邵春瑞 李海洋 王軍 夏國棟

(北京工業(yè)大學(xué),強(qiáng)化傳熱與過程節(jié)能教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室暨傳熱與能源利用北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100124)

基于傅里葉導(dǎo)熱定律,兩種具有不同熱導(dǎo)率溫度依賴特性的材料組合而成的兩段式組合材料可以實(shí)現(xiàn)熱整流效應(yīng).本文提出在體材料上均勻布置多孔結(jié)構(gòu),通過多孔結(jié)構(gòu)孔隙率調(diào)整材料的熱導(dǎo)率參數(shù),進(jìn)而強(qiáng)化熱整流效應(yīng).基于有限元方法和有效介質(zhì)理論,計(jì)算并分析了溫差和孔隙率等參數(shù)對體材料熱整流系數(shù)的影響.計(jì)算結(jié)果表明,溫差較大時(shí),孔隙率對對體材料熱整流系數(shù)的影響較為明顯.在熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大的材料中布置多孔結(jié)構(gòu),一般會(huì)降低系統(tǒng)的熱整流系數(shù);若在熱導(dǎo)率隨溫度升高而減小的材料中布置多孔結(jié)構(gòu),則存在一個(gè)最佳的孔隙率,相對于無多孔結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),其熱整流系數(shù)可以提高2—3 倍.本文研究結(jié)果為體材料熱整流系數(shù)的調(diào)控提供了新的思路.

1 引言

熱整流是一種熱流量大小依賴于溫度梯度方向的熱量傳遞現(xiàn)象(或者系統(tǒng)在一個(gè)方向上的傳熱能力明顯強(qiáng)于相反方向的傳熱能力)[1,2].熱整流效應(yīng)為控制熱量傳遞提供了新的思路,可應(yīng)用于節(jié)能、熱防護(hù)及能源管理[3,4]等方面.此外,熱整流的可能應(yīng)用還包括廢熱回收[5]、熱二極管、熱三極管和熱邏輯門[6,7],以及通過使用熱橋式整流器利用地球表面溫度的周期振蕩驅(qū)動(dòng)熱機(jī)實(shí)現(xiàn)清潔能源的收集[8].2021 年中國兩會(huì)上,“碳達(dá)峰”、“碳中和”首次被寫入政府工作報(bào)告,倍受關(guān)注.為應(yīng)對氣候變化,綠色低碳發(fā)展被列為中國重點(diǎn)任務(wù)之一.Henry 等[9]提出在外界高溫時(shí)使建筑墻體隔熱,而在外界低溫時(shí)使墻體導(dǎo)熱可使建筑節(jié)能7 % —42 %,從而有效地實(shí)現(xiàn)低碳發(fā)展和降低溫室氣體的排放,其核心內(nèi)容就是建筑材料在不同方向上的可變傳熱特性.

早期,關(guān)于熱整流現(xiàn)象的研究主要集中于宏觀體材料[10-12],相應(yīng)的熱整流原理包括界面處的熱勢壘[11]、界面處的表面熱應(yīng)變[12]等.近十幾年來,關(guān)于納米系統(tǒng)中熱整流效應(yīng)的研究逐漸得到廣泛的關(guān)注[13-17],其主要的熱整流機(jī)理為聲子輸運(yùn)的不對稱性[3,18].但是,考慮到熱整流現(xiàn)象的實(shí)際應(yīng)用,仍然有必要開展關(guān)于宏觀體材料中熱整流現(xiàn)象的研究.基于傅里葉導(dǎo)熱定律,Hoff[19]提出一種利用體材料熱導(dǎo)率隨溫度變化的不同來實(shí)現(xiàn)熱整流的機(jī)制:一種材料的熱導(dǎo)率隨溫度升高而降低,另一種材料的熱導(dǎo)率則隨溫度升高而增加,將兩種材料組合為兩段式系統(tǒng),在熱流方向相反時(shí)會(huì)產(chǎn)生不同的等效熱阻,從而實(shí)現(xiàn)熱整流.基于此原理,學(xué)者們深入地研究了體材料中基于熱導(dǎo)率溫度依賴特性的熱整流效應(yīng)[20-27].研究表明,體材料實(shí)現(xiàn)熱整流的必要條件是材料熱導(dǎo)率為溫度或空間函數(shù)[21],其熱整流效應(yīng)隨著熱導(dǎo)率溫度依賴參數(shù)的差異增大而明顯增強(qiáng)(正反方向熱流密度的最大比值約為10)[8].兩段式材料之間的界面熱阻也是影響其熱整流效應(yīng)的重要因素.有研究表明,界面熱阻具有一定的溫度依賴性,基于界面熱阻的不對稱性也可實(shí)現(xiàn)熱整流效應(yīng)[28,29].即使對于恒定的界面熱阻,通過調(diào)整界面熱阻的大小也可實(shí)現(xiàn)熱整流系數(shù)的最優(yōu)化[23,24].此外,文獻(xiàn)中也報(bào)道了其他的體材料熱整流模型[30-33],諸如相變式熱整流器[30]、利用材料的熱膨脹率不同設(shè)計(jì)的基于形變的熱整流器[31]、輻射式熱整流器[32-33]以及基于行波式時(shí)空調(diào)制的非互易性熱輸[34]等.

