楊 航,趙 功,賈 陽(yáng),何建國(guó),黃 文

(1.遵義師范學(xué)院工學(xué)院,貴州 遵義 563006；2.中國(guó)工程物理研究院 機(jī)械制造工藝研究所,四川 綿陽(yáng) 621900；3.華中光電技術(shù)研究所 武漢光電國(guó)家實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢 430073)

1 引 言

磁流變拋光技術(shù)作為具有革命性的超精密光學(xué)元件加工技術(shù),被廣泛應(yīng)用于強(qiáng)激光系統(tǒng)光學(xué)元件最終修形[1-2],其工具特性使其能夠有效控制低頻、中頻、高頻面形,并能夠?qū)鈱W(xué)元件的亞表面損傷層進(jìn)行有效的去除而不留下新的殘余損傷[3-4]。磁流變拋光作為一種確定性?huà)伖饧夹g(shù),其拋光過(guò)程的收斂效率和所能達(dá)到的極限修整精度依賴(lài)于工藝過(guò)程的確定性,如去除函數(shù)的確定性[5]、軌跡實(shí)現(xiàn)的確定性[6]、面形誤差測(cè)量的確定性[7]、機(jī)床后置處理實(shí)現(xiàn)的確定性[8]等多方面的因素。

對(duì)于平面類(lèi)光學(xué)元件的修整,不論光學(xué)晶體還是光學(xué)玻璃,磁流變拋光在各工藝環(huán)節(jié)已可以獲得較好的確定性,達(dá)到可觀的收斂效率和修整精度。然而,對(duì)于球面、非球面、自由曲面、柱面等具有曲率的光學(xué)元件,由于加工、測(cè)量等技術(shù)問(wèn)題,其各工藝環(huán)節(jié)的確定性難以達(dá)到要求[9-12]。由于曲率的存在,其對(duì)磁流變拋光各工藝環(huán)節(jié)的影響機(jī)制不明確,也阻礙了收斂效率和極限精度的進(jìn)一步提高。

張峰、Kordonski等人建立了光學(xué)元件曲率特征與去除函數(shù)形成的流動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型[13-14]；Schinhaerl等人提出了拋光非球面鏡面時(shí)緞帶與光學(xué)元件的幾何關(guān)系分析方法[15],可以用于分析不同曲率光學(xué)元件對(duì)浸入深度的影響規(guī)律；Seok等人研究了使用磁流變拋光在硅基微結(jié)構(gòu)上制造曲面的方法,他們分析了不同曲率條件對(duì)磁流變拋光邊緣效應(yīng)的影響機(jī)制[16]；Guan等人基于lap-MRF研究了拋光區(qū)域緞帶形成幾何條件改變時(shí)材料去除率的理論模型[17]；Alam等人為克服凸和凹樣品曲率的影響設(shè)計(jì)了特制的拋光工具實(shí)現(xiàn)了銅基曲面的加工[18-19]；宋辭等人建立了非球面拋光多軸聯(lián)動(dòng)、工件表面坐標(biāo)系、機(jī)床坐標(biāo)系的幾何關(guān)系,為分析不同曲率光學(xué)元件加工運(yùn)動(dòng)量提供了理論方法[20]。王嘉琪、楊航等人從磁流變拋光液流場(chǎng)特性出發(fā)對(duì)拋光工具的不確定性對(duì)于拋光工藝參數(shù)集的依賴(lài)關(guān)系進(jìn)行了理論分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[21-23]。

在工程實(shí)踐中,常把非平面類(lèi)零件特性對(duì)拋光引入的不確定性稱(chēng)為“曲率效應(yīng)”。然而,曲率效應(yīng)的影響機(jī)制尚未得到有效的研究。本文將深入研究光學(xué)元件的曲率對(duì)磁流變拋光質(zhì)量的影響規(guī)律。

2 曲面光學(xué)元件磁流變拋光工藝

2.1 曲面光學(xué)元件

光學(xué)元件種類(lèi)繁雜,按照其幾何外形可以分為平面類(lèi)光學(xué)元件和非平面類(lèi)光學(xué)元件。平面類(lèi)光學(xué)元件可以認(rèn)為是加工面曲率半徑無(wú)窮大的面形,相應(yīng)地非平面類(lèi)光學(xué)元件則為加工面曲率半徑為有限值。廣義地,我們將所有具有有限曲率半徑加工面的光學(xué)元件稱(chēng)為曲面光學(xué)元件。如圖1所示。

