李亞瓊，徐文彬

高考課標卷概率統(tǒng)計試題的特點及其教學啟示——基于2011—2020年全國課標卷的分析

李亞瓊1，2，徐文彬1

（1．南京師范大學 課程與教學研究所，江蘇 南京 210079；2．南京藝術學院附屬中等藝術學校，江蘇 南京 210013）

基于2011—2020年52套全國課標卷，從考查總分、考查知識、試題特點和命題導向4個方面對課標卷中概率統(tǒng)計試題特點進行了統(tǒng)計與分析．概率統(tǒng)計試題在全國卷中考查總分占比呈增加趨勢．具體而言，側(cè)重用數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律解釋隨機現(xiàn)象，用概率或統(tǒng)計模型表達隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律；情境的創(chuàng)新融入了綜合化的新趨勢；重視概率與函數(shù)、概率與不等式、概率與數(shù)列等交匯知識在試題中的融合考查；呈現(xiàn)出重視數(shù)學文化滲透、問題情境載入和知識融合創(chuàng)新的命題導向．基于高考對教學的導向作用，概率統(tǒng)計專題教學應重視：研究新課標，關注新舊過渡；回歸教材，重視知識的整體結(jié)構性；基于學情，加強學生“四能”培養(yǎng)；落實教學，嘗試“整—分—聯(lián)”教學思路．

高考課標卷；概率統(tǒng)計；試題特點；整體教學；“整—分—聯(lián)”教學思路

概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學學科，包括通過有效地收集、整理和分析相關數(shù)據(jù)，從而對所考查的問題做出推斷和預測[1]．陳希孺在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中提到：從實用的角度來看，概率的統(tǒng)計定義是一種通過實驗去估計事件概率的方法，而統(tǒng)計是研究怎樣收集數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析，進而對研究的問題進行推斷的方法．概率統(tǒng)計知識是高中數(shù)學學習的重要內(nèi)容之一，2000年高考試卷中首次出現(xiàn)概率試題，2001年高考試卷中出現(xiàn)統(tǒng)計試題，2004年高中教材中大量增加概率統(tǒng)計內(nèi)容，考查題型、考查方式等有了較大的變化[1]．《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱新課標）中提到：概率的研究對象是隨機現(xiàn)象，引導人們從不確定性的角度認識客觀世界，同時提供重要的思維模式和解決問題的方法．統(tǒng)計的對象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)據(jù)分析，概率為統(tǒng)計的發(fā)展提供理論基礎[2]．總之，對概率統(tǒng)計的考查已由摸索、穩(wěn)定進入到創(chuàng)新的階段．

1 問題提出

傳統(tǒng)概率統(tǒng)計教學中，往往重視概率統(tǒng)計的科學工具性價值，而忽視其文化內(nèi)涵與育人功能[3]．2014年啟動的新高考方案，提出了文理不分科的新要求．高中文理科學生的較大差異體現(xiàn)在空間想象能力和數(shù)據(jù)處理能力，與之相應的知識內(nèi)容是立體幾何和概率統(tǒng)計[4]．新課標將“數(shù)據(jù)分析”作為高中數(shù)學課程目標中培養(yǎng)學生所必備的數(shù)學素養(yǎng)之一，這既凸顯高中課程中概率統(tǒng)計內(nèi)容的教育價值，也是對概率統(tǒng)計的育人價值提出更高的要求．高考實行不分文理科的改革后，數(shù)學科考試中概率統(tǒng)計的定位、考查內(nèi)容和形式以及考生群體和水平都會隨之發(fā)生變化，所以需要研究概率統(tǒng)計試題、試卷結(jié)構和難度要求等[5]，結(jié)合試題研究回歸課標目標要求、落實課標教學目標、開展有效教學[6]，發(fā)揮新高考數(shù)學科對中學數(shù)學教學的積極導向作用，以期促進學生實現(xiàn)自我發(fā)展．

新高考數(shù)學科概率統(tǒng)計試題有哪些特點？新課標在概率統(tǒng)計的考查要求上作了哪些變化？新高考概率統(tǒng)計的導向教學作用可能體現(xiàn)在哪里？研究者結(jié)合2011—2020年全國卷（其中包含2020年新高考卷），匯總了這10年的全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ文理卷和2020年的新高考Ⅰ、Ⅱ卷共52套試卷（其中2011—2015年共20套、2016—2019年共24套及2020年共8套），并對比了不同時期全國卷概率統(tǒng)計考查的題型和分值，研讀新課標中對概率統(tǒng)計的要求．基于高考導向教學，引起教學上的重視，加大概率統(tǒng)計在教育教學中的貢獻[3]．

