王年華 , 魯 鵬 * 常興華 張來(lái)平 鄧小剛

* (中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川綿陽(yáng) 621000)

? (西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院,四川綿陽(yáng) 621010)

** (重慶文理學(xué)院智能制造工程學(xué)院,重慶 402160)

?? (國(guó)防科技創(chuàng)新研究院無(wú)人系統(tǒng)技術(shù)研究中心,北京 100071)

*** (軍事科學(xué)院,北京 100091)

引言

網(wǎng)格生成是計(jì)算流體力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)數(shù)值計(jì)算的第一步,也是未來(lái)CFD六大重要研究領(lǐng)域之一[1-2].在現(xiàn)代CFD 應(yīng)用過(guò)程中,自動(dòng)生成復(fù)雜構(gòu)型的高質(zhì)量網(wǎng)格(包括網(wǎng)格自適應(yīng))依然是一個(gè)重大挑戰(zhàn)性問(wèn)題.自動(dòng)化程度和網(wǎng)格質(zhì)量是網(wǎng)格生成過(guò)程中最重要的兩個(gè)問(wèn)題[3-4].據(jù)統(tǒng)計(jì),網(wǎng)格生成通常占據(jù)整個(gè)計(jì)算周期大約60%的人力時(shí)間,高度自動(dòng)化的網(wǎng)格生成方法無(wú)疑可以很大程度節(jié)約CFD 計(jì)算周期內(nèi)的人工成本.

網(wǎng)格空間尺度分布控制在網(wǎng)格生成中至關(guān)重要,對(duì)于網(wǎng)格質(zhì)量和流動(dòng)求解精度影響較大.通常希望在幾何曲率大、流動(dòng)梯度大等重點(diǎn)區(qū)域加密網(wǎng)格,而在非重點(diǎn)區(qū)域則希望網(wǎng)格盡可能稀疏并均勻過(guò)渡.傳統(tǒng)的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格尺度控制方法主要有:函數(shù)指定法、插值類方法、背景網(wǎng)格法和根據(jù)流場(chǎng)特征進(jìn)行自適應(yīng)等.

函數(shù)指定法適用于簡(jiǎn)單問(wèn)題的全場(chǎng)網(wǎng)格尺度控制,比如可以指定線性函數(shù)控制翼型的網(wǎng)格尺度分布;或用于局部網(wǎng)格尺度控制,比如可以指定幾何級(jí)數(shù)或指數(shù)函數(shù)對(duì)局部網(wǎng)格進(jìn)行加密[5].

采用背景網(wǎng)格法[6-9]進(jìn)行網(wǎng)格尺度控制,需要先用規(guī)則的矩形結(jié)構(gòu)網(wǎng)格或采用較稀疏的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格覆蓋全計(jì)算域,在計(jì)算域內(nèi)分布一定的“點(diǎn)源”“線源”或者“面源”等局部網(wǎng)格分布控制參數(shù),將這些源視作離散的“熱源”,求解熱傳導(dǎo)方程(泊松方程),得到的穩(wěn)態(tài)解即為全計(jì)算域的尺度控制參數(shù)分布[6].或者根據(jù)局部幾何特征(曲率、狹縫、窄邊等信息)確定局部網(wǎng)格尺度,再在背景網(wǎng)格上求解網(wǎng)格尺度滿足的梯度限制方程,將局部網(wǎng)格尺度光滑到全場(chǎng),得到背景網(wǎng)格上的網(wǎng)格尺度分布[7-9].在生成網(wǎng)格時(shí),根據(jù)控制空間中某點(diǎn)在矩形背景網(wǎng)格中所處的單元,通過(guò)背景網(wǎng)格的尺度分布插值得到該點(diǎn)處的網(wǎng)格尺度.

除此之外,還有一些學(xué)者提出一些其他形式的背景網(wǎng)格法.如Deister 等[10]提出由最大最小尺度及最大曲率角對(duì)幾何進(jìn)行柵格化,計(jì)算得到局部網(wǎng)格尺度,并存儲(chǔ)在自適應(yīng)的背景笛卡爾網(wǎng)格上.Quadros等[11-12]提出采用幾何體離散骨架的幾何臨近信息、特征尺寸、邊界曲率來(lái)測(cè)量幾何復(fù)雜度,并根據(jù)幾何復(fù)雜度生成點(diǎn)源,根據(jù)點(diǎn)源確定網(wǎng)格尺度分布,最終將網(wǎng)格尺度存儲(chǔ)在叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的笛卡爾背景網(wǎng)格上.Ruiz-Girones 等[13]提出通過(guò)在背景網(wǎng)格上求解一種新的非線性方程來(lái)控制四邊形網(wǎng)格尺度,等等.

徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)[14-15]可用于數(shù)據(jù)插值,在已知邊界上的網(wǎng)格尺度后,可用RBF 方法將邊界網(wǎng)格尺度插值到內(nèi)場(chǎng),采用貪婪算法還可以一定程度提高RBF 插值的效率,是一種簡(jiǎn)單高效的插值類尺度控制方法.

根據(jù)流動(dòng)特征物理量的梯度量等判據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格自適應(yīng)[16-17]也是控制網(wǎng)格尺度分布的一種有效方法,能夠根據(jù)流場(chǎng)變化控制網(wǎng)格疏密,在梯度大的區(qū)域生成更密的網(wǎng)格,能夠更精細(xì)地捕捉流動(dòng)特征,具有更高的計(jì)算精度和適應(yīng)性,是來(lái)重要發(fā)展方向之一[18].

近年來(lái),基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度學(xué)習(xí)方法在工業(yè)社會(huì)甚至流體力學(xué)領(lǐng)域得到廣泛研究和應(yīng)用[19-21].大數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的人工智能方法成為除理論分析、數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)技術(shù)以外一種新的研究范式,為各個(gè)領(lǐng)域帶來(lái)了新的研究思路和方法.

在網(wǎng)格生成領(lǐng)域,經(jīng)過(guò)多年的工程實(shí)踐,已經(jīng)積累了大量各種類型的網(wǎng)格數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)包含了網(wǎng)格生成規(guī)則及技術(shù)人員在網(wǎng)格生成方面的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),是天然的機(jī)器學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本.通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)對(duì)網(wǎng)格生成規(guī)則進(jìn)行學(xué)習(xí),可以簡(jiǎn)化傳統(tǒng)算法,提高網(wǎng)格生成效率[22].而網(wǎng)格尺度分布的控制也需要技術(shù)人員根據(jù)對(duì)流動(dòng)問(wèn)題的分析和經(jīng)驗(yàn)合理確定,采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法對(duì)網(wǎng)格尺度分布進(jìn)行控制,有望減少人工工作量和對(duì)人工經(jīng)驗(yàn)的依賴.

本文從網(wǎng)格質(zhì)量、效率、靈活性和自動(dòng)化程度4 個(gè)方面綜合分析各類網(wǎng)格尺度控制方法的優(yōu)缺點(diǎn).為了克服傳統(tǒng)背景網(wǎng)格插值法效率低、自動(dòng)化程度不高等方面的不足,本文從效率和自動(dòng)化程度角度提出兩種網(wǎng)格尺度控制方法,首先將RBF 插值方法應(yīng)用于網(wǎng)格尺度控制,采用貪婪算法對(duì)RBF 插值參考點(diǎn)序列進(jìn)行精簡(jiǎn),實(shí)現(xiàn)高效的RBF 網(wǎng)格尺度分布控制方法.進(jìn)一步將提出一種采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格尺度控制的方法,通過(guò)引入相對(duì)壁面距離和相對(duì)網(wǎng)格尺度,初步確定合理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入輸出參數(shù),建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練模型,采用商業(yè)軟件生成二維圓柱和二維翼型非結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格作為訓(xùn)練樣本,通過(guò)訓(xùn)練和學(xué)習(xí)建立起相對(duì)壁面距離和相對(duì)網(wǎng)格尺度之間的映射關(guān)系,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不同密度的二維圓柱、不同二維翼型在不同遠(yuǎn)場(chǎng)大小情況下的網(wǎng)格尺度分布控制.

1 基于背景網(wǎng)格法的尺度控制方法回顧

背景網(wǎng)格法可采用規(guī)則的笛卡爾直角結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、非規(guī)則的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格或者自適應(yīng)笛卡爾網(wǎng)格[9],各種類型的背景網(wǎng)格各有優(yōu)缺點(diǎn),由于規(guī)則結(jié)構(gòu)網(wǎng)格求解和插值效率較高而得到廣泛使用.