雖然已有大量關(guān)于體材料熱整流效應(yīng)的研究,但其熱整流系數(shù)相對較低,因此開展關(guān)于體材料熱整流效應(yīng)的研究,實(shí)現(xiàn)強(qiáng)化或者調(diào)控?zé)嵴餍?yīng),仍然十分必要.采用多孔結(jié)構(gòu)調(diào)控材料屬性是常用且有效的方法,已有大量文獻(xiàn)研究了多孔介質(zhì)的有效電導(dǎo)率和孔隙率的關(guān)系[35-39].基于有效介質(zhì)理論(effective medium approximation,EMA)可以計(jì)算得到周期填充復(fù)合材料的非線性電導(dǎo)率[39].近期,有效介質(zhì)理論被推廣到周期填充復(fù)合材料的熱導(dǎo)率計(jì)算,實(shí)現(xiàn)了材料熱導(dǎo)率的調(diào)控[40].對材料熱導(dǎo)率的調(diào)控是在體材料熱整流系統(tǒng)中強(qiáng)化熱整流效應(yīng)的關(guān)鍵,因此本文采用多孔結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)體材料的熱導(dǎo)率,基于有效介質(zhì)理論計(jì)算熱整流系數(shù)與孔隙率之間的變化關(guān)系,驗(yàn)證了此方法的可行性,并實(shí)現(xiàn)了體材料系統(tǒng)熱整流效應(yīng)的強(qiáng)化.

2 體材料熱整流效應(yīng)

在研究兩段式體材料熱整流時(shí),已有諸多熱導(dǎo)率模型被采用,例如κ(T)=κ0[1+μ(T-Tref)][22]以及更簡單的κ(T)=AT+B[27]模型,其中μ,A和B為待定參數(shù).文獻(xiàn)[8]中,Dames 總結(jié)了部分常見材料的熱導(dǎo)率隨溫度的變化趨勢,并提出了冪指數(shù)模型.此外,文獻(xiàn)[41]總結(jié)了69 種金屬及270 余組合金的熱導(dǎo)率,其熱導(dǎo)率在一定范圍內(nèi)均與溫度呈現(xiàn)冪指數(shù)變化.因此本文將采用更具有普遍意義的冪指數(shù)模型,即

式中,Tref為參考溫度,α為熱導(dǎo)率溫度依賴參數(shù)(冪指數(shù)),通常—3.5 ＜α ＜+5.4[8],κ0為材料的熱導(dǎo)率參數(shù).

