梁 彬, 張石玉, 付增良

(中國(guó)航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院, 北京 100074)

引 言

氣動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)耦合作用、 以及非定常流動(dòng)現(xiàn)象的存在, 使得平板的自由下落成為一個(gè)經(jīng)典的流體力學(xué)-動(dòng)力學(xué)耦合問(wèn)題, 一直以來(lái)都有相關(guān)的研究. 由于下落過(guò)程中常常出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的不確定性, 該問(wèn)題也是一個(gè)典型的非線性問(wèn)題. Maxwell[1]最早定性解釋和描述了紙片的自由翻滾下落運(yùn)動(dòng). Anderson等[2]和Pesavento等[3]結(jié)合實(shí)驗(yàn)和計(jì)算方法, 針對(duì)二維平板的下落問(wèn)題建立力學(xué)模型, 解釋了其中的非定常氣動(dòng)力機(jī)制, 并分析了實(shí)驗(yàn)和計(jì)算結(jié)果之間存在差別的原因. Belmonte等[4]、 Assemat 等[5]都詳細(xì)研究了二維平板自由下落中不同的非定常運(yùn)動(dòng)軌跡, 并研究了影響運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù). Wan等[6], Tian等[7-8]、 Kubota等[9]詳細(xì)研究了平板自由下落中的流動(dòng)渦結(jié)構(gòu)和發(fā)展過(guò)程. Belmonte等[4]、 周琪[10]、 蔡琛芳等[11]還獲取了二維平板不同下落運(yùn)動(dòng)之間, 如翻滾和擺動(dòng)兩種規(guī)律性運(yùn)動(dòng)間的轉(zhuǎn)變臨界參數(shù). 蔡琛芳等[11]研究了不同質(zhì)心位置對(duì)平板下落運(yùn)動(dòng)軌跡的影響. 同時(shí), 平板的自由下落問(wèn)題也是植物種子散播[12-14]、 紙片、 葉片飄落、 氣泡上升[15]、 昆蟲(chóng)飛行[16]、 仿生撲翼飛行器[17-18]等自然現(xiàn)象和工程應(yīng)用的簡(jiǎn)化物理模型以及基本原理體現(xiàn), 具有一定的研究?jī)r(jià)值.

無(wú)論采用實(shí)驗(yàn)還是數(shù)值計(jì)算模擬方法, 上述以往的研究都集中在下落過(guò)程的周期性振蕩, 對(duì)下落過(guò)程中出現(xiàn)的非線性現(xiàn)象研究很少, 一般采用同一初始狀態(tài)、 或是簡(jiǎn)單對(duì)比幾個(gè)初始狀態(tài)的影響后選取一個(gè)開(kāi)展研究. 而平板下落作為一個(gè)非線性系統(tǒng), 初始狀態(tài)的改變是否會(huì)影響下落過(guò)程的發(fā)展路徑以及最終的現(xiàn)象還不清楚. 本文在上述研究的基礎(chǔ)上, 以二維平板自由下落問(wèn)題為對(duì)象, 采用基于動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)的數(shù)值模擬方法, 深入研究了初始角度對(duì)下落運(yùn)動(dòng)的影響. 希望通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)非線性運(yùn)動(dòng)何時(shí)出現(xiàn)、 非線性運(yùn)動(dòng)如何演化、 以及周期性運(yùn)動(dòng)會(huì)在何時(shí)出現(xiàn).

1 方法

1.1 坐標(biāo)系和參數(shù)

本文定義了固連于地球的慣性坐標(biāo)系(x,y)描述平板的運(yùn)動(dòng)和姿態(tài). 如圖1所示, 坐標(biāo)原點(diǎn)位于初始狀態(tài)時(shí)平板質(zhì)心,x為水平方向, 指向右側(cè);y為垂直方向, 指向下方. 定義u,v分別為平板運(yùn)動(dòng)速度在x,y軸上的兩個(gè)分量;ω為平板轉(zhuǎn)動(dòng)角速度, 逆時(shí)針為正;θ為平板轉(zhuǎn)動(dòng)角度, 即平板與水平面的夾角, 逆時(shí)針為正. 定義Fx,Fy分別為x,y軸上的氣動(dòng)力分量;M為氣動(dòng)力矩, 逆時(shí)針為正;m為平板質(zhì)量;I為平板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;g為重力加速度； 平板寬度為L(zhǎng), 厚度為h.