圖1 曲面光學(xué)元件的分類(lèi)Fig.1 Classification of curved optics

現(xiàn)有磁流變拋光工藝對(duì)于無(wú)窮大曲率光學(xué)元件具有較好的收斂效率和極限精度,然而當(dāng)曲率半徑具有有限值,特別是曲率半徑較小時(shí),磁流變拋光工藝的工藝受到不可預(yù)知的影響。本文將光學(xué)面形曲率對(duì)磁流變拋光工藝不確定性的影響稱(chēng)為曲率效應(yīng)。

2.2 磁流變拋光原理

磁流變拋光利用磁流變拋光液(由基載液、羰基鐵粉、氧化鈰/金剛石粉顆粒以及其他添加劑組成)在梯度磁場(chǎng)下形成緞帶實(shí)現(xiàn)對(duì)光學(xué)材料的微量去除,通常去除速率為～4λ/min。在拋光液流動(dòng)方向,梯度磁場(chǎng)均勻分布；在緞帶橫斷面方向,磁場(chǎng)具有類(lèi)高斯分布；在光學(xué)元件法向,磁場(chǎng)以高梯度進(jìn)行衰減。使得拋光液能夠緊貼在拋光輪表面并隨之旋轉(zhuǎn),在光學(xué)元件表面形成D形拋光斑。如圖2所示。

圖2 磁流變拋光示意圖Fig.2 Schematic diagram of magnetorheological finishing

對(duì)拋光斑進(jìn)行干涉測(cè)量獲得去除函數(shù),去除函數(shù)即為對(duì)磁流變拋光工具影響的定量評(píng)價(jià)。拋光斑的大小與緞帶和光學(xué)表面的幾何關(guān)系密切相關(guān),其深度(即去除量)與緞帶在光學(xué)元件表面的駐留時(shí)間密切相關(guān)。單位時(shí)間內(nèi)的去除量通常在同一工藝條件下保持穩(wěn)定,這也是磁流變拋光實(shí)現(xiàn)確定性加工的基礎(chǔ)。

3 曲率效應(yīng)分析

3.1 磁流變拋光確定性對(duì)曲率效應(yīng)的依賴(lài)關(guān)系

磁流變拋光拋光頭在形成穩(wěn)定緞帶以后,對(duì)光學(xué)元件表面的誤差去除量等于去除函數(shù)與駐留時(shí)間的卷積。因此,給定初始面形和去除函數(shù),便可以確定獲得最終面形。對(duì)光學(xué)面形的確定去除過(guò)程如圖3所示。

圖3 磁流變拋光面形確定性控制過(guò)程Fig.3 Magnetorheological finishing surface shape deterministic control process

在對(duì)光學(xué)面形的確定性控制過(guò)程中,每一個(gè)環(huán)節(jié)引入的不確定性(或誤差)均會(huì)使實(shí)際修形結(jié)果偏離預(yù)期修形結(jié)果,降低了面形控制過(guò)程的確定性。由光學(xué)面形曲率在各工藝環(huán)節(jié)引入的不確定性即曲率效應(yīng)對(duì)拋光過(guò)程的影響。在面形測(cè)量環(huán)節(jié)、軌跡規(guī)劃、去除函數(shù)獲取、駐留時(shí)間求解、機(jī)床定位加工等環(huán)節(jié)均會(huì)引入由曲率效應(yīng)導(dǎo)致的不確定性,這些不確定量均會(huì)使實(shí)際加工結(jié)果偏離預(yù)期加工結(jié)果。

3.2 曲面誤差展開(kāi)的曲率效應(yīng)

由激光干涉儀測(cè)量獲得的光學(xué)面形誤差是磁流變拋光工藝規(guī)劃的基礎(chǔ),其決定了元件表面每一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)施加的去除量。然而激光干涉儀對(duì)光學(xué)元件表面的測(cè)量是離散的,其面形誤差數(shù)據(jù)在垂直于口徑方向是均勻分布的。這種測(cè)量的固有特性決定了當(dāng)對(duì)平面元件進(jìn)行干涉測(cè)量時(shí),其面形誤差也是均勻分布的。然而,當(dāng)子孔徑存在曲率時(shí),垂直于孔徑的均勻測(cè)量對(duì)于面形誤差其實(shí)是不均勻的。這種情況下,當(dāng)曲率較大時(shí),實(shí)際的面形誤差分布稠密程度會(huì)在嚴(yán)重降低。如圖4所示。

