田學(xué)亮，徐 穎

（南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，南京 210016）

0 引言

復(fù)合材料的顆粒增強(qiáng)是指向基體中引入顆粒增強(qiáng)相以改善其力學(xué)性能，因其制備容易，效果顯著，有望替代傳統(tǒng)制作工藝中制備困難、價(jià)格高昂的纖維增強(qiáng)。特別是碳化硅顆粒增強(qiáng)鋁基復(fù)合材料SiCp/Al 不僅力學(xué)性能優(yōu)異，而且原材料易于獲得，制備技術(shù)相對(duì)成熟，價(jià)格低廉，已逐步替代傳統(tǒng)材料被廣泛應(yīng)用于核能、航空航天、電子、軍工等領(lǐng)域[1]。

在研究顆粒增強(qiáng)金屬基復(fù)合材料有效宏觀力學(xué)性能時(shí)，常用細(xì)觀力學(xué)方法[2-3]和有限元數(shù)值模擬[4-5]。針對(duì)SiCp/Al 復(fù)合材料的有效彈性模量，采用細(xì)觀力學(xué)方法分析幾何結(jié)構(gòu)簡單的材料時(shí)，預(yù)測的宏觀性能較為合理，如Eshelby 等效夾雜理論、Mori-Tanaka 方法、Voigt和Reussd的上下限法等，但不能處理任意微結(jié)構(gòu)的情況，無法描述微結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變演化，此時(shí)一般采用基于單胞模型的有限元方法來預(yù)測復(fù)合材料的有效性能。Ghosh 等[6]于1991 年提出了Voronoi單元有限元法（Vornoi Cell Finite Element Method，VC?FEM），在計(jì)算時(shí)考慮了顆粒的形狀、體積分?jǐn)?shù)等因素對(duì)復(fù)合材料力學(xué)性能的影響，與其他計(jì)算方法相比具有單元數(shù)量少、計(jì)算效率高的特點(diǎn)；Ghosh 等[7]于1995年以Voronoi 單元為基礎(chǔ)分析了材料的多尺度問題，研究了顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料內(nèi)部夾雜顆粒的應(yīng)力應(yīng)變情況；徐佳麗[8]基于VCFEM法與有限元法進(jìn)行了混合計(jì)算，改進(jìn)了計(jì)算程序，解決了原有程序只可以計(jì)算顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的單一性問題，提升了計(jì)算效率和適用性；翁琳[9]建立了顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料3D周期性有限元分析模型，將擴(kuò)展應(yīng)變梯度理論嵌入有限元中進(jìn)行計(jì)算，研究了顆粒大小變化對(duì)材料整體性能的影響。

不同制作工藝以及不同材料組分制備的碳化硅顆粒增強(qiáng)鋁基復(fù)合材料的力學(xué)性能差異很大，不可能利用某種建模理論及計(jì)算方法對(duì)所有復(fù)合材料進(jìn)行計(jì)算都能得到較高的預(yù)測精度。此前的研究大多針對(duì)復(fù)合材料的力學(xué)性能，沒有針對(duì)各種制作工藝以及組分材料的特點(diǎn)進(jìn)行研究并建立相應(yīng)的計(jì)算模型。本文針對(duì)適合采用無壓滲透法制備的A356/SiCp 復(fù)合材料建立了代表性體積單元（Representative Vol?ume Element，RVE），在不同邊界條件下分析不同體積分?jǐn)?shù)、不同夾雜顆粒形狀對(duì)該材料有效彈性模量的影響。

1 A356/SiCp復(fù)合材料RVE有限元模型

根據(jù)復(fù)合材料真實(shí)顆粒大小分布以及界面結(jié)合情況，結(jié)合無壓滲透法制作的顆粒增強(qiáng)鋁基復(fù)合材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，為探討顆粒形狀、大小對(duì)有效彈性模量的影響，對(duì)所建立的RVE有限元模型做如下假設(shè)：

