鄒學紅，周 鈞

基于問題理解的學生問題解決錯誤“診斷”研究

鄒學紅，周 鈞

（北京師范大學 教師教育研究中心，北京 100875）

基于學生問題理解的直譯策略和問題模式策略，以百分數(shù)的應用問題解決為例，結合學生的問題理解過程對問題解決錯誤進行了“診斷”．發(fā)現(xiàn)：百分數(shù)應用問題解決錯誤的學生在問題理解上并不主要是因為直譯策略的運用，但直譯策略確實阻礙了一部分學生對多步問題意義和結構的理解；問題模式策略雖然可以幫助學生基于對問題情境的理解構建對問題的數(shù)學表征，但由于學生對問題的理解受多種因素的影響，如對概念的理解程度、已有知識經驗的錯誤、問題情境轉譯錯誤、急于求成的心理等，問題模式策略也無法保證學生對問題的全面有效理解．

問題理解；問題解決；直譯策略；問題模式策略

1 問題提出

學生在數(shù)學學習中出現(xiàn)的錯誤具有普遍性、長期性、復雜性、多樣性等特點，雖然無法直接避免，但教師通過對學生數(shù)學錯誤的及時捕捉，并對其深入研究，找出學生數(shù)學錯誤的根源，采取一定的策略將錯誤變成學生學習和教師教學的資源，可以減少錯誤的發(fā)生．正如研究者指出，關于數(shù)學錯誤分析的研究是永恒的主題[1]．

問題解決貫穿于教師數(shù)學教學和學生數(shù)學學習的過程之中，其對于提升學生的思維水平、培養(yǎng)學生問題解決能力發(fā)揮著重要價值．在問題解決教學中，教師要面對學生出現(xiàn)的各種錯誤．這些錯誤可能會對學生之后的數(shù)學學習產生負面的影響．正如有研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學問題解決錯誤是很多人數(shù)學焦慮的根源[2]．然而在實踐中，教師往往忽略學生的錯誤，或將錯誤視為不被接受的事物，因此改錯教學更看重學生訂正錯誤的結果，忽視了學生錯誤的原因分析[3]．學生的問題解決過程是基于其先前知識經驗進行建構的過程，他們不僅需要理解成功解決問題所需要的數(shù)學表征、問題解決方法，還需要理解他們嘗試的解答過程為什么是錯誤的，而這種錯因分析常常可以幫助學生形成更有差異性的更高一級的概念結構[4]．由此可見，結合學生的問題理解過程對問題解決錯誤進行“診斷”的研究顯得尤為重要．

