必要條件。然而，漢克爾矩陣的正定性對(duì)Ψ（s）屬于LP類不是充分的，由漢伯格爾（H.Hamburger）在“關(guān)于波利亞所提問(wèn)題的注釋”（1920）中證明。這些工作為波利亞提出其猜想奠定了基礎(chǔ)。

2 波利亞在LP類函數(shù)猜想上的工作

2.1 LP類函數(shù)猜想的提出

在多項(xiàng)式和超越整函數(shù)零點(diǎn)分布理論中，考慮施于微分運(yùn)算的整函數(shù)零點(diǎn)將如何變化的一般性問(wèn)題，波利亞做出許多貢獻(xiàn)，其中之一是提出LP類函數(shù)的有關(guān)猜想。LP類函數(shù)在微分運(yùn)算下保持封閉，故屬于LP類函數(shù)，其任意階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)根。一個(gè)函數(shù)在何種條件下為L(zhǎng)P類函數(shù)呢？對(duì)于該問(wèn)題涉及較早的是數(shù)學(xué)家威曼（A.Wiman）。據(jù)威曼的學(xué)生阿朗爾（M.?lander）在其博士論文中稱，威曼在1911年曾猜想，若（fx）為實(shí)整函數(shù)②在實(shí)軸上取實(shí)值的整函數(shù)稱為實(shí)整函數(shù)。，且 （fx）和二階導(dǎo)數(shù)f（??x）只有實(shí)根，則 （fx）屬于LP類。威曼關(guān)于整函數(shù)的首篇論文處理了米塔格－萊夫勒函數(shù)E（αz）=∑zn∕Γ（αn+1）的零點(diǎn)問(wèn)題，與魏爾斯特拉斯因子定理有關(guān)，這可能是其提出該猜想的重要原因。威曼的猜想暗示如下結(jié)果，“若一個(gè)超越實(shí)整函數(shù)和其二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)的，則所有導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)位于實(shí)軸上”。

在定理中假設(shè)（fx）為實(shí)整函數(shù)是該猜想的最基本要求，這一點(diǎn)由波利亞的學(xué)生埃德雷在1955年通過(guò)例子 （fz）=exp（exp（iz））說(shuō)明［1］。波利亞1914年前往瑞士蘇黎世，在此期間，他研究的問(wèn)題之一是整函數(shù)的性質(zhì)和逼近于整函數(shù)多項(xiàng)式零點(diǎn)集性質(zhì)之間的聯(lián)系。他和胡爾維茲經(jīng)常探討這方面的學(xué)術(shù)問(wèn)題，為波利亞深入研究波利亞－舒爾函數(shù)或拉蓋爾-波利亞函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。

波利亞在“關(guān)于整函數(shù)的一個(gè)問(wèn)題”（1914）中提出一個(gè)比威曼猜想稍弱的猜想，指出若（fx）為實(shí)整函數(shù)，且它同其各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)根，則（fx）應(yīng)屬于LP類函數(shù)。該問(wèn)題現(xiàn)被稱為波利亞猜想。波利亞在該文開(kāi)篇提到了LP類函數(shù)的性質(zhì)，隨后指出，“是否存在其它函數(shù)，其和它的各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)根。這個(gè)問(wèn)題，我感到非常困難，然而，我將能夠解決非常簡(jiǎn)單的一部分”。實(shí)際上，證明了如下定理。

設(shè)整函數(shù)F（x）滿足條件：（1）F（x）的型有限；（2）F（x）的零點(diǎn)數(shù)有限；（3）F（x）各階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)全為實(shí)數(shù)，則F（x）∈LP。若F（x）滿足條件（1）和（2），F(xiàn)（x）=g（x）exp（H（x）），g（x）和H（x）為多項(xiàng)式，設(shè)H（x）的次數(shù)為m+1，則命題可以轉(zhuǎn)化為：若m+1≥3，F(xiàn)（x）=g（x）exp（H（x））及其導(dǎo)數(shù)有些非實(shí)根；若m+1=2，H（x）中x2的系數(shù)為正的，結(jié)論同樣成立。波利亞利用舒爾告知的微分多項(xiàng)式方法給出了簡(jiǎn)要證明。