（1）顆粒呈圓形或橢圓形；

（2）顆粒與基體結(jié)合良好，無中間結(jié)合物、缺陷或孔隙。

基于以上假設(shè)建立的碳化硅顆粒體積分?jǐn)?shù)為10%的A356/SiCp復(fù)合材料2維RVE有限元模型如圖1 所示。表征的碳化硅顆粒尺寸為微米級(jí)別，鋁基體 為20 μm×20 μm 的 正方形，圓形碳化硅顆粒半徑為0.89 μm。其中碳化硅顆粒的面積占比為10%，以此體現(xiàn)碳化硅顆粒的體積分?jǐn)?shù)占比。碳化硅顆粒夾雜在圖形中的具體位置采用隨機(jī)數(shù)生成器生成，通過設(shè)置隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的范圍來避免產(chǎn)生交叉的夾雜顆粒。

圖1 A356/SiCp復(fù)合材料RVE有限元模型

碳化硅顆粒增強(qiáng)鋁基復(fù)合材料由碳化硅顆粒和鋁合金基體復(fù)合而成，本文采用無壓滲透法制備的A356/SiCp 復(fù)合材料典型力學(xué)性能作為參考值，其性能參數(shù)見表1。其中鋁合金基體為彈塑性材料，碳化硅顆粒為線彈性材料，具體力學(xué)性能參數(shù)見表2。

表1 無壓滲透法制備A356/SiCp復(fù)合材料典型力學(xué)性能參數(shù)[10]

表2 A356/SiCp復(fù)合材料組分力學(xué)性能參數(shù)[11-12]

在ABAQUS 中采用mesh 模塊對(duì)所建立的RVE 有限元模型進(jìn)行有限元計(jì)算網(wǎng)格劃分。RVE 有限元模型整體網(wǎng)格尺寸設(shè)為0.2 μm，采用線性四邊形網(wǎng)格，設(shè)定4 條邊上的單元數(shù)為76。劃分情況如圖2所示。

圖2 RVE有限元模型網(wǎng)格劃分

由此生成的碳化硅顆粒和鋁基體的網(wǎng)格采用結(jié)點(diǎn)合并的處理方式，即認(rèn)為在復(fù)合材料變形過程中碳化硅顆粒和鋁基體不發(fā)生脫離，二者之間也不會(huì)產(chǎn)生幾何位錯(cuò)。而在無壓滲透法制備過程中的金屬熔體能夠很好地與增強(qiáng)體表面融合，使二者的界面結(jié)合良好，不易發(fā)生脫黏現(xiàn)象[13-14]。故采用結(jié)點(diǎn)合并的方式能夠有效模擬無壓滲透工藝下復(fù)合材料的界面結(jié)合情況。

2 周期性邊界條件和模擬單軸拉伸邊界條件

周期性邊界條件可使每個(gè)代表性體積單元相對(duì)面上的節(jié)點(diǎn)位移相互對(duì)應(yīng)，從而保證變形的周期性和連續(xù)性[15]。Xia 等[16]總結(jié)了周期性邊界條件的一般表示方法，其形式為

式中：上標(biāo)j-表示沿xj負(fù)方向；上標(biāo)j+表示沿xj正方向；為RVE模型的平均應(yīng)變?yōu)橄鄬?duì)面之間距離。

參考翁晶萌等[17]施加的周期性邊界條件，在ABAQUS中通過施加多點(diǎn)約束方程，并結(jié)合相應(yīng)子程序，完成對(duì)RVE 有限元模型周期性邊界條件的施加。為了使計(jì)算得以進(jìn)行，還需設(shè)置與周期性邊界條件相一致的節(jié)點(diǎn)載荷以及邊界條件，其具體設(shè)置情況如圖3（a）所示。2 維模型左下角節(jié)點(diǎn)固定，限制其U1、U2、UR3；限制平面模型右下角節(jié)點(diǎn)U2、UR3；限制2 維模型左上角節(jié)點(diǎn)U1、UR3；于2 維模型左上角節(jié)點(diǎn)施加載荷，載荷步的幅值設(shè)為0.020 μm，初始載荷步以及最大載荷步設(shè)為0.004 μm。

