岳增成，汪曉勤，孫丹丹

21世紀國外數(shù)學(xué)史與教師教育關(guān)系研究與啟示

岳增成1，汪曉勤2，孫丹丹3

（1．杭州師范大學(xué) 教育學(xué)院，浙江 杭州 311121；2．華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062；3．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241）

以探尋實踐中如何進行教師教育為出發(fā)點，從內(nèi)容維度、形式與過程維度、結(jié)果維度對國外新世紀以來數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教師教育的關(guān)系進行了考察．研究發(fā)現(xiàn)：國外以數(shù)學(xué)史為載體的教師教育強調(diào)原始素材的運用，注重多元文化與民族數(shù)學(xué)；教師教育的形式多元，強調(diào)培訓(xùn)對象的深度參與，教師教育過程與結(jié)構(gòu)精致，注重整體優(yōu)化；教師教育在知識、信念等方面取得了一定的成效．啟示：要對教師教育的內(nèi)容與形式進行合理規(guī)劃；強調(diào)學(xué)科內(nèi)容知識與教學(xué)內(nèi)容知識的平衡；注重教學(xué)、科研、項目間的聯(lián)動．

HPM；教師教育；原始素材；深度參與；多元發(fā)展

一個國家的教育質(zhì)量是無法超越它的教師的質(zhì)量的[1]，因此教師質(zhì)量在國家戰(zhàn)略中具有重要的地位，教師教育受到了空前的關(guān)注．教師知識作為教師教育的重要方面受到了廣泛的重視，出現(xiàn)了很多跨國的或地區(qū)性的教師知識比較項目，其目的都是基于對教師專業(yè)知識狀況的了解，提供高質(zhì)量的教師教育和教師專業(yè)發(fā)展機會，以最終達到促進教師專業(yè)知識發(fā)展的目的[2]．目前，中國已有很多研究聚焦于教師知識的大面積測查，結(jié)果顯示無論是職前還是在職教師，其知識水平、知識結(jié)構(gòu)都存在一定的問題，因此研究者們基于測查結(jié)果，從制度保障、培養(yǎng)模式、課程設(shè)置等提出了改進建議[3–4]．然而，盡管對中國教師教育的建議已從基于思辨走向了基于數(shù)據(jù)，但如何在實踐中進行教師教育及其效果檢驗的實證研究還有待于進一步加強．

HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域出現(xiàn)最早且較為重要的領(lǐng)域之一，數(shù)學(xué)史與教師教育的關(guān)系一直是其重要的研究課題，并在這方面取得了豐碩的成果．因此有必要對國外數(shù)學(xué)史與教師教育的關(guān)系研究進行分析，以期能給中國的教師教育帶來啟示，也能對目前中國HPM領(lǐng)域存在的教師教育缺失，教育倫理學(xué)迷失，理論和實踐脫離等現(xiàn)實困境[5]的解決有所裨益．目前，已有對國外相關(guān)成果的介紹[6–7]，但有待于進一步拓展．因此，研究者通過對21世紀以來國外以數(shù)學(xué)史為載體的教師教育的文獻的梳理，回答如下的研究問題：HPM領(lǐng)域中，國外在開展教師教育時，用了哪些內(nèi)容（內(nèi)容維度）？采取了怎樣的方式（形式與過程維度）？對數(shù)學(xué)教師產(chǎn)生了什么樣的影響（結(jié)果維度）？

1 內(nèi)容維度

1.1 注重原始素材的運用

HPM國際研究小組的建立與新數(shù)運動強烈反對“數(shù)學(xué)教育的歷史觀念”的主張密切相關(guān)，HPM主張數(shù)學(xué)史是“治愈教條主義的一劑良藥”，認為數(shù)學(xué)不僅僅是一種語言，還是人類的活動[8]．因此，數(shù)學(xué)教育應(yīng)從數(shù)學(xué)史中汲取養(yǎng)料，特別是原始素材，因為原始素材的閱讀將有助于：澄清、拓展二手素材中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)，揭示不為大眾所知的數(shù)學(xué)，識別某一主題歷史的大致發(fā)展脈絡(luò)，審視文獻中發(fā)現(xiàn)的解釋、價值判斷，甚至誤傳；理解演進的觀點；體驗真理相對性和數(shù)學(xué)活動中人的元素；感知數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系；感悟簡易、動機和教學(xué)（一些原始素材比后來的闡釋更為簡單，可讀性更強；這些素材通常保留了日常用語與合理的解釋，因此它們能夠豐富教師的教學(xué)儲備來幫助學(xué)生進行意義建構(gòu)）；借鑒數(shù)學(xué)教育史；了解地方性數(shù)學(xué)等．原始素材的閱讀也應(yīng)該成為各級各類數(shù)學(xué)教師教育不可或缺的組成部分，因為閱讀原始文獻不僅對教師數(shù)學(xué)能力有所貢獻，而且是將數(shù)學(xué)史融入到將來的教學(xué)中的必要條件[9]．