2 文獻綜述

問題解決是數(shù)學教育的一個非常重要的方面．從本質上講，問題解決是學生的一種極其復雜的思維活動形式，它涉及的遠不止是簡單地回顧和運用數(shù)學知識，而是依賴于很多因素的相互作用（如知識獲取和使用、信念、社會文化背景等）[5]．因此學生問題解決錯誤的原因也非常復雜．早期研究者注重對不同類型問題特征的研究來解釋學生問題解決錯誤的原因．研究者通過線性回歸模型，以及信息處理技術，概括出決定問題解決難度的4個任務變量：內容及內容背景變量、結構變量、語法變量和啟發(fā)式行為變量，如研究發(fā)現(xiàn)問題陳述的長度和語句順序的變化會影響問題的難度[6]．隨著認知科學的發(fā)展，研究者更多地致力于關于問題解決成功者和失敗者之間認知和情感特質的研究．如西爾弗觀察到成功的問題解決者更注重問題的結構特征，失敗的問題解決者更關注問題的表面細節(jié)[7]．隨后，研究發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生在問題解決中遇到的困難是對問題的理解，而不是計算[8]．于是問題解決錯誤研究的重點就轉向關注學生對問題的理解．學生對問題的理解過程即建構對問題的數(shù)學表征的過程[9]．研究表明對問題情境的不理解是學生問題解決失敗的重要原因，旨在促進學生對問題理解的教學可以調高學生解決問題的能力[10-11]．希加蒂等人研究發(fā)現(xiàn)問題解決失敗的學生在表征變量關系時，更多的采用的是直譯策略[12]，依賴于直譯策略的學生在解決問題時，關鍵字傳達給學生的信息并不能反映問題的意義和結構，因此很難幫助學生對問題進行有效的數(shù)學表征[13]．阿瓦洛斯等人對6～7歲學生的數(shù)學問題理解能力與問題解決水平之間的關系調查發(fā)現(xiàn)，用學生的問題理解能力可以預測其問題解決水平，但不能預測學生的運算水平[14]．諾特維德運用實驗法研究了計算水平相當?shù)斫饽芰λ讲煌膬山M學生被試（兩組被試的計算能力都高于所在整體的平均水平；第一組被試的理解能力比平均水平低，第二組被試的理解能力比平均水平高），研究發(fā)現(xiàn)在這兩組學生解決一步問題時，第一組被試的問題解決成績稍稍差于第二組被試，但在解決多步問題時，第一組被試的成績與第二組被試的成績有顯著性差異[15]．該研究表明在計算能力水平相當?shù)那闆r下，學生對問題理解水平的高低可以預測學生的問題解決水平，其理解水平越高，則問題解決成功的可能性就越大，反之亦然．基塔拉與比約恩通過對八年級學生的問題理解能力與問題解決水平之間的關系進行了調查，也得出了類似的結論：學生的問題解決水平與學生的問題理解能力顯著相關[16]．另外，也有研究者發(fā)現(xiàn)學生的視圖表征能力也影響學生的數(shù)學問題解決．如布寧等人對128位六年級學生進行了實驗研究，發(fā)現(xiàn)學生厘清問題的已知條件與所求問題間的關系、對問題的視圖表征是保障學生問題解決成功所需要的基本能力[17]．事實上，學生在問題解決過程中，首先需要理解問題，然后將問題的文字表述轉化為視圖表征，對問題的理解是學生問題解決的第一步．由此可見，學生對問題理解程度的高低往往決定著他們問題解決的成?。?/p>

盡管相關研究證實了學生的問題理解是問題解決的關鍵，但這些研究更多地是以量化研究的方法研究問題解決失敗者和問題解決成功者在問題理解上的不同，很少有研究通過質性方法分析問題解決錯誤學生的數(shù)學理解過程，且以往研究中涉及的問題解決更多的是整數(shù)加減法領域．研究采用質性研究方法，分析百分數(shù)應用問題解決錯誤學生的問題理解過程，以期為改進問題解決教學提供借鑒．

3 理論基礎

關于問題解決中學生數(shù)學理解有很多種定義，研究中的學生數(shù)學理解指的是學生在解決問題中寫在紙上的、用語言表達的或頭腦中構建的想法的組合[18]．很明顯，學生對問題的理解有很多不同的表現(xiàn)形式，如口頭語言、書面語言、符號、心理意象等，它是學生認知活動的工具[19]．

關于學生的問題理解，希加蒂等人研究發(fā)現(xiàn)學生理解數(shù)學問題的兩種策略：直譯策略和問題模式策略[20]．直譯策略，即學生試圖根據(jù)題文中的關鍵字和數(shù)據(jù)來表征題文，具體表現(xiàn)為學生在問題解決時，根據(jù)問題文字表述中的“關鍵字”來選擇相應的計算方法，比如看到“一共”就用加法計算，看到“…比…少”就用減法計算，看到“…是…的幾倍”就用乘法計算，看到“平均分”就用除法計算．另一種是問題模式策略，即學生組織題文信息，并根據(jù)上下文將題文轉換成基于問題情境描述的心理模型，據(jù)此進行數(shù)學運算，并對數(shù)學運算進行解釋和論證，具體表現(xiàn)為學生根據(jù)問題表述中的數(shù)量關系來建立數(shù)學表征，并選擇相應的計算方法，很少受“關鍵字”的影響．學生運用直譯策略或問題模式策略的問題理解過程如圖1所示[12]．

圖1 學生問題解決理解過程模型

根據(jù)這一模型，學生理解問題的過程可以分為3個階段，分別是理解語義、構建模型或選擇數(shù)據(jù)及關鍵字、制定解決方案．學生在問題解決的過程中，對題文信息的理解和建立模型是問題解決的關鍵[21]．因此研究重點是學生語義理解和模型構建或選擇數(shù)據(jù)及關鍵字這兩個過程，即學生構建問題數(shù)學表征的過程．

