翟立朋，常凱歌*，程 琳，張俊武，童 童

(1.西安交通大學 物理學院 物理國家級實驗教學示范中心，陜西 西安 710049；2.西安工程大學 理學院，陜西 西安 710048)

模擬法描繪靜電場是普通物理實驗中電磁學模塊的一個核心實驗。帶電體在其周圍產(chǎn)生的靜電場可以通過電場強度E或電勢φ的空間分布來描述。對類似于同軸圓柱、圓筒這樣的規(guī)則電極，可以根據(jù)已知的電荷分布用靜電場方程求得電勢和電場分布的解析解。而對于不規(guī)則電極來說，電勢和電場分布的數(shù)學求解十分困難，需要用實驗方法進行測量[1]。

模擬法本質(zhì)上是通過一種容易實現(xiàn)、便于測量的物理量和物理過程，去代替不容易實現(xiàn)的、不便于測量的物理量和物理過程[2,3]。靜電場模擬實驗通過測量相對容易的恒定電流去實現(xiàn)對靜電場的測量，因為靜電場中沒有電流不能使用電磁式儀表進行直接測量，同時探測裝置必須是導體或電介質(zhì)，一旦將其放入靜電場中，將會產(chǎn)生感應電荷引起電場畸變，影響測量結(jié)果的準確性。恒定電流之所以能模擬靜電場是因為電流J和電場E有相同的物理表達形式[4]。近年來，針對模擬法測量靜電場實驗的數(shù)據(jù)處理方法[5,6]、儀器改進[7-9]、誤差分析[10,11]、教學方法[12，13]與測量手段[14,15]的創(chuàng)新等都已經(jīng)有了很好的研究，但實驗模型仍然局限于研究同軸圓柱、圓筒電極間的靜電場。在普通物理實驗上對于不規(guī)則電極，一般只測量其等勢線，再根據(jù)等勢線與電場線的關(guān)系得到電場線的分布定性的畫出電場線，無法真正得到靜電場的具體數(shù)值。

隨著計算機信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值方法越來越多地被應用到教學和科研中來。實驗也可以使用COMSOL、Ansys、FDTD Solution等成熟的商業(yè)軟件進行仿真分析[16,17]，但商業(yè)軟件往往費用昂貴并且學生在使用商業(yè)軟件的過程中往往無法完整理解其仿真算法，所以不太適合在大面積基礎(chǔ)物理實驗課程中進行推廣?；贛ATLAB將數(shù)值差分算法應用到靜電場模擬實驗中，可以給出任意形狀電極靜電場、電荷的分布圖，一方面擴展了該實驗項目的應用場景，更重要的是將科研思維和方法應用到物理實驗教學中，可以大面積在基礎(chǔ)物理實驗課程中推廣應用。

1 模擬靜電場的基本原理

由電磁場理論可知[4]，均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中穩(wěn)恒電流所產(chǎn)生的電流場與均勻電介質(zhì)中的靜電場具有相似性，這兩種物理場所遵循的物理規(guī)律具有相同的數(shù)學形式。對于靜電場而言，當介質(zhì)中沒有自由移動的電荷時，電場強度矢量E滿足方程：

(1)

∮lE·dl=0

(2)

對于穩(wěn)恒電流，當介質(zhì)中無電流源時，電流場中的電流密度矢量J滿足方程：

(3)

∮lJ·dl=0

(4)

由此可見E和J在各自區(qū)域中滿足同樣的數(shù)學規(guī)律[1-3]。并且這兩個物理量都與電勢φ之間有著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，所以在實驗上由直流電路構(gòu)建一個穩(wěn)恒的電流場，通過測量電極之間電勢差得到電流場的分布，進而替代靜電場的分布。

圖1 同心圓柱、圓筒電極的實物與模型圖

如圖1所示，為無限長且同軸的圓柱和圓筒電極的橫截面，圓柱A和圓筒B分別作為正、負電極，并設(shè)定圓筒B的電勢為零，即φB=0。rA和rB分別表示圓柱和圓筒的半徑，如果以圓柱A的圓心為坐標原點，則A、B之間位于r處的電勢可以通過高斯定理[3]得到：

(5)

靜電場是電勢的負梯度，電勢φr對位置r取導數(shù)，就可以得到任意位置處的電場強度表達式：

(6)