模擬單軸拉伸邊界條件如圖3（b）所示。2 維模型左下角節(jié)點(diǎn)固定，限制其U1、U2、UR3，以此限制計(jì)算模型的剛體位移，防止計(jì)算過程中出現(xiàn)數(shù)值奇異，且不會(huì)對(duì)計(jì)算模型產(chǎn)生過大影響。限制底邊節(jié)點(diǎn)U2、UR3。對(duì)頂邊節(jié)點(diǎn)施加位移載荷，載荷步幅值為0.020 μm，初始載荷步以及最大載荷步設(shè)為0.004 μm。

圖3 2種邊界條件設(shè)置

施加周期性邊界條件的RVE 有限元模型U1位移如圖4 所示。位移云圖的顏色深淺代表了節(jié)點(diǎn)位移的大小，選取2 維模型上y=0、y=20 時(shí)不同x坐標(biāo)位置處節(jié)點(diǎn)位移值U1，結(jié)果見表3。從表中可見，對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的U1相等，即此模型保證了對(duì)應(yīng)邊上的位移連續(xù)性要求，對(duì)此RVE 有限元模型成功施加了周期性邊界條件。

圖4 周期性邊界條件下RVE有限元模型U1位移

表3 周期性邊界條件下RVE有限元模型U1的位移 μm

3 有效彈性模量計(jì)算

采用載荷施加邊上的平均彈性模量值作為復(fù)合材料的有效彈性模量，方便快捷且綜合考慮了所有增強(qiáng)顆粒對(duì)復(fù)合材料的作用效果，通過實(shí)際計(jì)算發(fā)現(xiàn)該處理方式不會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，在工程計(jì)算上是可行的。采用周期性邊界條件計(jì)算得到的RVE 有限元模型S22的應(yīng)力如圖5 所示。在ABAQUS 后處理中創(chuàng)建場輸出變量，導(dǎo)出2 維模型頂邊所在單元的積分點(diǎn)處應(yīng)力S22，并通過式（2）求得有效彈性模量。模擬單軸拉伸邊界條件的單RVE 有限元模型亦采用此方法獲得有效彈性模量。載荷步幅值為0.020 μm，2 維模型邊長為20，故可知模型平均應(yīng)變?yōu)?.001。

圖5 RVE有限元模型S22應(yīng)力分布（周期性邊界條件）

4 不同體積分?jǐn)?shù)、顆粒形狀、邊界條件對(duì)有效彈性模量的影響

4.1 表征不同細(xì)觀結(jié)構(gòu)的RVE有限元模型建立

顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的顆粒體積分?jǐn)?shù)對(duì)其有效彈性模量的影響顯著，且顆粒的形狀、大小也會(huì)對(duì)其有效彈性模量產(chǎn)生一定的影響[18-20]。據(jù)此建立了表征圓形和橢圓形顆粒不同體積分?jǐn)?shù)（10%、15%、20%）的RVE 有限元模型，對(duì)比了不同邊界條件下的計(jì)算結(jié)果，并與相應(yīng)體積分?jǐn)?shù)的A356/SiCp 復(fù)合材料的典型力學(xué)性能進(jìn)行比較分析。模型中圓形和橢圓形顆粒的中心坐標(biāo)相同，通過改變圓形顆粒的半徑以達(dá)到不同的圓形顆粒體積分?jǐn)?shù)占比，具體尺寸見表4，建立的模型如圖6 所示。橢圓形顆粒的方向隨機(jī)，不同體積分?jǐn)?shù)的橢圓形顆粒方向相同。

表4 圓形、橢圓形顆粒的體積分?jǐn)?shù)及其尺寸

圖6 不同形狀和體積分?jǐn)?shù)的RVE有限元模型

4.2 不同顆粒形狀及邊界條件下有效彈性模量對(duì)比分析

4.2.1 顆粒中應(yīng)力分布規(guī)律分析

不同顆粒形狀及邊界條件下RVE 有限元模型米塞斯應(yīng)力如圖7所示。

圖7 不同顆粒形狀及邊界條件下RVE有限元模型米塞斯應(yīng)力

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知：

（1）無論是在周期性邊界條件還是模擬單軸拉伸邊界條件下，橢圓形顆粒的半長軸方向與y軸夾角較小，在受載方向上的投影面積較小時(shí)，其應(yīng)力較大，即橢圓形顆粒的應(yīng)力水平隨橢圓半長軸的方向不同而有所不同；而圓形顆粒在受載方向上的投影面積相等，所以不同圓形顆粒的應(yīng)力水平相差不大。