語義理解即學生閱讀題文后要對題文中的語句逐一理解，這一過程包括確定問題中的已知量、未知量，并建立一個初步的情境模型．在語義理解階段，學生對題文信息的理解是以遞增的方式來實現(xiàn)的，即學生會根據(jù)題文的標點符號，逐句讀取，依次獲取信息，并建立這些信息之間的關系．簡言之，學生在這一階段的主要任務是將外在的問題描述逐步轉化為其內部理解，并在其內部構造一個語義網絡．

在建立問題模型階段，學生能將之前建立的情境模型建成一個更抽象的心理模型[22]，是成功解決數(shù)學問題的關鍵．哈爾福特認為，心理模型是學生思考問題、組織和指導后續(xù)工作的腳手架[23]．在這個階段，運用直譯策略的學生會根據(jù)題文中的關鍵字和數(shù)據(jù)進行數(shù)學表征的構建．他們對問題的表征中所包含的信息往往少于題文中所包含的信息，且可能是基于錯誤的數(shù)量的關系．運用問題模型策略的學生，會基于問題情境構建數(shù)學表征，注重分析每個語句中涉及的量之間的關系．

4 研究設計

4.1 研究問題

（1）問題解決錯誤學生是如何理解問題的？

（2）阻礙問題解決錯誤學生有效理解問題的因素有哪些？

4.2 樣本選擇

通過方便取樣的辦法選取北京市海淀區(qū)一所普通公立小學六年級的6個班，共208名學生，這些學生已經學習了“百分數(shù)的應用”相關內容．

4.3 數(shù)據(jù)收集與分析

采用質性研究方法進行數(shù)據(jù)收集．為深入了解學生問題解決錯誤的原因，采用維果茨基的微衍生法[24]，即先采集學生進行百分數(shù)應用問題解決的材料，經過分析，找出學生在問題解決中出現(xiàn)的問題：在學生解決的百分數(shù)應用問題中，當題文中包含兩個百分數(shù)，且兩個百分數(shù)對應的單位“1”不同時，學生問題解決的錯誤率相對較高．在與任課教師、六年級教研員商討的基礎上設計如下問題解決任務：前些天，學校組織了捐書活動。據(jù)統(tǒng)計，六（1）班同學捐書數(shù)量占六年級捐書總數(shù)的30%，六（2）班捐書數(shù)量是六（1）班捐書數(shù)量的120%，六（2）班比六（1）班多捐30本書，六年級學生共捐多少本書？

學生獨立解答后，找出所有解答錯誤的樣本（共56份），并反饋給解答者本人，運用放聲法收集問題解決錯誤學生解答的具體思維過程材料，在此基礎上，根據(jù)需要對學生進行訪談，盡可能保證研究材料的全面與詳盡．具體數(shù)據(jù)收集及分析流程如圖2．

5 研究結果

5.1 問題解決錯誤學生對問題的理解

從問題理解策略上來看，在56份錯誤解答中，運用直譯策略理解問題的學生有15位，約占27%；運用問題模式策略理解問題的學生有41位，約占73%．下面具體分析這些問題解決錯誤的學生是如何理解問題的．

5.1.1 基于題文的關鍵字和數(shù)據(jù)建立“量”與“率”的關系

運用直譯策略的學生傾向于脫離問題的情境來理解題文語句，并從題文中選擇他們認為的關鍵字和數(shù)據(jù)，然后依據(jù)所選的關鍵字和數(shù)據(jù)直接將問題的要素轉化為算術計算．這些學生往往認為：如果要解決六年級捐書量這個百分數(shù)應用的問題，就需要找一個率和一個量，于是他們從題文中選擇一個明確的率，即六（1）班捐書量是六年級捐書的30%，然后再想辦法尋找一個量，如錯例1（圖3），該同學根據(jù)“六（1）班同學捐書量占六年級捐書總數(shù)的30%”這句話，找到了六（1）班捐書量所占六年級捐書量的百分率，這句話中的“占”是學生理解這句題文數(shù)學意義的關鍵字，然后脫離情境，將六年級的捐書量設為100本，根據(jù)量率對應關系，用100×30%求出六（1）班的捐書量；再如錯例2（圖4），該同學在訪談時表示：“六（1）班捐書量是六年級捐書的30%，30%表示的是率，沒有量，所以我就用30作為量，然后用量除以率求出六（1）班的捐書量．”當追問該學生為什么要用30作為量時，他表示題文中只有30是具體的量，其他數(shù)據(jù)都是百分數(shù)，即率．

