單位圓內(nèi)接三角形等周問題的初等證明
2021-12-23 09:45:18巢中俊
數(shù)學(xué)通報(bào) 2021年10期
巢中俊
(四川省成都市第七中學(xué) 610041)
1 問題背景
給定周長(zhǎng)的平面區(qū)域中,圓盤的面積最大.這一經(jīng)典等周不等式為古希臘人所熟知,但直到19世紀(jì),Edler[3]在Steiner[6]的基礎(chǔ)上才給出了一個(gè)完整的證明.之后還有簡(jiǎn)單證明[8]及各式各樣的變體[1][2].特別是帶約束的等周問題,如Blaschke-Lebesgue問題[4][5][9]就是帶約束的等周問題,Blaschke-Lebesgue型問題[7][12]亦是如此.
本文研究的問題是：周長(zhǎng)為定值且內(nèi)接于單位圓的所有三角形中,誰具有最大面積?又是誰具有最小面積?
下面將給出這個(gè)問題的完整結(jié)論及一個(gè)簡(jiǎn)潔且初等的證明.
2 問題的結(jié)論
3 兩個(gè)函數(shù)的基本性質(zhì)
4 問題的轉(zhuǎn)化化歸
圖1
≤(1+h)2?p(h)≥0，
(1)
于是我們的問題轉(zhuǎn)化化歸為求單變量函數(shù)(參數(shù)
下面我們求解這個(gè)單變量函數(shù)問題,即給出定理的證明.
5 定理的證明
臨澤縣制種玉米膜下滴灌與常規(guī)大水漫灌對(duì)比試驗(yàn)中，膜下滴灌處理的株高和穗位高均低于常規(guī)處理，穗長(zhǎng)為14.5 cm，較常規(guī)處理增加0.6 cm；禿尖長(zhǎng)為0.8 cm，較常規(guī)處理減少0.3 cm；穗行數(shù)和行粒數(shù)分別為14.49行和19.1粒，分別較常規(guī)處理增加0.29行和0.9粒；千粒重為335.9 g，較常規(guī)處理增加10.8 g。膜下滴灌折合產(chǎn)量（鮮穗）為14 502 kg/hm2，較常規(guī)處理增加1 395 kg/hm2，增產(chǎn)率為10.64%。
(3)
同時(shí)p(h)≥0即為h1≤h≤h2.于是(2)此時(shí)為
對(duì)(4)取自然對(duì)數(shù)后再求導(dǎo)得
(5)
(6)
(7)
S(h)的圖象如圖2.
圖2
(8)
(9)
結(jié)合引理1及(8)(9),我們有
引理3△ABC與△A′B′C′是全等的等腰三角形.
證明記h=h1對(duì)應(yīng)的三角形為△ABC,如圖1,由(1)(3)知點(diǎn)B在y軸正半軸上,于是△ABC為等腰三角形,又(3)中的p(h1)=0,即
(10)
結(jié)合引理1及(10)得
|A′C′|=|BA|.
(11)
注意到△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)均為2l,于是(11)也即
|BC|+|AC|=|A′B′|+|C′B′|.
(12)
由引理2知△ABC與△A′B′C′的面積相等,
結(jié)合(11)得|BC||AC|=|A′B′||C′B′|.
(13)
由(12)(13)得|BC|,|AC|與|A′B′|,|C′B′|分別對(duì)應(yīng)相等.所以△ABC≌△C′A′B′.又因?yàn)?10),所以△ABC與△A′B′C′是全等的等腰三角形.
5.3 0
又
且p(-1)=-l<0,p(1)=2-l≥0,
(14)
對(duì)(14)同樣有(5),
圖3
這就完成了定理的③證明.至此就完成了定理的全部證明.
6 定理的直觀認(rèn)識(shí)
圖4
又
且p(-1)=-l<0,p(1)=2-l≥0,
(14)
對(duì)(14)同樣有(5),
圖3
這就完成了定理的③證明.至此就完成了定理的全部證明.
6 定理的直觀認(rèn)識(shí)
圖4
