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        數(shù)列問題常見錯因及應(yīng)對策略

        2021-12-03 01:39:22甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué)盧會玉
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)解題

        ■甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 盧會玉

        數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考中主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念、性質(zhì)及基本量的運算,突出考查等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及數(shù)列求和的常用方法,重點考查數(shù)列an與Sn關(guān)系的應(yīng)用等知識。高考對數(shù)列的考查突出基礎(chǔ)性,重點考查同學(xué)們對數(shù)列通性通法的理解與應(yīng)用,有時也考查綜合性較強的數(shù)列問題,解題方法靈活多樣,技巧性較強。

        同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中,既要關(guān)注數(shù)列的小題訓(xùn)練,也要關(guān)注數(shù)列大題的綜合練習(xí)。下面對同學(xué)們解題時存在的常見錯誤進(jìn)行剖析,并提出相應(yīng)的應(yīng)對策略。

        一、存在的問題及原因分析

        (一)概念模糊不清

        概念模糊不清主要表現(xiàn)在對等差、等比數(shù)列的概念及等差中項或等比中項的定義認(rèn)識不到位。

        例1已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設(shè)bn=。

        (1)求b1,b2,b3的值;

        (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;

        (3)求數(shù)列{an}的通項公式。

        解析:(1)由條件可得an+1=

        將n=1代入,得a2=4a1,則a2=4;

        將n=2代入,得a3=3a2,則a3=12。

        從而b1=1,b2=2,b3=4。

        (2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列。

        點評:本題難度不大,但同學(xué)們的答題情況仍不理想,尤其是第二問,大家對等比數(shù)列的概念不清晰,不能順利地將已知結(jié)構(gòu)式與待證式之間建立聯(lián)系,致使推證錯誤。第二問以遞推式nan+1=2(n+1)an為載體,判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,其實就是判斷是否為定值。判斷(證明)數(shù)列{an}為等差或等比數(shù)列是高考的熱點,解決這類問題的關(guān)鍵是理解等差或等比數(shù)列的定義,從給出的結(jié)構(gòu)式中,推斷an+1-an或是否為定值。

        (二)運算能力不佳

        在數(shù)列專題中,常常出現(xiàn)求數(shù)列某一項am、基本量(a1,n,d,q)、通項公式an及前n項和Sn等計算問題。在計算過程中,不少同學(xué)往往整體代換意識薄弱,不能合理運用有關(guān)公式進(jìn)行恒等變形。導(dǎo)致失分的主要原因,主要包括:①用數(shù)列的有關(guān)公式和性質(zhì)求解一些基本量的問題時用錯公式或運算錯誤;②對等比數(shù)列前n項和Sn公式的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不透,不能用整體的意識去分析和思考問題等(如計算中有時把作為整體,將會使運算更加簡便)。

        例2等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S3+S6=2S9,求公比q。

        解析:假設(shè)q=1,則S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1。

        又a1≠0,所以9a1≠2×9a1,q≠1。

        點評:在利用等比數(shù)列前n項和公式解決問題時,部分同學(xué)易忽略q=1的情形。事實上,在等比數(shù)列求和時要注意對公比q=1和q≠1兩種情況的討論,此外當(dāng)q≠1時,Sn=,有時可把作為整體進(jìn)行運算。

        (三)問題轉(zhuǎn)化錯誤

        在數(shù)學(xué)解題中,常常要運用轉(zhuǎn)化與化歸思想將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,數(shù)列問題也不例外。在解數(shù)列題中部分同學(xué)存在的主要問題是:一是審題不到位,導(dǎo)致解題中設(shè)元不合理;二是轉(zhuǎn)化意識不強,沒能將已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化,沒能將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列加以解決。

        例3已知等比數(shù)列{an}前4項之積為,第二、三項的和為,求這個等比數(shù)列的公比q。

        解析:設(shè)前4 個數(shù)分別為a,aq,aq2,aq3,則a4q6=,且aq+aq2=。

        則a4q4(1+q)4=4,故(1+q)4=64q2。

        當(dāng)q>0時,可得q2-6q+1=0,解得q=3±2。

        當(dāng)q<0時,可得q2+10q+1=0,解得q=-5±2。

        (四)歸納意識不強

        高考中還常遇到以遞推關(guān)系為載體的數(shù)列問題,這對同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高。