圖4 面形誤差展開(kāi)的曲率效應(yīng)Fig.4 Curvature effect of surface error expansion

光學(xué)曲面可以表示為:

不論對(duì)于x方向還是y方向,由于曲率效應(yīng)的存在,兩點(diǎn)之間的曲面距離均被拉長(zhǎng)。設(shè)兩點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2),則曲面距離s為:

對(duì)于x、y軸,由曲率導(dǎo)致的曲面距離分別為:

設(shè)x1、y1均為零,x2、y2為干涉儀測(cè)量獲得的面形誤差控制點(diǎn)的空間位置,則根據(jù)式(4)可以得到曲面誤差點(diǎn)的實(shí)際空間分布。設(shè)干涉儀測(cè)量獲得的面形誤差分布為(x,y),則按照曲面展開(kāi)后為:

(sx|x1=0,x2=x,y1=0,y2=y,sy|x1=0,x2=x,y1=0,y2=y)

3.3 軌跡規(guī)劃的曲率效應(yīng)

光學(xué)表面磁流變拋光采用的軌跡種類(lèi)繁多,有光柵線、螺旋線、自適應(yīng)軌跡、偽隨機(jī)軌跡等等。對(duì)于大部分光學(xué)元件,特別是曲面光學(xué)元件的磁流變拋光,一般采用光柵線加工。設(shè)預(yù)設(shè)柵距為a、步進(jìn)間距為b、光柵軌跡起點(diǎn)距離光軸距離為e。如圖5所示。

圖5 光柵線軌跡加工示意圖Fig.5 Schematic diagram of raster line trajectory processing

平面光柵軌跡的柵距和步進(jìn)距離都是均勻分布的。當(dāng)在子孔徑內(nèi)規(guī)劃的光柵軌跡用于曲面加工時(shí),曲面柵距和步進(jìn)方向駐留點(diǎn)的曲面距離均會(huì)因?yàn)榍市?yīng)而扭曲,與預(yù)設(shè)的駐留軌跡出現(xiàn)偏差。對(duì)于曲面S(c,k),由曲面效應(yīng)導(dǎo)致的第m列柵距為:

sα(m)=sx|x1=ε+mα,x2=ε+(m+1)α,y1=y2=0,m=0,1,2,…

曲面效應(yīng)影響下的第m列、第n個(gè)駐留點(diǎn)的步進(jìn)間距為:

sβ(m,n)=sy|x1=x2=ε+mα,y1=nβ,y2=(n+1)β,m=0,1,2,…,n=0,1,2,…

由于光學(xué)曲面沿著光軸具有回轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性,與坐標(biāo)軸未對(duì)齊的軌跡規(guī)劃可以等同于圖5所示的與坐標(biāo)對(duì)齊的軌跡規(guī)劃而不會(huì)影響軌跡的幾何性質(zhì)。因此,式(5)和式(6)對(duì)任意曲面的光柵軌跡均適用。

3.4 去除函數(shù)獲取的曲率效應(yīng)

去除函數(shù)是磁流變拋光工具對(duì)工具表面去除效果的定量評(píng)價(jià),需要對(duì)每一個(gè)駐留點(diǎn)的去除函數(shù)進(jìn)行確定性獲取。對(duì)于平面光學(xué)元件而言,所有駐留點(diǎn)處的幾何條件都是一致的,在保證工藝參數(shù)穩(wěn)定的情況下,對(duì)一個(gè)駐留點(diǎn)進(jìn)行去除函數(shù)獲取即可以獲得所有駐留點(diǎn)的去除函數(shù)。然而,對(duì)于曲面,只有與光軸等距的圓周上的駐留點(diǎn)才有相同的幾何條件。在子午平面內(nèi),任意兩個(gè)點(diǎn)的幾何條件都不會(huì)完全一樣。

