石韜 呂麗花 李有泉

(浙江大學(xué)物理系,杭州 310027)

實(shí)現(xiàn)量子中繼的關(guān)鍵是克服量子儲(chǔ)存器中糾纏態(tài)的退相干問題.目前,人們常用半導(dǎo)體量子點(diǎn)中的電子自旋來構(gòu)建糾纏態(tài)從而實(shí)現(xiàn)量子中繼過程.在該過程中,兩個(gè)半導(dǎo)體量子點(diǎn)之間相距很遠(yuǎn),可以認(rèn)為它們之間沒有相互作用.因此,量子點(diǎn)內(nèi)電子自旋與它周圍的核自旋之間的超精細(xì)相互作用被認(rèn)為是導(dǎo)致系統(tǒng)退相干的最重要原因之一.在以前的相關(guān)工作中,人們通常將核自旋對(duì)電子自旋的超精細(xì)相互作用視為一個(gè)大小和方向都是隨機(jī)的并且滿足高斯分布的等效磁場(chǎng).本文在考慮核自旋的等效磁場(chǎng)以及外加磁場(chǎng)的情況下,研究了兩個(gè)量子點(diǎn)中繼系統(tǒng)的退相干問題.首先利用數(shù)值方法分別計(jì)算了4 組Bell 基隨時(shí)間的演化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)當(dāng)外加磁場(chǎng)增大到一定值時(shí),4 組Bell 基被分為兩類.體系不可能通過時(shí)間演化從一類Bell 基躍遷到另一類Bell 基,而只能在同類的兩個(gè)Bell 基之間相互躍遷.這有效提高了系統(tǒng)的保真度,并且抑制了核自旋對(duì)體系糾纏態(tài)的影響,從而抑制退相干.其次,對(duì)于給定的較大外加磁場(chǎng),采用解析方法研究了核自旋漲落對(duì)糾纏態(tài)的影響,給出了初態(tài)保真度及退相干時(shí)間的解析形式.發(fā)現(xiàn)對(duì)于相同的核自旋漲落,4 組Bell 基的退相干時(shí)間相同,但是兩類Bell 基隨時(shí)間演化的規(guī)律不同,其中一類的保真度在指數(shù)衰減的同時(shí)伴隨快速周期性振蕩,不便于操控.期望本文的研究能對(duì)量子中繼過程中糾纏態(tài)的選擇問題提供理論支持和建議.

1 引言

在量子信息傳輸過程中,最重要的是在通信線路的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上成功發(fā)送一對(duì)糾纏態(tài).每一對(duì)糾纏態(tài)可以作為一個(gè)量子傳輸通道,進(jìn)行量子信息的遠(yuǎn)程傳輸[1,2].目前光子糾纏態(tài)是量子通信中唯一可以遠(yuǎn)距離飛行的糾纏態(tài)[3-6],然而單個(gè)光子在商用光纖中光強(qiáng)和極化都以0.2 dB/km[7,8]的速率衰減,這意味著商用光纖有效傳輸長度僅有80—120 km[7,8].因此,為了增加量子傳輸通道距離,一種方法是將量子傳輸通道分為好多節(jié),每一節(jié)長度在120 km內(nèi),同時(shí)在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間放置一個(gè)包含兩個(gè)量子儲(chǔ)存器[9]的量子中繼器[10],如圖1(a)所示.在量子中繼器中,量子儲(chǔ)存器將光子的糾纏態(tài)儲(chǔ)存為電子自旋的糾纏態(tài)[11-13].