        例4數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項和為( )。

        A.3690 B.3660

        C.1845 D.1830

        解析:由題設(shè)知:a2-a1=1,①,a3+a2=3,②,a4-a3=5。③

        a5+a4=7,a6-a5=9,a7+a6=11,a8-a7=13,a9+a8=15,a10-a9=17,a11+a10=19,a12-a11=21,…

        ②-①,得a1+a3=2。

        ③+②,得a4+a2=8。

        同理可得a5+a7=2,a6+a8=24,a9+a11=2,a10+a12=40,…

        所以a1+a3,a5+a7,a9+a11,…,是各項均為2的常數(shù)列,a2+a4,a6+a8,a10+a12,…,是首項為8,公差為16的等差數(shù)列。

        所以{an}的前60 項和為15×2+15×8+×16=1830。

        點評:本題主要考查同學(xué)們靈活運用數(shù)列知識求解數(shù)列問題的能力,思維量大,有一定的難度。大家要從研究遞推關(guān)系入手,推斷該數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點,發(fā)現(xiàn)其中所隱含的規(guī)律,從而找到解題方向。

        (五)項數(shù)確定錯誤

        數(shù)列是特殊的函數(shù),它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集,解題中要重視項數(shù)n的取值范圍。

        例5幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)n(n>100)且該數(shù)列的前n項和為2的整數(shù)冪,那么該款軟件的激活碼是( )。

        A.440 B.330

        C.220 D.110

        解析:由題意得,數(shù)列如下:

        1,

        1,2,

        1,2,4,

        1,2,4,…,2k-1,

        則該數(shù)列的前1+2+…+k=k(k+1)

        2項和為:

        S=1+(1+2)+…+(1+2+…+2k)=2k+1-k-2。

        因此,k=2t-3≥14,則t≥5。

        此時k=25-3=29,對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)為n=+5=440,選A。

        點評:本題非常巧妙地將實際問題和等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和知識融合在一起。首先需要讀懂題意,并觀察所給數(shù)列的特征,進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項并求和,難點在于數(shù)列里面套數(shù)列,第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項,而且需要判斷最后幾項是第k段1,2,4,…,2k-1中的前幾項,所以項數(shù)的確定是正確解決本題的一個重要環(huán)節(jié)。

        (六)對公式an=的使用不熟練

        數(shù)列的運算中,除用有關(guān)公式和性質(zhì)求解一些基本量的問題外,an與Sn的關(guān)系也是高考考查的熱點。

        例6已知等差數(shù)列{an}的前項和為Sn,且a2=2,S5=15。數(shù)列{bn}的前n項和Tn滿足Tn=(n+5)an。

        (1)求數(shù)列{an}的通項;

        解得a1=d=1。所以an=n。

        (2)由(1)得an=n,所以Tn=n(n+5)。

        當(dāng)n≥2時,Tn-Tn-1=n(n+5)-(n-1)(n+4)=2n+4。

        當(dāng)n=1時,b1=T1=6也滿足上式。

        所以bn=2n+4(n∈N*)。

        綜上可得,Pn=-。

        點評:有相當(dāng)一部分同學(xué)對公式an=的理解和掌握不到位,往往是從an=Sn-Sn-1直接開始計算,會出現(xiàn)遺漏情況。

        二、應(yīng)對策略分析

        (1)重視基本量解題意識,厘清知識網(wǎng)絡(luò),切實掌握數(shù)列的概念與性質(zhì)。高考對數(shù)列考查中選擇和填空題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),解答題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項與前n項和公式及簡單的遞推關(guān)系(主要是Sn與an的關(guān)系)等問題,一般是中檔題,注重通性通法。而等差、等比數(shù)列常涉及a1,an,n,d(q),Sn五個量和兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程(組),所以加強應(yīng)用基本量法解題是一種行之有效且常用的方法。

        (2)合理選擇運算途徑。從多年高考對數(shù)列考查的趨勢看,兩類基本數(shù)列基本量的計算、兩類基本數(shù)列的定義及通項an的求法及數(shù)列求和方法等是考查重點。數(shù)列中只有合理選擇運算方法才能簡化運算過程(如,經(jīng)常要把作為整體代換)。在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時,有兩種思路:一是利用基本量,將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題,雖有一定量的運算,但思路簡捷,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),要有意識地運用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決數(shù)列問題,當(dāng)然在應(yīng)用性質(zhì)解決問題時要注意前提條件,有時還需要進(jìn)行適當(dāng)變形。

        (3)強化合情推理的訓(xùn)練。數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù),這決定了數(shù)列解題中離不開規(guī)律性和技巧性的探究,故靈活應(yīng)用合情推理方法解決數(shù)列問題就顯得尤為重要。

        (4)強化求和模型的訓(xùn)練。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,數(shù)列求和問題也是高考的熱點問題,各種題型均有出現(xiàn),大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧與方法。解決數(shù)列求和問題,需要根據(jù)通項的特點,恰當(dāng)?shù)剡x擇求和方法,從而提高解題速度。

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