在背景網(wǎng)格上布置“點(diǎn)源”、“線源”或者“面源”等局部網(wǎng)格分布控制參數(shù),通過(guò)求解熱傳導(dǎo)方程,得到穩(wěn)態(tài)解即為全流場(chǎng)的尺度控制參數(shù)分布[5].該方法能夠生成分布均勻的網(wǎng)格,且能更靈活地考慮流動(dòng)局部特征對(duì)網(wǎng)格分布的影響.

1.1 背景網(wǎng)格法

以二維問(wèn)題為例,網(wǎng)格尺度S滿足如式(1)所示的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程(泊松方程),以確保尺度源項(xiàng)的作用在物理空間內(nèi)光滑分布.

式中G為源項(xiàng),定義如式(2)所示

式中下標(biāo)“i”,“j”代表背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),N為熱源總數(shù),Ψn為第n個(gè)源的強(qiáng)度因子,函數(shù)In及Jn分別定義如下

式中S和f為在各源處的尺度,r為背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)到源的距離,|ln|為線源長(zhǎng)度.

文獻(xiàn)[5]還提出了考慮方向性的網(wǎng)格密度控制方法,可以通過(guò)改變?cè)吹膹?qiáng)度函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn),具體可參考文獻(xiàn),本文不再贅述.

因此,采用背景網(wǎng)格法進(jìn)行網(wǎng)格尺度控制的步驟為:

(1)在矩形背景網(wǎng)格上采用中心差分離散泊松方程;

(2)采用Gauss-Seidel 超松弛迭代求解離散的泊松方程,得到背景網(wǎng)格上的網(wǎng)格尺度分布;

(3)在網(wǎng)格生成過(guò)程中,根據(jù)當(dāng)?shù)匚恢迷诒尘熬W(wǎng)格中插值得到當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)格尺度,用于控制網(wǎng)格生成過(guò)程.

1.2 背景網(wǎng)格法網(wǎng)格生成實(shí)例

本節(jié)采用二維圓柱、NACA0012 翼型和30P30N多段翼型作為考核算例,對(duì)背景網(wǎng)格法進(jìn)行實(shí)例測(cè)試.本文算例中采用的三角形網(wǎng)格生成算法為作者發(fā)展的基于ANN (artificial neural network)的陣面推進(jìn)法[22],該方法在傳統(tǒng)陣面推進(jìn)法的基礎(chǔ)上,通過(guò)引入ANN 進(jìn)行生成模式判斷和新點(diǎn)預(yù)測(cè),減少了相交性判斷次數(shù),網(wǎng)格生成效率提高30%,其網(wǎng)格生成步驟可簡(jiǎn)要概括為:

(1)將幾何邊界離散成初始陣元;

(2)從最小陣面出發(fā),自動(dòng)選擇網(wǎng)格模板點(diǎn),人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)根據(jù)網(wǎng)格模板判斷生成模式并預(yù)測(cè)新點(diǎn)坐標(biāo);

(3)根據(jù)生成模式、新點(diǎn)坐標(biāo)和局部網(wǎng)格尺度生成新網(wǎng)格單元;

(4)判斷新單元是否合適,合適則更新數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu);

(5)回到步驟2,直至所有面變成非活躍面,整個(gè)計(jì)算域被網(wǎng)格填滿.

圖1～圖3 給出了3 個(gè)算例點(diǎn)源設(shè)置示意圖和生成的網(wǎng)格,圖中藍(lán)色圓點(diǎn)即為點(diǎn)源所在位置.3 個(gè)算例人工設(shè)置的點(diǎn)源數(shù)量分別為12,24 和44.圖中背景網(wǎng)格僅作為示意,實(shí)際背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)量需要根據(jù)邊界網(wǎng)格尺度進(jìn)行調(diào)整,以確保對(duì)網(wǎng)格尺度分布場(chǎng)的分辨率和插值精度.比如對(duì)于在前后緣網(wǎng)格尺度較小的翼型,背景網(wǎng)格必須足夠密才可以有效反映出空間網(wǎng)格尺度的變化.