圖2 數(shù)據(jù)收集及分析流程圖

圖3 錯例1

圖4 錯例2

通過對這15位運用直譯策略理解問題的學生進行算式分析和進一步的訪談，發(fā)現(xiàn)他們往往花更多的時間來理解題文中的數(shù)字和關系術語，而忽略題文中的其它情境信息，即使有學生在解題過程中可能會多次重讀題文，但依然沒有基于問題情境對問題進行模式表征，因此這種策略阻礙了學生對問題意義和結構的理解．直譯策略的運用往往導致學生很難從問題表述中厘清問題的已知條件之間、已知條件與問題之間的關系，轉而套用模版的方式（在這里具體表現(xiàn)為所謂的“量率對應關系”）來解決問題，過度地使用問題表述中的“關鍵字”，從而建立了錯誤的運算關系，導致問題解決錯誤．

5.1.2 基于問題情境理解的多元化數(shù)學表征

運用問題模式策略的學生主要依據(jù)問題情境思考問題解決方案，即學生的問題解決思路源于他們對問題的意義及量與量之間關系的理解．對這41位同學的解答過程進行歸納，發(fā)現(xiàn)他們運用問題模式策略理解問題的方式主要有3種，分別是畫線段圖（20人），如錯例3（圖5）；直接用算式表征（14人），如錯例4（圖6）；把百分數(shù)轉化成份數(shù)（7人），如錯例5（圖7），所占百分比分別為49%、34%、17%．

圖5 錯例3

圖6 錯例4

運用問題模式策略的學生，無論是畫線段圖，還是直接用算式表征問題、或把百分數(shù)轉化成份數(shù)，他們對問題理解的過程有共同的特征：基于對問題情境的理解來對問題進行模式建構．在錯例3中，學生根據(jù)六（1）班和六年級捐書量之間的關系、六（1）班和六（2）班捐書量之間的關系繪制了表征三者之間關系的線段圖；在錯例4中，學生依據(jù)題文中給出的已知條件：六（2）班捐書量是六（1）班的120%，且六（2）班比六（1）班多捐30本，再根據(jù)量率對應關系求出六（1）班的捐書量；在錯例5中，學生根據(jù)六（2）班捐書量和六（1）班之間的關系將相應的百分數(shù)轉化成對應的份數(shù)進行邏輯推理．在對部分學生進行訪談中發(fā)現(xiàn)，他們不但依據(jù)題文情境信息來進行數(shù)學表征，還注重對其理解的合理性進行解釋和論證，如出現(xiàn)錯例5的同學在描述自己問題解決過程時說：“1?200%-1=20%，是因為六（2）的捐書量是六（1）班的120%，也就是說六（2）班比六（1）班多20%，多的這20%正好與六（2）班比六（1）班多的30本相對應，所以用30除以20%就可以求出六（1）班的捐書量．”但由于學生問題理解過程受多種因素的影響，因此學生運用問題模式策略也不能保證對問題的理解全部有效．

5.2 阻礙學生有效理解問題的因素

學生運用直譯策略從題文中選擇他們認為的關鍵字和數(shù)據(jù)來理解問題，忽略了問題的意義和結構，因此直譯策略是阻礙學生有效理解問題的重要因素之一．研究對阻礙41位運用問題模型策略有效理解問題的因素進行了歸納，這些因素有：已有知識經驗錯誤、問題情境轉譯錯誤、對問題中相關概念的理解不全面、急于求成的心理．

5.2.1 已有知識經驗錯誤

在錯例3中，學生采用繪制線段圖的策略對題文中的數(shù)量關系進行直觀化表征，然而該學生是以線段圖上端點的數(shù)量來確定六年級的捐書量，導致六年級捐書量在線段圖上平均分成的是9份，而不是10份．同樣在線段圖上把六（1）班平均分成10份時，他還是在線段圖上數(shù)端點作為份數(shù)．而在線段圖上根據(jù)六（1）班和六（2）班捐書量關系表征六（2）班捐書量時，學生是數(shù)線段的數(shù)量，確定六（2）班的捐書量占12份．可見學生在用線段圖表征數(shù)量關系時混淆了線段圖上每條線段與端點表示的數(shù)量關系導致問題表征錯誤．

