王艷燴 楊慶璽

（焦作大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 焦作 454003）

學(xué)習(xí)空間解析幾何與向量代數(shù)是為學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分奠定基礎(chǔ)，包括兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的部分：空間解析幾何和向量代數(shù)。用代數(shù)方法研究空間幾何圖形，又利用空間幾何圖形的直觀解決代數(shù)問(wèn)題，是平面解析幾何的推廣。本文以旋轉(zhuǎn)曲面為教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合信息化手段的使用，介紹針對(duì)高職高專(zhuān)學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)。

1.教學(xué)分析

本文的教學(xué)內(nèi)容選自劉嚴(yán)主編的《新編高等數(shù)學(xué)》第七章第七節(jié)常見(jiàn)曲面的方程及圖形。旋轉(zhuǎn)曲面是一種常見(jiàn)的特殊曲面，本節(jié)通過(guò)旋轉(zhuǎn)曲面介紹建立曲面方程的一種方法。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生熟練地掌握特殊曲面方程及圖形，從而對(duì)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)、梯度、極值以及重積分等問(wèn)題的學(xué)習(xí)起到很好的促進(jìn)作用。

教學(xué)對(duì)象是焦作大學(xué)建筑技術(shù)專(zhuān)業(yè)學(xué)生，學(xué)生思維比較活躍，理解能力、運(yùn)算能力和學(xué)習(xí)交流能力較強(qiáng)。學(xué)生已具備一定的識(shí)圖能力和動(dòng)手能力，已經(jīng)掌握了空間平面、空間直線的相關(guān)知識(shí)，雖然空間想象能力尚待提高，但在專(zhuān)業(yè)課的學(xué)習(xí)中對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面有一定的感性認(rèn)識(shí)，為順利完成本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

基于以上分析，制定以下教學(xué)目標(biāo)。

（1）知識(shí)目標(biāo)：理解旋轉(zhuǎn)曲面以及母線、準(zhǔn)線的概念，掌握旋轉(zhuǎn)曲面方程的求解，以形助數(shù)，完成由方程到圖形的轉(zhuǎn)化，以數(shù)助形。

（2）技能目標(biāo)：提高空間想象能力，提高分析問(wèn)題的能力。

（3）素養(yǎng)目標(biāo)：利用旋轉(zhuǎn)曲面的實(shí)例，體會(huì)數(shù)學(xué)寓于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高審美情趣。

其中，教學(xué)重點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)曲面概念及方程的求解，教學(xué)難點(diǎn)為由方程到圖形的轉(zhuǎn)化。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)

旋轉(zhuǎn)曲面教學(xué)設(shè)計(jì)的核心意圖有兩點(diǎn)：一是要把學(xué)術(shù)形態(tài)的知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)形態(tài)的知識(shí)，二是破除傳統(tǒng)被動(dòng)接受式學(xué)習(xí)的枷鎖，讓學(xué)生“動(dòng)起來(lái)”。教學(xué)過(guò)程中盡可能利用3D教學(xué)課件讓知識(shí)生動(dòng)化、直觀化，利用學(xué)習(xí)通平臺(tái)展開(kāi)交流和討論，讓學(xué)生在樂(lè)中學(xué)，學(xué)中樂(lè)。

利用大學(xué)生善于運(yùn)用手機(jī)和電腦學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，采用信息化教學(xué)手段。利用Geogebra軟件、動(dòng)畫(huà)視頻資源觀看旋轉(zhuǎn)曲面的演示，讓學(xué)生進(jìn)入實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，進(jìn)行模擬情景教學(xué)。通過(guò)課前設(shè)置問(wèn)題，讓學(xué)生帶著問(wèn)題，利用任務(wù)驅(qū)動(dòng)探究學(xué)習(xí)。運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)法，通過(guò)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)式教學(xué)。在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)上，教師利用搶答、選人等教學(xué)活動(dòng)與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)，實(shí)時(shí)掌握學(xué)生學(xué)習(xí)狀況。通過(guò)介紹旋轉(zhuǎn)曲面在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)科學(xué)、熱愛(ài)勞動(dòng)的情懷和對(duì)大國(guó)工匠精神的追求和發(fā)揚(yáng)，實(shí)施思政教育。