圖1 圓柱算例點(diǎn)源設(shè)置及網(wǎng)格生成情況Fig.1 Nodal source settings and corresponding triangular mesh over a 2D cylinder

圖2 NACA0012 算例點(diǎn)源設(shè)置及網(wǎng)格生成情況Fig.2 Nodal source settings and corresponding triangular mesh over NACA0012 airfoil

圖3 30P30N 算例點(diǎn)源設(shè)置及網(wǎng)格生成情況Fig.3 Nodal source settings and corresponding triangular mesh over 30P30N airfoil

在本文三個(gè)算例中,背景網(wǎng)格規(guī)模分別為51 × 51,301 × 301 和401 × 401.由于是在背景網(wǎng)格上迭代求解泊松方程,因此背景網(wǎng)格的網(wǎng)格數(shù)量直接決定了迭代求解的效率.

圖中結(jié)果顯示,在人工設(shè)置合適的點(diǎn)源參數(shù)后,可以在背景網(wǎng)格上得到恰當(dāng)?shù)木W(wǎng)格尺度分布.

要說(shuō)明的是本文暫未采用線源,實(shí)際上線源可以看作按線段排列的具有一定強(qiáng)度分布的點(diǎn)源集合,因此在處理本文的簡(jiǎn)單問(wèn)題時(shí),只采用點(diǎn)源進(jìn)行網(wǎng)格尺度的控制,用以說(shuō)明背景網(wǎng)格法的優(yōu)缺點(diǎn).

2 基于RBF 方法的尺度控制方法

徑向基函數(shù)是一種常用的插值函數(shù),常用于網(wǎng)格變形的插值[14-15,23-24],如圖4 所示即為用NACA-0012 翼型的S 型啟動(dòng)來(lái)模擬魚(yú)的游動(dòng)過(guò)程,采用RBF 插值方法將物面的變形插值到空間來(lái)生成動(dòng)網(wǎng)格.RBF 插值方法也可以用于網(wǎng)格尺度的插值控制,在已知邊界網(wǎng)格尺度的情況下,求得插值系數(shù)矩陣,可將邊界尺度插值到整個(gè)計(jì)算域.

圖4 RBF 網(wǎng)格變形方法Fig.4 Mesh deformation controlled by RBF interpolation

2.1 基于貪婪算法的RBF 插值方法

RBF 插值方法是比較成熟的插值方法,對(duì)于一個(gè)變量場(chǎng),如網(wǎng)格變形情況下的位移場(chǎng),或網(wǎng)格尺度控制情況下的網(wǎng)格密度場(chǎng),可以用RBF 插值公式表示為

其中,N為參考點(diǎn)數(shù)目,f(r) 為某待求點(diǎn)的函數(shù)值(網(wǎng)格尺度),r為待求點(diǎn)的位置矢量,ri為參考點(diǎn)的位置矢量,φ 為RBF 基函數(shù),‖r-ri‖ 為參考點(diǎn)與待求點(diǎn)之間的歐氏距離.wi為第i個(gè)參考點(diǎn)的權(quán)重系數(shù).

以網(wǎng)格尺度分布控制為例,權(quán)重系數(shù)滿足

式中Sp為各個(gè)參考點(diǎn)的網(wǎng)格尺度,參考點(diǎn)通常為邊界點(diǎn),也即邊界網(wǎng)格尺度.基函數(shù)的類型包括全域型基函數(shù)和緊支型基函數(shù),具體可以參考文獻(xiàn)[14-15,23-24],本文不再贅述.

權(quán)重系數(shù)的求解通常需要求解系數(shù)矩陣的逆,在參考點(diǎn)數(shù)目較大時(shí),會(huì)導(dǎo)致求解效率較低,因此可以引入貪婪算法對(duì)參考點(diǎn)進(jìn)行精簡(jiǎn).