所以，只需要將A、B兩端電極加上穩(wěn)定的電壓，測量電路中不同位置處的電勢即可得到φr的具體數(shù)值，根據(jù)位置信息可以計算得到具體的電場強度值。

為了滿足上述理論中的需求，在實驗上使用如圖2所示的電路在A、B兩個電極之間加一個可調(diào)電勢差。電極之間的灰色矩形框代表導電微晶，導電微晶是一種電阻分布均勻的導體，移動電勢探頭的位置，電壓表的讀數(shù)即為電極B與探頭之間的電勢差，如果設(shè)定電極B的電勢為零，則電壓表可以測量任意位置處的電勢。

圖2 模擬靜電場實驗電路圖

但是遺憾的是，實驗雖然可以計算得到電場強度，但是得到電場強度的數(shù)值的方法與各個位置處的電勢沒有關(guān)系，在教學過程中體現(xiàn)不出模擬法具體應用；更重要的是實驗雖然可以測量任意形狀、任意位置處的電勢，但在理論上只能對同軸的圓柱、圓環(huán)模型進行解析計算，其他形狀的電極無法給出類似于公式(6)這樣的解析表達式。所以，設(shè)計并應用數(shù)值差分方法，將實驗推廣到任意電極情況下的靜電場模擬。

2 數(shù)值差分算法及可行性驗證

如果可以得到電勢隨位置的變化關(guān)系圖像，根據(jù)電磁學理論可以計算電場強度的大小。對于任何形狀的電極，電場強度為電勢的負梯度，這是恒定成立的，即：

E=-?φ

(7)

對于如公式(5)所示，電勢有解析表達式的電極模型，通過公式(7)可以計算得到電場強度的解析表達式。而對于不規(guī)則電極，引入數(shù)值差分算法對公式(7)進行求解。

在上述同心圓柱、圓筒模型中，電勢沿著徑向成空間一維分布。對于梯度差分來說，數(shù)值差分算法的第一步是將位置空間進行離散化，所以首先需要的是將位置r每間隔Δr進行劃分，這樣空間的任意位置都可表示為：

r=n·Δr

(8)

其中n非負整數(shù)，根據(jù)對空間位置的離散劃分，任意位置處的電勢可表示為：

φr=φ(n·Δr)

(9)

在完成第一步空間離散化以后，第二步需要將電勢對空間的微分近似為差分，電勢的梯度表示為：

(10)

微分與差分的區(qū)別在于極限Δr的取值精度，Δr取值越小極限精度越高。所以，只要能保證離散空間Δr足夠小，就可以保證差分算法的計算結(jié)果足夠精確。當然Δr不能無窮小，否則也無法進行計算機的仿真計算?？梢圆痪窒抻谔囟ǖ碾姌O模型，將任意位置處的電場強度表示為：

(11)

這樣不需要解析解也可以描述出任意位置處的電場強度。

為了驗證該方法的可行性，使用GVZ-4型靜電場描繪儀對同軸圓柱、圓筒模型進行測量和計算，分別通過解析算法和數(shù)值差分算法對電勢、電場的測量和計算結(jié)果進行對比分析。調(diào)節(jié)電路使電極A、B的電勢分別為φa=10.00 V、φB=0.00 V。該模型中同心圓柱的半徑為ra=1.0 cm，同心圓環(huán)的內(nèi)徑為rB=6.4 cm，將參數(shù)帶入到公式(5)和公式(6)可以計算得到A、B之間任意位置處電勢的解析表達式為：

φr=10.00-5.39·lnr

(12)

可以看出φr與lnr之間滿足線性關(guān)系。得到A、B之間任意位置處電場強度的解析表達式為：

(13)

實驗上用圖1所示的電極模型，測量過程中使用的位置差分間隔為Δr=0.2 cm，將測量得到的電勢值代入公式(11)得到對應位置處的電場強度值，測量得到各個半徑r處對應的電勢和電場強度數(shù)值如表1所示。需要說明的是電場強度是相鄰兩個電勢做差之后計算得到，差分之后的電場強度數(shù)據(jù)量要比原始的電勢數(shù)據(jù)少一個，所以表1中r=1.2 cm處沒有電場強度值。

表1 同軸圓柱圓筒電勢與電場值

如圖3(a)和(b)分別表示同軸圓柱圓筒模型中電勢和電場強度值隨著位置的變化關(guān)系，圖像中的直線與曲線代表的是理論值，圖3(a)中的散點代表的是電勢的測量值，圖3(b)中的散點代表的是經(jīng)過差分公式計算得到的電場值。

lnr/cm(a)

