鄒泗勇 (浙江省杭州市長河高級中學 310052)

1 教學背景

近年來，數(shù)學史的運用成為中學數(shù)學教育教學開發(fā)的一個熱點．根據(jù)孔德(A.Comte,1798—1857)和斯賓塞(H.Spencer,1820—1903)的理論：“個體知識的發(fā)生遵循人類知識的發(fā)生過程．困擾世界的東西也會困擾兒童，學生的學習困難具有歷史的相似性．”所以，課堂上結(jié)合數(shù)學史，不僅有利于學生對數(shù)學概念的理解，也能活躍課堂氣氛激發(fā)學習興趣．另一方面，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開數(shù)學發(fā)展的時間軸，數(shù)學概念具有豐富的維度，數(shù)學概念的傳授盡可能要聯(lián)系這個概念的來龍去脈，特別要重視這個概念的歷史，從歷史的發(fā)展過程去學習這個概念，才能理解數(shù)學概念的本質(zhì)，更利于達成“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言描述世界”．

新高一采用的人教A版教材(2019年版)特別強調(diào)數(shù)學史的運用，筆者認為，這非常符合培育數(shù)學核心素養(yǎng)的要求．在《復數(shù)》章節(jié)，教材和教參都在強調(diào)：“要適當?shù)亟榻B歷史史實，讓學生感受理性精神．”章建躍教授也撰文稱：“在復數(shù)的教學中，通過介紹復數(shù)的發(fā)展歷史，讓學生感受數(shù)學文化和精神，理解復數(shù)的概念和意義，應該成為重點．”結(jié)合這些精神，筆者進行了嘗試．

2 教學設想

復數(shù)的教學重點是要讓學生體會引入虛數(shù)i的必要性、合理性，以期建立理性思維．把這個概念“粗暴式”“填鴨式”地給學生，勢必會阻礙學生對虛數(shù)i的理解．教參給本章內(nèi)容分配了8課時，其中復數(shù)的概念2課時，本節(jié)課是第1課時，主要是引入虛數(shù)的概念．對于i的引入，一定要讓學生感知其必要性和合理性．數(shù)系的擴充不能盲目進行，必須有一定之規(guī)．所以，本課時從歷史上通過解方程發(fā)現(xiàn)虛數(shù)i的過程，讓學生感受到虛數(shù)i的產(chǎn)生自然又合理．結(jié)合從有理數(shù)擴充到實數(shù)時體現(xiàn)的“規(guī)則”，即：數(shù)系擴充后，在實數(shù)集中規(guī)定的加法運算、乘法運算，與原來有理數(shù)集中規(guī)定的加法運算、乘法運算協(xié)調(diào)一致，并且加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律．類比從有理數(shù)系擴充到實數(shù)系的過程和方法，對實數(shù)系進行進一步擴充，將實數(shù)系擴充到復數(shù)系．通過這個過程，體現(xiàn)數(shù)系擴充過程中理性思維的作用，提升學生的邏輯推理素養(yǎng)．

3 教學設計

3.1 再現(xiàn)歷史，創(chuàng)設情境，誘發(fā)認知沖突

我們知道，很早的時候，人們就會求解方程了.早在公元前1600年前，尼羅河畔的古埃及，就記錄了一元一次和一元二次方程問題．古希臘著名數(shù)學家丟番圖(約公元200年—284年)就是一個解方程的高手，不管是一次方程還是二次方程，他都能熟練地求解．我國西漢的張倉整理編撰了《九章算術(shù)》，在其《少廣章》中就能用算籌計算形如x2+460x=2 325這類方程.可見，我國對一元二次方程求解技巧的掌握也是很早的．

我們來看看一千多年前的丟番圖是如何解一元二次方程的．

丟番圖的這個解法不是他首創(chuàng)的，而是來源于更古老的古巴比倫，所以后人給丟番圖起了個“盛開的古巴比倫之花”的名號．

設計意圖通過對歷史上中外解方程的回顧，讓學生了解世界數(shù)學文明，了解我國古代燦爛的數(shù)學成就，增加民族自豪感，滲入愛國主義教育．

師：對丟番圖的解法，有兩個問題：(1)丟番圖為什么不用求根公式？(2)丟番圖解出的根有兩種情況是要舍去的，一是負根，二是誤差的被開方數(shù)小于0．對此，請同學們發(fā)表自己的意見．