基于貪婪算法的RBF 方法的步驟可簡(jiǎn)要?dú)w納為:

(1)初始參考點(diǎn)集為空集,隨機(jī)取一邊界點(diǎn)作為初始參考點(diǎn);

(2)根據(jù)參考點(diǎn),采用RBF 插值計(jì)算其他邊界點(diǎn)處的網(wǎng)格尺度;

(3)由于參考點(diǎn)數(shù)目太少,RBF 插值得到的邊界網(wǎng)格尺度與給定值存在一定誤差,找出誤差最大的點(diǎn);

(4)若誤差最大的點(diǎn)不為已有參考點(diǎn),則將該點(diǎn)做為新參考點(diǎn)加入?yún)⒖键c(diǎn)序列,否則重新任選一點(diǎn)加入?yún)⒖键c(diǎn)序列;

(5)重復(fù)步驟(2)～ (4),直到最大誤差或者參考點(diǎn)數(shù)目滿足要求,確定最終參考點(diǎn)序列;

(6)根據(jù)最終參考點(diǎn)序列進(jìn)行RBF 插值,得到空間所有位置的網(wǎng)格尺度分布.

2.2 RBF 方法網(wǎng)格生成實(shí)例

本節(jié)仍然采用二維圓柱、NACA0012 翼型和30P30N 多段翼型作為考核算例,對(duì)RBF 方法進(jìn)行實(shí)例測(cè)試.算例中所采用的三角形網(wǎng)格生成算法仍為基于ANN 的陣面推進(jìn)法,具體可參考文獻(xiàn)[22].

RBF 基函數(shù)取為Wendland’s C0,緊支半徑取為計(jì)算域范圍大小的1/4.網(wǎng)格尺度控制對(duì)尺度插值誤差的要求不高,本文以尺度的最大相對(duì)誤差不超過(guò)5%為標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)行參考點(diǎn)序列精簡(jiǎn),表1 給出了采用貪婪算法對(duì)參考點(diǎn)進(jìn)行精簡(jiǎn)的結(jié)果,結(jié)果顯示對(duì)于翼型算例,精簡(jiǎn)序列后參考點(diǎn)數(shù)量至少減少一半,RBF 插值的耗時(shí)也減少了近一半,在保證了插值效果的同時(shí)提高了插值效率.

表1 RBF 方法參考點(diǎn)的數(shù)目及插值耗時(shí)Table 1 Number of reference nodes and time consumption on interpolation

圖5～ 圖7 給出了精簡(jiǎn)后的參考點(diǎn)的位置及根據(jù)精簡(jiǎn)參考點(diǎn)進(jìn)行尺度控制生成的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格.結(jié)果顯示RBF 方法能夠根據(jù)邊界網(wǎng)格尺度插值得到空間的網(wǎng)格尺度,插值得到的網(wǎng)格尺度分布過(guò)渡均勻.由于初始參考點(diǎn)的選擇是隨機(jī)的,參考點(diǎn)的分布具有一定的隨機(jī)性,但是均能夠保證插值誤差滿足要求.

圖5 圓柱算例精簡(jiǎn)后的參考點(diǎn)及網(wǎng)格生成情況Fig.5 Reference nodes corresponding triangular mesh over a 2D cylinder

圖6 NACA0012 算例精簡(jiǎn)后的參考點(diǎn)及網(wǎng)格生成情況Fig.6 Reference nodes and corresponding triangular mesh over NACA0012 airfoil

圖7 30P30N 算例精簡(jiǎn)后的參考點(diǎn)及網(wǎng)格生成情況Fig.7 Reference nodes and corresponding triangular mesh over 30P30N airfoil

3 基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的尺度控制方法

基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度學(xué)習(xí)具有較強(qiáng)的非線性擬合能力,能夠通過(guò)現(xiàn)有樣本數(shù)據(jù)的訓(xùn)練識(shí)別出數(shù)據(jù)中隱含的非線性映射關(guān)系.網(wǎng)格尺度分布實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于幾何特征、流場(chǎng)特征的非線性映射,如圖8 所示,幾何特征(物面曲率、狹縫、細(xì)小結(jié)構(gòu)等)可以直接影響網(wǎng)格尺度分布,幾何特征也可以決定流動(dòng)特征(梯度量等),從而間接決定網(wǎng)格分布.不同幾何外形的網(wǎng)格尺度分布不同,同一幾何外形在不同來(lái)流條件(流場(chǎng)特征)情況下,網(wǎng)格尺度分布也不同.