Clark以高校教授的身份講述了數(shù)學(xué)史課程開設(shè)期間在職研究生Lisa學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的故事，Lisa則講述了課程學(xué)習(xí)的歷程及其后續(xù)數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的嘗試，通過雙方互動的敘事研究發(fā)現(xiàn)，盡管課程的參與讓Lisa受益匪淺，但史料的可靠性是她教學(xué)設(shè)計時面臨的最大挑戰(zhàn)，這引發(fā)了她的憂慮以及Clark對原始素材的思考[10]．可見，史料的可靠性是教師教育指導(dǎo)者和教師面臨的共同問題．Bruckheime等為了讓教師用動態(tài)的觀點看待數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)演進的觀點），了解數(shù)學(xué)是人做出來的（數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)），數(shù)學(xué)家也會犯錯誤（真理相對性）．在工作坊中向在職教師提供了基于原始素材的負數(shù)、無理數(shù)、一次方程與二次方程3個概念的學(xué)習(xí)單，學(xué)習(xí)單內(nèi)容涵蓋了相關(guān)概念從不完善到相對完善發(fā)展過程中的多個重要人物和他們的貢獻[11]．因應(yīng)土耳其課程改革對教學(xué)中數(shù)學(xué)史使用的要求，以改善職前中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)知識、數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教學(xué)觀等來應(yīng)對課程改革帶來的挑戰(zhàn)，Alpaslan等開展了基于原始素材的歐幾里得《幾何原本》、花拉子米《還原與對消》兩個模塊的教學(xué)．其中原始素材的選取遵循了如下的標準：與課程標準相關(guān)，與職前教師的能力相匹配，素材能夠解決諸如數(shù)學(xué)觀點、概念、算法、方法、定理、證明與論證等數(shù)學(xué)內(nèi)部問題，素材能夠展示諸如人類、社會、文化對數(shù)學(xué)歷史發(fā)展影響的數(shù)學(xué)元問題，具有里程碑意義[12]．作為教師，當(dāng)學(xué)生沒有很好地跟隨自己的思路時，常常傾向于快速拒絕他們，這是教師中心性的表現(xiàn)．為了讓數(shù)學(xué)教師去中心性，不要從自己的視角看待學(xué)生，而能移情于學(xué)生、學(xué)會傾聽，Arcavi等試圖讓培訓(xùn)對象在解決古埃及用僧侶文、楔形文字書寫的有關(guān)乘法運算的任務(wù)時，能夠進入古人的內(nèi)心世界，進而能夠進入學(xué)生的內(nèi)心世界[13]．以上3個教師教育的例子反映了原始素材在理解演進觀點，體驗真理相對性和數(shù)學(xué)活動中人的元素，感悟簡易、動機和教學(xué)等方面的獨特價值．?dāng)?shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系、本土數(shù)學(xué)分別與多元文化、民族數(shù)學(xué)相關(guān)聯(lián)，以下是對這兩個的概述．

1.2 多元文化與民族數(shù)學(xué)并重

數(shù)學(xué)本身就是一種文化，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)是古今中外的數(shù)學(xué)家共同努力的結(jié)果．在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)與其它學(xué)科及整個社會發(fā)展相互推動，形成了良好的互動關(guān)系：一方面，其它學(xué)科、社會發(fā)展成為了數(shù)學(xué)發(fā)展的推動力；另一方面，數(shù)學(xué)發(fā)展又反過來促進了其它學(xué)科、社會的發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)史往往可以展現(xiàn)這種發(fā)展過程中的互動關(guān)系．因此，數(shù)學(xué)史進入教師教育，可以幫助數(shù)學(xué)教師認識到數(shù)學(xué)與其它學(xué)科、與社會發(fā)展的關(guān)系，看到不同時代、不同民族對數(shù)學(xué)發(fā)展做出的貢獻，從而能用多元文化的視角看待數(shù)學(xué)．Ian Isaac等為本科一年級的小學(xué)職前教師開設(shè)了“數(shù)學(xué)的文化起源”課程．這門課程聚焦于中國、印度、埃及、希臘的古代社會在實踐和智力活動中處理幾何概念的方式，比如中國古代實用主義的訴求，使得中國古代的幾何強調(diào)實用，忽視邏輯推理，而古希臘崇尚理性精神，因此古希臘的幾何學(xué)強調(diào)邏輯證明，希望給職前教師以更寬闊的視野來看待過去五千年中不同社會文明對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響[14]．Guyot和Métin為了提高教師的跨學(xué)科能力，將高中數(shù)學(xué)、物理教師召集到研討班中，向他們呈現(xiàn)了1?500～1?800年間化學(xué)、彈道學(xué)、算術(shù)、幾何4門學(xué)科中的火藥制作、彈道軌跡推算、防御工事建造等軍事問題[15]．為了改變多元文化背景的職前教師存在的諸多知識、信念問題，比如在大學(xué)前，幾乎對數(shù)學(xué)中偉大的人物，甚至是本民族的偉大數(shù)學(xué)人物一無所知，認為數(shù)學(xué)是一座“孤島”，它的法則與歷史、物理、社會現(xiàn)實無關(guān)，數(shù)學(xué)是與人類無關(guān)的活動領(lǐng)域，Barabash等試圖借助古代與近代數(shù)學(xué)家生平、與中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)且職前教師能夠理解的成就，闡明數(shù)學(xué)是不同時代、不同國家的人創(chuàng)造出來的，他們發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造了超越時空的知識來服務(wù)自身及其后代[16]．