5.2.2 問題情境轉譯錯誤

在錯例4中，學生首先根據(jù)六（1）班和六（2）班捐書量之間關系求出六（1）班的捐書量，然后計算出六（2）班的捐書量，最后求六（1）班和六（2）班的總捐書量．訪談該同學時，她說：“做題的時候，我覺得六年級就兩個班，所以把兩個班的捐書量加在一起就可以了．”

錯例6（圖8）是學生在算出六（1）班的捐書量之后，又算出六（2）班的捐書量，然后把六（2）班捐的180本看作六年級捐書的30%，以此來計算六年級的捐書量．訪談中他表示：“讀完題目后，我覺得自己有了很清晰的解題思路，沒想到自己把六（1）班與六年級捐書量之間的關系想成六（2）班和六年級捐書量之間的關系了．”錯例7（圖9）是學生把六（1）班的捐書量150本看作是六（2）班的捐書量．在訪談時他講到：“我覺得這道題并不難，可惜做題的時候我把我算出的六（1）班的捐書量當成六（2）班的了，所以才用150減30算六（1）的班捐書量．”

圖7 錯例5

圖8 錯例6

出現(xiàn)這類錯例的學生共性的地方是他們不需要借助線段圖來表征題文中的數(shù)量關系，而是運用百分數(shù)量率對應關系圖式對題文蘊含的數(shù)量關系進行自上而下的加工．但學生在解答問題的過程中把題文所表達的問題情境部分地轉譯成自己所構想的運算情境，然后采用與構想的情境相匹配的計算策略來解決問題[25]．

5.2.3 概念理解不全面

學生對問題中涉及概念的理解程度是問題解決的重要因素之一[26]．在錯例8（圖10）中，學生可以在線段圖上表示六（1）班和六年級捐書數(shù)量的關系，但不知道如何繼續(xù)表征六（1）班捐書數(shù)量和六（2）班捐書數(shù)量之間的關系．這類錯誤的出現(xiàn)，與學生對百分數(shù)這一概念理解不夠全面有關．北師版教材對于百分數(shù)相關知識的呈現(xiàn)，第一階段（百分數(shù)的認識）是偏向部分與整體的關系來幫助學生理解百分數(shù)，而在第二階段（百分數(shù)的應用）中會涉及兩個獨立量之間關系比較的百分數(shù)．由于學生最早是基于部分與整體的關系理解來百分數(shù)，因此當學生解決涉及兩個獨立量之間比較關系的百分數(shù)問題時，自然會對百分數(shù)的理解產生偏差，造成學生很難在線段圖上將題文中的3個關系量轉換為一個數(shù)量關系集．

圖9 錯例7

圖10 錯例8

在錯例9（圖11）中，學生將六（2）班比六（1）班多捐的20%轉化成2份，再根據(jù)這20%對應的捐書量是30本，求出1份對應15本．學生在訪談中闡述了自己的想法：“我覺得只看題目中百分數(shù)，找不到解題的思路，于是我把六（2）班比六（1）班多捐的20%轉化成兩份，這樣我就可以求出1份對應的捐書量．但是往下怎么做我就想不出來了！我試著用120%÷15，但感覺不對．”

問題解決的關鍵是學生能否構建出反應問題本質的數(shù)學表征，而在這個過程中認知加工圖式發(fā)揮著非常重要的作用[27]．認知加工圖式是學生相關知識和經驗的組織[28]．雖然學生求出了六（1）班捐書量1份（10%）對應的捐書數(shù)量是15本，但由于不理解百分數(shù)120%所表示的六（2）班捐書量與六（1）班捐書量之間的關系，也不具備量率對應關系圖式，因此無法繼續(xù)解答問題．

5.2.4 急于求成的心理

在錯例10（圖12）中，學生借助線段圖來表征題文中蘊含的數(shù)量關系．從線段圖上可以看出學生把表示六年級捐書量的這條線段平均分成10份，取3份表示六（1）班的捐書量，然后又把表示六（1）班捐書量的這3份平均分成10份，在10份的基礎上再增加2份．與其他學生所畫線段圖不同的地方是，這個學生又把六年級捐書量由原來的10份劃分成20份．

