于曉宇 李春蘭

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 010022)

1 前言

基本不等式聯(lián)系著代數(shù)和幾何中的兩個(gè)基本量——算術(shù)中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)，涉及數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算(加法、乘法、除法、開方)，還具有以下特點(diǎn).首先，基本不等式的證明方法層出不窮.“AG不等式(1)算術(shù)-幾何平均值不等式，又名AG不等式.各種不同的證法一直是人們研究的一個(gè)熱點(diǎn)……事實(shí)上至今已有上百種不同的證明方法.”[3]其次，基本不等式的應(yīng)用十分廣泛，尤其在求最值的問題中，且在其他很多學(xué)科中都有不可或缺的作用.1986年的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》首次要求學(xué)生掌握二元和三元的算術(shù)-幾何平均值不等式，《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》(2004年版)必修教科書只要求學(xué)生掌握二元形式，即基本不等式，將三元和多元的算術(shù)-幾何平均值不等式編排在了選修中.雖然基本不等式出現(xiàn)在教學(xué)大綱中的時(shí)間偏晚，但其涵義——“和定積最大”，卻早在1952年就已經(jīng)出現(xiàn)在我國的教科書中了.

綜上，基本不等式的重要性可見一斑.因此很有必要對(duì)以往高中基本不等式的研究文獻(xiàn)進(jìn)行系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)梳理與研究，總結(jié)研究取得的成果，展望可能的研究方向，為高中基本不等式的教學(xué)與研究提供借鑒與思考.

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 數(shù)據(jù)采集

要回顧高中基本不等式研究的發(fā)展歷程并展望其發(fā)展，以核心期刊中有關(guān)高中基本不等式的研究文獻(xiàn)作為研究對(duì)象，應(yīng)是可靠的數(shù)據(jù)來源.正如葉繼元所言：“核心期刊是本學(xué)科中刊載專業(yè)論文量大，引用率高，代表該學(xué)科領(lǐng)域發(fā)展水平的少數(shù)期刊.”[4]考慮到核心期刊會(huì)不斷更新，為了保證研究的可靠性，主要采取人工篩選的方式進(jìn)行文獻(xiàn)檢索.

研究過程中使用中國知網(wǎng)進(jìn)行文獻(xiàn)檢索，在高級(jí)檢索條件下，篇名或關(guān)鍵詞分別選擇“基本不等式”“均值不等式”“均值定理”“平均值不等式”，期刊范圍選擇“核心期刊”；普通檢索條件下，篇名分別設(shè)置為上述4類，將得到的文獻(xiàn)進(jìn)行人工篩選.截止到2020年12月22日，兩種檢索方式共篩選出115篇發(fā)表在核心期刊上的基本不等式研究文獻(xiàn).然后泛讀所有搜集到的文獻(xiàn)，剔除高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，以及非高中階段要求掌握的基本不等式(算術(shù)-幾何平均值不等式)的研究文獻(xiàn)，得到61篇高中基本不等式研究論文.

2.2 研究方法

借鑒牛偉強(qiáng)[5](2017)和陸珺[6](2019)等人文獻(xiàn)分析的維度、參考朱立明[7]文獻(xiàn)述評(píng)的特點(diǎn)，并結(jié)合本研究具體情況，將分析維度劃分為年代分布、期刊分布、作者情況、研究類型和研究內(nèi)容五個(gè)方面.將61篇文獻(xiàn)編碼便于統(tǒng)計(jì)和查找，再次泛讀文獻(xiàn)，按照分析維度記錄相關(guān)內(nèi)容.兩輪泛讀之后，有34篇精讀文獻(xiàn)被納入文獻(xiàn)研究范疇.

首先，使用內(nèi)容分析法對(duì)61篇文獻(xiàn)的內(nèi)容進(jìn)行客觀、系統(tǒng)和量化的描述，用直觀的圖表展現(xiàn)高中基本不等式研究相關(guān)維度的變化歷程.其次，使用文獻(xiàn)研究法，對(duì)兩輪泛讀后確定的34篇精讀文獻(xiàn)進(jìn)行分析和整理，進(jìn)一步掌握前人已取得的研究成果以及現(xiàn)行的研究狀況等.最后，分析和展望高中基本不等式研究的發(fā)展方向.