民族數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分．用民族數(shù)學(xué)進行教師教育，一方面可以讓教師深刻地了解自己民族的文化，形成文化認同，比如葡萄牙航海歷史悠久，但葡萄牙所擁有的相當(dāng)重要的文化遺產(chǎn)和革新的航海科學(xué)的方法經(jīng)常被遺忘，因此Ralha、Lopes通過讓葡萄牙職前教師研究葡萄牙數(shù)學(xué)史來幫助教師了解所在國家航海事業(yè)的輝煌及其中應(yīng)用到的數(shù)學(xué)原理[17]．另一方面，可以讓教師更深刻地了解其它民族，比如中國古代數(shù)學(xué)擅長計算，重視算法，而算法又不被西方學(xué)者認同為嚴密證明，因此Chorlay向教師展示了中國古代劉徽注《九章算術(shù)》中的分數(shù)乘法算法，以此來說明即使這些材料應(yīng)用在中小學(xué)課堂中十分困難，但應(yīng)用在教師培訓(xùn)中將會卓有成效：教師對這些材料的分析引發(fā)了他們對非形式論證的思考，甚至為他們講授一些數(shù)學(xué)定義或性質(zhì)的證明提供了重要參照[18]．

2 形式與過程維度

2.1 教師教育的形式多元

國外HPM視角下教師教育的形式相當(dāng)多元，這不僅體現(xiàn)在教師教育類型的多樣上，例如國外常用的HPM視角下的教師教育類型有項目（program）、課程（course）、工作坊（workshop）、研討會（seminar）、討論班（session）、課題（project），還體現(xiàn)在類型的組合上，教師教育者既可采用單獨的形式進行教師教育，比如，Loats分別在傳統(tǒng)的學(xué)期模式中給職前教師、在暑期專業(yè)發(fā)展課程中給在職中學(xué)教師講授數(shù)學(xué)史課程[19]．法國2012年前后發(fā)布了一個強調(diào)算法重要性的高中國家課程，并明確地要求在課堂中實施多樣的算法教學(xué)．為了幫助教師應(yīng)對新的挑戰(zhàn)，Michel-Pajus開設(shè)了基于歷史素材、更具算法傾向的教師培訓(xùn)討論班，以向教師展示理解、書寫、驗證算法曾經(jīng)是數(shù)學(xué)發(fā)展進程中最重要的工作[20]．也可采用混合的方式進行，比如Barash等在職前教師教育項目中，設(shè)置了與數(shù)學(xué)史相關(guān)的結(jié)構(gòu)性活動，活動分教與學(xué)兩部分：學(xué)的部分在持續(xù)一年的研討會中實施，教的部分是畢業(yè)課題，在畢業(yè)課題中，每一個歷史主題被詳細描述成一個可以在中小學(xué)具體年級實施的教學(xué)模塊[16]．發(fā)布于2007年的加泰羅尼亞數(shù)學(xué)課程中包含了相關(guān)數(shù)學(xué)主題歷史起源介紹的理念，但未有文獻涉及到相關(guān)主題內(nèi)容的開發(fā)，因此Vallhonesta等開設(shè)了一門職前數(shù)學(xué)教師課程，為教師提供講授知識所需的素材．在課程的學(xué)習(xí)過程中，職前教師除了需要處理老師提供的大量素材外，還需要完成一個課題，這一課題包括依據(jù)他們在課程學(xué)習(xí)過程中處理的史料設(shè)計一個學(xué)習(xí)活動[21]．總之，國外HPM視角下的教師教育形式多樣，還有不同的組合方式，圖1呈現(xiàn)了各種形式之間的大致關(guān)系，其中箭頭指向的類型是箭頭開端類型子集，任意箭頭都可去掉．

