唐紹友

(北京市第四中學(xué) 100034)

引言

2019年5月18日—19日，筆者參加了北京市舉行的“教師資格國考”的面試工作，深有感觸，相當(dāng)部分考生數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)水平不樂觀，請看下面的案例：

第一個考生通過教材上幾個簡單的例子抽象出了等差數(shù)列的定義.

第二個考生在黑板上寫出了遞增數(shù)列與遞減數(shù)列的定義.

當(dāng)時(shí)，面試?yán)蠋熖岢鰡栴}：請兩位考生將這段中文描述用數(shù)學(xué)符號表達(dá)出來，但是考生想了好一會，都答不出來，這表明考生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是不樂觀的.基于此，我們非常有必要提出：在當(dāng)今的數(shù)學(xué)教育中，必須把落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)視為首要的教育目標(biāo)，提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，才能真正意義上提高教育教學(xué)質(zhì)量.在此，就數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑做一些探討.

1 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵

何為抽象？現(xiàn)代漢語詞典對抽象的解釋為：①從許多事物中，舍棄個別的、非本質(zhì)的屬性，抽出共同的、本質(zhì)的屬性，叫抽象，是形成概念的必要手段；②不能具體經(jīng)驗(yàn)到的，籠統(tǒng)的，空洞的.前一層的意思可以理解為：從具體事物中提煉出共同的本質(zhì)特征，后一層的意思是更高層面的提煉與概括，帶有想象的成分，可以是符號化的表達(dá). 現(xiàn)代漢語詞典將素養(yǎng)解釋為：平日的修養(yǎng).基于此，對抽象素養(yǎng)可以理解為：在平日的學(xué)習(xí)與實(shí)踐中所形成的對具體事物的去粗取精、去偽存真、去異求同、去表求本的提煉與概括能力水平，那么何為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)呢？

就是在平日的學(xué)習(xí)與實(shí)踐中所形成的在數(shù)量關(guān)系、空間形式、具體事物中抽象出數(shù)學(xué)研究對象的修養(yǎng)水平，主要是抽象概括能力水平.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)做了更精準(zhǔn)的描述：“數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.”按照這樣的要求，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育目標(biāo)，可以在數(shù)學(xué)概念、幾何、代數(shù)、創(chuàng)新問題等教學(xué)過程中逐步實(shí)現(xiàn).

2 培養(yǎng)抽象素養(yǎng)的途徑

2.1 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)的環(huán)節(jié)中有效培養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，“概念為本”就是這個道理.所以數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，特別是當(dāng)今新課程理念中，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，要實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)核心素養(yǎng)的育人功能，必須重視數(shù)學(xué)概念教學(xué).通過對例子共同特征的歸納，抽象數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性過程中，可有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；從現(xiàn)實(shí)生活實(shí)例出發(fā)，建立數(shù)學(xué)概念的過程就是提煉數(shù)量關(guān)系和整理數(shù)量關(guān)系的過程，不但有利于學(xué)生提高抽象概括能力，而且有利于提高數(shù)學(xué)建模能力，從而提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與建模素養(yǎng)；在學(xué)生抽象概括與明辨數(shù)學(xué)概念多種形式的過程中，發(fā)掘概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，也是培養(yǎng)抽象數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要方面，具體來講，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，既要注重概念的中文形式(有利于學(xué)生把握概念的本質(zhì))，又要注重概念的符號表達(dá)(有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的形式化特征)；既要注重概念的正面形式(這是認(rèn)識概念的關(guān)鍵)，又要注重概念的否定形式(這是深刻認(rèn)識概念的開始，有利于培養(yǎng)批判性思維品質(zhì))；既要注重概念的原始形式(這是認(rèn)識概念的基礎(chǔ)，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念形成的源頭)，又要注重概念的等效形式(這是概念的發(fā)展，有利于學(xué)生整體構(gòu)建知識體系，切實(shí)掌握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系).比如在等差數(shù)列的教學(xué)中，要求學(xué)生掌握以下形式. 中文形式：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列.在明確概念的中文形式基礎(chǔ)上，再總結(jié)出符號形式：{an}是等差數(shù)列?an+1-an=d(d為常數(shù))；等效形式1：{an}是等差數(shù)列?an+1-an=an-an-1(n≥2)?2an=an-1+an+1(n≥2)；等效形式2：{an}是等差數(shù)列?an=kn+m；等效形式3：{an}是等差數(shù)列?Sn=an2+bn；否定形式： {an}不是等差數(shù)列?存在一個n使an+1-an≠an-an-1(比如：a3-a2≠a2-a1，即舉反例法)，這是否定等差數(shù)列的依據(jù).