考慮兩種不同材料 1和2 連接而成的兩段式組合材料,如圖1所示.材料1和2 的熱導(dǎo)率溫度依賴參數(shù)分別為α1和α2,其組合簡記為(α1,α2).材料1 的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而升高(α1＞ 0),材料2 的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而降低(α2＜ 0),當(dāng)系統(tǒng)左側(cè)與高溫?zé)嵩碩H接觸,右側(cè)與低溫?zé)嵩碩L接觸時(shí),系統(tǒng)中兩段材料的熱導(dǎo)率均較大,此時(shí)系統(tǒng)整體導(dǎo)熱性能較好;交換熱源溫度后,系統(tǒng)左側(cè)與低溫?zé)嵩唇佑|,右側(cè)與高溫?zé)嵩唇佑|時(shí),系統(tǒng)中兩段材料的熱導(dǎo)率均較小,此時(shí)系統(tǒng)整體導(dǎo)熱性能較差.通常采用熱整流系數(shù)γ表征熱整流效應(yīng)的強(qiáng)弱,

式中,|j+| ＞ |j-|,j+表示正向模式下的熱流量,j-表示反向模式下的熱流量.當(dāng)γ=0 時(shí),系統(tǒng)中不存在熱整流效應(yīng),γ越大表示熱整流效應(yīng)越強(qiáng).采用無量綱溫差|Δ|表示高低熱源的差異,其中TH=T0(1+Δ/2),TL=T0(1-Δ/2),T0=Tref.

建立如圖1所示的計(jì)算模型,兩段材料的尺寸均為長150 mm,寬100 mm.為方便計(jì)算,取參考溫度Tref=200 K,冪指數(shù)組合取(α1,α2)=(+3,—3),熱導(dǎo)率參數(shù)取單位熱導(dǎo)率,即κ01=κ02=1 W·m—1·K—1.基于有限元方法(finite element method,FEM)可以計(jì)算得到通過系統(tǒng)的熱流量和熱整流系數(shù).圖2給出了在不同溫差下,上述熱整流器在正反模式下的熱流和熱整流系數(shù).可以看出,正溫差下的熱流明顯大于反向溫差的下的熱流,且該差異性隨著溫差的增加而增大,熱整流系數(shù)不斷上升(如圖2中插圖所示).圖3顯示了正反模式下熱整流器內(nèi)部的溫度分布及局域熱導(dǎo)率分布,其中|Δ|=1.5.可以看出,正向模式下左側(cè)材料的局域熱導(dǎo)率遠(yuǎn)小于右側(cè)材料,但相較于反向模式,兩段材料的熱導(dǎo)率均較大,因此可以出現(xiàn)明顯的熱整流現(xiàn)象.此外,正向模式中,由于左段材料的熱阻相對較大(熱導(dǎo)率較小)而右段材料的熱阻相對較小(熱導(dǎo)率較大),左段材料內(nèi)的溫度分布在靠近界面處出現(xiàn)急劇下降,局域熱導(dǎo)率明顯降低,導(dǎo)熱能力下降,不利于實(shí)現(xiàn)較高的熱整流系數(shù).

圖1 兩段式復(fù)合體材料熱整流系統(tǒng)示意圖Fig.1.Schematic diagram of the two-segment thermal rectifier.

圖2 (α1,α2)=(+3,—3)時(shí),正反熱流量及熱整流系數(shù)隨無量綱溫差的變化趨勢Fig.2.For the case of (α1,α2)=(+3,—3),the heat flux and thermal rectification ratio versus the dimensionless temperature difference.

圖3 |Δ|=1.5 時(shí),正反模式下熱整流器內(nèi)部的溫度分布和局域熱導(dǎo)率分布Fig.3.For the case of |Δ|=1.5,temperature and local thermal conductivity distribution under forward and reverse cases.

3 多孔結(jié)構(gòu)熱整流效應(yīng)

在材料內(nèi)部按照周期排列打孔可以形成多孔結(jié)構(gòu),通過改變打孔的尺寸可以實(shí)現(xiàn)材料熱導(dǎo)率的調(diào)控[40],從而有可能調(diào)節(jié)系統(tǒng)的熱整流效應(yīng).材料1和材料2 的熱導(dǎo)率溫度依賴參數(shù)組合取為(α1,α2)=(3,—3),分別在材料1(如圖4(a)所示)或者材料2 上均勻布置15×10 個(gè)半徑r=a的多孔結(jié)構(gòu),孔隙率為f.在無量綱溫差為|Δ|=1.5 時(shí),圖4(b)給出了熱整流系數(shù)和正反方向熱流量隨材料1 或材料2 孔隙率的變化趨勢.圖中,虛線左側(cè)表示在材料1 上加工多孔結(jié)構(gòu),虛線右側(cè)表示在材料2 上加工多孔結(jié)構(gòu).