圖1 國外HPM視角下的教師教育

2.2 教師的深度參與

傳統(tǒng)課程、講座、報告等教師教育形式通常是講授式，教師深度學(xué)習(xí)機會很少．而要使教師將教師教育的內(nèi)容盡快內(nèi)化到自己的認知結(jié)構(gòu)當(dāng)中，就需要教師教育者設(shè)置相應(yīng)的活動引導(dǎo)教師的深度參與．在Fenaroli等設(shè)計的項目中，教師教育者解釋了歷史作為加強師范生教學(xué)的工具是怎樣被使用的，并建議將歷史片段的重點與教育問題相結(jié)合．在這樣的背景下師范生受任務(wù)的驅(qū)動，對與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的原始素材進行了深入的分析，反思了歷史片段中導(dǎo)數(shù)的新含義，預(yù)設(shè)了教學(xué)中使用推薦的歷史材料的結(jié)果，最后分組合作對如何在課堂中介紹導(dǎo)數(shù)進行了設(shè)計[22]．除了項目中的任務(wù)驅(qū)動外，國外其它形式的教師教育也需要培訓(xùn)對象的深度參與，Smestad設(shè)置了項目、任務(wù)、游戲等讓教師參與其中，進行數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)[23]．在Alpaslan等[24]提供的培訓(xùn)中，職前教師需要分析初等數(shù)學(xué)教材，審視教材中數(shù)學(xué)史的使用，設(shè)計教授特定概念的海報，并在后續(xù)的數(shù)學(xué)方法課程中運用數(shù)學(xué)史．總之，為了讓教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史，培訓(xùn)者們通過任務(wù)設(shè)計、問題引導(dǎo)，讓培訓(xùn)對象參與到數(shù)學(xué)史料的分析當(dāng)中，從中發(fā)現(xiàn)其對教學(xué)的啟示，并進一步進行基于史料的任務(wù)設(shè)計．

2.3 教師教育過程與結(jié)構(gòu)精致注重整體優(yōu)化

由于時間的有限性，教師教育對效率的要求很高．為了滿足這一要求，國外以數(shù)學(xué)史為載體的教師教育過程與結(jié)構(gòu)較為精致．比如Furinghetti為了幫助職前教師將數(shù)學(xué)教育教學(xué)理論應(yīng)用于實踐，讓他們參與了一門累計42小時、需要將數(shù)學(xué)史融入相關(guān)主題設(shè)計的課程，并以“了解歷史史料、選擇合適主題、分析課堂需要、設(shè)計課堂活動、實施教學(xué)計劃、評價課堂活動”的順序進行了九～十年級代數(shù)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計[25]．Waldegg則組織了一個由12個討論班組成的工作坊，工作坊每次活動持續(xù)4個小時，并按如表1所示的序列展開，其中每個參與者都有責(zé)任學(xué)習(xí)某些知識，這樣他就成了相關(guān)知識的專家，也有責(zé)任將相關(guān)知識教給自己小組（基礎(chǔ)組）的其他成員，或教給其它組的某個成員，而后者就成為了所在組相關(guān)知識的專家，并將所學(xué)知識再教給所在基礎(chǔ)組的成員[26]．當(dāng)然，精致的教師教育過程與結(jié)構(gòu)，需要不斷地優(yōu)化．國外有一些研究呈現(xiàn)了優(yōu)化的過程．

表1 工作坊流程

比如，Smestad因挪威教師教育改革的需要，為師范生開設(shè)了一門6個小時的數(shù)學(xué)史課程．在準備的過程中，他制定了遵循一定教學(xué)順序的課程的發(fā)展目標；當(dāng)發(fā)現(xiàn)職前教師前測問卷的結(jié)果與自己的設(shè)想出入較大時，他對教學(xué)順序進行了調(diào)整；隨后，根據(jù)教學(xué)順序選取了數(shù)學(xué)史進行了兩輪授課，第二輪授課的內(nèi)容與第一輪完全不同，因為后一輪考慮了考試的需求，安排了概率與組合學(xué)的相關(guān)歷史介紹[27]．

3 結(jié)果維度

3.1 信念方面

數(shù)學(xué)教師的信念、態(tài)度對教師教學(xué)的意義重大，因為教師關(guān)于數(shù)學(xué)的信念和態(tài)度是影響教師所采用數(shù)學(xué)教學(xué)方法的關(guān)鍵，教師關(guān)于數(shù)學(xué)及其教學(xué)的信念對教學(xué)實踐的塑造具有重要的作用[28]．?dāng)?shù)學(xué)史為教師信念、態(tài)度的轉(zhuǎn)變提供了新的思路，因為數(shù)學(xué)史提供了一處未知的風(fēng)景，在其中人們以不同的視角看待已經(jīng)變成“冰冷的美麗”的數(shù)學(xué)定理、概念和過程[29]．因此，Isaacs等聚焦于讓職前教師探索中國古代作為解決現(xiàn)實問題的實踐科學(xué)的幾何，古印度作為構(gòu)造性、審美媒介的幾何，古埃及宗教對幾何精確構(gòu)造的需求，古希臘幾何中的邏輯論證．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，通過對中國古代、古印度、古埃及、古希臘幾何的探索，部分學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的信念發(fā)生轉(zhuǎn)變，但總體效果不是很理想[14]．Charalambos等通過融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)項目的實施發(fā)現(xiàn)，職前教師進入項目時持有相當(dāng)強烈的柏拉圖式的信念，即認為數(shù)學(xué)是由永恒準確的事實構(gòu)成的穩(wěn)定體系，項目完成后，柏拉圖式的信念減弱，但工具主義信念（數(shù)學(xué)是安排有序的工具集合）增強，而實驗主義信念（數(shù)學(xué)是知識的進化體）與開始時相比有所減弱，這未能達到培養(yǎng)學(xué)生實驗主義數(shù)學(xué)觀的目的；學(xué)生對數(shù)學(xué)負面的態(tài)度增強，效能感朝著期望的方向發(fā)展[29]．