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念多種形式的目標(biāo)，不能一氣呵成，要把概念多種形式的教學(xué)目標(biāo)分散在各個階段中，比如在上述例子中，等效形式2要放在等差數(shù)列通項(xiàng)公式教學(xué)中完成，等效形式3要放在等差數(shù)列求和一節(jié)的教學(xué)中完成，否定形式放在復(fù)習(xí)課中進(jìn)行為宜;這些形式的概括要在單元復(fù)習(xí)課中完成.總之，在教學(xué)的各個階段中逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念多種形式的教學(xué)目標(biāo).由此可見，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)概念教學(xué)的教學(xué)功能是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要途徑之一.

2.2 在幾何教學(xué)中有效培養(yǎng)

按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，從圖形與圖形的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等數(shù)學(xué)研究對象，是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的表現(xiàn)之一.所以，幾何教學(xué)培養(yǎng)也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的沃土，比如，在具體的事物中發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系，在觀察圖形中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，追求數(shù)學(xué)定理的符號表達(dá)等都是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的大好時(shí)機(jī).

2.2.1 注重立體幾何關(guān)系的生成原型

眾所皆知：立體幾何是現(xiàn)實(shí)世界的抽象產(chǎn)物，所以立體幾何既有直觀的一面，因?yàn)樗€保留著現(xiàn)實(shí)世界的一些屬性，不能完全脫離現(xiàn)實(shí)世界而獨(dú)立存在；立體幾何也有抽象的一面，因?yàn)樗呀?jīng)舍棄了現(xiàn)實(shí)世界的一些鮮活的特征.基于此，在立體幾何教學(xué)中，要減少抽象所帶來的理解難度，適當(dāng)引入一些幾何關(guān)系的生成原型是必須的，有助于學(xué)生加快從生成背景中抽象出幾何關(guān)系與數(shù)學(xué)方法的速度，也有助于學(xué)生快速加入立體幾何門檻的步伐，對于提升抽象素養(yǎng)是有積極意義的. 著名心理學(xué)家巴甫洛夫認(rèn)為：創(chuàng)造思維活動稱為原型啟發(fā)，創(chuàng)造思維通常是在某個原型的啟發(fā)下形成的.例如偉大的數(shù)學(xué)家笛卡爾在蜘蛛“表演”的啟示下，創(chuàng)建了笛卡爾坐標(biāo)系，蜘蛛的“表演”就是一種啟發(fā)原型，可見，啟發(fā)原型在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)中是多么重要！所以，在立體教學(xué)中要努力構(gòu)建幾何原型.比如要判斷這樣一個命題：兩條不垂直的異面直線在一個平面內(nèi)的射影是否可能垂直，如果直接判斷，難度較大，不便于抽象數(shù)量關(guān)系，可以想象它的一個生成原型：將兩條異面直線放在長方體的相鄰兩個側(cè)面里，則這兩條異面直線在底面上的射影始終是垂直的，參看圖1.這樣可以根據(jù)圖形抽象出一個90度角的存在，這實(shí)際上既是一個直觀想象的過程，也是一個數(shù)學(xué)抽象的過程，所以這個過程是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過程.

圖1

案例1如圖2，山坡的傾斜度(坡面與水平面所成二面角的度數(shù))是60°，山坡上有一條直道AD，它和坡腳的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后升高多少米？

圖2

此題有著豐富的內(nèi)涵，既突出了“數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，又展現(xiàn)了重要的作二面角平面角的方法——三垂線法，而且還初步滲透了數(shù)學(xué)建模的方法：閱讀理解→數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)→抽象出數(shù)學(xué)問題(參看圖3)→標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)(問題獲解)→檢驗(yàn)反思評價(jià)，因此，本例是作二面角平面角的一個重要啟發(fā)原型，在涉及三垂線法作平面角的實(shí)際應(yīng)用中可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想這個原型.將原型與眼前的問題比較，將其中一個平面視為山坡面，將另一個平面視為水平平面，在解決有關(guān)作二面角的平面角時(shí)，關(guān)鍵在于找到一個水平面與山坡平面，在比較中抽象出用三垂線法構(gòu)造平面角的基本方法;這個二面角的生成原型，對抽象三垂線法作二面角平面角方法的本質(zhì)是一個非常直觀的模型，將這個原型用于解決有關(guān)作二面角平面角的問題中，有助于解題思路的自然獲得.

