馮文娟 郭要紅

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 241000)

1 引言

本文的起源是《數(shù)學(xué)通報》每期問題系列的問題2564.

問題2564[1]在△ABC中，設(shè)△ABC的三邊長分別為a,b,c，則有

(1)

當且僅當△ABC為正三角形時等號成立.

《數(shù)學(xué)通報》2020年第10期刊登了問題設(shè)計者提供的解答.[2]在尋求問題的其他證明途徑時，我們發(fā)現(xiàn)(1)式成立的條件無需a,b,c是△ABC的三邊長，條件可以放寬為“a,b,c是正實數(shù)”，即有

定理1設(shè)a,b,c>0，則

(2)

等號當且僅當a=b=c時成立.

從項數(shù)與指數(shù)入手，(2)式可推廣為

定理2設(shè)ai>0(i=1,2,…,n)，則

(3)

等號當且僅當a1=a2=…=an時成立.

2 引理與結(jié)論的證明

2.1 一個引理

為證明主要結(jié)論，先引入一個引理.

2.2 結(jié)論的證明

(3)式證明由引理知，對xi>0(i=1,2,…,n-1)，有

(4)

等號當且僅當x1=x2=…=xn-1時成立.

(均值不等式)

(根據(jù)(4)式)

即

同理可得

……

將上述n個不等式相加，得

由均值不等式與(4)式等號成立的條件知，(3)式等號當且僅當a1=a2=…=an時成立.

(3)式得證.

在(3)式中，取n=3即得(2)式，所以(2)式成立.

3 討論

3.1 (1)式與(2)式等價

3.2 算術(shù)—幾何均值不等式的一個隔離

由二元均值不等式，有

≥a·bc+b·ca+c·ab=3abc.

于是，我們得到三元算術(shù)—幾何均值不等式的一個隔離.

定理3設(shè)a,b,c>0，則

等號當且僅當a=b=c時成立.

同理，可以得到n元算術(shù)—幾何均值不等式的一個隔離.

定理4設(shè)ai>0(i=1,2,…,n)，則

等號當且僅當a1=a2=…=an時成立.