盡管教學(xué)因素對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的運用和問題的解答造成了干擾，嚴格的歷史相似性是站不住腳的，即個體發(fā)育重蹈種族發(fā)展，但學(xué)生的理解困難與歷史上數(shù)學(xué)家遭遇的障礙具有有趣的相似性[30]．因此，對數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的研究能夠幫助教師更好地理解學(xué)生及學(xué)生學(xué)習(xí)的困難．比如，在一門聚焦于從古至今的數(shù)學(xué)進化，以建立數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展與社會發(fā)展關(guān)系的課程中，Guillemette運用現(xiàn)象學(xué)方法，從對話的視角對課堂實錄、個體訪談、群體訪談分析發(fā)現(xiàn)：職前教師持有的認識論與歷史文本蘊含的認識論間的沖突促使他們移情于文本作者與他們將來的學(xué)生，開啟了非暴力數(shù)學(xué)教育的可能性[31]．

對數(shù)學(xué)史及其教學(xué)的信念直接影響著數(shù)學(xué)教學(xué)中HPM的使用，但這方面的研究相當(dāng)少．Alpaslan等調(diào)查1?593名4個年級師范生發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對數(shù)學(xué)史的使用有著積極的態(tài)度與信念，且隨著教師教育項目中數(shù)學(xué)史課程的實施，學(xué)生對數(shù)學(xué)史的使用態(tài)度更為積極，信念朝著好的方面發(fā)展[32]．Gürsoy也為職前教師開設(shè)了一門旨在幫助教師將數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)的課程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)高中職前教師對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)的態(tài)度與信念發(fā)生了轉(zhuǎn)變，且這種轉(zhuǎn)變具有顯著性差異[33]．

由以上介紹可知，數(shù)學(xué)史作為教師教育的素材會對培訓(xùn)對象的數(shù)學(xué)、學(xué)生、數(shù)學(xué)史使用等方面的態(tài)度、信念產(chǎn)生積極影響，但有部分研究的效果并不顯著，這與數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的角色無關(guān)，而與教師教育項目中史料的處理方式有關(guān)[25]．上述Smestad對教師教育過程與結(jié)構(gòu)的優(yōu)化也間接地證明了這一點．

3.2 知識方面

教育涉及兩個基本的成分——學(xué)科內(nèi)容與學(xué)生．教學(xué)是一門使學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)科內(nèi)容的藝術(shù)．要想成功地做到這一點，需要對這兩者的深刻理解．不幸的是，這一點經(jīng)常被忘記，且兩個核心成分中的一個往往被過分地強調(diào)．目前看起來有強調(diào)了解學(xué)生超過了解內(nèi)容的傾向，人們能夠看到大多數(shù)現(xiàn)有的指向教育改善的文件對教學(xué)方法的強調(diào)遠遠多于學(xué)科內(nèi)容[34]．因此，教學(xué)需要平衡學(xué)科內(nèi)容知識與學(xué)生知識，教師教育需要平衡學(xué)科內(nèi)容知識與教學(xué)內(nèi)容知識．HPM是一門跨數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育的學(xué)科，兼具學(xué)科內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容，將其應(yīng)用于教師教育將有利于學(xué)科內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容的平衡．

在HPM領(lǐng)域，已有一些研究者對HPM與數(shù)學(xué)知識、教學(xué)知識的互動關(guān)系進行探討，特別是HPM與MKT（Mathematical Knowledge for Teaching，數(shù)學(xué)教學(xué)所需要的知識）的互動關(guān)系，因為MKT包括學(xué)科內(nèi)容知識與學(xué)科教學(xué)知識兩部分，且MKT是數(shù)學(xué)教育中公認的研究框架，將其引入HPM領(lǐng)域有利于解決目前數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史研究，包括數(shù)學(xué)史與教師教育研究，缺乏與一般數(shù)學(xué)教育研究框架、理論建構(gòu)和方法論有清晰聯(lián)系的問題，有利于數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)史研究成為數(shù)學(xué)教育研究中一個更具影響力的領(lǐng)域[35]．Mosvold等借用已有的教師教育案例，討論了MKT的各個組成部分是如何從數(shù)學(xué)史中獲益的，也就是說數(shù)學(xué)史是對MKT的完善，比如于教師而言，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米利用幾何表征進行配方求解一元二次方程的方法（如圖2）就屬于專門內(nèi)容知識，因為現(xiàn)在普遍采用的代數(shù)法求解是各行各業(yè)的人所掌握的，而幾何法求方程的解是教學(xué)所特有的[36]．Smestad也進行了類似的討論，他運用13個與HPM相關(guān)的案例來闡釋和討論數(shù)學(xué)史在MKT框架中扮演的角色，并指出MKT對討論數(shù)學(xué)史在哪些方面促進數(shù)學(xué)教學(xué)時是有用的，且數(shù)學(xué)史能夠促進MKT框架的發(fā)展[37]．Jankvist等則運用已有的HPM案例，從MKT的視角來審視HPM，解決了MKT的框架及其組成成分是如何對數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史的使用起作用的問題[38]．