波利亞的“整函數(shù)理論注釋”（1915）是其上文的擴(kuò)展。他在該文猜想，除去形如f（z）=aebz，f（z）=a（eicz–eid），（a，b，c，d為常數(shù)，c，d為實(shí)數(shù)，b為復(fù)數(shù)）的函數(shù)外，所有整函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)根一定為下列形式czrexp（－γ2z2+dz）Π（1－d nz）exp（d nz），其中除c外，所有常數(shù)都是實(shí)的，Σdn2收斂。并給出如下3個(gè)定理。

定理1：F（x）為有限型，且只有有限個(gè)根，F(xiàn)（x）的各階導(dǎo)數(shù)無(wú)虛根，則F（x）為L(zhǎng)P類函數(shù)或?yàn)镕（z）=aebz（a，b為復(fù)數(shù)）。

定理2：若F（x）=g（x）exp（H（x）），g（x），H（x）為多項(xiàng)式，H（x）的次數(shù)至多為2，最高次的系數(shù)為正，則F（x）的各階導(dǎo)數(shù)從某階起至少有一對(duì)虛根。

定理3：F（x）=g（x）exp（H（x）），g（x），H（x）為多項(xiàng)式，F(xiàn)（x）的各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)的非正根，則在給定g（x）和H（?x）為常數(shù)的情況下，H（x）=γx+δ，γ≥0，δ為常數(shù)。

波利亞在假設(shè)整函數(shù)是有限型的，且只有有限個(gè)零點(diǎn)的情況下通過(guò)構(gòu)造多項(xiàng)式序列及其微分多項(xiàng)式巧妙地給出證明。

2.2 波利亞后續(xù)的相關(guān)工作

波利亞雖然未能證明自己提出的猜想，但在后續(xù)工作中亦對(duì)此有一定研究，得到一些重要結(jié)果，與之有關(guān)的論文是“具有三個(gè)零點(diǎn)的有限型整函數(shù)的確定”（1921），“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”（1922），“傅里葉關(guān)于超越方程有關(guān)的一些問(wèn)題”（1930），“某個(gè)整函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的實(shí)性”（1937），“一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和其解析性”（1943）等。在“具有三個(gè)零點(diǎn)的有限型整函數(shù)的確定”及“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”中，波利亞繼承了其在1914年、1915年上述論文中的思想，采用構(gòu)造輔助函數(shù)列的方法證明，當(dāng)f是一個(gè)實(shí)整函數(shù)，且f，f?，f"無(wú)零點(diǎn)，則f是一個(gè)指數(shù)型函數(shù)。這一結(jié)果以各種方式被一般化，特別是柯達(dá)斯（G.Csordas），諾福克（T.Norfolk），瓦爾加（R.Varga）在1986年證明，若f，f?，f?，f?只有實(shí)根，則f或?yàn)橹笖?shù)類型函數(shù)，或?yàn)椴ɡ麃?舒爾函數(shù)，或?yàn)锳（eicz－eid），A為常數(shù)，c，d為實(shí)數(shù)［2］。海勒斯坦（S.Hellerstein）、陳（Li-Chien Shen）、威廉森（J.Williamson）1983年對(duì)亞純函數(shù)得到進(jìn)一步的結(jié)果［3］。