（2）無論是圓形顆粒還是橢圓形顆粒，在2種邊界條件下的應(yīng)力水平都相當(dāng)。圓形顆粒的應(yīng)力水平為110 MPa左右，橢圓形顆粒的應(yīng)力水平為94～140 MPa。

4.2.2 有效彈性模量對(duì)比分析

在不同邊界條件下有效彈性模量的計(jì)算結(jié)果見表5、6。從表中數(shù)據(jù)可知：

表5 周期性邊界條件下增強(qiáng)相顆粒RVE有限元模型有效彈性模量計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較

（1）在2種邊界條件下RVE有限元模型均能有效預(yù)測A356/SiCp 復(fù)合材料的有效彈性模量，且達(dá)到了較高的預(yù)測精度，其預(yù)測誤差都不超過5%。

（2）在2 種邊界條件下得到的計(jì)算結(jié)果相差不大。在2 維RVE 有限元模型中可利用簡單的模擬單軸拉伸邊界條件代替周期性邊界條件，所得計(jì)算結(jié)果相差不超過0.324%。

（3）在2 種邊界條件下，圓形、橢圓形顆粒復(fù)合材料有效彈性模量差別不大，相差不超過0.4%，即顆粒形狀對(duì)復(fù)合材料的力學(xué)性能影響不顯著，這與王文明等[21]的試驗(yàn)研究結(jié)果相符合。

表6 模擬單軸拉伸邊界條件下增強(qiáng)相顆粒RVE有限元模型有效彈性模量計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較

4.2.3 誤差分析

除體積分?jǐn)?shù)為10%的有效彈性模量預(yù)測值較真實(shí)值偏高外，其他的預(yù)測值都偏低，造成此現(xiàn)象的原因可能有如下3點(diǎn)：

（1）未考慮復(fù)合材料制備過程中殘余應(yīng)力帶來的影響，致使預(yù)測結(jié)果偏低[19]。

（2）有限元模型計(jì)算網(wǎng)格劃分采用碳化硅顆粒與鋁基體結(jié)點(diǎn)合并的方式，致使在材料變形過程中無幾何位錯(cuò)產(chǎn)生，從而缺少了幾何位錯(cuò)帶來的強(qiáng)化效果[22]。但當(dāng)復(fù)合材料處于彈性階段時(shí)，由此帶來的影響可忽略。

（3）實(shí)際復(fù)合材料中碳化硅顆粒大小具有一定的分布特性，不同體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料區(qū)別在于所含顆粒數(shù)量不同，顆粒數(shù)量越多意味著體積分?jǐn)?shù)越高，顆粒和基體的接觸面積也就越大，由此帶來的強(qiáng)化效果也就越明顯。通過改變顆粒大小來改變體積分?jǐn)?shù)的方式對(duì)接觸面積的增大效果不如增加顆粒數(shù)量的方式明顯，從而使預(yù)測結(jié)果偏低。

5 結(jié)論

（1）采用碳化硅顆粒和鋁基體材料之間結(jié)點(diǎn)合并的方式能有效模擬無壓滲透法制備的A356/SiCp 復(fù)合材料的界面結(jié)合情況，對(duì)復(fù)合材料有效彈性模量的預(yù)測誤差不超過5%，滿足一般工程上的精度要求。

（2）對(duì)比了周期性邊界條件和模擬單軸拉伸邊界條件下2 維RVE 有限元模型，2 種邊界條件下所得復(fù)合材料有效彈性模量計(jì)算結(jié)果相差不超過0.324%，因此在2 維RVE 有限元模型中可利用簡單的模擬單軸拉伸邊界條件代替周期性邊界條件。

（3）通過細(xì)觀結(jié)構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)碳化硅顆粒的體積分?jǐn)?shù)對(duì)復(fù)合材料力學(xué)性能的影響顯著，而顆粒形狀的影響很小，在相同體積分?jǐn)?shù)下圓形和橢圓形顆粒的計(jì)算結(jié)果相差不超過0.4%。