3 結(jié)果與發(fā)現(xiàn)

3.1 年代分布

分析文獻(xiàn)的年代分布不僅能從宏觀上回顧某一研究的文獻(xiàn)分布情況，還能從圖表中了解其動(dòng)態(tài)的變化趨勢(shì).對(duì)搜集到的61篇文獻(xiàn)進(jìn)行年份統(tǒng)計(jì)(如圖1).

圖1 發(fā)文篇數(shù)年代分布

由圖1發(fā)現(xiàn)高中基本不等式研究文獻(xiàn)發(fā)表的時(shí)間范圍為1992—2020年，時(shí)間跨度達(dá)30年，不少年份發(fā)文數(shù)量為0篇，年均發(fā)文量只有2篇，可見高中基本不等式研究年均發(fā)文量很低.根據(jù)圖1，1992—2020年間發(fā)文量明顯的增長發(fā)力點(diǎn)位于1993年，這應(yīng)該與1993年的高考數(shù)學(xué)試卷中編排了一道利用基本不等式求函數(shù)最值的題目不無關(guān)系，在1995年達(dá)到峰值，但峰值也只有9篇，之后驟降，只有2000年發(fā)文數(shù)量超過5篇，2010—2014年連續(xù)5年的發(fā)文總量只有2篇，可謂是高中基本不等式研究的冰凍期.

3.2 期刊分布

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)61篇高中基本不等式研究文獻(xiàn)分布在9種核心期刊(見表1)，其中僅2篇來自CSSCI來源期刊(含拓展版)(2)《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》在2014年成為CSSCI擴(kuò)展版來源.因此2009年發(fā)表在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》的1篇文章并不是來自CSSCI來源期刊(含拓展版)..發(fā)文量最多的是《數(shù)學(xué)通報(bào)》，其次是《數(shù)學(xué)通訊》和《中學(xué)數(shù)學(xué)》.表1中前3種期刊共發(fā)文51篇(83.61%)，可見這3種期刊是高中基本不等式研究的主要發(fā)文核心刊物.

表1 高中基本不等式研究期刊分布

3.3 作者情況

作者的學(xué)術(shù)水平是文獻(xiàn)研究水平的主要決定因素之一.從第一作者的機(jī)構(gòu)、地區(qū)和合作情況三個(gè)角度分別對(duì)高中基本不等式研究的61篇文獻(xiàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

3.3.1 作者機(jī)構(gòu)分布

按第一作者單位對(duì)研究文獻(xiàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(見表2). 由表2可知，高中基本不等式研究文獻(xiàn)的主要發(fā)文機(jī)構(gòu)為中學(xué)校，發(fā)文量達(dá)47篇(77.05%).相比之下，高等院校發(fā)文較為零散，其中只有2所“211”“985”高校，各發(fā)文1篇.可見，中學(xué)教師是研究的主要力量，而高校教師卻較少參與到基本不等式的研究中.

表2 高中基本不等式研究機(jī)構(gòu)分布

3.3.2 作者地區(qū)分布

按第一作者所在行政區(qū)對(duì)研究文獻(xiàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(見表3).共涉及21個(gè)省、直轄市，文獻(xiàn)產(chǎn)量從9篇到1篇不等，我國5個(gè)少數(shù)民族自治區(qū)中只有廣西壯族自治區(qū)包含1篇文章.將表3的結(jié)果按東、中、西部的三大地理區(qū)域進(jìn)行劃分(見表4)，發(fā)現(xiàn)來自東部發(fā)達(dá)地區(qū)的文獻(xiàn)共有37篇(60.66%)，而來自西部經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)的文獻(xiàn)數(shù)量最少，只有8篇(13.11%).可見教育研究人員的科研成果和方向在一定程度上受該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平影響.

表3 第一作者行政區(qū)分布

表4 第一作者地理區(qū)域分布

3.3.3 作者合作情況

高中基本不等式研究以個(gè)人獨(dú)立研究為主，合作研究較少(見表5).有49篇文獻(xiàn)為作者獨(dú)作(80.33%)，合作的文獻(xiàn)只有12篇(19.67%). 在合作研究的12篇文獻(xiàn)中，從作者身份來看，中學(xué)教師合作的有8篇(66.67%)，高校教師合作的有4篇(33.33%)，并未發(fā)現(xiàn)有高校教師與中學(xué)教師合作的文獻(xiàn).從作者工作單位來看，校內(nèi)合作、跨校合作分別有6篇，在跨校合作中，有3篇是跨省合作，既包括中學(xué)教師的跨省合作，也包括高校教師的跨省合作.