波利亞在“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”的注腳處指出，若g（z）為整函數(shù)，且假設(shè)（1）g（z）和g（?z）無(wú)零點(diǎn)；（2）g（??z）至多有有限個(gè)非實(shí)根，則g（z）具有下列形式之一：g（z）=exp（az+b），a和b為常數(shù)或g（z）=exp［c+exp（（iξz+η））］，ξ，η為實(shí)常數(shù)，c為常數(shù)。埃德雷在1955年的論文中推廣了上述定理。令g（z）為至多有有限個(gè)非實(shí)根，形如g（z）=P（z）eQ（z）的整函數(shù)，Q（z）為任意整函數(shù)，P（z）為有限階的整函數(shù)。方程g（z）=0，g（?z）=0，g（??z）=0除有限個(gè)零點(diǎn)外為實(shí)的，則Q（z）的階一定是實(shí)的，且不超過(guò)1。在該文中，波利亞引入了對(duì)于一個(gè)整函數(shù)或亞純函數(shù)關(guān)于連續(xù)階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)集的極限點(diǎn)集合的最后集概念，并確定亞純函數(shù)的最后集，最后集是一個(gè)多邊形，其頂點(diǎn)距離兩個(gè)最近的極點(diǎn)等距。確定整函數(shù)的最后集比較困難，對(duì)于一個(gè)拉蓋爾-波利亞類函數(shù)，其階大于1，在實(shí)軸上取實(shí)值，以整個(gè)實(shí)軸為最后集似乎是成立的。在一些條件限制下，這個(gè)結(jié)果由陳1986年證明［4］。波利亞在“傅里葉關(guān)于超越方程有關(guān)的一些問(wèn)題”中證明對(duì)于階小于2∕3的實(shí)整函數(shù)，只有有限多個(gè)非實(shí)根，則零點(diǎn)幾乎全部是實(shí)的。威曼在1930年、1937年中改進(jìn)到階至多為1［5］，波利亞在“某個(gè)整函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的實(shí)性”中改進(jìn)到4∕3。在“一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和其解析性”中，波利亞考察了到1942年之前幾乎每個(gè)與之有關(guān)的問(wèn)題，并進(jìn)一步指出，若階小于2的實(shí)整函數(shù)f只有有限多個(gè)非實(shí)根，則存在正整數(shù)m0，使得若m≥m0，f（m）只有實(shí)根。這個(gè)結(jié)果由柯瑞文（T.Craven），柯達(dá)斯，史密斯（W.Smith）在1987年［6］和同年的論文得到證明［7］。在證明過(guò)程中，詹森-納格-沃什定理起著重要作用。早在1836年，高斯在數(shù)學(xué)筆記中就對(duì)多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)給出了物理解釋。1874年，拉卡奇（G.Lucás）闡述并證明了高斯-拉卡奇定理。該定理描述了復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的一個(gè)性質(zhì)：多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)一定在原多項(xiàng)式的零點(diǎn)所構(gòu)成的凸包內(nèi)。除了高斯－拉卡奇定理外，詹森（J.Jensen，1859—1925）在1913年發(fā)表了一個(gè)未證明的定理，基于詹森橢圓思想給出了實(shí)多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)更為準(zhǔn)確的信息。該定理的第一個(gè)證明由沃什（J.Walsh）1920年基于高斯－拉卡奇定理給出，納格（J.Nagy）1922年也給出證明。其實(shí)早在1914年，阿朗爾已有該定理的思想，并證明若 （fz）為有限階ρ=ρ（f）的整函數(shù)，λ＞ρ，w∈C，C為復(fù)數(shù)域，存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n，使得f（n）（zn）=0，則|zn－w|＞（log2）n－1+1∕λ。阿朗爾1914年在威曼指導(dǎo)下完成博士論文《整函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)遷移》，對(duì)函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行深入研究，先后發(fā)表與之有關(guān)的幾篇論文，主要結(jié)果和型是2，3，4，5的整函數(shù)及有理函數(shù)有關(guān)，闡述了一些值得注意的觀點(diǎn)和猜想，以及一些啟發(fā)性研究的例子，對(duì)波利亞的研究有重要影響，這一點(diǎn)可從波利亞的“某類整函數(shù)幾乎所有導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)的實(shí)性”（1937）論文中看出。

3 LP類函數(shù)猜想的影響

3.1 LP類函數(shù)猜想的解決

波利亞關(guān)于LP類猜想的工作在20世紀(jì)引起許多學(xué)者的關(guān)注，研究成果眾多。阿朗爾受威曼和波利亞影響，隨后發(fā)表了一些相關(guān)文章。阿朗爾在1914年［8］、1916年［9］證明，若f是整函數(shù)，其階為 λ，型小于 σ，則（fz）=AzkeP（z）（1－z∕an）exp（z∕an+··+zq∕qaqn），A為常數(shù)，k為非負(fù)整數(shù)，P（z）為多項(xiàng)式，q為最小非負(fù)整數(shù)使Σ｜an｜－q－1＜+∞。f的型 σ 是q和P（z）的次數(shù)的最大值，且滿足 σ≤λ≤σ+1。他于1922年引入一種整函數(shù)分類方法［10］，對(duì)任意整數(shù)p＞0，類V2p為g（z）exp（－az2p+2）構(gòu)成的集合，其中a≥0，g（z）為一個(gè)具有實(shí)根的實(shí)整函數(shù)，且階至多為2p+1；類U2p由U0=V0，U2p=V2p/V2p－2，p≥1定義；由定義知U0=LP。阿朗爾證得，若f∈U2p，f?只有實(shí)根，則f"恰有2p個(gè)復(fù)根。