圖8 網(wǎng)格分布控制與幾何特征和流場(chǎng)特征的關(guān)系Fig.8 Relationship between mesh size control,geometry,and flow features

流場(chǎng)特征與幾何外形、來(lái)流條件和邊界條件相關(guān),目前采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法進(jìn)行流場(chǎng)預(yù)測(cè)是一個(gè)熱點(diǎn)研究問(wèn)題[25-26].而根據(jù)流場(chǎng)特征確定網(wǎng)格分布則可以根據(jù)網(wǎng)格自適應(yīng)的相關(guān)準(zhǔn)則進(jìn)行,也可以采用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行[27].本文初步考慮幾何外形對(duì)網(wǎng)格分布的影響,采用ANN 建立幾何特征與網(wǎng)格尺度分布之間的關(guān)系.

3.1 ANN 輸入輸出參數(shù)

Chedid 和Najiar 等[28]曾嘗試用ANN 建立起網(wǎng)格密度與幾何特征之間的關(guān)系,如圖9 所示,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入考慮了空間點(diǎn)gi到邊界點(diǎn)的最小距離 δ1,次小距離 δ2及其對(duì)應(yīng)的夾角a*和a**及到夾角對(duì)應(yīng)兩邊的投影距離j1a,j1b,j2a和j2b共8 個(gè)輸入?yún)?shù),輸出該空間點(diǎn)處的網(wǎng)格密度,定義為一定大小區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量.該方法能夠較為全面地反映空間點(diǎn)與邊界之間的幾何關(guān)系(距離及投影距離),以及空間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊界處的幾何特征(夾角、曲率),但計(jì)算量較大不利于提高尺度控制效率,同時(shí)由于無(wú)法網(wǎng)格局部加密控制,失去了對(duì)網(wǎng)格尺度控制的靈活性,因此優(yōu)勢(shì)并未得到發(fā)揮.

圖9 文獻(xiàn)[28]中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)Fig.9 Input parameters for the artificial neural network in Ref.[28]

為提高效率,本文初步選擇最小壁面距離wdist作為輸入?yún)?shù),網(wǎng)格尺度Sp作為輸出參數(shù).為提高ANN 的泛化性,其輸入輸出參數(shù)通常需要進(jìn)行歸一化操作,本文采用計(jì)算域的大小Lr_d,遠(yuǎn)場(chǎng)邊界網(wǎng)格尺度Lr_f和物面邊界網(wǎng)格尺度Lr_w對(duì)輸入輸出進(jìn)行分別歸一化.

同時(shí),由于從物面到遠(yuǎn)場(chǎng),網(wǎng)格尺度變化較大,網(wǎng)格尺度相對(duì)值可能在103量級(jí)以上,為盡量縮小輸入輸出的值域范圍,提高ANN 訓(xùn)練效果,本文對(duì)輸入輸出參數(shù)進(jìn)行開(kāi)根號(hào).此外,在物面附近網(wǎng)格尺度變化快,需要同時(shí)考慮物面參考值和遠(yuǎn)場(chǎng)參考值進(jìn)行歸一化,具體輸入輸出參數(shù)形式如表2 所示.

表2 ANN 輸入輸出模型Table 2 Parameter model for artificial neural network

3.2 訓(xùn)練方法及參數(shù)

本文基于Matlab 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練工具設(shè)計(jì)全連接的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)含有1 個(gè)輸入層,1 個(gè)隱藏層,1 個(gè)輸出層.輸入層含有1 個(gè)神經(jīng)元,輸出層含有1 個(gè)神經(jīng)元,隱藏層的神經(jīng)元數(shù)量為10 個(gè),激活函數(shù)采用Sigmoid 函數(shù),損失函數(shù)為均方誤差函數(shù),訓(xùn)練方法采用Levenberg-Marquardt 反向傳播方法,該方法比常規(guī)的梯度下降反向傳播算法訓(xùn)練效率更高,具體可以參考文獻(xiàn)[29].神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖10所示.

圖10 基于Matlab 的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練工具Fig.10 Artificial neural network training tool based on Matlab

選擇二維圓柱網(wǎng)格和NACA0012 翼型網(wǎng)格作為訓(xùn)練樣本,如圖11 所示,網(wǎng)格面?zhèn)€數(shù)分別為4295,3950,每個(gè)網(wǎng)格面對(duì)應(yīng)一組樣本數(shù)據(jù)點(diǎn).網(wǎng)格訓(xùn)練樣本按70%,15%和15%的比例隨機(jī)劃分為訓(xùn)練集、測(cè)試集和驗(yàn)證集,圖12 給出了在翼型三角形網(wǎng)格訓(xùn)練集上的Loss 值及在驗(yàn)證集上的預(yù)測(cè)精度收斂歷程.結(jié)果顯示:經(jīng)過(guò)120 次迭代后,Loss 值及預(yù)測(cè)誤差均下降到了0.001 58 左右.