通常有3 種利用光子干涉和探測(cè)將光子糾纏態(tài)交換到電子自旋糾纏態(tài)的方案,分別為EPR(Einstein-PodolskyRosen)方案[8]、Hybrid 方案[14]和DLCZ (Duan-Lukin-Cirac-Zoller)方案[15].DLCZ方案由段路明等[15]提出,根據(jù)探測(cè)光子數(shù)不同,該方案可以分為單光子探測(cè)方案和雙光子探測(cè)方案.與其他兩個(gè)方案相比,DLCZ 方案最大的優(yōu)點(diǎn)是不需要制備復(fù)雜的糾纏源,只需要制備符合要求的量子儲(chǔ)存器,因而成為量子中繼的主流之一.在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的量子中繼器上,利用糾纏態(tài)交換(quantum swapping)技術(shù)[14-17],可以逐步建立Alice 與 Bob之間的量子遠(yuǎn)程傳輸通道[1,18],如圖1(b)和圖1(c)所示.能夠作為量子存儲(chǔ)器的系統(tǒng),其儲(chǔ)存的糾纏態(tài)要有較長的退相干時(shí)間.目前許多系統(tǒng),例如原子系綜[8,15]、半導(dǎo)體量子點(diǎn)[12,19,20]、超導(dǎo)電路[21,22]等,都可以用來做量子儲(chǔ)存器.以GaAs 或者Si 半導(dǎo)體量子點(diǎn)為例,它們通過兩個(gè)量子點(diǎn)中電子自旋的糾纏態(tài)來儲(chǔ)存量子信息[19,23].眾所周知,對(duì)于兩個(gè)電子自旋系統(tǒng),可以選用4 個(gè)最大糾纏態(tài)(即4 個(gè)Bell 基)為一組正交完備基矢來描述體系的狀態(tài)[17].如果體系在初始時(shí)刻處于某一個(gè)Bell基上,由于核自旋對(duì)電子自旋的超精細(xì)相互作用,隨著時(shí)間的演化,體系會(huì)有一定概率從初始時(shí)刻所處的Bell 基躍遷到其他Bell 基上,從而導(dǎo)致了糾纏態(tài)的退相干[13,19,24-26].為研究核自旋引起的糾纏態(tài)的退相干問題,有文獻(xiàn)將核自旋對(duì)電子自旋的超精細(xì)相互作用等效為一個(gè)大小和方向都是隨機(jī)的等效磁場(chǎng).該磁場(chǎng)滿足高斯分布[24,25,27],被命名為Overhauser 場(chǎng)[19,24,25,28].本文同時(shí)考慮核自旋及外加磁場(chǎng)對(duì)電子自旋的相互作用,研究了系統(tǒng)糾纏態(tài)的退相干問題.通過數(shù)值和解析方法,分別計(jì)算了體系狀態(tài)隨時(shí)間的演化,發(fā)現(xiàn)較大的外加磁場(chǎng)可以抑制電子自旋向上和自旋向下狀態(tài)間的反轉(zhuǎn),從而抑制了某些Bell 基間的相互躍遷.據(jù)此將4 個(gè)Bell 基分為兩類,每一類中包含兩個(gè)Bell 基.只有在同類的兩個(gè)Bell 基之間存在相互躍遷,而不同類Bell 基之間不能相互躍遷,這在一定程度上抑制了系統(tǒng)糾纏態(tài)的退相干.對(duì)于給定的外加磁場(chǎng),研究了核自旋漲落對(duì)糾纏態(tài)的退相干的影響.發(fā)現(xiàn)對(duì)于相同的核自旋漲落,兩類Bell基的退相干時(shí)間相同,但是兩類Bell 基隨時(shí)間的演化規(guī)律不同,其中一類Bell 基的保真度在指數(shù)衰減的同時(shí)伴隨快速周期性振蕩,不便于操控,因此在量子中繼過程中不建議選擇.

2 等效磁場(chǎng)與理論模型

2.1 超精細(xì)相互作用和等效磁場(chǎng)

在半導(dǎo)體量子點(diǎn),如GaAs 中,電子自旋與它周圍核自旋的超精細(xì)相互作用可以寫成[25]

其中ψ(Rj)是第j個(gè)核自旋附近電子的包絡(luò)波函數(shù),求和是對(duì)晶格中所有核自旋求和;ν0是晶胞的體積;S是電子自旋算符;μ0是玻爾磁子;μj,Ij,Rj分別對(duì)應(yīng)核子磁矩、核自旋和第j個(gè)核自旋的位置,uc(Rj)是第j個(gè)核自旋附近電子的Bloch 波函數(shù).將哈密頓量(1)關(guān)于核子的系綜進(jìn)行平均,得到等效哈密頓量如下:

以GaAs 量子點(diǎn)為例,實(shí)驗(yàn)所施加外磁場(chǎng)通常0.2 T 左右[19,24,28].核自旋的Zeeman 能量ωn對(duì)應(yīng)的溫度大約在mK 量級(jí)[28],核自旋對(duì)電子自旋的相互作用對(duì)應(yīng)的溫度在nK 量級(jí)[19,28],而系統(tǒng)所處溫度在K 量級(jí)[18,28],因此可以認(rèn)為熱漲落使體系中所有核自旋雜亂無序.這樣等效磁場(chǎng)BN各向同性,在任意一個(gè)方向,比如z方向,其磁場(chǎng)大小可以用高斯分布來表示[25]:

同理,可以得到另外兩個(gè)方向上等效磁場(chǎng)的高斯分布形式[25]:

2.2 理論模型

在量子中繼中,組成最大糾纏態(tài)(4 個(gè)Bell 基)的兩個(gè)電子自旋分別儲(chǔ)存在相距80 km 的兩個(gè)GaAs 量子儲(chǔ)存器中,如圖2所示.由于兩個(gè)量子儲(chǔ)存器相距很遠(yuǎn),它們之間的相互作用可以忽略,因此電子自旋只感受到外加磁場(chǎng)及周圍核自旋產(chǎn)生的等效磁場(chǎng)的相互作用,系統(tǒng)的哈密頓量如下:

圖2 兩個(gè)相互糾纏的量子中繼器,糾纏態(tài)為兩個(gè)電子自旋組成的4 個(gè)Bell 基.Fig.2.Entanglement of the two separated quantum repeaters.Entangled states are the four Bell states constructed by two electron spins.

兩個(gè)電子自旋組成的4 個(gè)Bell 基為

B1z和B2z的大小滿足高斯分布且相互獨(dú)立,兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯分布相加或者相減也是高斯分布[27].

既然B1和B2在3 個(gè)方向上的磁場(chǎng)大小相同,滿足相同的高斯分布,因此可以將H1化簡為

其中B+=B1x(yz)+B2x(yz),B-=B1x(yz)-B2x(yz),B+和B-也滿足高斯分布,即

3 數(shù)值結(jié)果與分析

圖33 種不同大小的外加磁場(chǎng)下,體系處于4 個(gè)不同Bell 基上的幾率隨時(shí)間的演化規(guī)律 (a),(b),(c),(d)分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)處于|〉,|〉 ,|〉,|〉的平均幾率.體系初態(tài)為 〉,外加磁場(chǎng)參數(shù)為 B0=0(紅色虛線),B0=3ΔB (黑色點(diǎn)劃線),B0=10ΔB(藍(lán)色實(shí)線).時(shí)間以 t0=1/(μ0ΔB) 為單位Fig.3.Time evolution of mean probability in four Bell states:(a) 〉,(b) 〉,(c) 〉,(d) 〉 for different applied magnetic fields.The initial state is 〉,and the parameters are B0=0(red dash line),B0=3ΔB (black dash dot line),B0=10ΔB(blue solid line).Time is in the unit of t0=1/(μ0ΔB).

圖43 種不同大小的外加磁場(chǎng)下,體系處于4 個(gè)不同Bell 基上的幾率隨時(shí)間的演化規(guī)律 (a),(b),(c),(d)分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)處于〉,〉 ,〉,〉的平均幾率.體系的初態(tài)為〉,外加磁場(chǎng)參數(shù)為 B0=0(紅色虛線),B0=3ΔB (黑色點(diǎn)劃線)、B0=10ΔB(藍(lán)色實(shí)線).時(shí)間以 t0=1/(μ0ΔB) 為單位Fig.4.Time evolution of mean probability in four Bell states:(a) 〉,(b) 〉,(c) 〉,(d) 〉 for different applied magnetic fields.The initial state is 〉,and the parameters are B0=0(red dash line),B0=3ΔB (black dash dot line),B0=10ΔB(blue solid line).Time is in the unit of t0=1/(μ0ΔB).

4 解析結(jié)果與分析

圖5 (a)系統(tǒng)仍然處在〉上的平均幾率隨時(shí)間的演化;(b)系統(tǒng)躍遷到〉的平均幾率隨時(shí)間的演化.系統(tǒng)初態(tài)為〉,時(shí)間以 t0=1/(μ0ΔB) 為單位Fig.5.(a) Time evolution of the mean probability in 〉,(b) that in 〉.The initial state is ,and the time is in the unit of t0=1/(μ0ΔB).

圖6 (a)系統(tǒng)仍然處在〉上的平均幾率隨時(shí)間的演化;(b)系統(tǒng)躍遷到〉的平均幾率隨時(shí)間的演化.系統(tǒng)初態(tài)為〉,時(shí)間以 t0=1/(μ0ΔB) 為單位Fig.6.(a) Time evolution of the mean probability in〉,(b) that in〉.The initial state is〉,and the time is in the unit of t0=1/(μ0ΔB).