需要指出的一點(diǎn)是，阿朗爾在該文中只對(duì)有限型的整函數(shù)研究了該定理，但勒文、奧斯特羅夫斯基（I.Ostrovskii）1960年論文的第324頁(yè)注腳1［11］、海勒斯坦、威廉森1975年論文第229頁(yè)注腳［12］和1977年的論文［13］，坎貝爾（D.M.Campbell）、克拉尼（J.Clunie）、海曼（W.K.Hayman）在“在復(fù)分析中的研究問(wèn)題”2.64問(wèn)題中未有關(guān)于有限型的限制［14］。他在該文中稱可以將這個(gè)結(jié)果推廣到任意p。阿朗爾1923年將這個(gè)結(jié)果推廣到有限階的任意整函數(shù)，并證明，若f是一個(gè)有限階的嚴(yán)格非實(shí)整函數(shù)，f，f?，f?只有實(shí)根，則（fz）=aebz或 （fz）=A（eicz–eid）［15］，詳細(xì)證明出現(xiàn)在海勒斯坦、威廉森的1975年論文中。

然而波利亞1943年的論文中只提到了阿朗爾1914年、1916年的論文，并未提到1922年的論文。海勒斯坦向其老師埃德雷提出這個(gè)奇怪現(xiàn)象，引起埃德雷的注意。為回答埃德雷的疑問(wèn)，波利亞在一封信中回應(yīng)稱，他注意到了阿朗爾1922年的論文，但文中的證明不能使他信服，且他也不能證明該證明是錯(cuò)誤的。阿朗爾的證明涉及在U2p中與調(diào)和函數(shù)水平集有關(guān)的研究。

薩克斯（W.Saxer）為波利亞的博士生，受波利亞工作的影響，于1923年利用威曼－瓦利龍法指出，若f為整函數(shù)，且在假設(shè)f，f?，f"無(wú)零點(diǎn)的情況下，（fz）=P（z）exp（Q（z）），P（z），Q（z）為多項(xiàng)式［16］?？扑垢瘢≒.Csillag）1935年在假設(shè)f，f（m），f（n）對(duì)某些m，n只有有限多個(gè)根時(shí)加強(qiáng)了薩克斯的上述定理，1≤m≤n［17］。薩克斯-科斯格定理后由圖目若（Y.Tumura）1937年推廣：令f（z）為一個(gè)無(wú)零點(diǎn)整函數(shù)，且存在導(dǎo)數(shù)f（n）（z）（2≤n）不為0，則 （fz）=eaz+b［18］。海曼1959年在假設(shè)f和f"只有有限多個(gè)零點(diǎn)的情況下，將薩克斯的結(jié)果進(jìn)一步一般化。海曼提出是否他的結(jié)果同科斯格一樣，可以在只假設(shè)f，f（n）（n≥2）有有限多個(gè)根的情況下，一般化薩克斯的結(jié)果［19］。克拉尼1962年肯定回答了這個(gè)問(wèn)題。克拉尼的證明基于早期由圖目若考慮的一類微分多項(xiàng)式的結(jié)果［20］。海勒斯坦、楊（C.Yang）1972年進(jìn)一步在半平面內(nèi)推廣了克拉尼定理［21］。

LP類函數(shù)猜想第一個(gè)重要的進(jìn)步由勒文和奧斯特羅夫斯基在1960年上述論文中獲得。他們以整函數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)證明，若f為無(wú)窮階的只有實(shí)根的實(shí)整函數(shù)，則f"有無(wú)窮多個(gè)非實(shí)根。他們把對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)表示成兩個(gè)函數(shù)的乘積，其中一個(gè)沒(méi)有極點(diǎn)，另一個(gè)將上半平面映射成自身。這種思想成為研究LP類函數(shù)猜想的基礎(chǔ)。勒文和奧斯特羅夫斯基在該文中另一貢獻(xiàn)，是對(duì)來(lái)自半平面內(nèi)亞純函數(shù)值分布理論思想的運(yùn)用。他們的思想和方法在整函數(shù)零點(diǎn)分布研究中起著關(guān)鍵性作用，并為后來(lái)學(xué)者廣泛使用。海勒斯坦1966年通過(guò)引入復(fù)數(shù)上A-集的概念，精確化了勒文和奧斯特羅夫斯基的相關(guān)結(jié)果［22］。