可以看出電勢測量值以及經(jīng)過差分計算的電場值與理論值吻合非常好。

進一步計算得到電勢測量值的標準偏差為：

(14)

其中φi和φ0分別表示對應位置處電勢的測量值與理論值。差分結(jié)果與理論值之間的標準偏差為：

(15)

圖3所展示出的關(guān)系圖以及標準偏差，都說明了該方法在模擬靜電場實驗中是可行的。

對于其他形狀的電極來說，需要建立二維空間直角坐標系，可以通過如圖2所示的電路測量得到二維空間的電勢分布φ(x,y)。二維空間離散化以后任意空間位置可以表示為x=m·Δx、y=n·Δy，則電場強度的分布就可以表示為：

(16)

(17)

在得到電場分量得到以后即可得到電場強度的絕對值：

(18)

該算法不僅可以計算任意形狀的電場分布，進行二次差分以后，還可以得到空間電荷分布。根據(jù)高斯定理，空間任意位置處的電荷分布可表示為：

(19)

(20)

(21)

將(20)、(21)兩式代入到公式(19)以后，就可以得到空間任意位置處的電荷分布，這樣只要測量得到任意電極模型的電勢分布，靜電場的電場強度、電荷等參量即可全部得到。

3 任意形狀電極電場與電荷分布

如圖4所示，為GVZ-4型靜電場描繪儀中的一種四電極模型，并建立如圖所示的xoy坐標系，坐標系中導電微晶上每一個最小網(wǎng)格為：Δx=0.2cm、Δy=0.2cm，以此為離散空間的大小。下面兩個電極都接電路中的B電極，這兩個電極的電勢都為φB=0.00V，上面兩個電極都為A電極并設(shè)定電勢為φa=10.00V。

圖4 四電極模型的結(jié)構(gòu)圖與坐標系

每間隔0.2cm測量各個位置上的電勢以后，就可以得到如圖5所示的電勢分布圖，圖中每條曲線及對應的數(shù)值代表等勢線及對應的電勢值。從等勢線可以清晰地看出電極輪廓及二維平面上的電勢分布。因為電極都是金屬導體，從等勢線也可以看出四個電極都為等勢體，下面兩個電極電勢為0.00V，上面兩個電極電勢為10.00V，這都符合實驗設(shè)定的初始條件。

圖5 四電極模式的電勢分布

測量得到二維電勢分布以后，使用MATLAB對二維數(shù)據(jù)進行差分運算，MATLAB差分計算的整體模型和流程如圖6所示。

圖6 MATLAB數(shù)值差分計算模型

分別將二維電勢分布在x方向和y方向進行差分和插值，這里需要插值補齊是因為經(jīng)過差分運算以后會有數(shù)據(jù)損失，例如在表1中電勢值有27個數(shù)據(jù)，但是差分之后r=1.2cm處就少了一個電場數(shù)據(jù)，電場強度只有26個數(shù)據(jù)，需要經(jīng)過插值運算將26個數(shù)據(jù)補齊到27個，計算得到的電場和電荷分布都使用的是三次樣條插值算法。

如圖7所示的電場分布可以看出，強電場主要分布在A、B電極之間，同A電極或同B電極之間的電場強度較小。電極附近尖銳位置處的電場強度較強，符合尖端效應的預期。

圖7 四電極模型電場強度分布

圖8所示的電荷分布中紅藍色分別代表正負電荷，白色區(qū)域代表無電荷分布，可以看出大量電荷主要分布在電極導體表面以及導體尖端處，導體內(nèi)部無電荷分布與靜電屏蔽原理吻合，導電微晶平面上分布有少量負電荷，每兩個同A電極或同B電極之間的正負電荷都成對稱分布，說明這是在同電極之間兩個不同位置處形成了偶極子。

圖8 四電極模型電荷分布

4 結(jié) 語

將數(shù)值差分算法引入到模擬靜電場實驗中，實現(xiàn)了電場強度分布和電荷分布的測量，彌補了該實驗項目沒有完全測到電場數(shù)值的欠缺，雖然只給出了一種四電極模型的電場、電荷分布情況，但方法可以應用到任意形狀的電極模型，這對實驗內(nèi)容的深度和廣度是非常有效地拓展。