圖4 (a) 材料1 中的多孔結(jié)構(gòu);(b) 熱整流系數(shù)(左)及正反熱流(右)隨材料1 或材料2 孔隙率f 的變化趨勢Fig.4.(a) Schematic diagram of the porous structure of the thermal rectifier (drill on segment 1);(b) thermal rectification ratio (left) and heat flux (right) versus porosity.

在材料1 上加工多孔結(jié)構(gòu)時(shí),等效于降低了左段材料的熱導(dǎo)率.如圖3所示,正向?qū)釙r(shí)左段材料為主要熱阻,因而多孔結(jié)構(gòu)使得正向傳熱衰減較為明顯;而反向?qū)釙r(shí)左右段材料的熱阻分布較為均勻(見圖3),材料1 中的多孔結(jié)構(gòu)使得熱流量降低,系統(tǒng)整體的熱整流系數(shù)隨孔隙率的增大而逐漸減小.當(dāng)在材料2 上加工多孔結(jié)構(gòu)時(shí),等效于降低了材料2 的熱導(dǎo)率.正向?qū)釙r(shí)右段材料的熱阻較小,因而較低的孔隙率(孔隙率小于0.5)對系統(tǒng)的正向?qū)嵝阅苡绊懖淮?正向熱流量幾乎不變,而反向熱流量逐漸減小;當(dāng)孔隙率超過0.5 時(shí),導(dǎo)致材料2 的熱阻明顯降低,并逐漸成為系統(tǒng)的主要熱阻,正向熱流量隨著孔隙率增大而明顯下降,因此系統(tǒng)的熱整流系數(shù)明顯下降.由此可見,通過在材料2 上加工多孔結(jié)構(gòu)可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的熱整流效應(yīng).對于上述選定的參數(shù)而言,在材料2 上加工孔隙率為0.5 的多孔結(jié)構(gòu)時(shí)可使熱整流現(xiàn)象得到最優(yōu)化,其最大熱整流系數(shù)比未打孔時(shí)提高了2 倍多.

圖5給出了材料2 孔隙率分別為f2=0(無多孔結(jié)構(gòu))和f2=0.5 時(shí),正反模式下兩段材料的局域熱阻分布.正向模式下,無多孔結(jié)構(gòu)時(shí)材料1 靠近界面處的熱阻非常大(見圖5(a)),這是由于界面處的溫度較低(見圖3);隨著孔隙率逐漸增大,多孔結(jié)構(gòu)降低了材料2 的導(dǎo)熱能力,材料2 的熱阻增大,但其熱阻對系統(tǒng)整體熱阻的貢獻(xiàn)仍然較小,在f＜ 0.5 時(shí),系統(tǒng)的正向熱流量幾乎不變(見圖3).反向模式下,如圖5(b)所示,材料1和2 的熱阻相差不多,多孔結(jié)構(gòu)不僅降低了材料2 的導(dǎo)熱能力,系統(tǒng)整體的熱阻也明顯上升.因此,正反向?qū)崮芰Σ町惷黠@,熱整流系數(shù)提高.在f=0.5時(shí),材料2 的熱阻與材料1 相當(dāng),如圖5(b)所示.因此,在f＞ 0.5 時(shí),正向熱流量明顯降低,系統(tǒng)的熱整流系數(shù)明顯降低.

圖5 兩段式體材料熱整流器內(nèi)的熱阻分布 (a) 正向模式;(b) 反向模式Fig.5.Local thermal resistance distribution in two-segment thermal rectifier:(a) Forward case;(b) reverse case.