5 結(jié)論與討論

本文通過數(shù)值和解析兩種方式研究了量子中繼過程中兩個(gè)半導(dǎo)體量子點(diǎn)的糾纏態(tài)的退相干規(guī)律.數(shù)值結(jié)表明,外磁場(chǎng)為零時(shí),不管體系的初態(tài)為4 個(gè)Bell 基中的哪一個(gè)態(tài),由于核自旋的影響,體系最終仍處于初態(tài)的平均幾率即初態(tài)保真度約為0.34,而躍遷到另外3 個(gè)Bell 基態(tài)的平均幾率約為0.22.當(dāng)有外加磁場(chǎng)存在時(shí),間的躍遷被外磁場(chǎng)壓制,并且當(dāng)外磁場(chǎng)增大到一定值時(shí),間的躍遷被完全禁止.結(jié)果表明,由于外加磁場(chǎng)抑制了間的躍遷,從而可以提高系統(tǒng)初態(tài)的保真度.值得一提的是,Merkulov[25]發(fā)現(xiàn)在單個(gè)量子點(diǎn)中,隨著外加磁場(chǎng)的逐漸增大,自旋取向與外磁場(chǎng)方向一致,因此核自旋僅會(huì)導(dǎo)致相位噪聲而不會(huì)導(dǎo)致自旋翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤,我們的理論研究也再次印證了這一結(jié)果.并且與單個(gè)自旋不同的是,在雙量子點(diǎn)糾纏態(tài)中,研究了外加磁場(chǎng)及核自旋對(duì)4 個(gè)Bell 基演化的影響.在較大外磁場(chǎng)時(shí),間不能相互躍遷,所以我們將兩個(gè)自旋構(gòu)成的四維量子系統(tǒng)約化為兩個(gè)獨(dú)立的二維系統(tǒng),分別采用解析方法研究其量子態(tài)隨時(shí)間的演化規(guī)律.解析計(jì)算結(jié)果表明,核自旋漲落是影響系統(tǒng)退相干的主要因素,退相干時(shí)間及最終保真度不受體系初態(tài)的影響,即4 組Bell 基的退相干時(shí)間均為t0,最終保真度均為1/2.但是我們也發(fā)現(xiàn),在t0時(shí)間以內(nèi)(t ＜t0),Bell 基表現(xiàn)出很大的差異.如果系統(tǒng)初態(tài)為,在含時(shí)演化過程中,對(duì)z方向磁場(chǎng)不敏感,因而系統(tǒng)仍處于的平均幾率只是隨時(shí)間呈指數(shù)衰減,沒有周期性振蕩.當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為,在含時(shí)演化過程中,系統(tǒng)仍處于的平均幾率在指數(shù)衰減的同時(shí)還伴隨著頻率為 4μ0B0的周期性振蕩.z方向微小的磁場(chǎng)變化可引起很大的幾率波動(dòng),因而在量子中繼過程中,很難對(duì)其進(jìn)行量子操控.從這方面而言,在量子中繼中選更易于操控.

既然研究結(jié)果表明,系統(tǒng)的退相干時(shí)間主要受核自旋漲落的影響,即t0=1/(μ0ΔB),所以要延長退相干時(shí)間必須減小核自旋等效磁場(chǎng)的漲落.這要求將量子點(diǎn)中的電子囚禁在更小的范圍內(nèi).當(dāng)電子在更小的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),電子自旋與更少數(shù)目的核自旋相互作用,因此電子自旋和核自旋相互作用常數(shù)aj將更小,從而延長t0.有兩種方式可以實(shí)現(xiàn)以上目的,第一是降低量子點(diǎn)溫度,低溫條件可以抑制電子熱運(yùn)動(dòng);第二是選擇電子波函數(shù)更緊致的硅半導(dǎo)體量子點(diǎn)來替代GaAs 量子點(diǎn).期望本文的研究結(jié)果可以幫助更加深入地了解糾纏態(tài)的退相干機(jī)制,進(jìn)而利用半導(dǎo)體量子點(diǎn)的特性延長糾纏態(tài)的退相干時(shí)間.進(jìn)一步期望該結(jié)果能為實(shí)際量子中繼過程中,糾纏態(tài)選擇問題提供理論支持和參考,從而提高實(shí)驗(yàn)中的量子中繼效率.