海勒斯坦、威廉森利用函數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法在LP類函數(shù)猜想上取得重大成就，1975年證明，若f為有限階，且f，f?，f"只有實(shí)根，則LP類函數(shù)猜想成立。隨后，海勒斯坦、威廉森1977年對(duì)無(wú)窮階的情況證明了波利亞猜想。至此，LP類函數(shù)猜想完全解決。在證明LP類函數(shù)猜想的過(guò)程中，對(duì)于f為實(shí)的，且為有限階，海勒斯坦、威廉森發(fā)現(xiàn)了f的增長(zhǎng)和f"的非實(shí)根數(shù)之間的關(guān)系，并為其后研究者使用。對(duì)于具有有限多個(gè)實(shí)根的實(shí)整函數(shù)，貝韋勒（W.Berweiler）、甫士（W.Fuchs）在1993年證明，若f為實(shí)整函數(shù)，且f，f"只有實(shí)根，則 （fx）屬于類LP［23］。

3.2 LP類函數(shù)猜想的相關(guān)工作

解決了LP類函數(shù)猜想后，許多學(xué)者開(kāi)始研究整函數(shù)倒數(shù)的表示問(wèn)題，并獲得一些重要成果。海勒斯坦、威廉森1977年證明，若f為實(shí)整函數(shù)，連同其各階導(dǎo)數(shù)只有實(shí)的非正根，則（fz）=Ceaz，C和a為實(shí)常數(shù)，或 （fz）=CzreazΠ（1+z∕｜zn｜），a≥0，Σ｜zn｜－1＜∞［24］。海勒斯坦、威廉森1981年發(fā)現(xiàn)在f"的非實(shí)根和（1∕f）"的實(shí)根之間的關(guān)系，并證明，若F=1∕f，f為只有實(shí)根（至少有一個(gè)根）的有限階的實(shí)整函數(shù)，F(xiàn)?，F(xiàn)"只有實(shí)根，則（fz）=（az+b）n，a為不等于0的實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)。此外，F(xiàn)"的實(shí)根數(shù)和f"的非實(shí)根數(shù)相等且有限［25］。羅西（J.Rossi）在威廉森指導(dǎo)下完成博士論文，受其工作影響，他于1982年將上述結(jié)果推廣到f為無(wú)窮階的情況［26］。

海勒斯坦、陳、威廉森在1983的上述文章中考慮了嚴(yán)格非實(shí)整函數(shù)類，證明若f為整的嚴(yán)格非實(shí)函數(shù)（即不是一個(gè)實(shí)函數(shù)與一個(gè)常數(shù)之積），f，f?，f"只有實(shí)根，則：（1）若f為有限階的，f（z）=aebz或f（z）=a（eicz–eid），其中a不等于0，b，c，d為常數(shù)，b為非實(shí)數(shù)，c，d為實(shí)數(shù)；（2）若f為無(wú)窮階的，則（fz）=aexp（e（icz+d））或 （fz）=Aexp｛k［（icz+d）－e（icz+d）］｝，A不等于0，c，d為實(shí)數(shù)，－∞＜k≤－1∕4。他們?cè)谠撐闹羞€證明，若f為嚴(yán)格非實(shí)亞純函數(shù)，且只有實(shí)極點(diǎn)，f，f?，f"只有實(shí)根，則 （fz）=Ae－（icz+d）∕sin（cz+d）或 （fz）=Aexp［－2（icz+d）－2exp2（icz+d）］∕sin（2cz+d），A為常數(shù)，c，d為實(shí)數(shù)。他們的工作后由欣克內(nèi)（A.Hinkkanen）和羅西于1984年進(jìn)一步研究，科斯（W.Kohs）和威廉森1988年進(jìn)一步減弱了定理成立的條件。尼克斯（A.Nicks）2009年通過(guò)利用科斯和威廉森的有關(guān)方法將欣克內(nèi)和羅西的結(jié)果一般化［27］。