圖6顯示了不同溫差下熱整流系數(shù)隨孔隙率的變化趨勢,其中(α1,α2)=(3,—3).可以看出,當(dāng)無量綱溫差較小時(shí)(|Δ|=0.5),熱整流系數(shù)隨孔隙率幾乎不變,但隨著溫差的增大,最大熱整流系數(shù)所對應(yīng)的孔隙率也逐漸增大,當(dāng)溫差較大時(shí)(|Δ|=1.7),熱整流系隨材料2 孔隙率的增加而不斷增加,且當(dāng)f2=0.7 時(shí),與無孔結(jié)構(gòu)相比熱整流系數(shù)提升至原來的約3.5 倍.這是因?yàn)楦蟮臏夭钍拐茨Ｊ较碌臒釋?dǎo)率存在更大的差異性,因此熱整流系數(shù)增加,且在正向模式下兩段材料在熱阻上存在更大的差異,因此對應(yīng)的最佳孔隙率也逐漸增大.圖7顯示了改變熱導(dǎo)率溫度依賴參數(shù)組合時(shí)熱整流系數(shù)隨孔隙率的變化趨勢,系統(tǒng)無量綱溫差取|Δ|=1.5.圖7(a)中改變了正負(fù)冪指數(shù)的大小,圖7(b)則在保持冪指數(shù)之差的絕對值不變的情況下,改變了冪指數(shù)組合.可以看出,材料1和2 的冪指數(shù)絕對值相等時(shí),孔隙率對熱整流系數(shù)的影響隨冪指數(shù)的增加而增大,但最佳熱整流系數(shù)均出現(xiàn)在曲線右側(cè)(即在熱導(dǎo)率隨溫度升高而降低的材料2 上加工多孔結(jié)構(gòu)).當(dāng)正負(fù)冪指數(shù)差值的絕對值一定時(shí),正冪指數(shù)較大則多孔結(jié)構(gòu)對熱整流系數(shù)影響較小,僅在材料1 孔隙率較小時(shí)有利于提升熱整流系數(shù);但多孔結(jié)構(gòu)對熱整流系數(shù)的影響會(huì)隨負(fù)冪指數(shù)的增加而增加;當(dāng)負(fù)冪指數(shù)較大時(shí),調(diào)整孔隙率可大幅提升熱整流系數(shù),且在約f2=0.6 時(shí),整流系數(shù)提升至原來的2 倍以上.這是因?yàn)楫?dāng)材料冪指數(shù)的絕對值相同時(shí),正反溫差下,負(fù)冪指數(shù)材料的熱導(dǎo)率變化更明顯(例如α=+3 時(shí),κ(Δ=1.5)=5.36 W·m—1·K—1,κ(Δ=—1.5)=0.02 W·m—1·K—1,而當(dāng)α=—3 時(shí),κ(Δ=1.5)=0.19 W·m—1·K—1,κ(Δ=—1.5)=64 W·m—1·K—1),因此負(fù)冪指數(shù)越大則越有利于增加正反溫差下熱流的不對稱性,實(shí)現(xiàn)更高的熱整流系數(shù),同時(shí)對應(yīng)的最佳空隙率也隨之增加.

圖6 (α1,α2)=(+3,—3)時(shí),(a) 不同溫差下熱整流系數(shù)隨孔隙率的變化趨勢,(b) 不同溫差下無孔熱整流系數(shù)和有孔最佳熱整流系數(shù)及對應(yīng)孔隙率Fig.6.For the case of (α1,α2)=(+3,—3),(a) thermal rectification ratio versus porosity under different dimensionless temperature differences,(b) thermal rectification ratio without porous structure and the optimal thermal rectification ratio under different dimensionless temperature differences.

圖7 |Δ|=1.5 時(shí),(a) 改變冪指數(shù)大小和(b) 改變冪指數(shù)組合時(shí),熱整流系數(shù)隨孔隙率的變化趨勢Fig.7.For the case of |Δ|=1.5,thermal rectification ratio versus porosity under (a) different magnitude of the power exponent and (b) different combination of power exponent.