生1：他覺得自己這個解法更好．

生2：他還不會用求根公式．

師：對的，求根公式的熟練使用要到公元9世紀的阿拉伯數(shù)學家花拉子密．

生3：負數(shù)可能不符合題目意思，所以他要舍去，而被開方數(shù)小于零是要舍去．

生4：當時可能沒有負數(shù)吧，而負數(shù)開平方?jīng)]意義，肯定要舍去．

設計意圖設置誘發(fā)式提問，問題(1)揭示數(shù)學概念的形成是不斷發(fā)展的，不是一成不變的，培養(yǎng)學生的理性思維能力．問題(2)為之后的思維遷移作鋪墊，人們對負數(shù)根的認識一開始也是無法理解的，所以就不予考慮(舍去)，現(xiàn)在想想，舍去負根的做法實在太輕率了，從而誘發(fā)思考負數(shù)開平方舍去的做法是否有拓展的空間．

師：當時確實是還沒有負數(shù)，求出負數(shù)會認為沒有意義，所以要舍去，就像我們現(xiàn)在認為負數(shù)開平方?jīng)]有意義，要舍去．西方要到16世紀才接受負數(shù)．我國對負數(shù)的認識遠遠早于西方，在西漢時期的《九章算術(shù)》中就提出了負數(shù)的運算法則：“異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之．”這在世界數(shù)學史上都是讓人引以為傲的成果．

設計意圖通過無理數(shù)不同“種”的區(qū)別，為后面讓學生書寫復數(shù)的一般形式作鋪墊．

師：從一元二次方程的求根公式被阿拉伯數(shù)學家花拉子密發(fā)現(xiàn)后，人們就開始尋找一元三次方程的求根公式．意大利數(shù)學家卡爾丹在他出版的《大術(shù)》中，公布了一元三次方程的求根公式．

師：你們說說，這是什么情況？

生5：他算錯了．

生6：可能是卡爾丹的公式錯了．

師：若公式?jīng)]錯呢？

生(茫然)：……那就只有相等了．

設計意圖通過對x3=15x+4這個方程的求解，暴露問題，引發(fā)學生認知沖突，為引入虛數(shù)作準備．

3.2 層層遞進，利用已有的知識點，類比推理出虛數(shù)概念

師：其實邦貝利發(fā)現(xiàn)的這個問題，當時很多數(shù)學家都發(fā)現(xiàn)了．負數(shù)開平方對那個時代的數(shù)學家來說，不僅荒謬，而且還神秘．卡爾丹說：“這些令人費解的結(jié)果既精致又不中用，即使拋開精神上的痛苦，對它進行計算，確實讓人矯揉造作．”萊布尼茨也說：“我從未見過比這更奇異、更矛盾的事．對于負數(shù)的平方根這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻．”

我們來回顧一下數(shù)系的擴充過程：

NZQR?x-1=0有解有解有解有解有解x+1=0無解有解有解有解有解2x-1=0無解無解有解有解有解x2-2=0無解無解無解有解有解x2+1=0無解無解無解無解有解可實施運算加、乘、乘方加、減、乘、乘方加、減、乘、除、乘方加、減、乘、除、乘方加、減、乘、除、乘方、開方

設計意圖采用PPT投影，逐級展示方程從無解到有解的過程，使學生的認知水平從“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，重構(gòu)數(shù)系的擴充過程，明白數(shù)系擴充的必要性、連續(xù)性和合理性，進而類比抽象概括出虛數(shù)概念的存在性．理解i不是憑空產(chǎn)生，避免任何神秘感．

師：我們知道，負數(shù)都是由-1乘上一個正數(shù)構(gòu)成，那么負數(shù)的開平方問題就歸結(jié)為-1開平方的問題．就是得有一個數(shù)，它的平方等于-1，到底是什么數(shù)呢？笛卡爾把這個數(shù)叫虛數(shù)，歐拉用“i”來表示，其實來源于imaginary(虛數(shù)的，虛構(gòu)的)，即i2=-1．

師：如果i2=-1，那么i3=?,i4=?

生：i3=i·i2=-i,i4=i2·i2=1.

學生總結(jié)：i的運算有個規(guī)律，即i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.