3.教學(xué)過(guò)程

（1）課前注重學(xué)生自主學(xué)習(xí)。教師錄制微課視頻，精心挑選檢測(cè)題， 上傳至學(xué)習(xí)通平臺(tái)，發(fā)布課前學(xué)習(xí)任務(wù)。學(xué)生登錄學(xué)習(xí)通，完成任務(wù)點(diǎn)，了解本節(jié)課內(nèi)容，并進(jìn)行課前小測(cè)試，同時(shí)，尋找生活中旋轉(zhuǎn)曲面的實(shí)例，并上傳圖片。學(xué)生完成課前學(xué)習(xí)任務(wù)后，教師通過(guò)平臺(tái)查看學(xué)生學(xué)習(xí)情況。

（2）課中以任務(wù)驅(qū)動(dòng)為主線，以問(wèn)題導(dǎo)向?yàn)檩o，組織實(shí)施教學(xué)。教學(xué)的組織實(shí)施主要通過(guò)以下幾個(gè)環(huán)節(jié)完成。

①引入新課：通過(guò)電視節(jié)目《是真的嗎》引入新知。對(duì)于“直桿能?chē)?yán)絲合縫地穿過(guò)弧形曲線是真的嗎？”這個(gè)話題，通過(guò)學(xué)習(xí)通的問(wèn)卷調(diào)查，讓學(xué)生進(jìn)行作答，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。根據(jù)調(diào)查問(wèn)卷的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，教師進(jìn)行評(píng)價(jià)，同時(shí)，借用實(shí)驗(yàn)視頻論證結(jié)果，并利用自制教具，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，滿(mǎn)足學(xué)生的好奇心。通過(guò)展示學(xué)生課前在學(xué)習(xí)通上傳的部分圖片，讓學(xué)生明白旋轉(zhuǎn)曲面是空間曲面中一個(gè)特殊而又重要的曲面，它在產(chǎn)品設(shè)計(jì)及工程技術(shù)上應(yīng)用廣泛，在日常生活中也很常見(jiàn)，從而引出新知：什么曲面是旋轉(zhuǎn)曲面呢？

②任務(wù)一：探究旋轉(zhuǎn)曲面的定義。旋轉(zhuǎn)曲面的定義：一條平面曲線繞該平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面成為旋轉(zhuǎn)曲面。教師動(dòng)畫(huà)演示旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程，非常直觀化，便于學(xué)生理解。從旋轉(zhuǎn)曲面的定義提煉出三個(gè)知識(shí)要點(diǎn)：曲線和定直線是共面的、曲線是繞直線旋轉(zhuǎn)的、常見(jiàn)的平面曲線。通過(guò)對(duì)舊識(shí)的回顧，便于學(xué)生對(duì)新知的學(xué)習(xí)。

為了更加方便研究旋轉(zhuǎn)曲面，還要探究旋轉(zhuǎn)曲面的方程如何求解。

③任務(wù)二：形轉(zhuǎn)數(shù)，探究方程。教師首先給出實(shí)例，動(dòng)畫(huà)演示旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察幾何位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合。然后，教師強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)上點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面的幾何規(guī)律：由動(dòng)態(tài)圖形可知，點(diǎn)繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓周，根據(jù)同一個(gè)圓周上點(diǎn)的位置關(guān)系，探究出函數(shù)關(guān)系，用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，從而得出旋轉(zhuǎn)曲面方程。接著，深度分析旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)：至少有兩個(gè)系數(shù)相同的平方項(xiàng)，另一個(gè)變量對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)軸。最后，通過(guò)對(duì)比分析平面曲線方程與旋轉(zhuǎn)曲面方程，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、通俗化，概括為“繞誰(shuí)誰(shuí)不變，缺啥就補(bǔ)啥”。

為了對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，老師給出例題，學(xué)生自主探究，然后設(shè)置學(xué)習(xí)通投屏搶答，師生共同對(duì)例題的結(jié)果進(jìn)行分析，讓學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)。為了鞏固探究方程的相關(guān)知識(shí)，教師利用視頻（Geogebra軟件制作）對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程、方程的求解步驟進(jìn)行詳盡地直觀化演示，加深學(xué)生理解，并使學(xué)生認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)曲面及對(duì)應(yīng)的方程。同時(shí)，通過(guò)舉例，說(shuō)明旋轉(zhuǎn)曲面的廣泛用途，比如拋物面在天文探測(cè)方面的作用，進(jìn)行課程思政。

上述是對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面方程的探究，反之，如果已知方程，如何識(shí)別圖形呢？

