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        數(shù)列中的“新定義”問題

        2021-12-03 01:39:24河南省許昌高級中學(xué)胡銀偉
        關(guān)鍵詞:定義

        ■河南省許昌高級中學(xué) 胡銀偉

        近年高考數(shù)列的命題中常出現(xiàn)“新定義”問題,先給出定義的新概念、新公式、新法則、新符號、新運算,然后據(jù)此新定義去解決問題。解答此類“新定義”問題,需認真研讀題意,分析、理解新定義、新情景的特征,能夠透過現(xiàn)象看到“新”的本質(zhì),以不變應(yīng)萬變是解答此類問題的法寶。

        類型一 定義新概念

        例1(2020年新課標Ⅱ卷)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用。若序列a1a2…an…滿足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整數(shù)m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,則稱其為0-1周期序列,并稱滿足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整數(shù)m為這個序列的周期。對于周期為m的0-1 序列a1a2…an…,C(k)=(k=1,2,…,m-1)是描述其性質(zhì)的重要指標,下列周期為5的0-1序列中,滿足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是( )。

        A.11010… B.11011…

        C.10001… D.11001…

        分析:本題是考查數(shù)列的新概念問題,考查同學(xué)們對新概念的理解及運算能力。本題新定義了序列的周期,可根據(jù)新概念,逐一對選項進行驗證。

        類型二 定義新運算

        例2(2021 年全國新高考Ⅱ卷)(多選題)設(shè)正整數(shù)n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其 中ai∈ {0,1 },記ω(n)=a0+a1+…+ak,則( )。

        A.ω(2n)=ω(n)

        B.ω(2n+3)=ω(n)+1

        C.ω(8n+5)=ω(4n+3)

        D.ω(2n-1)=n

        分析:本題是考查定義與數(shù)列有關(guān)的新運算問題,考查同學(xué)們對新運算的理解及應(yīng)用能力。

        解:選項A,ω(n)=a0+a1+…+ak,2n=a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1,所以,ω(2n)=a0+a1+…+ak=ω(n),A 正確。

        選項B,不妨取n=2,則2n+3=7=1×20+1×21+1×22,所以ω(7)=3。而2=0·20+1·21,則ω(2)=1。所以ω(7)≠ω(2)+1,B錯誤。

        選項C,因為8n+5=a0·23+a1·24+…+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1·24+…+ak·2k+3,所以,ω(8n+5)=2+a0+a1+…+ak。而4n+3=a0·22+a1·23+…+ak·2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+… +ak·2k+2,所 以,ω(4n+3)=2+a0+a1+…+ak。因此,ω(8n+5)=ω(4n+3),C正確。

        選項D,因為2n-1=20+21+…+2n-1,所以ω(2n-1)=n,D 正確。

        故選ACD。

        類型三 定義新情景

        例3南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,其所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列。對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”?,F(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7 項分別為1,7,15,27,45,71,107,則該數(shù)列的第8項為____。

        分析:本例是以古典書籍為背景,構(gòu)造了高階等差數(shù)列的定義,考查同學(xué)們對新背景下新定義的理解及應(yīng)用能力。正確理解高階等差數(shù)列的定義,分別計算前后兩項,結(jié)合等差數(shù)列的定義,可得答案。

        解:因為所給數(shù)列為高階等差數(shù)列,設(shè)該數(shù)列的第8 項為x,根據(jù)高階等差數(shù)列的定義:用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個新數(shù)列,得到的新數(shù)列也用后一項減去前一項再得到一個新數(shù)列,即得到了一個等差數(shù)列。

        如圖1:

        圖1

        故答案為155。

        解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略:(1)通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義,或約定的一種新運算,或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題的情景,要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題設(shè)所提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識和方法,實現(xiàn)信息的遷移,達到靈活解題的目的;(2)遇到新定義問題,需耐心研究題中信息,分析新定義的特點,搞清新定義的本質(zhì),按新定義的要求“照章辦事”,逐條分析、運算、驗證,使問題得以順利解決。

        演練:

        1.對于任一實數(shù)序列A={a1,a2,a3,…},定義ΔA為序列{a2-a1,a3-a2,a4-a3,…},它的第n項是an+1-an。假定序列Δ(ΔA)的所有項都是1,且a18=a2021=0,則a2022=( )。

        A.1002 B.2004

        C.101 D.202

        解析:設(shè)序列ΔA的首項為d,則序列ΔA為{d,d+1,d+2,…},則它的第n項為d+(n-1)。

        因此,數(shù)列A的第n項為:

        an=a1+(ak+1-ak)=a1+d+(d+1)+…+(d+n-2)=a1+(n-1)d+(n-1)·(n-2)。

        an是關(guān)于n的二次多項式,其中n2的系數(shù)是。

        因為a18=a2021=0,所以an=(n-18)·(n-2021),a2022=(2 022-18)·(2022-2021)=1002。故選A。

        2.對于數(shù)列 {an},定義Yn=為數(shù)列{an}的“美值”?,F(xiàn)已知某數(shù)列{an}的“美值”Yn=2n+1,記數(shù)列{an-tn}的前n項和為Sn,若Sn≤S10對任意的k∈N*恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是( )。

        解析:由Yn==2n+1,可得a1+2a2+…+2n-1an=n×2n+1。

        當(dāng)n≥2 時,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)2n;①

        a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1。②

        ②-①可 得,2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n=(n+1)·2n。

        所以an=2n+2。

        當(dāng)n=1時,a1=4也滿足上式,故an=2n+2,n∈N*。

        所以an-tn=(2-t)n+2,數(shù)列{antn}是等差數(shù)列。

        所以,Sk=log2(k+2)-1。

        因為Sk為正整數(shù),所以log2(k+2)-1>0,即k+2>2,則k>0。

        令m=log2(k+2),則k=2m-2。

        因 為k∈[1,2 021],所 以2m∈[3,2023]。

        因為y=2x為增函數(shù),且21=2,22=4,…,210=1024,211=2048,所以m∈[2,10]。

        所有“好數(shù)”的和為(22-2)+(23-2)+…+(210-2)=-2×9=2026。

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