圖1 坐標(biāo)系和狀態(tài)變量示意圖Fig. 1 Definition of the state variables and sketch of the reference frame

1.2 運(yùn)動(dòng)方程和流體力學(xué)方程

根據(jù)前文慣性坐標(biāo)系和動(dòng)力學(xué)參數(shù)定義, 二維平板在慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程可描述如下

(1)

求解運(yùn)動(dòng)方程(1)還須已知其中的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩部分, 氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩是由流體力學(xué)方程所控制的, 如下

(2)

(3)

(4)

(5)

1.3 模擬方法和計(jì)算網(wǎng)格

本文采用的剛性動(dòng)網(wǎng)格、 流體力學(xué)方程的數(shù)值求解方法、 流體力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程耦合求解方法與文獻(xiàn)[11]相同, 不再贅述. 計(jì)算模擬方法在文獻(xiàn)[11]中通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Andersen[2]的對(duì)比, 得到了較好的驗(yàn)證. 采用的平板模型與文獻(xiàn)[2]和[11]一致, 即寬厚比為14的二維平板, 平板邊角處進(jìn)行了倒角處理, 便于網(wǎng)格生成. 平板外形和計(jì)算網(wǎng)格如圖2所示.

圖2 平板外形和計(jì)算網(wǎng)格Fig. 2 Plate shape and computational grids

1.4 分析方法

之前的研究結(jié)果表明[11], 平板的自由下落過(guò)程在氣動(dòng)力和慣性力的共同作用下可呈現(xiàn)周期性的翻滾或擺動(dòng), 為非保守自洽非線性系統(tǒng). 針對(duì)其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn), 本文采用相平面法和頻譜分析方法分析和描述了平板的自由下落運(yùn)動(dòng).

為了準(zhǔn)確描述平板下落過(guò)程中不同下落狀態(tài)的頻域特征, 本文還采用了頻譜分析方法分析平板角度的周期性變化, 有關(guān)頻譜分析和Fourier變換原理見(jiàn)文獻(xiàn)[20].

2 初始角度對(duì)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的影響

基于之前的研究基礎(chǔ)[11], 當(dāng)平板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小(I+<0.95)時(shí), 下落時(shí)呈規(guī)律擺動(dòng), 擺動(dòng)周期隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加而增大. 為了研究初始角度對(duì)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的影響, 選擇了無(wú)量綱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I+<0.95時(shí)幾種擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行模擬, 其他參數(shù)分別為: 寬厚比L/h=14, 無(wú)量綱質(zhì)量m+=0.385 7,Re=2 094.

2.1 典型算例結(jié)果和討論

圖3顯示了I+=0.03時(shí), 平板以不同初始角度釋放后自由下落的θ-ω+相軌跡和無(wú)量綱速度u+-v+曲線, 圖4以其中的初始角度20°, 60°和80°為例直觀顯示了平板自由下落軌跡, 圖5以過(guò)渡狀態(tài)較長(zhǎng)的初始角度20°和80°為例給出了平板下落過(guò)程中角位移振蕩過(guò)程的頻譜分析結(jié)果. 可以看到, 在自由下落的初期, 不同初始角度下平板呈現(xiàn)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡(見(jiàn)圖3中虛線部分, 圖4), 這一段狀態(tài)可稱為過(guò)渡下落狀態(tài). 經(jīng)過(guò)過(guò)渡下落狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)過(guò)渡之后, 平板后期最終呈現(xiàn)規(guī)律的周期性擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)(見(jiàn)圖3中實(shí)線部分, 圖4), 且各個(gè)初始角度下最終的周期性擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡是一致的: 在u+-v+曲線上體現(xiàn)為重合的“∞”形軌跡, 在θ-ω+相軌跡上形成重合的穩(wěn)定極限環(huán)(見(jiàn)圖3中實(shí)線部分), 在頻譜分析結(jié)果中最終的周期性運(yùn)動(dòng)角位移振蕩主頻均為2.123 Hz(見(jiàn)圖5). 此時(shí)平板的運(yùn)動(dòng)是周期性的, 這一段狀態(tài)可稱為周期性下落狀態(tài). 因此, 平板的初始角度并不會(huì)改變平板最終的周期性擺動(dòng)下落運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