2 概率統(tǒng)計試題的特點

結(jié)合近10年全國課標卷，梳理出高考概率統(tǒng)計部分的考查知識及對應分值（具體可參見附錄），需要說明的是，因計數(shù)原理、排列組合及二項式定理較概率統(tǒng)計知識具有相對獨立性，故這3部分不在附表統(tǒng)計范圍之內(nèi)，以下分析中不再說明．

2.1 總體特點

從歷年試題統(tǒng)計可以看出：試題在考查概率與統(tǒng)計知識的同時，更側(cè)重于問題情境的嵌入以及思想方法的滲透．

（1）從考查總分來看：該專題考查總分17分的出現(xiàn)37次，總分22分的出現(xiàn)9次，總分12分的出現(xiàn)6次，試題的題量、題型、分值均有適度的變化，總體趨勢是選填題考查1題左右和解答題考查1題，以中檔題或中檔偏易題為主，考查總分約占全卷總分的12%左右．

對選填題的知識統(tǒng)計（如表1所示）表明，52套試卷中共考查了56道選填題，其中有22次考查古典或幾何概型；統(tǒng)計圖分析（如頻率分布直方圖、餅形圖、柱形圖、折線圖、莖葉圖、氣溫雷達圖等）、抽樣及樣本估計、互斥事件及獨立事件概率共考查29次；隨機變量分布列及其數(shù)字特征、回歸方程或相關系數(shù)共考查5次．由此可以看出，文理卷在選填題上均側(cè)重考查古典概型、抽樣及樣本估計、統(tǒng)計圖分析及互斥或獨立事件概率．

表1 2011—2020年全國課標卷概率統(tǒng)計（選填題） 知識考查次數(shù)分布

表2 2011—2020年全國課標卷概率統(tǒng)計（解答題） 知識考查次數(shù)分布

注：由于解答題考查的綜合性，表中對相關知識進行了融合統(tǒng)計，共統(tǒng)計4個知識的考查情況．其中將“互斥或獨立事件概率”并入“隨機變量”進行統(tǒng)計；因為統(tǒng)計圖分析的工具性作用及知識交叉考查特點，以主要考查知識來統(tǒng)計次數(shù)，比如“統(tǒng)計圖分析”與“回歸分析”結(jié)合考查時，記入“回歸分析”；“統(tǒng)計圖分析”與“樣本估計”結(jié)合考查時，記入“抽樣及樣本估計”．

2.2 試題特點

結(jié)合近10年52套全國卷的研究，對高考概率統(tǒng)計的考查進行了總體分析，基于此，將繼續(xù)進行試題考查特點的分析．

2.2.1 重視基礎知識的變式考查

2.2.2 重視問題情境的創(chuàng)新考查

新課標在劃分學業(yè)質(zhì)量水平時，首先考慮了“情境與問題”，可見高考對數(shù)學素養(yǎng)的考查需要在一定情境中進行[7]．而通過對近10年全國課標卷概率統(tǒng)計試題的研究發(fā)現(xiàn)：試題重視情境的創(chuàng)設和問題的提出，這與新課標的要求相契合，也是以后研究需要繼續(xù)關注的．

所分析的52套試卷中，共計考查109道概率統(tǒng)計題（同一年文理卷出現(xiàn)題目相同均重復計算）．依據(jù)新課標對情境進行劃分：現(xiàn)實情境、數(shù)學情境和科學情境[2]．由表3知：現(xiàn)實情境考查了94次，占比達86.2%；數(shù)學情境考查了11次；科學情境考查了4次．由此可以看出解答題及客觀題以現(xiàn)實為情境較多，主要考查考生的分析問題、解決問題的能力（以例1—例3來舉例說明）．

表3 2011—2020年概率統(tǒng)計試題的“情境”分布

例1 （2012年全國Ⅰ卷·理15）

例2 （2018年全國Ⅱ卷·理8）

例3 （2020年全國Ⅰ卷·理5）

以上3個例子中，例1是以科學情境融入考查正態(tài)分布，例2是以數(shù)學情境為背景考查古典概型，例3考查現(xiàn)實情境背景下的回歸分析，這3個例子均考查學生對新情境的學習能力、結(jié)合新情境及相關統(tǒng)計知識解決問題的能力．

2.2.3 重視數(shù)學建模能力的考查

歷年課標卷概率統(tǒng)計考查學生能根據(jù)實際問題正確建立概率模型，并能在實際問題中加以解釋，將數(shù)學解答轉(zhuǎn)化成對現(xiàn)實對象的分析．當然對概率的考查不應只停留在概率計算的層面，其出發(fā)點和歸宿都是解決問題，即能夠利用計算結(jié)果為決策提出關鍵性的依據(jù)．而對統(tǒng)計的考查側(cè)重于用樣本數(shù)字特征對總體進行估計，考查樣本估計總體的統(tǒng)計思想[8]．