表5 高中基本不等式作者合作情況

3.4 研究類型

將61篇文獻(xiàn)中涉及到的研究類型分為思辨研究、實(shí)證研究、歷史研究和案例研究，并進(jìn)行整理和統(tǒng)計(jì)(見表6).

由表6可知，高中基本不等式研究文獻(xiàn)的研究類型主要以思辨研究為主，共有51篇文獻(xiàn)(83.61%)，而實(shí)證研究、歷史研究和案例研究的占比較小，說明有關(guān)高中基本不等式的研究類型較為單一，使用實(shí)證研究、歷史研究和案例研究等類型的文獻(xiàn)也很匱乏.

表6 高中基本不等式研究類型

對(duì)涉及到的研究類型按年代再進(jìn)行整理(如圖2)，在2008年以前，有關(guān)高中基本不等式研究文獻(xiàn)的類型以思辨研究為主，1992—2008年間發(fā)表在核心期刊上的高中基本不等式研究文獻(xiàn)共48篇，其中2篇分別是歷史研究和案例研究，其余均為思辨研究.2009—2020年間共發(fā)表13篇文獻(xiàn)，其中8篇文獻(xiàn)采用了思辨研究之外的研究類型，并且在這期間還新增了實(shí)證研究的類型.從2009年開始，研究類型逐漸多樣化，可見，學(xué)者們?cè)桨l(fā)地關(guān)注到了基本不等式的價(jià)值所在.

圖2 研究類型年代分布

3.5 研究內(nèi)容

3.5.1 內(nèi)容分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)

對(duì)搜集到的61篇文獻(xiàn)進(jìn)行系統(tǒng)的梳理和分析，發(fā)現(xiàn)關(guān)于高中基本不等式的研究主要集中在四個(gè)方面，按年份將研究內(nèi)容整理(見表7).基本不等式的應(yīng)用研究可謂是最“熱”的研究話題，數(shù)量占到總文獻(xiàn)的60.66%；其次是基本不等式的教學(xué)(19.67%)、證明(13.12%)及認(rèn)識(shí)角度(6.55%)的研究.

表7 研究內(nèi)容分布

高中基本不等式的應(yīng)用又可以細(xì)分為5類，其中文獻(xiàn)數(shù)量最多的3類是用基本不等式求最值(19.67%)、解決多種問題(14.75%)和證明不等式(14.75%)，總和已經(jīng)接近文獻(xiàn)總數(shù)的一半.最后按統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以籠統(tǒng)地將9類研究內(nèi)容分為3個(gè)數(shù)量層級(jí).第1層級(jí)是10篇及以上，包括用基本不等式求最值和教學(xué)研究；第2層級(jí)是6-9篇，包含用基本不等式證明不等式、解決多種問題和非歷史角度證明研究；第3層級(jí)是1-5篇，包括用基本不等式解決實(shí)際問題和錯(cuò)解研究、基本不等式的認(rèn)識(shí)角度研究和歷史角度證明研究.因此，研究人員更加關(guān)注的是利用基本不等式求最值和基本不等式的教學(xué)，而根據(jù)研究內(nèi)容的年代分布圖(如圖3)可以看出，基本不等式的教學(xué)研究在最近幾年引發(fā)了一波熱度，從2015年開始，幾乎每年都有學(xué)者從教學(xué)角度研究基本不等式.而應(yīng)用研究似乎已經(jīng)達(dá)到飽和，從2009年開始便一直處于低潮期.基本不等式的證明方法雖然多種多樣，但是一直并未引起足夠的關(guān)注.