在初期過(guò)渡下落狀態(tài)中, 雖然平板的狀態(tài)與最終的周期性規(guī)律擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)并不相同, 但是是相似的, 仍然是一種擺動(dòng)運(yùn)動(dòng). 從圖3中虛線部分可以看到, 初期平板仍然按照“∞”形軌跡運(yùn)動(dòng), 只是“∞”形軌跡并不對(duì)稱. 這一現(xiàn)象在平板下落軌跡圖中(見(jiàn)圖4)也得到直觀體現(xiàn). 其中, 一些初始角度下過(guò)渡狀態(tài)較長(zhǎng), 如20°時(shí), 平板在過(guò)渡下落狀態(tài)進(jìn)行了多次非規(guī)律性擺動(dòng)(見(jiàn)圖3, 圖4), 擺動(dòng)幅度較小而主頻高于周期性狀態(tài)(2.831 Hz, 見(jiàn)圖5); 一些初始角度下過(guò)渡狀態(tài)很短, 如60°時(shí), 在下落軌跡圖中幾乎看不到過(guò)渡狀態(tài)和周期性擺動(dòng)狀態(tài)的區(qū)別(見(jiàn)圖4), 只能在u+-v+曲線上看出下落初期“∞”形軌跡的不對(duì)稱(見(jiàn)圖3); 一些初始角度下過(guò)渡狀態(tài)較長(zhǎng), 但擺動(dòng)次數(shù)較少, 如80°時(shí), 平板經(jīng)歷了1次較長(zhǎng)的擺動(dòng)后進(jìn)入周期性下落狀態(tài)(見(jiàn)圖4), 過(guò)渡期擺動(dòng)幅度較大而主頻低于周期性狀態(tài)(1.415 Hz, 見(jiàn)圖5).

(a) Transitional falling stage at θ0=20°

(b) Periodic fluttering falling stage at θ0=20°

(c) Transitional falling stage at θ0=80°

(d) Periodic fluttering falling stage at θ0=80°圖5 頻譜分析結(jié)果(I+=0.03)Fig. 5 Result of spectrum analysis (I+=0.03)

初始角度為負(fù)值時(shí), 平板初始姿態(tài)其實(shí)與初始角度為正值時(shí)一致, 只是對(duì)稱翻轉(zhuǎn)的關(guān)系. 自由下落過(guò)程中的過(guò)渡狀態(tài)和周期性狀態(tài)也呈翻轉(zhuǎn)、 相位相反的關(guān)系. 圖3中同時(shí)給出了初始角度為-40°和-60°(即140°和120°)時(shí)的結(jié)果, 可以看到其曲線分別與初始角度為40°和60°時(shí)為左右對(duì)稱翻轉(zhuǎn)關(guān)系. 初始角度為負(fù)值(或超過(guò)90°)時(shí)不再重復(fù)研究.

圖6以初始角度20°為例顯示了平板自由下落時(shí)的狀態(tài)變量隨時(shí)間變化曲線,t+<8時(shí)為過(guò)渡下落狀態(tài),t+>8為周期擺動(dòng)下落狀態(tài).下落開(kāi)始初期(t+=0～1), 平板在重力作用下向下運(yùn)動(dòng), 運(yùn)動(dòng)使得指向左上的氣動(dòng)力和順時(shí)針?lè)较驓鈩?dòng)力矩作用于平板, 氣動(dòng)力和重力共同作用下導(dǎo)致平板進(jìn)一步向左下運(yùn)動(dòng)并順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng). 當(dāng)平板角度轉(zhuǎn)為負(fù)值后(t+=1～3), 氣動(dòng)力和力矩大小方向也發(fā)生了變化, 氣動(dòng)力水平分量指向右側(cè), 氣動(dòng)力矩變?yōu)槟鏁r(shí)針?lè)较? 導(dǎo)致平板向左的水平速度減小并逐漸變?yōu)橄蛴摇?順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度減小并逐漸變?yōu)槟鏁r(shí)針. 由于轉(zhuǎn)動(dòng)角度為角速度的積分項(xiàng), 慣性作用下氣動(dòng)力矩的變化反映至轉(zhuǎn)動(dòng)角度具有一定的滯后. 后續(xù)重復(fù)了上述變化過(guò)程, 直至過(guò)渡下落狀態(tài)過(guò)程(t+=0～8)后進(jìn)入周期性擺動(dòng)下落(t+>8).可見(jiàn), 過(guò)渡下落狀態(tài)與周期性下落狀態(tài)的機(jī)理是相似的: 由于平板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)較小, 平板的轉(zhuǎn)動(dòng)角度能夠較快地響應(yīng)氣動(dòng)力矩變化, 形成不斷往復(fù)的周期性或非周期性擺動(dòng)運(yùn)動(dòng), 對(duì)應(yīng)其周期性擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)和過(guò)渡下落狀態(tài). 因此, 也解釋了模擬結(jié)果: 影響平板下落最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等關(guān)鍵性參數(shù), 與初始角度無(wú)關(guān).