近10年全國卷中，概率統(tǒng)計試題多以現(xiàn)實情境為背景，這就要求學生能夠從數(shù)學的視角去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構建模型、計算結(jié)果及依據(jù)結(jié)果提出決策．全國卷重視對學生數(shù)學建模能力的考查，而概率統(tǒng)計的知識與現(xiàn)實生活和科技發(fā)展緊密相關，具有較強的理論性和應用性，是數(shù)學模型的重要載體[1]．

2.3 命題導向分析

以全國課標卷概率統(tǒng)計試題的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為基礎，結(jié)合統(tǒng)計圖分析及試題特點[9]，將繼續(xù)探討命題導向啟示，具體分析如下．

2.3.1 知識融合創(chuàng)新

結(jié)合表4和圖1可以看出，概率統(tǒng)計考查總分占比呈增加趨勢．隨著文理不分科的實行，概率統(tǒng)計命題有了綜合化的趨勢，重視概率與函數(shù)、概率與不等式、概率與數(shù)列等交匯知識在試題中的融合考查．知識點考查上，加大了學科間知識融合命題，注重隨機思想、抽樣思想、或然與必然思想[10]；注重與情境的結(jié)合，突出概率統(tǒng)計在解決實際問題中的作用．素養(yǎng)考查上，側(cè)重理解抽樣方法的統(tǒng)計意義，側(cè)重考查用數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律來解釋隨機現(xiàn)象，側(cè)重用概率或統(tǒng)計模型來表達隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律．

2.3.2 數(shù)學文化滲透

高考概率統(tǒng)計試題重視考查數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計素養(yǎng)的同時，也重視數(shù)學文化的育人價值．數(shù)學學習的主要目的是引導學生形成邏輯思維能力和形象思維能力，形象思維是先導，邏輯思維是核心．試題通過滲透數(shù)學文化背景，如音樂中的數(shù)學、體育中的數(shù)學、數(shù)學史料等，重視形象思維和邏輯思維的有機融合，在形象思維的基礎上增強學生的理性思維能力，培養(yǎng)學生從感性走向理性，從而走向以文化人的目標．

表4 2011—2020年概率統(tǒng)計試題的考查總分均值分布

圖1 2011—2020年考查分值均值變化趨勢

2.3.3 問題情境載入

情境是高考實現(xiàn)價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基的綜合考查載體，高考試題以知識為基礎，情境為載體，從而可以實現(xiàn)考查目的與形式的統(tǒng)一[11]．概率統(tǒng)計試題中情境載入目的是：引導學生能進行模型識別、現(xiàn)象解釋并據(jù)此提供決策；能夠在熟悉的數(shù)學情境中，選擇合適的抽樣方法去收集數(shù)據(jù)，選擇合適的概率模型去分析數(shù)據(jù)等；能夠在關聯(lián)的現(xiàn)實情境中，選擇合適的隨機變量刻畫隨機現(xiàn)象，理解抽樣方法的統(tǒng)計意義，運用適當?shù)母怕驶蚪y(tǒng)計模型表達隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律；能夠在綜合的情境中，結(jié)合數(shù)據(jù)規(guī)律，理解統(tǒng)計意義并做出合適的統(tǒng)計決策．當然，為保證試題情境能夠發(fā)揮準確價值，情境創(chuàng)設時需要遵循真實性、簡潔性、公平性和一致性[12]．

3 結(jié)合試題分析 啟示教學實踐

如何將知識融合創(chuàng)新、數(shù)學文化滲透及問題情境載入有機結(jié)合并能運用于教學？結(jié)合新舊課標的變化比較，提出新課標下的概率統(tǒng)計的教學啟示．

3.1 研究課標 關注新舊過渡

3.2 回歸教材 重視知識的整體結(jié)構性

概率統(tǒng)計試題重視基礎概念，預示教學要回歸教材．教材中，關于概率統(tǒng)計專題的知識點較為分散，前后知識交叉排列．新課標重視數(shù)學科知識體系結(jié)構化，這就需要教師結(jié)合課標回歸教材，關注概率統(tǒng)計的整體性，系統(tǒng)地進行單元整體教學[13]．當然，整體性需要教師關注知識的層次性，教材知識邏輯與學科知識邏輯的關聯(lián)性，及教師對主題知識的整體結(jié)構把握[14]，即概率統(tǒng)計知識整體性體現(xiàn)為層次性、關聯(lián)性和結(jié)構化．于是研究中結(jié)合對新課標的解讀，將教材中概率統(tǒng)計的內(nèi)容進行了結(jié)構化梳理（如圖2所示）．需要說明，從知識的整體性考慮，結(jié)構圖中包含了計數(shù)原理和二項式定理的內(nèi)容．