對(duì)于實(shí)亞純函數(shù)f，使得f，f?，f"只有實(shí)根的一個(gè)完整特征由陳、威廉森、海勒斯坦1984年給出。設(shè)f是具有實(shí)根和實(shí)極點(diǎn)（每個(gè)至少有一個(gè)）的實(shí)亞純函數(shù)，若f?無(wú)根，f"只有實(shí)根，則f為下列三種形式之一：（fz）=Atan（az+b），（fz）=（az+b）∕（cz+d），ad－bc≠0，（fz）=A（1－a（2z－b）－2），A，a，b，c，d為實(shí)常數(shù)，A，a，c都不等于0。此外，若f是有限階，且f的極點(diǎn)為單重，則不需要對(duì)f"的零點(diǎn)進(jìn)行限制，且f為上述前兩式之一［28］。科斯1986年去掉f?無(wú)零點(diǎn)的要求下證明了最后一式［29］。陳、威廉森、海勒斯坦在該文中還提出如下猜想，至今未能解決。設(shè)f是非有理實(shí)亞純函數(shù)，只有單重實(shí)極點(diǎn)，若f，f?，f"只有實(shí)根，則f（z）=A［tan（az+b）－（cz+d）］，A，a都不等于0，c，d為適當(dāng)選擇的實(shí)常數(shù)。

希爾司馬（T.Sheil-Small）1989年通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，且研究這些函數(shù)水平線的方法證明，若f∈U2p，則f"至少有2p個(gè)非實(shí)根［30］。同年，他利用上文中有關(guān)結(jié)果得到如下定理：令f為至多有有限個(gè)實(shí)零點(diǎn)的有限階的整函數(shù)，假設(shè)f"無(wú)非實(shí)根，則f（z）=eb+az，a，b為常數(shù)，或存在實(shí)常數(shù)θ，使得f（z）=eiθg（z），其中g(shù)（z）∈LP［31］。2002年愛(ài)德華茲（S.Edwards）、海勒斯坦將希爾司馬的結(jié)果推廣到具有有限多個(gè)非實(shí)根的實(shí)整函數(shù)，引入實(shí)整函數(shù)的另一類U2p*，其為f=Pf0的集合，f0∈U2p，P為實(shí)多項(xiàng)式。每個(gè)有限階的具有有限多個(gè)非實(shí)根的實(shí)整函數(shù)屬于U*。f∈U*當(dāng)且僅當(dāng)f=c（z）g（z），g（z）∈U，c（z）為無(wú)實(shí)根的實(shí)多項(xiàng)式。

2p2p2p

愛(ài) 德 華 茲 和 海 勒 斯 坦 證 明 ，若f∈U2p*，則2p為f（k）的 非 實(shí) 根 數(shù) 的 下 界 ，k≥2［32］。 貝 韋 勒 、赫 曼（A.Eremenko）、蘭利（J.K.Langley）2003年推廣到無(wú)窮階的函數(shù)，即對(duì)每個(gè)無(wú)窮階的實(shí)整函數(shù)，f，f?有無(wú)窮多個(gè)非實(shí)根。蘭利2005年證明，若f為平面內(nèi)無(wú)窮階的實(shí)亞純函數(shù)，且f有有限個(gè)極點(diǎn)，則f和f（k）至少一個(gè)有許多非實(shí)根，k≥3。其結(jié)果和愛(ài)德華茲、海勒斯坦的結(jié)果相結(jié)合，證明了類似的LP類函數(shù)猜想。若f為實(shí)整函數(shù)，f，f（k）只有實(shí)根，k≥3，則f∈LP。2009年蘭利確定了在平面內(nèi)所有實(shí)亞純函數(shù)的形式，使得f?有有限個(gè)零點(diǎn)，而f，f（k）有限個(gè)非實(shí)根，k≥2。2011年證明，若f為平面內(nèi)無(wú)窮階的實(shí)亞純函數(shù)，具有有限多個(gè)根和非實(shí)根，則f"有無(wú)窮多個(gè)非實(shí)根［33］。