圖6 無(wú)量綱速度和氣動(dòng)力變化曲線(I+=0.03,θ0=20°)Fig. 6 Dimensionless velocities and aerodynamic force components (I+=0.03,θ0=20°)

圖7給出了平板初始為水平或垂直放置時(shí)(即初始角度為0°或90°)的結(jié)果. 可以看到, 平板初始水平或垂直放置時(shí), 經(jīng)過(guò)一段定常的運(yùn)動(dòng)后才進(jìn)入過(guò)渡下落狀態(tài), 然后經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的過(guò)程后才最終進(jìn)入周期性擺動(dòng)運(yùn)動(dòng). 周期性擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡與其余初始角度是一致的: 在u+-v+曲線上為形狀相同的“∞”形軌跡, 相軌跡也為形狀相同的極限環(huán). 原因在于平板下落初期流場(chǎng)對(duì)稱, 平板未受到氣動(dòng)力矩的作用使其轉(zhuǎn)動(dòng). 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的誤差和干擾積累后, 平板受微小氣動(dòng)力矩作用產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng), 隨后姿態(tài)改變導(dǎo)致氣動(dòng)力變化并逐漸進(jìn)入過(guò)渡下落狀態(tài), 最終演化為周期性擺動(dòng)下落. 因此, 平板初始姿態(tài)左右對(duì)稱時(shí)也不會(huì)影響最終形成周期性擺動(dòng)下落運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

(a) θ versus ω+

(b) u+ versus v+圖7 θ-ω+相軌跡和u+-v+曲線(I+=0.03, θ0=0°, θ0=90°)Fig. 7 θ versus ω+ and u+ versus v+(I+=0.03, θ0=0°, θ0=90°)

2.2 其他擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)結(jié)果

平板初始角度對(duì)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的影響的其他算例結(jié)果如圖8～11所示, 分別顯示了其他參數(shù)不變、 無(wú)量綱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小(I+=0.01)和較大(I+=0.5)時(shí)的θ-ω+相軌跡、 無(wú)量綱速度u+-v+曲線和自由下落軌跡.

(a) θ versus ω+

(b) u+ versus v+

(a) θ versus ω+

(b) u+ versus v+

圖10 平板自由下落運(yùn)動(dòng)軌跡(I+=0.01)Fig. 10 Trajectories of freely falling plates (I+=0.01)

圖11 平板自由下落運(yùn)動(dòng)軌跡(I+=0.5)Fig. 11 Trajectories of freely falling plates (I+=0.5)

由圖8～11的結(jié)果可以看到, 與前文典型算例相似: 在自由下落初期的過(guò)渡下落狀態(tài), 不同初始角度下平板呈現(xiàn)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡, 但該運(yùn)動(dòng)和軌跡與周期性的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)是相似的, 是一種不規(guī)律的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng). 平板后期最終呈現(xiàn)規(guī)律的周期性擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài), 且各個(gè)初始角度下最終的周期性擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡是一致的. 其中的物理機(jī)制也是類似的, 不再贅述.