圖3

2.2.2 注重圖形語言與自然語言向符號語言的轉(zhuǎn)化

看圖說話是抽象思維的一個表現(xiàn)，看圖形說的話能否抓住問題的本質(zhì)與關(guān)鍵，是抽象思維能力的集中表現(xiàn).在立體幾何的教學(xué)中，由空間圖形抽象出點(diǎn)線面的位置關(guān)系，并用數(shù)學(xué)符號表述，這是學(xué)習(xí)立體幾何的一個最基本的要求，用數(shù)學(xué)符號表述空間圖形中的位置關(guān)系就是識圖能力的主要表現(xiàn).在立體幾何入門的教學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)學(xué)生用自然語言證明立體幾何問題，表述混亂，缺少邏輯性，總之缺少數(shù)學(xué)味，面對這樣的問題，必須引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)圖形特征，抽象出與圖形相吻合的數(shù)學(xué)符號表達(dá)，形成形式化的嚴(yán)格表述，這樣才能提高抽象思維能力與邏輯推理能力.另一方面，需要切實(shí)關(guān)注自然語言向數(shù)學(xué)符號語言的轉(zhuǎn)化，用自然語言表述立體幾何中的定理與公理，容易突出定理與公理的本質(zhì)特征，但是在推理論證中表述比較困難，為了嚴(yán)格的形式化推理，也需要將自然語言做符號化處理，這也是一個抽象的過程，必要時(shí)，需要圖形做鋪墊.所以有理由提出：在立體幾何教學(xué)中，切實(shí)加強(qiáng)自然語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換，是學(xué)生學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)條件，也是訓(xùn)練數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一個有效途徑.

2.2.3 在解決幾何問題中依托幾何性質(zhì)抽象數(shù)量關(guān)系

2.3 在代數(shù)教學(xué)中有效培養(yǎng)

代數(shù)本來具有抽象的特征，如果僅用抽象到抽象的推理方式來展開代數(shù)教學(xué)，那么學(xué)生學(xué)習(xí)的難度是很大的，所以在代數(shù)教學(xué)中必須發(fā)揮直觀圖形和生活實(shí)例的重要作用，結(jié)合知識體系的要求，將代數(shù)的教學(xué)過程設(shè)計(jì)為直觀——抽象——再抽象的過程.

2.3.1 利用圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)和數(shù)學(xué)方法

在代數(shù)學(xué)習(xí)中感受到：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)與數(shù)學(xué)方法，主要有兩條途徑，一是直接從抽象的代數(shù)表達(dá)式出發(fā)，經(jīng)過一些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)與方法，再進(jìn)行嚴(yán)格證明，或者是直接進(jìn)行演繹推理，推出一些性質(zhì)和方法；二是依靠圖形，通過對圖形的觀察分析，抽象出相關(guān)性質(zhì)與解決方法，但是由于圖形的片面性和誤差，常會出現(xiàn)一些錯誤，所以必要時(shí)還需進(jìn)行力所能及的證明.為了減少學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的抽象難度，必須發(fā)揮圖形在學(xué)習(xí)代數(shù)中的作用，比如在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，要學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)的一些性質(zhì)，適當(dāng)依靠函數(shù)圖象作鋪墊，可以讓學(xué)生加快發(fā)現(xiàn)的速度，與此同時(shí)，又是訓(xùn)練抽象素養(yǎng)的契機(jī).比如研究函數(shù)的零點(diǎn)，可以先通過對圖象的研究，直觀感受到零點(diǎn)的情況，再進(jìn)行必要的代數(shù)證明，這就是一個抽象過程，從圖形抽象數(shù)量關(guān)系，從而獲得所需的目標(biāo).又比如三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性、奇偶性的發(fā)現(xiàn)，站在學(xué)生學(xué)情的角度，真離不開三角函數(shù)圖象的鋪墊，圖形可謂是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)與數(shù)學(xué)方法的催化劑.