④任務(wù)三：數(shù)轉(zhuǎn)形，探究圖形。教師給出四組方程，結(jié)合任務(wù)二的分析，層層推進(jìn)，運(yùn)用逆向思維，讓學(xué)生分組討論回答，鍛煉學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力。每組選出代表回答，其他學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)或補(bǔ)充，然后教師借助視頻，梳理思路，進(jìn)行任務(wù)小結(jié)。

⑤課堂小結(jié)。利用思維導(dǎo)圖，師生共同完成對(duì)本節(jié)課的回顧，簡(jiǎn)單明了。在本環(huán)節(jié)，教師強(qiáng)調(diào)由繁入簡(jiǎn)的方法和數(shù)形結(jié)合的思想，建議學(xué)生自己畫(huà)出思維導(dǎo)圖及有關(guān)常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)曲面的表格，課下進(jìn)行自我總結(jié)。

（3）課后拓展

①隨堂練習(xí)。教師在學(xué)習(xí)通平臺(tái)發(fā)布不同難度的測(cè)試題并進(jìn)行評(píng)分，對(duì)評(píng)分較低的學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)指導(dǎo)，及時(shí)了解學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的掌握程度，做到“節(jié)節(jié)有收獲、堂堂有落實(shí)”。

②啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多生活中單葉雙曲面的實(shí)例。引導(dǎo)學(xué)生充分利用各種網(wǎng)絡(luò)資源，領(lǐng)悟旋轉(zhuǎn)曲面的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，擴(kuò)展學(xué)生的學(xué)習(xí)空間。

4.課程評(píng)價(jià)

基于學(xué)習(xí)通平臺(tái)，進(jìn)行老師考核、小組互評(píng)、平臺(tái)系統(tǒng)的主客觀考核，通過(guò)課堂即時(shí)考核、過(guò)程考核，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的知識(shí)、能力、素質(zhì)及個(gè)性特征的全方位考核，從而讓學(xué)生實(shí)時(shí)、全面了解自己的成績(jī)與表現(xiàn)，教師也可以及時(shí)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

5.教學(xué)反思

本堂課教學(xué)活動(dòng)中，始終以學(xué)生為主體精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生情意，及時(shí)把握時(shí)機(jī)，啟發(fā)、誘導(dǎo)、點(diǎn)撥，促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思維，團(tuán)隊(duì)合作，探索研究，逐步體會(huì)旋轉(zhuǎn)曲面的魅力及應(yīng)用的廣泛性。本節(jié)課以任務(wù)驅(qū)動(dòng)為主線，以問(wèn)題為導(dǎo)向，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有序開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面的理解，提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，加深了他們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)。整個(gè)教學(xué)內(nèi)容有效支撐了教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，教學(xué)過(guò)程各環(huán)節(jié)構(gòu)思得當(dāng)，方法手段設(shè)計(jì)恰當(dāng)，教學(xué)互動(dòng)深入有效，逐步突破重難點(diǎn)，教學(xué)效果良好。

本節(jié)課創(chuàng)新之處：①引入有趣，易接受。借助電視節(jié)目，引出內(nèi)容，生動(dòng)具體，興趣點(diǎn)高。②設(shè)計(jì)巧秒, 易掌握。通過(guò)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)式教學(xué)，每一個(gè)知識(shí)模塊及時(shí)總結(jié)梳理；教學(xué)步驟主次明晰，邏輯性強(qiáng)，教學(xué)內(nèi)容由淺入深，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。③成本低廉易推廣。無(wú)設(shè)備、軟件開(kāi)發(fā)成本，只需要熟練掌握相關(guān)軟件，便能呈現(xiàn)一個(gè)信息化元素滿(mǎn)滿(mǎn)的課堂，具有推廣價(jià)值。

在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，還可以持續(xù)改進(jìn)：一是從實(shí)際生活出發(fā)，將“枯燥”的數(shù)學(xué)知識(shí)真真切切地應(yīng)用于實(shí)際生活，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅“有用”而且“能用”；二是充分利用網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源和各種學(xué)習(xí)平臺(tái)，盡可能發(fā)揮互聯(lián)網(wǎng)對(duì)學(xué)習(xí)的正向作用，也通過(guò)“留白”給學(xué)生更多的思考空間，使教師樂(lè)教，學(xué)生樂(lè)學(xué)。