圖2 花拉子米求解一元二次方程的方法

也有一些研究注重教師學(xué)科內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容的培養(yǎng)，Waldegg通過讓在職高中教師以表1所示工作坊流程合作解決一系列來自于歷史的經(jīng)典初等算術(shù)、代數(shù)、微積分問題，并將所得經(jīng)驗應(yīng)用于日常教學(xué)當(dāng)中，通過教師的反饋發(fā)現(xiàn)：他們對問題的概念屬性和學(xué)生的認知問題有了更為深刻的理解，對教學(xué)和學(xué)習(xí)過程有了清晰的認識，而這些是他們以前所忽略的[27]．Clark的數(shù)學(xué)史課程既注重數(shù)學(xué)知識，又強調(diào)數(shù)學(xué)知識在教學(xué)中的應(yīng)用，這從她的3個課程重點“（1）學(xué)習(xí)隨時間演變的數(shù)學(xué)觀點，（2）研究、討論歷史、文化與數(shù)學(xué)發(fā)展之間的互動關(guān)系，（3）增加將數(shù)學(xué)史融入學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)所需要的教學(xué)知識”中（1）（2）與數(shù)學(xué)知識有關(guān)，（3）與教學(xué)知識有關(guān)中可見一斑[39]．

總之，HPM作為歷史與教育的結(jié)合體，會對教師知識的完善產(chǎn)生積極的影響，且MKT等分析框架的引入，將會使HPM對教師知識影響的研究更為科學(xué)，這也是今后HPM研究的重要方向．

4 結(jié)論與啟示

21世紀以來，國外教師教育者采用過程與結(jié)構(gòu)相對精致的項目、課程、工作坊、討論班、研討會等單一、混合的形式，以任務(wù)驅(qū)動、問題引導(dǎo)等方式讓職前、在職數(shù)學(xué)教師對蘊含歷史、文化、教育等價值的數(shù)學(xué)史料，特別是原始史料進行閱讀、分析，并將其與教學(xué)活動的設(shè)計相聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的運用對數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)觀、教學(xué)觀、學(xué)生觀、數(shù)學(xué)史的使用觀念等的改善有著積極的影響，對教師學(xué)科知識、教學(xué)知識的完善與平衡也起了積極的作用，對教師教育有如下啟示．

（1）合理規(guī)劃教師教育的內(nèi)容與形式，引導(dǎo)教師深度參與．

教師教育和實踐中教師的專業(yè)發(fā)展，需要提供合理的教學(xué)知識基礎(chǔ)，而且從理論上講，還應(yīng)與實踐緊密聯(lián)系起來．這似乎是一個常識性問題，但要使其成為現(xiàn)實，遠遠比期望的更加困難[40]．國外數(shù)學(xué)史與教師教育關(guān)系的相關(guān)研究為縮短教學(xué)基礎(chǔ)知識與實踐的“距離”提供了借鑒：一方面，教師教育的內(nèi)容需要與教師教學(xué)的內(nèi)容高度相關(guān)；另一方面，可以通過工作坊、研討會、討論班、項目等形式，引導(dǎo)教師將教師教育的內(nèi)容應(yīng)用到相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計上，并通過教師之間、教師與專家之間的研討，完善設(shè)計，如有可能，還可以將完善的設(shè)計應(yīng)用到教育見習(xí)、教育實習(xí)、教學(xué)實踐當(dāng)中，以檢驗其效果，為進一步地完善提供實踐支撐．

（2）教師教育要強調(diào)學(xué)科知識與教學(xué)知識的平衡．

上文中提到目前的教學(xué)有強調(diào)學(xué)生而忽略學(xué)科內(nèi)容的傾向，而HPM與MKT的互動關(guān)系對教師學(xué)科內(nèi)容知識與教學(xué)內(nèi)容知識的平衡有著積極的作用．當(dāng)然，HPM只是數(shù)學(xué)教育的一個方向，在利用其它方向或領(lǐng)域進行教師教育時，應(yīng)依據(jù)培訓(xùn)的需求，幫助教師達到學(xué)科內(nèi)容知識與教學(xué)內(nèi)容知識的平衡．比如，針對職前教師教學(xué)內(nèi)容知識相對薄弱的問題，不妨引導(dǎo)教師將教學(xué)理論應(yīng)用于教學(xué)活動、任務(wù)設(shè)計等活動，使他們獲得更多的課程與教學(xué)知識、課程與學(xué)生知識、課程與內(nèi)容知識（這是MKT框架中數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的3個組成部分），對于在職教師，學(xué)科內(nèi)容知識可能稍顯薄弱，可以在學(xué)科教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，多從學(xué)科本質(zhì)問題出發(fā)，來完善教師的學(xué)科內(nèi)容知識．