圖2 2017版課標中概率統(tǒng)計內(nèi)容的整體結(jié)構

3.2.1 知識的層次性

圖2縱向關注了概率統(tǒng)計知識的結(jié)構層次及知識融合，橫向關注了必修內(nèi)容和選擇性必修內(nèi)容的銜接，體現(xiàn)知識的螺旋式上升．比如統(tǒng)計的目的是服務于概率，這個結(jié)構圖能較好地呈現(xiàn)統(tǒng)計知識與概率知識的內(nèi)在關系．由隨機試驗、隨機事件、事件的關系自然呈現(xiàn)接下來的知識點——概率運算、隨機變量等，體現(xiàn)知識的動態(tài)生成性與層次性．

3.2.2 知識的關聯(lián)性

從圖2可以看出，“整理、分析數(shù)據(jù)”和“表達與解釋”共同為研究“樣本估計”和“相關關系”作鋪墊．另外，隨機變量的本質(zhì)是樣本統(tǒng)計量，而利用樣本統(tǒng)計量又可以進行樣本估計和相關系數(shù)的研究，這樣可以明確知識間的關聯(lián)性，使得知識系統(tǒng)更加清晰．比如，由隨機事件及古典概型到計數(shù)原理再到隨機變量，這3塊知識如何融合過渡？需要教師去思考．再比如必修教材中，在相關系數(shù)部分涉及線性回歸分析，在選擇性必修時會繼續(xù)涉及更一般的回歸分析以及獨立性檢驗，所以教師需要關注到知識的關聯(lián)性和層次性去組織教學．

3.2.3 知識的結(jié)構化

了解知識整體結(jié)構圖（如圖2所示）是教師進行整體教學的前提，需要教師對知識進行整體把握，理解知識體系中直觀和嚴謹?shù)年P系[15]，厘清知識間的聯(lián)系以及同一部分內(nèi)容中知識的關聯(lián)性和層次性，最后呈現(xiàn)出結(jié)構化知識體系，再用于教學實踐．因此，回歸教材預示教師首先要回歸教材中的知識內(nèi)容，消化理解內(nèi)容蘊含的層次性、關聯(lián)性和結(jié)構化．教師只有站在這樣的整體視角，才能更好地實施從教到學，在教學中才能關注到概率統(tǒng)計內(nèi)容的人文價值滲透．

3.3 基于學情 加強學生“四能”培養(yǎng)

高考的導向作用啟示教師在進行整體教學的同時，也要關注學生的“四能”培養(yǎng)[16]．教師在教學中需要關注：

（1）關注學生審題能力，提升學生的數(shù)學抽象與直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力；（2）滲透培養(yǎng)數(shù)學建模能力，引導學生根據(jù)實際問題構建概率模型，分析數(shù)據(jù)，提升學生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模能力，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力；（3）重視數(shù)據(jù)計算，規(guī)范學生的解題習慣和思維訓練，提升學生的邏輯推理和數(shù)學運算能力，培養(yǎng)學生解決問題的能力．解題中應體現(xiàn)數(shù)學模型化、綜合應用性，強調(diào)從知識能力立意轉(zhuǎn)向統(tǒng)計素養(yǎng)立意．統(tǒng)計素養(yǎng)是學生在掌握知識能力的基礎上，經(jīng)過反復實踐與反思而后逐漸深化形成[17]，于是在教學中需要滲透思維訓練，培養(yǎng)學生統(tǒng)計學習興趣和提升其統(tǒng)計素養(yǎng)．

3.4 落實教學 嘗試“整—分—聯(lián)”教學思路

概率統(tǒng)計知識的整體教學需要教師從章節(jié)或單元的角度對教學內(nèi)容重構，根據(jù)章節(jié)中不同知識點的教學要求及學生的特點，轉(zhuǎn)化為符合學生實際的教學結(jié)構安排．教學安排上，需要關注學習內(nèi)容與學習方式是否適應學生的能力要求[14]．結(jié)合歷年試題的分析及課標中內(nèi)容的變化，探討整體視角下對概率統(tǒng)計內(nèi)容的教學思路，具體包括3個方面．

（1）突出層次，整合教學內(nèi)容．教師在進行整體教學前，需要進行如圖2的知識梳理．然后教師在教學中才能關注到知識的生長性、必修和選擇性必修中相應知識的聯(lián)結(jié)性．