此外,對于上述含有多孔結(jié)構(gòu)的熱整流系統(tǒng),孔隙內(nèi)的熱輻射也是影響其內(nèi)部傳熱的重要因素[33].由玻爾茲曼四次方定律可知,其熱輻射強(qiáng)度與材料的發(fā)射率成正比,圖8給出了不同孔隙率下,發(fā)射率分別為ε=0 (不考慮熱輻射)和ε=1 時(shí),熱輻射對系統(tǒng)熱整流系數(shù)的影響.當(dāng)在材料1 上布置多孔結(jié)構(gòu)時(shí),輻射效應(yīng)會(huì)略微提升熱整流系數(shù),而在材料2 上布置多孔結(jié)構(gòu)時(shí),輻射效應(yīng)則小幅降低了熱整流系數(shù).當(dāng)在材料1 上布置多孔結(jié)構(gòu)時(shí),正向模式下多孔結(jié)構(gòu)距離高溫?zé)嵩摧^近而反向模式下距離低溫?zé)嵩摧^近,因此,正向模式中熱輻射效應(yīng)對熱流的影響大于反向模式,從而增強(qiáng)了正反熱流的不對稱性;另一方面,孔隙中的熱輻射效應(yīng)等效于增強(qiáng)了材料1 的導(dǎo)熱能力,而正向模式下材料1的導(dǎo)熱能力弱于材料2,因此熱整流系數(shù)僅得到了較微弱的提升.當(dāng)在材料2 上布置多孔結(jié)構(gòu)時(shí),反向模式下的多孔結(jié)構(gòu)離高溫?zé)嵩摧^近,因此熱輻射對反向熱流的提升大于正向模式,熱整流系數(shù)出現(xiàn)一定程度的降低.

圖8 |Δ|=1.5 時(shí),不同孔隙率下,熱輻射對熱整流系數(shù)的影響Fig.8.For the case of |Δ|=1.5,thermal rectification ratio versus porosity under ε=0 and ε=1.

為進(jìn)一步驗(yàn)證上述采用多孔結(jié)構(gòu)提高系統(tǒng)熱整流系數(shù)的方法,本文選取鋅和鈹鎂合金組合而成的兩段式組合材料進(jìn)行計(jì)算.材料1 采用鈹鎂合金(元素質(zhì)量含量為:鈹,98%;鎂,2%),材料2 采用充分退火的金屬鋅(純度大于99.999%).在10—100 K 范圍內(nèi),二者的熱導(dǎo)率可分別近似表示為[41]:

圖9給出了無量綱溫差|Δ|=1.5 時(shí),熱整流系數(shù)和正反熱流隨孔隙率的變化趨勢.可以看出,此系統(tǒng)中熱整流系數(shù)的變化趨勢與圖4基本一致.計(jì)算結(jié)果表明,在金屬鋅(材料2)中打孔可以使系統(tǒng)的熱整流系數(shù)得到提升.由于金屬鋅的冪指數(shù)絕對值大于鈹鎂合金的冪指數(shù)絕對值,因此最佳孔隙率右移(約為f2=0.5).其最大熱整流系數(shù)相對于未打孔的情況提高了65%.

圖9 熱整流系數(shù)(左)及正反熱流(右)隨鈹鎂合金或金屬鋅孔隙率f 的變化趨勢Fig.9.Thermal rectification ratio (left) and heat flux(right) versus porosity in a Be &Mg alloy-Zn two-segment system.

4 有效介質(zhì)理論及多孔結(jié)構(gòu)熱整流效應(yīng)

4.1 多孔模型及有效介質(zhì)理論

本文參考Rayleigh 法對多孔介質(zhì)有效熱導(dǎo)率進(jìn)行求解[39].圖10中,模型尺寸與熱整流系統(tǒng)中的一段材料相同,即長為150 mm,寬為100 mm,介質(zhì)熱導(dǎo)率為κh,上面均勻分布10× 15 個(gè)半徑r=a的多孔結(jié)構(gòu),孔隙率為f.左側(cè)為高溫?zé)嵩?右側(cè)為低溫?zé)嵩?溫度梯度為G0,介質(zhì)內(nèi)存在由左向右的熱流,(5)式為該模型中的導(dǎo)熱控制方程:

圖10 多孔介質(zhì)模型示意圖(均勻分布10× 15 個(gè)圓形孔)Fig.10.Schematic diagram of porous media (10× 15 circular holes are uniformly distributed).