圖3 研究內(nèi)容的年代分布

3.5.2 文獻(xiàn)研究述評(píng)

(1)基本不等式的應(yīng)用研究

基本不等式的應(yīng)用是學(xué)者們偏愛的研究主題，相關(guān)研究文獻(xiàn)數(shù)量有37篇(60.66%)，達(dá)到文獻(xiàn)總數(shù)的一半以上.一方面，學(xué)者們利用基本不等式證明其他不等式，其中包括著名不等式——貝努利不等式(譚登林，1993)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的不等式證明(劉祖希，2003等)等經(jīng)典題目.

另一方面，基本不等式還是解決最值問題的有力工具.關(guān)于求函數(shù)最值，多數(shù)學(xué)者都是將所求最值函數(shù)進(jìn)行一定的變形(畢明黎，1996等)，再巧妙運(yùn)用基本不等式求得最值.還有學(xué)者從基本不等式本身出發(fā)，如巧妙設(shè)置帶參數(shù)的基本不等式(鄧光發(fā)，1998)等方法來求得函數(shù)最值.除了求函數(shù)最值，基本不等式也能求圓錐體積的最大值(楊志明，2003)、解決許多實(shí)際應(yīng)用問題(趙存善，2003等).

上述證明和求解等問題都是學(xué)者們單獨(dú)在某篇文章中進(jìn)行討論的，也有很多學(xué)者在一篇文章中同時(shí)討論幾類基本不等式的應(yīng)用問題(明知白，1995等).這些問題多數(shù)來自教科書中題目改編、高考題、數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題和實(shí)際問題等，題目類型也十分多樣.除此之外，部分學(xué)者(陳東升，2008等)則是討論了基本不等式的錯(cuò)解，以指出錯(cuò)因并改正.

從這些文獻(xiàn)中可以發(fā)現(xiàn)，基本不等式的應(yīng)用的確十分廣泛，并不局限于證明不等式和求最值的問題中，學(xué)者們用開闊的思維，為我們展現(xiàn)出了一個(gè)華麗的基本不等式應(yīng)用的舞臺(tái)，讓基本不等式自由地徜徉于數(shù)學(xué)的海洋中.

(2)基本不等式的證明研究

基本不等式的證明一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的研究內(nèi)容之一，幾何證明方法也滲透著數(shù)形結(jié)合的思想.整理發(fā)現(xiàn)有關(guān)基本不等式證明的文獻(xiàn)有8篇(13.12%).賀賢孝(1995)和沈金興(2016)都站在歷史的角度論述了基本不等式的證明方法，但二者論述角度略有不同.賀賢孝只是總結(jié)了數(shù)學(xué)家曾證明基本不等式的方法，沈金興卻站在巨人的肩膀上，修改或借鑒前人的證明方法，目的是為了使其更適合課堂教學(xué).不得不說，證明方法“花樣百出”是基本不等式的一大亮點(diǎn).除了借鑒前人的證明方法，很多學(xué)者也通過自己的思考探索出了多種基本不等式的證明方法，例如，劉會(huì)豐(2008)以“構(gòu)造法”為線索，探索出了如構(gòu)造二次方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖形等證明基本不等式的方法.

(3)基本不等式的教學(xué)研究

有關(guān)基本不等式教學(xué)研究的文獻(xiàn)有12篇(19.67%)，都是以基本不等式為例來探討教學(xué)中的其他問題.這部分文獻(xiàn)的研究類型相比于前兩類研究較為多樣，包含了思辨研究、案例研究和實(shí)證研究三種.

采用實(shí)證研究類型的文獻(xiàn)有3篇，張偉平(2009)從基本不等式中的“等號(hào)”出發(fā)，以大一新生為實(shí)證研究對(duì)象，調(diào)查了學(xué)生對(duì)等價(jià)思想的認(rèn)識(shí)；黃婭(2016)從教師知識(shí)掌握的角度出發(fā)，針對(duì)“基本不等式”內(nèi)容，對(duì)教師的“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)(MKT)”進(jìn)行了問卷調(diào)查和訪談；張令偉(2018)等將高三學(xué)生作為被試對(duì)象，探討了基本不等式問題特征的不同相似關(guān)系對(duì)解題遷移的影響.