工程上采用具有相同幾何性質(zhì)和理化特性的樣件進(jìn)行采斑,用干涉儀對(duì)拋光斑測(cè)量進(jìn)而獲得去除函數(shù)。對(duì)于二次曲面、高次曲面,只能采用最接近球面(bfs)上的去除函數(shù)近似曲面各駐留點(diǎn)的去除函數(shù)。這種評(píng)價(jià)駐留點(diǎn)處去除函數(shù)的方式對(duì)于所有駐留點(diǎn)的去除函數(shù)評(píng)價(jià)都是不準(zhǔn)確的,因?yàn)閎fs與曲面的空間距離存在導(dǎo)致拋光液緞帶的浸入深度相對(duì)實(shí)際減小了,而浸入深度對(duì)去除函數(shù)的形成至關(guān)重要。如圖6所示。

圖6 曲面駐留點(diǎn)處去除函數(shù)形成的間隙變化情況Fig.6 Change in the gap by the removal function dwelling at the surface

不失一般性,對(duì)于二次曲面bfs與鏡面的母線兩個(gè)端點(diǎn)相交,設(shè)交點(diǎn)為P1(x1,z1)和P2(x2,z2),bfs的球心位于光軸上。則最接近球面sbfs(r)和曲面sa(r)的浸入深度的差值為:

δ(r)=sbfs(r)-sa(r)

其中,

根據(jù)式(7)可以對(duì)去除函數(shù)在各駐留點(diǎn)的浸入深度偏差進(jìn)行評(píng)估,進(jìn)而確定曲率效應(yīng)對(duì)去除函數(shù)的影響。

3.5 駐留時(shí)間求解的曲率效應(yīng)

作為一種子孔徑柔性加工方法,磁流變拋光的拋光工具為D形去除函數(shù)。為獲得確定的去除函數(shù),需進(jìn)行法向加工。對(duì)于平面光學(xué)元件,各駐留點(diǎn)處的法向量一致。對(duì)于曲面,各駐留點(diǎn)的法向量均指向光軸,因此,各駐留點(diǎn)法向量都不一樣。進(jìn)而由于曲率的存在,去除函數(shù)的分布與平面時(shí)也不一樣,如圖7所示。

圖7 曲面與平面駐留點(diǎn)處去除函數(shù)分布形態(tài)差異Fig.7 Differences in the distribution of the removal function dwelling at the surface and the plane

可以看出,對(duì)于在軸曲面,去除函數(shù)的分布聚焦于幾何中心；離軸曲面去除函數(shù)分布聚焦于光學(xué)口徑外；對(duì)于平面,則可以認(rèn)為聚焦于無(wú)窮遠(yuǎn)處。

磁流變拋光去除量分布函數(shù)是去除函數(shù)與駐留時(shí)間函數(shù)的二維卷積,卷積過(guò)程可以離散為:

(k=1,2,…,m)

式中,m為面形控制點(diǎn)個(gè)數(shù);n為軌跡上駐留點(diǎn)總個(gè)數(shù)。H(xk,yk)為光學(xué)元件(xk,yk)處的去除量；Rr(xk-xi,yk-hi)為去除函數(shù)駐留在(ξi,ηi)對(duì)點(diǎn)(xk,yk)處的材料去除量；t(ξi,ηi)為去除函數(shù)在軌跡點(diǎn)(ξi,ηi)處的駐留時(shí)間。表示成矩陣方程為:

Hm×1=Rrm×n×tn×1

其中,

根據(jù)式(10)可以采用數(shù)值方法求解駐留時(shí)間。曲面拋光的駐留時(shí)間求解過(guò)程與平面拋光不同之處在于計(jì)算去除函數(shù)影響矩陣Rr時(shí)需要加入去除函數(shù)聚焦引入旋轉(zhuǎn)量的影響。Rr的各行向量的數(shù)值為對(duì)于確定的控制點(diǎn),各軌跡點(diǎn)處去除函數(shù)對(duì)該控制點(diǎn)的影響。Rr的各列的數(shù)值為特定軌跡點(diǎn)去除函數(shù)對(duì)各控制點(diǎn)的影響。設(shè)去除函數(shù)的去除效率分布為F(x,y),其坐標(biāo)系為O′-x′y′z′,如圖8所示。

圖8 曲率效應(yīng)對(duì)去除函數(shù)的分布引入旋轉(zhuǎn)量Fig.8 Curvature effect introduces the amount of rotation on the distribution of the removal function