（3）注重教學(xué)、科研、教師教育項目的聯(lián)動．

對教師教育者而言，時間的相對有限往往導(dǎo)致了教學(xué)與科研的矛盾．但從數(shù)學(xué)史與教師教育關(guān)系的研究來看，教學(xué)與科研又是統(tǒng)一的，因為上文中的研究都是基于教學(xué)的科研成果，且很多都是在教師教育項目的支持下完成的，這為教師教育者平衡教學(xué)任務(wù)、科研任務(wù)提供了一條新路，即教師教育研究者在教師教育項目的支持下，將教育對象轉(zhuǎn)變成研究對象，以檢驗教學(xué)內(nèi)容、教育方式等對教師專業(yè)發(fā)展的影響．如若能將教學(xué)—科研—教師教育項目進行統(tǒng)一，不僅緩解了教師教育者科研方面的壓力，還將有助于教師教育課程的完善，從而更好地服務(wù)于教師的專業(yè)發(fā)展．

[1] MOURSHED M, CHIJIOKE C, BARBER M. How the world’s most improved school systems keep getting better [M]. Mckinsey & Company, 2010: 3.

[2] 馬云鵬，解書，趙冬臣．教師專業(yè)知識發(fā)展與教師教育改革[J]．教師教育學(xué)報，2014，1（1）：31–45．

[3] 馬云鵬，趙冬臣，韓繼偉．教師專業(yè)知識的測查與分析[J]．教育研究，2010（12）：70–77．

[4] 韓繼偉，黃毅英，馬云鵬．中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（5）：42–45．

[5] 黃友初．HPM在教育中的實然困境與應(yīng)然向度[J]．教師教育研究，2013，25（5）：81–86．

[6] 蒲淑萍，汪曉勤．HPM視角教師專業(yè)發(fā)展的研究與啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（3）：76–80．

[7] 米雪，孔凡哲，CHASSAPIS K．希臘職前數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程的設(shè)計實施及啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（2）：78–81．

[8] CLARK K, KJELDSEN T F, SCHORCHT S, et al. History of mathematics in mathematics education: Recent developments [R] // Proceedings of the 2016 ICME Satellite Meeting, 2016: 135–180.

[9] FAUVEL J, van MAANEN J. History in mathematics education: The ICMI study [M]. Dordrecht: Kluwer, 2000: 291–303.

[10] CLARK K, LISA G P. “I was amazed at how many refused to give up”: Describing one teacher’s first experience with including history [R] // Proceedings of the eight Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, 2013: 1?980–1?989.

[11] BRUCKHEIMER M, ARCAVI A. Mathematics and its history: An educational partnership [C] // KZTZ V. Using History to Teach Mathematics: An International Perspective. The Mathematical Association of America, 2000: 135–146.

[12] ALPASLAN M, HASER C. Selecting and preparing original sources for pre-service mathematics teacher education in Turkey: The preliminary of a dissertation [R] // Proceedings of the 7th European Summer University, 2015: 451–464.

[13] ARCAVI A, ISODA M. Learning to listen: From historical sources to classroom practice [J]. Educational Studies in Mathematics, 2007, 66 (1): 111–129.

[14] IAN ISAACS V, RAM M, RICHARDS A. A historical approach to developing the cultural significance of mathematics among first year preservice primary school teachers [C] // KZTZ V. Using history to teach mathematics: An international perspective. The Mathematical Association of America, 2000: 123–128.

[15] GUYOT P, MéTIN F. Using history of math and physics in teachers training: The officer’s sciences in the Ancient Régime [R] // Proceedings of HPM 2004 & ESU4, 2004: 340–345.

[16] BARABASH M, GUBERMAN-GLEBOV R. Learning-and-teaching project in the history of mathematics for teachers-to-be: Educational and Multicultural Value [J]. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 2004, 3 (1–2): 71–86.

[17] RALHA E, LOPES ?, JOSé V. An unknown Portuguese who enabled far-away places to be known [R] // Proceedings of HPM 2004 & ESU4, 2005: 359–367.

[18] CHORLAY R. Mathematical analysis of informal arguments: A case-study in teacher-training context [R] // Proceedings of the Tenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, 2017: 1?139–1?146.

[19] LOATS J, WHITE D, RUBINO C. History of mathematics: Three activities to use with undergraduate students and in-service teachers [J]. PRIMUS, 2014, 24 (8): 698–709.

[20] MICHEL-PAJUS A. Historical algorithms in the classroom in teacher-training [R] // Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education, 2012: 4?072–4?081.

[21] VALLHONESTA F, ESTEVE M, CASANOVA I, et al. Teacher training in the history of mathematics [R] // Proceedings of the 7th European Summer University, 2015: 113–128.

[22] FENAROLI G, FURINGHETTI F, SOMAGLIA A. Rethinking mathematical concepts with the lens of the history of mathematics: An experiment with prospective secondary teachers [J]. Science & Education, 2014, 23 (1): 185–203.