師：大家寫寫看，看看能寫出哪些不同類型的虛數(shù)．

(投影展示部分學生所寫，如圖1)

圖1

師生總結(jié)：虛數(shù)是由兩個維度構(gòu)成，所以所有的虛數(shù)都可以表示成z=a+bi(a,b∈R)的形式，其中a叫實部，i前面的系數(shù)b叫虛部．b=0時就是實數(shù)，b≠0時就是虛數(shù)，實數(shù)與虛數(shù)統(tǒng)稱為復數(shù)，記作C．

設計意圖學生自己動手，師生總結(jié)，多維度、多角度加深學生對復數(shù)一般形式的認識．

3.3 歸納總結(jié)

圖2

設計意圖對新知識點作提綱挈領式的總結(jié)，培養(yǎng)學生多渠道、多形式歸納的能力，構(gòu)建數(shù)集之間的聯(lián)系，完善認知結(jié)構(gòu)，升華對復數(shù)概念的理解，滲透數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)．

3.4 練習訓練，完善加固概念

練習1：當實數(shù)取什么值時，復數(shù)z=m2+m-2+(m-1)i是①實數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù)？

練習2：已知復數(shù)z1=3+(2m-1)i,z2=n+1+i(m,n∈R)，當實數(shù)m,n取什么值時，z1=z2？

設計意圖消化落實知識點，掌握新知識點的解題應用，完善認知結(jié)構(gòu)．

師：最后我們看看邦貝利的問題．

設計意圖呼應前面問題，解決課堂疑問，建立克服困難、解決問題的信心．

師：虛數(shù)闖進數(shù)的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用復數(shù)來表達的量，因此在很長一段時間里，人們對它產(chǎn)生過種種懷疑和誤解．19世紀，經(jīng)過柯西、高斯、黎曼等的努力，復數(shù)以漂亮的復變量函數(shù)論贏得了歷史地位.微分幾何的開創(chuàng)者陳省身先生曾說過：“幾何中復數(shù)的重要性對我而言充滿神秘，它是如此優(yōu)美而又渾然一體，令人陶醉．”接下來，我們將進一步學習復數(shù)，領略復數(shù)迷人之美(圖3)．

圖3

設計意圖宏觀概括復數(shù)的功能，升華復數(shù)在學生心中的地位，孕育學習期待，為后續(xù)內(nèi)容的展開增加興趣與動力．

4 教學反思

數(shù)學概念課容易上得枯燥無趣，如何上好、上活概念課，是教師比較頭痛的一個問題．筆者認為，深入發(fā)掘概念的內(nèi)涵和外延，讓概念課變得豐富有趣，數(shù)學史的應用是一個很好的切入點．

從數(shù)學發(fā)展的歷史中，不僅能感受概念形成的背景，理解概念發(fā)展的連續(xù)性、必然性、合理性，還能感受到前人是如何發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的．這個過程是寶貴的思維財富，我們要盡可能挖掘，讓學生充分感受理性思維的魅力，從而提高自己理性思維的能力．通過這些歷史材料背景了解數(shù)學知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程，把數(shù)學知識看作動態(tài)發(fā)展的結(jié)果，有助于從其長期的發(fā)展過程中深刻領會其內(nèi)涵和本質(zhì)，以理解并掌握數(shù)學概念．另外，數(shù)學史融入高中課堂教學可以提高學生的學習興趣，可以幫助學生了解數(shù)學的應用價值和文化價值，領略數(shù)學家的人格魅力，接受思想教育．因此，在課堂中有效地利用數(shù)學史和數(shù)學文化，讓學生多方位、多角度地感受知識的產(chǎn)生過程，更有利于學生理解和掌握知識．

在本節(jié)概念課的教學中，先從丟番圖解方程的角度出發(fā)，開場就吸引學生注意，學生好奇古人是怎么解一元二次方程的；然后設計兩個簡單的問題，在解答問題時順帶講解我國古代數(shù)學成就，以此增加民族自豪感，潛移默化地進行愛國主義教育，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)．接著再拋出主要問題——負數(shù)開平方，引發(fā)認知沖突．用前面的鋪墊啟發(fā)學生正視問題．為解決問題，必須擴充數(shù)系，怎么擴充呢？這是這節(jié)課的難點和重點.為此，筆者結(jié)合虛數(shù)產(chǎn)生歷史，安排了一次方程、二次方程求解的例子，用已知的數(shù)系擴充經(jīng)驗來類比推理出擴充后的復數(shù)集，讓學生感知數(shù)系擴充的必要性、連續(xù)性和合理性，為虛數(shù)i的引入掃清障礙．然后師生總結(jié)，練習鞏固，再回到開頭，解決開始預設的問題，讓學生通過問題的解決產(chǎn)生成就感，從而體會獲取知識的樂趣，增加學習興趣．最后是一個總結(jié)性拔高，是本節(jié)課的結(jié)束，也是下節(jié)課的開始，目的是引起學生的好奇，為復數(shù)的后期學習打下基礎．

本節(jié)課的不足之處是數(shù)學史的準備還不夠充分，學生對三次方程的求解過程了解還有欠缺，學生的主動參與度還不夠，應該在問題的設計中多設計一些有梯度的問題，激發(fā)學生探索問題的積極性．