采用案例研究類型的文獻(xiàn)有4篇，李正池(1997)和蔡欣(2015)記錄了自己講授 “基本不等式”的一節(jié)課.張蜀青(2015)則是記錄了三節(jié)分別由兩名中學(xué)教師和一名大學(xué)教師講授的基本不等式公開課，通過“同課異構(gòu)”，分析了中學(xué)教師與大學(xué)教師不同的講授方法和其中暗含的教育理念.吳佐慧(2020)從HPM的新穎視角出發(fā)，通過數(shù)學(xué)史微視頻以及探究活動(dòng)等對(duì)基本不等式的教學(xué)進(jìn)行了一次嘗試.

其余文獻(xiàn)均為思辨研究，以基本不等式教學(xué)為例探討了教學(xué)中例如怎樣培養(yǎng)靈感(李德欽，2001)、如何在教學(xué)中踐行“三個(gè)理解”(陳義明，2017)、如何進(jìn)行變式教學(xué)(鐘志華，2019)等問題.其中余小芬(2018)以基本不等式一節(jié)為例，給出了創(chuàng)造性使用教科書的幾種思路，并倡導(dǎo)讀者大膽地對(duì)教科書進(jìn)行二次開發(fā).

從以上文獻(xiàn)可以看出，有關(guān)基本不等式的教學(xué)研究，不論是從研究內(nèi)容還是研究類型來看，都展現(xiàn)出了更加千姿百態(tài)的形式.

(4)基本不等式認(rèn)識(shí)角度的研究

基本不等式結(jié)合了數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本量——算術(shù)平均值和幾何平均值，雖然看似結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但卻蘊(yùn)含著十分豐富的內(nèi)容.這類文獻(xiàn)共有4篇(6.55%)，學(xué)者們雖然并未對(duì)基本不等式進(jìn)行嚴(yán)格證明，卻用別具一格的視角，帶領(lǐng)讀者重新認(rèn)識(shí)基本不等式.其中幾何視角占領(lǐng)更廣闊的位置.例如，徐章韜(2004)和汪曉勤(2015)都是從幾何方法入手，而汪曉勤則是從勾股容方圖出發(fā)，得到了探究基本不等式的幾何方法，同時(shí)啟示讀者：帶著HPM的眼光去閱讀數(shù)學(xué)歷史文獻(xiàn)能夠?yàn)榻虒W(xué)甚至我們的思想帶來鮮活的養(yǎng)料.方亞斌(2013)從代數(shù)、方程、統(tǒng)計(jì)、向量等9個(gè)視角來認(rèn)識(shí)基本不等式，視角更加多元和豐富.

4 反思與展望

縱觀1992—2020年高中基本不等式研究，以時(shí)間為線索，研究內(nèi)容和研究類型逐漸多元化.一方面，2008年以前的研究大多集中于基本不等式的應(yīng)用，研究類型主要以思辨研究為主，從2009年開始，有關(guān)基本不等式的教學(xué)研究增多，研究類型更加多樣.另一方面，早期的研究作者以中學(xué)教師為主，但近年來高校研究者也陸續(xù)參與到基本不等式的研究中.總之，有關(guān)高中基本不等式的研究持續(xù)時(shí)間久，研究內(nèi)容、研究類型和合作情況等都表現(xiàn)出向好的態(tài)勢(shì)，取得了一定的研究成果，但年均發(fā)文量卻非常低，仍有很多問題值得關(guān)注.

4.1 現(xiàn)有研究的不足

首先，高中基本不等式研究論文的數(shù)量有待提升，研究類型有待豐富.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)高中基本不等式的年均發(fā)文量只有2篇，發(fā)表在CSSCI來源(含擴(kuò)展版)期刊上的文獻(xiàn)更是屈指可數(shù)，可見高中基本不等式還應(yīng)該受到學(xué)者的更多關(guān)注.另外，雖然近年來文獻(xiàn)的研究類型趨于多樣化，但現(xiàn)有的文獻(xiàn)類型主要還是以思辨研究為主，占全部文獻(xiàn)的83.61%，因此在研究類型的選擇和應(yīng)用上還有待豐富和加強(qiáng).

其次，高中基本不等式研究人員地區(qū)、機(jī)構(gòu)分布不均衡且缺乏合作.研究人員大多來自東部經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)，而中西部地區(qū)的研究成果卻嚴(yán)重偏低，且中學(xué)教師是高中基本不等式研究的主力軍.高等院校研究人員學(xué)術(shù)水平更高，無論是研究能力還是在研究方法的運(yùn)用上都要更加專業(yè)，而中學(xué)教師又是教學(xué)的第一實(shí)踐者，針對(duì)教學(xué)實(shí)踐最有發(fā)言權(quán).但目前高校研究人員與中學(xué)教師的合作還是個(gè)缺口.