他在訪談中說到：“因為我已經知道六（2）班比六（1）班多30本，所以我覺得只要在線段圖上確定六（2）班捐書量比六（1）班多的20%占六年級的百分之幾，根據(jù)量率對應關系，就可以求出六年級的捐書量，但是我不知道怎么確定，于是我把六年級的捐書量又進行了劃分，發(fā)現(xiàn)六（2）班比六（1）班多出的2份正好與我第二次劃分的線重合，于是我快速地找到了答案：多出的這兩份占六年級捐書量的5%．”可見，該學生不是通過對問題情境的進一步分析，而是試圖通過對線段進行二次劃分來確定六（2）班和六年級捐書量之間數(shù)量關系．像這樣，為了達到在問題解決中快速地找到問題解決方案的目標，學生往往試圖想辦法找到快捷的解決途徑，來回避對問題的深入分析，由于缺少對問題準確地邏輯推理，導致他們對問題的數(shù)學表征錯誤．

圖11 錯例9

圖12 錯例10

6 討論和啟示

6.1 百分數(shù)問題解決錯誤的學生多數(shù)運用問題模式策略理解問題

通過對百分數(shù)問題解決錯誤的56位學生的問題理解過程進行分析，發(fā)現(xiàn)運用問題模式策略的學生遠遠多于運用直譯策略的學生，這表明問題解決錯誤的學生多數(shù)是運用問題模式策略來理解問題．這與希加蒂等人研究發(fā)現(xiàn)問題解決錯誤的學生主要是運用直譯策略理解問題這一結論不一致．為避免研究中偶然性的發(fā)生，研究者又翻閱了這些學生日常作業(yè)中的問題解決過程，和研究發(fā)現(xiàn)一致，多數(shù)同學在問題理解上運用的是問題模式策略，這表明學生理解問題的策略具有穩(wěn)定性，他們往往在理解數(shù)學問題時傾向于運用同一種策略．而學生問題理解策略的選擇受環(huán)境因素的影響[29]，對于學生來說最重要的環(huán)境因素就是課堂．于是研究者對學生的問題解決課堂學習情況進行了追問，學生在訪談中提及到他們在問題解決的課堂學習中，教師經常引導他們比較不同的問題解決思路，并讓他們對不同的問題解決思路進行解釋和論證．合理的解釋和論證必然要基于對問題情境的理解，所以可以肯定的是教師基于情境意義的問題解決教學可以幫助學生認識到基于情境建構問題表征的重要性，但這樣的過程在學生形成穩(wěn)定的問題模式策略的過程中起了多大的作用是需要進一步思考的問題，因為學生個人因素也會對理解問題的策略選擇產生影響．

研究也證實了運用直譯策略的學生比運用問題模式策略的學生在建構問題的表征上要困難得多，他們花更多的時間回顧問題中的他們認為很關鍵的信息，非常糾結于如何根據(jù)題文中的關鍵字和數(shù)據(jù)進行算術運算，若不確定算術運算的必要性，他們也會對題文進行多次閱讀，但他們并不是試圖通過利用問題情境來構建問題的心理模型．而學生問題解決的成功與否取決于是否基于對問題的理解將問題要素轉換成一個適且的心理模型，且這個心理模型必須將這些要素整合成一個相互聯(lián)系的整體[30]．那么教師如何幫助學生實現(xiàn)這種問題理解策略上的轉變呢？首先教師在教學中要為學生提供一些運用直譯策略不能很好地解決的數(shù)學問題，讓學生深切體會直譯策略在理解一些多步問題上的局限性．其次，在教學中為學生提供可以幫助學生理解問題情境的具體方法，如劉易斯通過使用數(shù)線圖的方法來幫助學生掌握問題模式策略來理解問題[31]．

6.2 學生運用問題模式策略理解問題的過程受多種因素的影響

希加蒂等人研究發(fā)現(xiàn)成功解決問題的學生主要是運用問題模式策略來理解問題，與希加蒂等人研究不同的是，研究者研究中的學生多數(shù)是運用問題模式策略，但問題解決是錯誤的．可見，雖然問題模型策略可以幫助學生基于對問題情境的理解來表征問題，但學生理解問題的過程受多種因素的影響，因此即使學生運用問題模型策略也不能保證對問題有效理解．