3 初始角度對(duì)翻滾運(yùn)動(dòng)的影響

平板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大(I+>0.95)時(shí), 平板下落最終呈規(guī)律翻滾. 為研究初始角度對(duì)翻滾運(yùn)動(dòng)的影響, 選擇了無(wú)量綱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I+=1.0和I+=5.0進(jìn)行模擬.圖12給出了I+=1.0時(shí)不同初始角度釋放后的結(jié)果, 圖13直觀顯示了典型算例的平板運(yùn)動(dòng)軌跡.

(a) θ versus ω+

(b) u+ versus v+圖12 θ-ω+相軌跡和u+-v+曲線(I+=1.0)Fig. 12 θ versus ω+ and u+ versus v+(I+=1.0)

圖13 平板自由下落運(yùn)動(dòng)軌跡(I+=1.0)Fig. 13 Trajectories of freely falling plates (I+=1.0)

由圖12和13的結(jié)果可以看到, 與擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的情況類似, 平板的初始角度并不會(huì)改變平板后期最終的周期性翻滾下落運(yùn)動(dòng)狀態(tài). 初期的過(guò)渡下落狀態(tài)中, 不同初始角度下平板呈現(xiàn)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡(見(jiàn)圖12中虛線部分, 圖13), 但最終呈現(xiàn)規(guī)律的周期性翻滾運(yùn)動(dòng)狀態(tài), 且各初始角度下最終的周期性翻滾運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡一致:θ-ω+相平面上體現(xiàn)為重合的穩(wěn)定軌跡;u+-v+曲線上體現(xiàn)為重合的“o”形軌跡.

與擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)不同之處在于, 翻滾運(yùn)動(dòng)的過(guò)渡下落可分為小幅翻滾和非規(guī)律性擺動(dòng)兩種狀態(tài). 如初始角度≥50°時(shí), 過(guò)渡下落狀態(tài)平板u+-v+曲線是比周期性翻滾運(yùn)動(dòng)稍小的“o”形軌跡, 相軌跡上也不存在ω+>0的點(diǎn), 說(shuō)明平板一直朝一個(gè)方向翻滾、 是一個(gè)小幅的翻滾運(yùn)動(dòng), 在平板下落軌跡圖中(見(jiàn)圖13)也得到直觀體現(xiàn). 初始角度≤40°時(shí), 過(guò)渡下落狀態(tài)是一種非規(guī)律性的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng), 在u+-v+曲線上顯示為不對(duì)稱的“∞”形軌跡, 相軌跡呈現(xiàn)非閉軌擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)特征. 正是由于過(guò)渡下落階段這種非規(guī)律性擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的存在, 使得平板最終周期性翻滾運(yùn)動(dòng)的翻滾方向存在差別, 如初始角度約50°～80°間最終周期性翻滾方向與過(guò)渡狀態(tài)小幅翻滾方向相同(順時(shí)針),u+-v+曲線上為左側(cè)“o”形軌跡,θ-ω+相軌跡位于下方; 初始角度10°時(shí)經(jīng)過(guò)過(guò)渡狀態(tài)3次擺動(dòng)運(yùn)動(dòng), 最終周期性翻滾方向?yàn)轫槙r(shí)針,u+-v+曲線上為左側(cè)“o”形軌跡, 相軌跡位于下方; 初始角度為0°, 20°, 30°, 40°時(shí)經(jīng)過(guò)過(guò)渡狀態(tài)2次或多次擺動(dòng)運(yùn)動(dòng), 最終周期性翻滾方向?yàn)槟鏁r(shí)針,u+-v+曲線上為右側(cè)“o”形軌跡, 相軌跡位于上方. 雖然翻滾方向相反, 但平板運(yùn)動(dòng)形式和狀態(tài)無(wú)本質(zhì)變化, 僅為左右對(duì)稱關(guān)系.