式中,?為拉普拉斯算子,Q為該介質(zhì)中的內(nèi)熱源,T為介質(zhì)內(nèi)溫度.當(dāng)無內(nèi)熱源時(shí),(5)式在極坐標(biāo)系下的通解為[40]

由于介質(zhì)中的多孔結(jié)構(gòu)可以視為周期性分布,因此首先隨機(jī)挑選其中一個(gè)孔洞結(jié)構(gòu),并將極坐標(biāo)系原點(diǎn)(用來描述單個(gè)孔周圍的溫度)和直角坐標(biāo)系(用來描述每個(gè)孔洞單元的位置)原點(diǎn)置于該孔圓心處,設(shè)溫度梯度方向沿x軸方向,通解中B0和v0為0,多孔介質(zhì)的溫度分布

參考電磁場中的疊加原理(任一支路的電勢可以看成電路中每一個(gè)單獨(dú)電源獨(dú)立工作于電路時(shí),在該支路產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和),針對(7)式的溫度場,同樣可以由疊加原理得到多孔介質(zhì)內(nèi)的溫度,

既然(7)式和(8)式均表示多孔介質(zhì)內(nèi)的溫度分布情況,因此這兩個(gè)等式必然相等.兩式中的第三項(xiàng)相同,因此兩式前兩項(xiàng)之和也必然相等,于是可得到

多孔介質(zhì)中的孔壁可近似為絕熱邊界條件

式中Ω表示孔洞的邊界.參考文獻(xiàn)[39,40]的方法,將(9)式左右兩側(cè)對x求導(dǎo),并結(jié)合(10)式可得:

結(jié)合(12)式和(13)式,可得圖10所示多孔介質(zhì)有效熱導(dǎo)率為

保持介質(zhì)熱導(dǎo)率的參考溫度Tref=200 K,介質(zhì)熱導(dǎo)率參數(shù)κ0=1 W·m—1·K—1,無量綱溫差|Δ|=1.5.圖11(a)給出了多孔介質(zhì)熱導(dǎo)率參數(shù)隨孔隙率的變化.可以看出,多孔介質(zhì)的熱導(dǎo)率參數(shù)隨孔隙率的增加而逐漸降低,這是因?yàn)槎嗫捉Y(jié)構(gòu)增加了額外的熱阻,孔隙率越大則熱阻越大.由圓形與方形的面積比為π/4=0.785 可知,圖10所示圓形多孔介質(zhì)的最大孔隙率為0.785 (孔洞結(jié)構(gòu)互相相切).圖11(b)給出了不同材料熱導(dǎo)率冪指數(shù)下,(14)式計(jì)算結(jié)果與有限元模擬所得熱流與孔隙率的變化關(guān)系,可以看出,二者吻合很好.當(dāng)孔隙率較低時(shí)(f＜ 0.7),EMA 法獲得的多孔介質(zhì)熱導(dǎo)率幾乎與有限元模擬解幾乎完全吻合,當(dāng)孔隙率較高時(shí)(f=0.7),EMA 法熱導(dǎo)率與有限元模擬稍有偏差.越接近最大孔隙率,誤差越大.因此,本文中,孔隙率計(jì)算范圍取0 ＜f＜ 0.75.

圖11 (a) 多孔介質(zhì)有效熱導(dǎo)率隨孔隙率的變化關(guān)系;(b) |Δ|=1.5 時(shí),EMA 與FEM 計(jì)算所得熱流與孔隙率的變化關(guān)系Fig.11.(a) The relationship between the effective thermal conductivity of the porous medium and the porosity;(b) the comparison of the heat flux calculated by EMA and FEM for the case of |Δ|=1.5.

4.2 多孔結(jié)構(gòu)熱整流模型

在材料上加工多孔結(jié)構(gòu)并不能改變材料熱導(dǎo)率隨溫度變化的特性,而是等效于降低了材料的熱導(dǎo)率參數(shù)κ0,此時(shí)兩段材料的熱導(dǎo)率參數(shù)可表示為孔隙率的函數(shù)κ1(f1)和κ2(f2),基于傅里葉定律,正反模式下的熱流可分別表示為:

由(15)式和(16)式可分別獲得正反傳熱模式下界面處的溫度和熱流量,進(jìn)而計(jì)算出系統(tǒng)的熱整流系數(shù),其結(jié)果如圖12所示.可以看出有效介質(zhì)理論的計(jì)算結(jié)果與有限元方法的結(jié)果基本完全一致.