邁耶發(fā)現(xiàn)阻礙學生有效理解問題的因素有第二語言障礙、相關概念或程序性數(shù)學知識不足[32]．舍恩菲爾德發(fā)現(xiàn)學生對數(shù)學的信念也會影響學生對問題的理解[33]．研究中，除了邁耶研究發(fā)現(xiàn)的學生對相關概念不足這一因素相同外，還有學生已有知識經驗的錯誤、問題情境轉譯錯誤、急于求成的心理等阻礙學生有效理解問題因素．

因此，在問題解教學中，教師在注重引導學生運用問題模式策略理解問題的同時，還要關注阻礙學生有效理解問題的多種因素．由于樣本量的有限，研究者并沒有窮盡所有的阻礙學生有效理解問題的因素，但研究可以啟迪教師更有效地對學生錯誤的具體原因進行“診斷”，然后采取有針對性的教學策略幫助學生認識錯誤、反思錯誤，從而減少錯誤，如要幫助學生及時發(fā)現(xiàn)問題表征中存在的先前知識經驗錯誤；利用客觀信息與學生主觀認識的沖突幫助學生減少情境轉譯錯誤的發(fā)生；對于因為急于求成而模糊推測數(shù)量關系的同學，要借助問題解決中的由因導果的綜合法或執(zhí)果索因的分析法，培養(yǎng)學生有理有據(jù)的推理能力等．

7 小結

研究發(fā)現(xiàn)：百分數(shù)應用問題解決錯誤的學生在問題理解上并不主要是因為直譯策略的運用，但直譯策略確實阻礙了一部分學生對多步問題意義和結構的理解；問題模式策略雖然可以幫助學生基于對問題情境的理解構建對問題的數(shù)學表征，但由于學生對問題的理解受多種因素的影響，如對概念的理解程度、已有知識經驗的錯誤、問題情境轉譯錯誤、急于求成的心理等，且學生在理解問題的過程中有可能意識不到這些阻礙因素的存在，因此問題模式策略也無法保證學生對問題的全面有效理解．由此可以表明學生問題解決錯誤并不一定是由于上課聽講不認真或解答時不用心造成的，因此教師要改變這樣一種糾錯模式：面對學生的數(shù)學錯誤，就讓學生自己訂正，一遍不對，再訂正一遍，直到訂正對為止．在提倡學生反思數(shù)學錯誤的同時，還需要教師結合學生解決問題時的思維過程分析錯誤的具體原因，幫助學生更深刻地認識錯誤，加深教師自身對數(shù)學教學知識的理解，幫助教師更好地改進教學．

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A Study on “Diagnosis” of Students’ Errors in Problem-Solving and Understanding

ZOU Xue-hong, ZHOU Jun

(Center for Teacher Education Research, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Based on the direct translation strategy and problem model strategy of students’ problem understanding, this paper takes percentage application problem solving as an example and combines it with the process of students’ problem understanding to “diagnose” problem-solving errors. It was found that the percentage of students who applied problem-solving errors in problem understanding was not mainly due to the use of direct translation strategies, but direct translation strategies did hinder some students’ understanding of the meaning and structure of multi-step problems. Problem model strategies can help students construct mathematical representations of problems based on their understanding of problem situations. However, students’ understanding of problems is affected by many factors, such as the degree of their understanding of concepts, errors in existing knowledge and experience, errors in translating problem situations, and the psychology of eagerness to achieve success. Students may not realize the existence of these obstacles in the process of understanding problems, thus the problem model strategy cannot guarantee students’ comprehensive and effective understanding of problems.

problem understanding; problem solving; direct translation strategy; problem model strategy

G622.4

A

1004–9894（2021）06–0046–06

鄒學紅，周鈞．基于問題理解的學生問題解決錯誤“診斷”研究[J]．數(shù)學教育學報，2021，30（6）：46-51．

2021–08–21

北京市社會科學基金重點項目——人類學視角下的教師角色研究（16JYA001）

鄒學紅（1984—），女，山東臨沂人，博士生，主要從事小學數(shù)學教學和教師教育研究．

[責任編校：陳雋、陳漢君]