（2）突出重點，分解教學內(nèi)容．教師在進行專題教學中，需要做好知識的再現(xiàn)與深化，教學中需要滲透思想方法、需要關注確定性思維和統(tǒng)計思維的差異、歸納推斷與演繹證明的區(qū)別，理解統(tǒng)計推斷結(jié)果的或然性．比如，條件概率是含參變量的集合函數(shù)，是概率的推廣[18]．教師在教授條件概率時，需要從概念的本質(zhì)出發(fā)，解釋條件概率的理論價值，激發(fā)學生學習條件概率的興趣，從而更好地指導教學．（3）設計活動，聯(lián)結(jié)教學內(nèi)容．概率統(tǒng)計試題在重基礎的同時，題型靈活、知識交匯、不斷滲透應用與創(chuàng)新，所以教師應該設計典型案例開展教學活動，在案例教學中提煉出時代特色的應用情境，引導學生關注經(jīng)濟、科技、人文等方面的信息．

綜上所述，在教學中關注“數(shù)學文化滲透、問題情境載入及知識融合創(chuàng)新”的有機結(jié)合，需要教師：基于學情，以加強學生“四能”培養(yǎng)為目標追求，以課標、教材、知識的整體結(jié)構性為關鍵，從而達到“整—分—聯(lián)”教學思路，這樣才是高考數(shù)學科對教學的正確導向．

4 小結(jié)

高考評價體系是包括“核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識”在內(nèi)的高考考查內(nèi)容體系，是實現(xiàn)“招—考—教—學”各個環(huán)節(jié)無縫銜接、良性互動的關鍵，也是發(fā)揮高考正向積極導向作用的基礎[19]．基于高考評價體系的意義和原則，對全國課標卷的研究可以起到較好的教學啟示．所以，高中概率統(tǒng)計教學需要關注新舊課標中相應內(nèi)容的變化，比如，新課標中強調(diào)，概率統(tǒng)計內(nèi)容應關注運用數(shù)據(jù)分析解決實際問題，重視統(tǒng)計思維和確定性思維的差異，關注理解統(tǒng)計結(jié)果解釋實際問題等．當然，教學更需要回歸教材重視概率統(tǒng)計知識的整體結(jié)構性，需要基于學情落實“整—分—聯(lián)”教學思路，從而提升學生統(tǒng)計素養(yǎng)．總之，教師需要結(jié)合課標變化和歷年課標卷概率統(tǒng)計試題的特點，在教學內(nèi)容上做出整體規(guī)劃，做好新舊平穩(wěn)過渡．

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[16] 徐穎．“分”“合”“聯(lián)”，整體設計三角形單元教學[J]．中國數(shù)學教育，2019（12）：17–20．

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[18] 李杰民，廖運章．條件概率的本質(zhì)及其教學建議[J]．數(shù)學教育學報，2021，30（1）：54–60．

[19] 教育部考試中心．中國高考評價體系[M]．北京：人民教育出版社，2019：3．

An Analysis of Items Related to Probability and Statistics in College Entrance Examinations from 2011—2020

LI Ya-qiong1, 2, XU Wen-bin1

(1. Curriculum and Teaching Institute, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210079, China;2. Secondary Art School Affiliated to Nanjing University of Arts, Jiangsu Nanjing 210013, China)

Based on 52 sets of national course standard papers from 2011 to 2020, statistics and analysis of the characteristics of the probability and statistics test questions in the papers was carried out along four aspects: the total score of the test, the knowledge assessed on the test, the characteristics of the test questions, and the proposition orientation. The proportion of probability and statistics tests in the national papers is increasing. Specifically, the emphasis is on using the laws presented by data to explain random phenomena, and probability or statistical models are used to express the statistical laws of random phenomena; the integration of situational innovation has a new trend of integration; emphasis on probability and function integrate examination of the intersection of knowledge, probability and inequality, probability and sequence of numbers, etc.; present a proposition orientation that emphasizes the penetration of mathematics culture, the loading of problem situations, and the innovation of knowledge integration. Based on the guiding role of the college entrance examination for teaching, the teaching of probability and statistics should pay attention to the following: studying the new curriculum standards and transitioning between the new and the old; returning to the textbook and emphasizing the holistic structure of knowledge; based on the academic conditions, strengthening the training of students’ “four abilities”; implementing teaching and trying the teaching ideas of “integral-sub- union.”

college entrance examination papers; probability statistics; characteristics of test questions; holistic teaching; teaching ideas of “integral-sub-union”

附錄：2011—2020年全國卷概率統(tǒng)計試題統(tǒng)計匯總