在LP類函數(shù)猜想的影響下，2012年尼克斯給出了一個(gè)實(shí)整函數(shù)屬于類LP或類U*之一的條件。他

2p證明，若f為一個(gè)實(shí)整函數(shù)，M＞0，1≤j＜k，設(shè)f，f（j），f（k）的非實(shí)根有有限的收斂指數(shù)，f的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少為k，至多為M，則f∈LP，且f（m）的所有零點(diǎn)為實(shí)的，m≥0。利用這個(gè)結(jié)果，蘭利證明，若f為實(shí)整函數(shù)，f和f（n）只有非正實(shí)根，則 （fz）=ceaz，a為實(shí)數(shù)，或f∈LP。在這個(gè)假設(shè)中，條件f（n）不能弱化為對(duì)一些N只有非正實(shí)根，n=1，2，···，N。在尼克斯的證明過(guò)程中用到了與埃德雷有關(guān)的一個(gè)定理：令 （fz）=exp（－rz2）G（z），r＞0，G（z）∈LP，且型小于等于1，則f連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)在實(shí)軸上幾乎處處稠密。尼克斯給出一個(gè)實(shí)函數(shù)屬于LP或U2p*的條件，這些條件涉及f或其導(dǎo)數(shù)或ff?－a（f）?2非實(shí)根的探討，a為參數(shù)［34］。2019年蘭利又證明，若f為具有有限多個(gè)非實(shí)根的無(wú)窮階的實(shí)整函數(shù)，a為正實(shí)數(shù)，則f"+af有無(wú)窮多個(gè)非實(shí)根［35］。

4 結(jié)語(yǔ)

波利亞關(guān)于LP類函數(shù)猜想的工作，不僅豐富了整函數(shù)零點(diǎn)理論的內(nèi)容，產(chǎn)生許多重要結(jié)果，而且在證明的過(guò)程中出現(xiàn)一些重要思想和方法，如函數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法和零點(diǎn)的最后集思想。在證明波利亞猜想的過(guò)程中，許多學(xué)者都是師生關(guān)系，如阿朗爾為威曼的學(xué)生，海勒斯坦為埃德雷的學(xué)生，尼克斯為蘭利的學(xué)生等，可見(jiàn)學(xué)術(shù)傳承在數(shù)學(xué)研究中的重要性。

此外，許多學(xué)者如科雷瓦（J.Korevaar）、蘭利、蘇亞雷斯（D.Suárez）等人把LP類函數(shù)的概念一般化［36］，勒文在“LP類的整函數(shù)”（1984）中引入了另一類類似于LP類的整函數(shù)，并得到與LP類函數(shù)猜想相似的結(jié)果［37］?？逻_(dá)斯等人1989年從積分變換的角度［38］、柯（H.Ki）和柯姆（Y.O.Kim）2016年從微分算子的角度［39］更廣泛的研究了LP類函數(shù)的性質(zhì)；德米特里（K.Dimitrov）和謝赫（Y.B.Cheikh）2009年探討了詹森多項(xiàng)式和LP類函數(shù)的關(guān)系，以此為據(jù)給出貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)為實(shí)的一個(gè)簡(jiǎn)短優(yōu)美的證明［40］。

1914年波利亞和舒爾證明，實(shí)序列｛γn｝為乘積序列當(dāng)且僅當(dāng)∑γnzn∕n！在類LP中表示一個(gè)整函數(shù)。特別是，｛γn｝為型是1的序列乘積，當(dāng)且僅當(dāng)∑γnzn∕n！表示在Lp1類中的一個(gè)整函數(shù)。其實(shí)，拉蓋爾早在1881年就已經(jīng)給出了一個(gè)在LP類中整函數(shù)參數(shù)族的例子φ（z）=∑cos（ψ+nθ）zn∕n！，對(duì)某個(gè)參數(shù)θ選擇，其系數(shù)符號(hào)形成一個(gè)非規(guī)則序列。因此，給定一個(gè)具有邁克勞林級(jí)數(shù)φ（z）=∑anzn的實(shí)整函數(shù)，如何利用系數(shù)序列｛an｝給出保證φ∈LP的條件，是德米特里和奧利讓（W.D.Oliveira）2016年研究的問(wèn)題，并建立了一些重要定理［41］。