2.3.2 利用生活實(shí)例建立代數(shù)模型

現(xiàn)實(shí)生活中存在著許多數(shù)學(xué)問題，需要抽象數(shù)量關(guān)系，引入數(shù)學(xué)符號，從而可以建立代數(shù)模型，得到人們所需要的研究對象，對此進(jìn)行數(shù)學(xué)化的深刻研究，可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些問題，為人類服務(wù).在此過程可以促進(jìn)學(xué)生抽象素養(yǎng)的發(fā)展，因?yàn)樵诖诉^程中需要舍去個別屬性，抓住其中的與數(shù)學(xué)有關(guān)的本質(zhì)屬性，明確數(shù)量關(guān)系，利用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，大膽運(yùn)用數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型，需要求解數(shù)學(xué)模型，再回去解釋說明現(xiàn)實(shí)生活中的問題，這就是一個抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程.比如學(xué)習(xí)函數(shù)以后，可以讓學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)生活中的函數(shù)模型問題，學(xué)習(xí)數(shù)列之后，可以讓學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)列模型問題，比如購房中的分期付款問題就是數(shù)列模型，學(xué)習(xí)不等式之后，可以讓學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)生活中的不等模型，包括解不等式、利用均值不等式求最值等問題，都是訓(xùn)練抽象素養(yǎng)的大好時(shí)機(jī)，總之，在建立代數(shù)模型的過程中，既可以培養(yǎng)建模素養(yǎng)，又可以訓(xùn)練抽象素養(yǎng).

2.4 在創(chuàng)新問題的解決中有效培養(yǎng)

在創(chuàng)新問題中，沒有固定的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)模型可以套用，通過現(xiàn)場學(xué)習(xí)一個新定義，解決一個新問題，在求解過程中需要諸多數(shù)學(xué)素養(yǎng)的參與，特別是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)顯得尤為重要.高考中考查的創(chuàng)新問題正是這樣的問題，綜合考查核心素養(yǎng)，在此重點(diǎn)探討數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在解決創(chuàng)新問題中的表現(xiàn)和培養(yǎng).

2.4.1 在存在型問題中學(xué)會構(gòu)造

“存在即構(gòu)造”這是解決存在型問題的重要準(zhǔn)則，要說明一個問題的存在，就需要構(gòu)造一個例子，這是鐵證如山，具有很強(qiáng)的說服力.按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，“能夠用恰當(dāng)?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學(xué)概念和規(guī)則”，這是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的第二水平要求之一.在解決一些創(chuàng)新問題中，就是根據(jù)抽象的數(shù)學(xué)概念構(gòu)造例子，實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)，這是抽象思維的表現(xiàn).具體來講：構(gòu)造例子的途徑多種多樣，可以從極端情形進(jìn)行構(gòu)造；可以從探究證明思路中獲得啟示進(jìn)行構(gòu)造；可以從圖形背景中進(jìn)行構(gòu)造；可以從逐步調(diào)整中進(jìn)行構(gòu)造.包括正例與反例的構(gòu)造，特別是在一些反例的構(gòu)造中，對抽象素養(yǎng)有較高的要求.在例子的構(gòu)造中，可促進(jìn)學(xué)生抽象素養(yǎng)的提升.

案例2(2016年北京高考題)設(shè)數(shù)列A：a1，a2,…，aN(N≥2).如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有aka1，則G(A)≠ ? ；

分析要證明G(A)≠ ?，就需要至少構(gòu)造一個元素符合“G時(shí)刻”的定義，那么根據(jù)條件：數(shù)列A中存在an使得an>a1，就可以取出數(shù)列中第一個比a1大的項(xiàng)an作為例子，再證明此時(shí)的n滿足“G時(shí)刻”的定義，從而可知n∈G(A).但是要寫出證明過程，需要用抽象的符號語言表述，在當(dāng)年的高考中，學(xué)生的表現(xiàn)不樂觀，即使明白了證明目標(biāo)，但是用數(shù)學(xué)化語言表述比較困難，特別是用符號語言表述數(shù)列中第一個比a1大的項(xiàng)an，此時(shí)的n，顯得很困難.這說明學(xué)生的抽象素養(yǎng)水平發(fā)展不平衡.

證明方法1因?yàn)榇嬖赼n使得an>a1，所以{k∈N*，k≥2|ak>a1且ai≤a1(i=1,2,…,k-1)}≠?，所以ak>a1≥ai?ak>ai(i=1,2,…,k-1)，所以k∈G(A)，所以G(A)≠?

證明方法2因?yàn)榇嬖赼n使得an>a1，

所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}≠?.

記m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}，

則m≥2，且對任意正整數(shù)k

因此m∈G(A)，從而G(A)≠?.

從上面的證明過程看出：根據(jù)新定義與存在性的要求構(gòu)造例子是一個抽象表述的過程，是提升抽象素養(yǎng)的過程.