[23] SMESTAD B. Various materials for primary school teacher training: Can you do something even if you can’t do much [R] // Proceedings of the 5th European Summer University, 2007: 549–560.

[24] ALPASLAN M, HASER C. “History of mathematics” course for pre-service mathematics teachers: A case study [R] // Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education, 2012: 4?015–4?024.

[25] ?FURINGHETTI F. Teacher education through the history of mathematics [J]. Educational Studies in Mathematics, 2007, 66 (2): 131–143.

[26] WALDEGG G. Problem solving, collaborative learning and history of mathematics: Experiences in training in-service teachers [J]. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 2004, 3 (1–2): 62–70.

[27] SMESTAD B. Not just “telling stories”: History of mathematics for teacher students——What is it and how to teach it [R] // Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education, 2000: 4?082–4?090.

[28] CHARALAMBOUS C Y, PANAOURA A, PHILIPPOU G. Using the history of mathematics to induce changes in preservice teachers beliefs and attitudes: Insights from evaluating a teacher education program [J]. Educational Studies in Mathematics, 2009, 71 (2): 261–280.

[29] FENAROLI G, FURINGHETTI F, SOMAGLIA A. Rethinking mathematical concepts with the lens of the history of mathematics: An experiment with prospective secondary teachers [J]. Science & Education, 2014, 23 (1): 185–203.

[30] THOMAIDIS Y, TZANAKIS C. The notion of historical “parallelism” revisited: historical evolution and students’ conception of the order relation on the number line [J]. Educational Studies in Mathematics, 2007, 66 (2): 165–183.

[31] GUILLEMETTE D. History of mathematics in secondary school teachers’ training: Towards a nonviolent mathematics education [J]. Educational Study of Mathematics, 2017, 96 (3): 349–365.

[32] ALPASLAN M, ISKSAL M, HASER C. Pre-service mathematics teachers’ knowledge of history of mathematics and their attitudes and beliefs towards using history of mathematics in mathematics education [J]. Science and Education, 2014, 23 (1): 159–183.

[33] GüRSOY K. A survey of prospective mathematics teachers’ beliefs and attitudes towards using the history of mathematics in mathematics teaching [D]. Trabzon, Karadeniz Technical University, 2010: 1.

[34] BE?Vá? J, DLAB V, HRUBY D, et al. Education of mathematics teachers (In algebra and geometry, in particular) [C] // Proceedings of the 5th European Summer University, 2007: 441–450.

[35] JANKVIST U T. An implementation of two historical teaching modules: outcomes and perspectives [R] // Proceedings of the 6th European Summer University, 2011: 139–152.

[36] MOSVOLD M, JAKOBSEN A, JANKVIST U T. How mathematical knowledge for teaching may profit from the study of history of mathematics [J]. Science & Education, 2014, 23 (1): 47–60.

[37] SMESTAD B. When HPM meets MKT–exploring the place of history of mathematics in the mathematical knowledge for teaching [R] // Proceedings of the 7th European Summer University, 2015: 539–550.

[38] ?JANKVIST U T, MOSVOLD R, FAUSKANGER J, et al. Analyzing the use of history of mathematics through MKT [J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2015, 46 (4): 495–507.

[39] CLARK K. Reflection and revision first experiences with a using history course [R] // Proceedings of the 5th European Summer University, 2007: 343–352.

[40] 埃文 R，鮑爾 D L．?dāng)?shù)學(xué)教師的專業(yè)教育與發(fā)展[M]．李士锜，黃興豐，譯．上海：上海教育出版社，2015：1．

A Review of Non-Domestic Studies on HPM and Teacher Education in the 21st Century

YUE Zeng-cheng1, WANG Xiao-qin2, SUN Dan-dan3

(1. School of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;3. School of Mathematical Science, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

To explore how to conduct teacher education, we analyzed studies on HPM and teacher education abroad according to content, types & processes, and outcomes. We found that foreign researchers emphasize the use of primary sources and think highly of multicultural and ethno-mathematics; the types of teacher education are varied; the structure of the education process is delicate; they attach importance to deep engagement with training objects and holistic improvement in teacher education; and, after engaging in teacher education, training objects achieve the development of knowledge and belief. We can reasonably plan content and types, balance subject matter knowledge and pedagogical content knowledge, and link teaching, research, and programs to improve our teacher education.

HPM; teacher education; original source; deep engagement; mufti-development

G632.4

A

1004–9894（2021）06–0092–06

岳增成，汪曉勤，孫丹丹．21世紀國外數(shù)學(xué)史與教師教育關(guān)系研究與啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（6）：92-97．

2021–09–02

2020年度教育部人文社會科學(xué)研究青年基金項目——多路徑數(shù)學(xué)科普的構(gòu)建及其對少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)觀的影響研究（20YJC880117）；杭州師范大學(xué)教育學(xué)院省優(yōu)勢特色學(xué)科培訓(xùn)項目——市縣兩級名師工作室協(xié)同引領(lǐng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展機制與評價研究（19JYXK015）

岳增成（1988—），男，山東濰坊人，講師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）、教師教育研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]