朱建良 范建剛
同學(xué)們,在本章中,我們將一起領(lǐng)略幾何學(xué)中的一顆光彩奪目的明珠——勾股定理。它被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”,有著悠久的歷史,是人類的智慧結(jié)晶。
一、數(shù)形結(jié)合,奇妙完美
相傳2500年前,古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí),發(fā)現(xiàn)朋友家的地板很有趣,4個(gè)全等的等腰直角三角形可以拼成1個(gè)正方形(如圖1),而且等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方(如圖2)。畢達(dá)哥拉斯陷入深思:兩條直角邊不相等的直角三角形有這個(gè)性質(zhì)嗎?于是他著手從特殊到一般,去探究直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。
在我國古代,《周髀算經(jīng)》最早記錄了“勾股定理”。同學(xué)們,請觀察圖3,3個(gè)正方形的面積分別為a2、b2、c2,你能通過推理計(jì)算,體會(huì)數(shù)與形的完美結(jié)合,感悟數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系嗎(a2+b2=c2)?
二、出入相補(bǔ),各從其類
勾股定理有上百種證法,數(shù)學(xué)家們想方設(shè)法去證明它,可見它的魅力所在。
如圖4,三國時(shí)期東吳數(shù)學(xué)家趙爽將正方形中的4個(gè)直角三角形涂上紅色,把中間的正方形涂上白色,經(jīng)拼補(bǔ)搭配,證明了勾股定理。圖5是圖4的拼圖模型,得到2ab+(b-a)2=c2。魏晉數(shù)學(xué)家劉徽通過“出入相補(bǔ),各從其類”,也巧妙地證明了勾股定理(如圖6)?!俺觥北硎久娣e減少,“入”表示面積增加,“出入相補(bǔ),各從其類”即面積不變,與我們的割補(bǔ)原理類似。這些證明方法都說明了幾何方法的多樣、靈活和美麗。
三、以數(shù)示形,以形思數(shù)
一個(gè)三角形滿足什么條件才是直角三角形?
古埃及人用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,一人同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié),另外兩人分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié),拉緊繩子,就會(huì)得到一個(gè)直角三角形,其直角在第4個(gè)結(jié)處。相傳我國古代大禹在治水時(shí)也用過類似的方法確定直角。
四、學(xué)以致用,轉(zhuǎn)化方程
有首歌這樣唱道:“波平如鏡一湖面,半尺高處出紅蓮;鮮艷多姿湖中立,猛遭狂風(fēng)吹一邊;紅蓮斜臥水淹面,距根生處兩尺遠(yuǎn);漁翁發(fā)現(xiàn)忙思考,湖水深淺有多少?!比鐖D9,你能替漁翁計(jì)算出湖的水深嗎?
同學(xué)們,你們感受到數(shù)學(xué)證明的優(yōu)美與精巧了嗎?感受到應(yīng)用勾股定理解決問題后的喜悅與快樂了嗎?數(shù)學(xué)是人類的一種文化,也是人類文明的積淀和傳承。讓我們一起走進(jìn)勾股定理,感受它豐富的內(nèi)涵吧。
(作者單位:江蘇省太倉市第一中學(xué))