2.4.2 在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)會觀察抽象

數(shù)學(xué)也離不開實(shí)驗(yàn).一些問題的解決可以用實(shí)驗(yàn)作“催化劑”.可以加快獲得解題思路的速度，特別是在解決創(chuàng)新問題過程中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)尤為重要，由于創(chuàng)新問題的定義與表述比較抽象，對于解決思路的形成也是具有較大的抽象難度，為此，需要數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)做鋪墊，通過對實(shí)驗(yàn)的觀察，再抽象出實(shí)驗(yàn)中所隱含的本質(zhì)和一般性的結(jié)論，這對于發(fā)現(xiàn)問題的解決思路具有啟示價(jià)值.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為兩類：操作實(shí)驗(yàn)和思維實(shí)驗(yàn).操作實(shí)驗(yàn)按以下模式進(jìn)行：實(shí)例出發(fā)→在計(jì)算機(jī)上的實(shí)驗(yàn)→發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律→提出猜想→驗(yàn)證猜想；思維實(shí)驗(yàn)的模式是：問題→取持例研究→發(fā)現(xiàn)結(jié)論→嚴(yán)格論證.不論從哪種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ絹砜?，都是提高抽象概括能力的有效途徑，也是培養(yǎng)抽象素養(yǎng)的有效途徑.

(Ⅰ)當(dāng)n=3時(shí)，若α=(1, 1, 0)，β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；

(Ⅱ)給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α,β，M(α,β)=0．寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由.

分析(Ⅰ)的解決過程就是一個數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，

由此實(shí)驗(yàn)可以抽象概括出其中的本質(zhì)特征：當(dāng)任意兩個元素(包括相同元素)中相同位置上都是1時(shí)，運(yùn)算結(jié)果都產(chǎn)生1，當(dāng)相同位置上不都是1時(shí)，運(yùn)算結(jié)果都產(chǎn)生0.這樣的規(guī)律為第(Ⅱ)問結(jié)論發(fā)現(xiàn)提供了重要線索：(1,0，…,0);(0,1,0,…,0);(0,0,1,0,…,0); …；(0,0,…,0,1)；(0,0,…,0)才能符合B集合的條件，從而可以發(fā)現(xiàn)B集合中元素個數(shù)最多為n+1.然后再做證明.就是對上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象更深刻化的抽象表述，是較高層面的數(shù)學(xué)符號表征.

解(Ⅱ)設(shè)Sk={(x1,x2,…,xn)|(x1,x2,…,xn)∈A,xk=1,x1=x2=…=xk-1=0}(k=1,2,…,n)，Sn+1={(x1,x2,…,xn)|x1=x2=…=xn=0}，則A=S1∪S2∪…∪Sn+1．對于Sk(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β，經(jīng)驗(yàn)證，M(α,β)≥1．所以Sk(k=1,2,…,n-1)中的兩個元素不可能同時(shí)是集合B的元素.

所以B中元素的個數(shù)不超過n+1．取ek=(x1,x2,…,xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n-1)，令B={e1,e2,…,en-1}∪Sn∪Sn+1，則集合B的元素個數(shù)為n+1，且滿足條件．故B是一個滿足條件且元素個數(shù)最多的集合.

從上述思考與證明過程看出：對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的高度概括與抽象是解決創(chuàng)新問題的重要源泉，再做抽象化的表述是解決創(chuàng)新問題的關(guān)鍵.這樣問題的解決對抽象思維能力的要求較高，是培養(yǎng)較高層次的抽象素養(yǎng)水平的重要素材，高考中出現(xiàn)這樣的試題是實(shí)現(xiàn)選拔功能的需要，是為高校培養(yǎng)優(yōu)秀學(xué)生的需要.

綜合上述，數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，這種抽象性決定了提升人的抽象素養(yǎng)水平的育人功能.所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)知識體系的要求和學(xué)生的學(xué)情實(shí)際，按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，對直觀圖形、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、現(xiàn)實(shí)背景、典型例子進(jìn)行觀察抽象，對抽象概念、抽象性質(zhì)進(jìn)行抽象構(gòu)造與符號化的表征，適當(dāng)結(jié)合邏輯推理，都是提高學(xué)生的抽象素養(yǎng)水平的有效途徑.當(dāng)然，培養(yǎng)抽象素養(yǎng)不是短期行為，必須將培養(yǎng)抽象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)納入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全程，從課堂教學(xué)到課外作業(yè)、各種考試都要涉及抽象素養(yǎng)的有關(guān)素材，唯有這樣，才能促進(jìn)學(xué)生抽象素養(yǎng)水平的逐步提升，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展提供素養(yǎng)保障.