圖12 |Δ|=1.5 時(shí),EMA 與FEM 計(jì)算所得熱整流系數(shù)隨材料1 或材料2 孔隙率的變化趨勢Fig.12.Comparison of the thermal rectification ratio calculated by EMA and FEM for the case of |Δ|=1.5.

如前所述,在材料1 或者2 中加工多孔結(jié)構(gòu)等效于降低了材料的熱導(dǎo)率參數(shù)κ0.為方便對比分析,考慮材料的熱導(dǎo)率參數(shù)變化對熱整流系數(shù)的影響.設(shè)材料1 與材料2 均未布置多孔結(jié)構(gòu),二者的熱導(dǎo)率參數(shù)比值為κ01/κ02=β.圖13給出了熱導(dǎo)率溫度依賴參數(shù)取(α1,α2)=(3,—3)和溫差|Δ|=1.5 時(shí),熱整流系數(shù)γ隨熱導(dǎo)率參數(shù)比值β的變化趨勢.

當(dāng)β＜ 1 時(shí),材料1 的熱導(dǎo)率相對較小,類似于圖4中虛線左側(cè)的情況(在材料1 上加工多孔結(jié)構(gòu)),降低β值等效于增大材料1 的孔隙率,熱整流系數(shù)逐漸降低.當(dāng)β＞ 1 時(shí),材料2 的熱導(dǎo)率相對較小,類似于圖4中虛線右側(cè)的情況(在材料2 上加工多孔結(jié)構(gòu)),增大β值等效于增大材料2 的孔隙率,熱整流效率逐漸增大并達(dá)到一個(gè)極大值,然后逐漸降低.可以看出,圖13和圖4的變化趨勢完全類似,驗(yàn)證了利用多孔結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)熱整流效應(yīng)的可行性.

圖13 熱整流系數(shù)隨熱導(dǎo)率參數(shù)比值的變化趨勢Fig.13.Thermal rectification ratio versus thermal conductivity parameter ratio.

根據(jù)上述分析,兩種材料的熱導(dǎo)率參數(shù)比值對體材料熱整流現(xiàn)象有很大的影響,合適的β值能夠明顯提升系統(tǒng)的熱整流系數(shù).但是,通常自然界中很難找到一組熱導(dǎo)率參數(shù)比值處于最佳狀態(tài)的體材料,大大限制了體材料熱整流系數(shù)的提升.因此,本文提出在體材料上均勻布置多孔結(jié)構(gòu),通過多孔結(jié)構(gòu)調(diào)整材料的熱導(dǎo)率參數(shù),最終達(dá)到熱整流系數(shù)的最優(yōu)化.

5 結(jié)論

在熱導(dǎo)率溫度依賴特性不同的兩種材料組合而成的兩段式材料中,可以實(shí)現(xiàn)熱整流效應(yīng).本文提出通過布置多孔結(jié)構(gòu)來提高系統(tǒng)熱整流系數(shù)的方法.分別利用有限元法和有效介質(zhì)理論計(jì)算了系統(tǒng)的熱整流系數(shù),二者結(jié)果基本一致.計(jì)算表明,溫差較小時(shí),孔隙率對熱整流系數(shù)的影響較小;當(dāng)溫差較大時(shí),布置多孔結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)熱整流效應(yīng)的調(diào)控.在熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大的材料中布置多孔結(jié)構(gòu),會(huì)降低系統(tǒng)的熱整流系數(shù);在熱導(dǎo)率隨溫度升高而減小的材料中布置多孔結(jié)構(gòu),可以實(shí)現(xiàn)熱整流效應(yīng)的強(qiáng)化;孔隙率較小時(shí)正向熱流量基本保持不變,反向模式熱流量減小,熱整流系數(shù)增大;孔隙率較大時(shí)正反向熱流量都減小,熱整流系數(shù)降低.因而存在一個(gè)最佳的孔隙率,相對于無多孔結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),熱整流系數(shù)可以提高2—3 倍.