圖14 無(wú)量綱速度和氣動(dòng)力變化曲線(I+=1.0,θ0=20°)Fig. 14 Dimensionless velocities and aerodynamic force components (I+=1.0,θ0=20°)

圖14給出了初始角度為20°時(shí)平板自由下落狀態(tài)變量隨時(shí)間變化曲線, 分割線左側(cè)為過(guò)渡下落狀態(tài), 分割線右側(cè)為周期翻滾下落狀態(tài). 圖14中可以看到, 自由下落初期過(guò)渡運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中平板的受力和運(yùn)動(dòng)情況與無(wú)量綱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小時(shí)是類似的: 下落開(kāi)始初期(t+=0～2), 平板在重力作用下向下運(yùn)動(dòng), 運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的氣動(dòng)力和力矩指向左上和順時(shí)針?lè)较? 和重力共同作用下平板進(jìn)一步左下運(yùn)動(dòng)并順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng). 平板角度轉(zhuǎn)為負(fù)值后(t+=2～9.6), 氣動(dòng)力和力矩方向隨之改變, 使平板向左的水平速度和順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度減小并逐漸反向?yàn)橄蛴液湍鏁r(shí)針. 由于平板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大, 慣性作用明顯, 氣動(dòng)力矩反向后經(jīng)過(guò)了較長(zhǎng)的時(shí)間后平板轉(zhuǎn)動(dòng)角度才逐漸減小, 氣動(dòng)力矩作用的滯后現(xiàn)象明顯. 也正是因?yàn)樯鲜鲈? 平板轉(zhuǎn)動(dòng)角度再一次反向后, 由于氣動(dòng)力矩變化的作用滯后時(shí)間較長(zhǎng), 無(wú)法及時(shí)反映至平板轉(zhuǎn)動(dòng)角度, 導(dǎo)致平板轉(zhuǎn)動(dòng)角度增大至較大值后無(wú)法拉回, 在慣性作用主導(dǎo)下朝同一方向翻滾最終形成周期性翻滾下落運(yùn)動(dòng). 因此, 當(dāng)平板初始角度本身較大時(shí), 如圖13中初始角度為60°時(shí), 自由下落初期過(guò)渡運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中就出現(xiàn)了初始角度較小時(shí)過(guò)渡狀態(tài)后期發(fā)展出的現(xiàn)象: 在慣性作用主導(dǎo)下直接朝同一方向翻滾形成周期性翻滾下落運(yùn)動(dòng).

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很大、 慣性作用更加明顯, 更難以在過(guò)渡下落階段出現(xiàn)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng). 當(dāng)無(wú)量綱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大至I+=5.0時(shí), 如圖15所示, 過(guò)渡下落階段發(fā)生擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的范圍進(jìn)一步縮小, 僅在初始角度≤30°時(shí)出現(xiàn)過(guò)渡的非規(guī)律性的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng): 在u+-v+曲線上顯示為不對(duì)稱的“∞”形軌跡.

圖15 u+-v+曲線(I+=5.0)Fig. 15 u+ versus v+(I+=5.0)

綜上所述, 平板翻滾下落狀態(tài)中過(guò)渡狀態(tài)與周期性狀態(tài)的機(jī)理是相似的: 由于平板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大, 氣動(dòng)力矩僅能起到減緩或增大平板轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的作用, 平板的轉(zhuǎn)動(dòng)角度方向不隨氣動(dòng)力矩方向變化而改變. 因此平板大部分情況下保持了翻滾的運(yùn)動(dòng)狀態(tài). 僅在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量稍小的情況下, 且初始角度較小、 處于臨界狀態(tài)附近時(shí), 才會(huì)在過(guò)渡下落狀態(tài)中出現(xiàn)少次的不規(guī)律擺動(dòng)運(yùn)動(dòng). 同理, 也解釋了模擬結(jié)果: 影響平板下落最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等關(guān)鍵性參數(shù), 與初始角度無(wú)關(guān).

4 結(jié)論

本文通過(guò)耦合求解N-S方程和運(yùn)動(dòng)方程, 從不同初始角度對(duì)平板自由下落狀態(tài)和軌跡的影響出發(fā), 開(kāi)展了二維平板自由下落的非線性特征研究, 研究結(jié)果發(fā)現(xiàn):

(1)初始角度對(duì)平板的自由下落運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡有影響, 但影響僅反映在自由下落初期2個(gè)周期內(nèi);

(2)不同初始角度造成平板自由下落初期運(yùn)動(dòng)不同的振蕩狀態(tài)、 振蕩頻率和幅值;

(3)平板的自由下落運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)兩個(gè)階段: 初期階段、 后期階段. 初期階段運(yùn)動(dòng)形態(tài)不同, 后期階段運(yùn)動(dòng)形態(tài)相同.