最后，高中基本不等式研究內(nèi)容關(guān)注程度不平衡.在搜集到的61篇文獻(xiàn)當(dāng)中，有37篇關(guān)于基本不等式的應(yīng)用研究，占全部文獻(xiàn)的60.66%，且研究重復(fù)率較高，許多研究成果只是“換湯不換藥”.基本不等式的證明方法涉及幾何代數(shù)等多個(gè)方面，具有重要的研究價(jià)值，但基本不等式的證明、教學(xué)等其他研究內(nèi)容受到的關(guān)注度卻偏低.

4.2 未來研究的展望

第一，注重基本不等式教學(xué)的實(shí)證和案例研究.基本不等式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但證明方法多樣，不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)證明不等式和求最值問題上應(yīng)用廣泛，還在高等數(shù)學(xué)的求極限、證明積分不等式方面發(fā)揮著獨(dú)特的作用.因此基本不等式具有十分重要的教學(xué)價(jià)值，那么如何教學(xué)才能讓學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中將基本不等式的內(nèi)容做到融會(huì)貫通？甚至為將來選擇理工科、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生奠定基礎(chǔ)？這些問題仍值得探討.未來的研究應(yīng)以此為著眼點(diǎn)，注重基本不等式的實(shí)證和案例研究，將基本不等式的教育價(jià)值最大程度地發(fā)揮出來.

第二，加強(qiáng)基本不等式的教科書研究.“教材的編寫與研究是教材建設(shè)工作相互聯(lián)系的兩個(gè)方面，前者為后者提供素材并展現(xiàn)其成果和水平，后者則為前者提供科學(xué)基礎(chǔ)昭示其改進(jìn)方向.”[8]一直以來，國內(nèi)各版本、國內(nèi)外不同版本教科書內(nèi)容的比較研究都十分盛行，但基本不等式相關(guān)內(nèi)容的教科書研究還未全面展開.據(jù)一線教師反饋，雖然基本不等式在教科書中所占比例非常小，但卻是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可替代的重要內(nèi)容之一.針對(duì)教科書對(duì)基本不等式的編排設(shè)置，有的教師認(rèn)為其必修和選修內(nèi)容設(shè)置重復(fù)，有的雖認(rèn)為教科書的設(shè)置較為合理，但建議教學(xué)要切忌照本宣科.同時(shí)，以人教A版高中數(shù)學(xué)教科書為例，歷年各套教科書對(duì)基本不等式的設(shè)置編排也經(jīng)歷著一定的變化，其中緣由還應(yīng)深入研究.因此基本不等式在教科書中的安排設(shè)置研究是很有必要的，不僅能夠?yàn)榻炭茣帉懱峁﹨⒖?，還能為一線教學(xué)帶來啟示.

第三，重視基本不等式的HPM研究.基本不等式不僅是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其多元形式——算術(shù)-幾何平均值不等式更是高等數(shù)學(xué)中的一塊奠基石，而有關(guān)基本不等式的HPM研究卻寥寥無幾，其中汪曉勤教授和其團(tuán)隊(duì)貢獻(xiàn)了更多的力量.“數(shù)學(xué)的歷史是一座寶藏，從中可以發(fā)掘出取之不盡、用之不竭的教學(xué)資源.”[9]從歷史中可以獲得基本不等式多樣的證明方法，還能將其他數(shù)學(xué)歷史資源與基本不等式相聯(lián)系，就如人教A版高中數(shù)學(xué)教科書就將趙爽弦圖與基本不等式相聯(lián)系，可見依然還有豐富的有關(guān)基本不等式的HPM資源等待挖掘.HPM研究不僅能豐富課堂教學(xué)，還能使學(xué)生樂學(xué)、好學(xué)，讓原本看上去冰冷的基本不等式發(fā)揮獨(dú)特的教育價(jià)值，為素質(zhì)教育和立德樹人提供良好的實(shí)施契機(jī).