設(shè)光軸中心的離軸量為e。沒(méi)有旋轉(zhuǎn)量時(shí),位于(ξ,η)處的去除函數(shù)對(duì)(x,y)處的控制點(diǎn)的去除效率為F(x-ξ,y-η)。當(dāng)去除函數(shù)有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ時(shí),控制點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)后的軌跡點(diǎn)處的去除函數(shù)中的坐標(biāo)為:

其中,

此時(shí),控制點(diǎn)處的去除效率為F(x′,y′)。利用式可以定量評(píng)估曲率效應(yīng)引入的去除函數(shù)分布變化,進(jìn)而通過(guò)修正式中的Rr得到曲率影響條件下的駐留時(shí)間求解。

3.6 機(jī)床誤差容錯(cuò)能力的曲率效應(yīng)

磁流變拋光采用法向加工的加工模式,即拋光頭在任一駐留點(diǎn)均要求與工件表面垂直。這一加工特點(diǎn)決定了法向浸入深度(簡(jiǎn)稱(chēng)浸深)是決定磁流變拋光精度的重要參數(shù),浸深對(duì)磁流變拋光緞帶與光學(xué)元件間的幾何關(guān)系有著重要影響,關(guān)系到去除函數(shù)的可預(yù)測(cè)性與穩(wěn)定性。而機(jī)床的法向定位精度對(duì)浸深的穩(wěn)定性有著決定性的影響。設(shè)拋光頭加工參考點(diǎn)坐標(biāo)為xih=[x,y,z]h,在工件坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為xiw=[x,y,z]w,則為滿(mǎn)足法向加工的要求,存在一組機(jī)床工作軸運(yùn)動(dòng)量φ=(δx,δy,δz,δA,δB,δC)使得如下變換成立:

xiw=T(φ)·xih

可以看出,機(jī)床定位精度取決于f實(shí)現(xiàn)值的準(zhǔn)確程度。當(dāng)機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸存在定位的靜態(tài)誤差或動(dòng)態(tài)誤差時(shí),對(duì)浸深的影響可以表示為:

Δxiw=ΔT(φ)·xih

其中:

得到機(jī)床定位精度對(duì)浸深的影響規(guī)律后,可以進(jìn)一步建立浸深誤差對(duì)不同曲率光學(xué)元件的影響機(jī)制。設(shè)光學(xué)元件曲率半徑為R,拋光緞帶半徑為Rr,拋光輪中心到工件曲率中心的距離為Rp。如圖9所示。D為浸入深度,是工藝控制的法向幾何參數(shù)；a0和b0分別為浸入長(zhǎng)度和浸入厚度,表征光學(xué)元件切入緞帶對(duì)去除函數(shù)形成的影響。

圖9 凸面和凹面在磁流變拋光時(shí)的幾何關(guān)系Fig.9 Geometric relationships of convex and concave surfaces during magnetorheological finishing

由幾何關(guān)系可知,對(duì)于凸面:

Rp=R+Rr-D

對(duì)于凹面:

Rp=R-Rr+D

由海倫公式可以求得α0:

進(jìn)一步可以得到b0:

根據(jù)式(15)、式(19)、式(20)可以定量評(píng)估曲率效應(yīng)引起的機(jī)床誤差容錯(cuò)能力的差異。不同曲率的工件在加工時(shí)對(duì)機(jī)床誤差的誤差容忍能力具有較大的差異。

4 結(jié) 論

磁流變拋光曲率光學(xué)元件時(shí)收斂效率和收斂精度很難達(dá)到同類(lèi)平面光學(xué)元件拋光的水平。本文從磁流變拋光工藝過(guò)程出發(fā),依據(jù)光學(xué)元件曲率對(duì)磁流變拋光各環(huán)節(jié)的影響規(guī)律建立了磁流變拋光曲率效應(yīng)定量評(píng)價(jià)與分析理論?；谒⒌睦碚摽梢苑治銮嬲`差展開(kāi)、軌跡規(guī)劃、去除函數(shù)獲取、駐留時(shí)間求解以及機(jī)床誤差容錯(cuò)能力等關(guān)鍵工藝環(huán)節(jié)的曲率影響機(jī)制?；诒疚闹械膸缀畏治龇椒?可以進(jìn)一步對(duì)曲率光學(xué)元件磁流變拋光工藝中的其他由曲率效應(yīng)引起的工藝問(wèn)題進(jìn)行定量分析與評(píng)價(jià)。

附錄:二次曲面的一階導(dǎo)數(shù)

二次曲面為:

因此,