圖11 網(wǎng)格分布訓(xùn)練樣本網(wǎng)格Fig.11 Sample grids for ANN training

圖12 訓(xùn)練Loss 值和精度收斂歷程Fig.12 Convergence of loss and accuracy on sample grids

3.3 ANN 預(yù)測(cè)結(jié)果

基于前述的ANN 訓(xùn)練結(jié)果,分別預(yù)測(cè)生成了不同密度的二維圓柱網(wǎng)格、NACA0012 密網(wǎng)格、RAE2822 翼型以及三段翼型,在物面附近和遠(yuǎn)場(chǎng)均取得了較好的效果,同時(shí)還能適應(yīng)不同遠(yuǎn)場(chǎng)大小的情況,如圖13 所示.算例中所采用的三角形網(wǎng)格生成算法仍為基于ANN 的陣面推進(jìn)法,具體可參考文獻(xiàn)[22].

圖13 ANN 模型各向同性網(wǎng)格預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.13 Mesh size controlled by ANN model for isotropic triangular grids

圖13 ANN 模型各向同性網(wǎng)格預(yù)測(cè)結(jié)果(續(xù))Fig.13 Mesh size controlled by ANN model for isotropic triangular grids (continued)

同時(shí),本文還將ANN 應(yīng)用于各向異性混合網(wǎng)格尺度控制,各向異性四邊形采用層推進(jìn)逐層推進(jìn)生成[30-32],而各向同性三角形采用基于ANN 的陣面推進(jìn)生成[22].層推進(jìn)的推進(jìn)方向、多方向推進(jìn)數(shù)量均采用ANN 預(yù)測(cè),同時(shí)在凹角處考慮局部推進(jìn)步長(zhǎng),避免網(wǎng)格相交,具體方法細(xì)節(jié)可以參考文獻(xiàn)[30].為與各向同性網(wǎng)格尺度控制相一致,本文將層推進(jìn)生成的最后一層網(wǎng)格作為虛擬物面,用于計(jì)算最小壁面距離,作為ANN 控制網(wǎng)格尺度的輸入?yún)?shù).另外,層推進(jìn)的網(wǎng)格尺度控制仍然采用指定物面第一層網(wǎng)格高度和增長(zhǎng)率的方式給定.圖14 給出了NA0012翼型和30P30N 三段翼型的生成結(jié)果.由圖中結(jié)果可見(jiàn),網(wǎng)格分布均勻合理,網(wǎng)格質(zhì)量滿足要求,說(shuō)明本文發(fā)展的ANN 方法可應(yīng)用于各向異性混合網(wǎng)格的尺度控制.

圖14 ANN 模型各向異性混合網(wǎng)格預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.14 Mesh size controlled by ANN model for anisotropic hybrid grids

4 背景網(wǎng)格法、RBF 方法與ANN 方法的比較

本文分別采用3 種方法生成了幾個(gè)典型幾何外形的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,其網(wǎng)格生成質(zhì)量、生成效率、尺度控制靈活性、自動(dòng)化程度等情況存在一定差別,本節(jié)對(duì)3 種方法進(jìn)行對(duì)比分析.

從網(wǎng)格質(zhì)量的角度,在網(wǎng)格尺度較小的部位,如翼型前后緣、狹縫等,背景網(wǎng)格法要求加密背景網(wǎng)格,以分辨最小網(wǎng)格尺度,而RBF 方法和ANN 方法不依賴于背景網(wǎng)格,因此在尺度較小的部位得到的尺度分布控制效果比采用矩形背景網(wǎng)格要好.

從自動(dòng)化程度和靈活性角度,采用在背景網(wǎng)格上設(shè)置點(diǎn)源控制網(wǎng)格分布,對(duì)分布的控制最為靈活,能夠根據(jù)幾何特征和流場(chǎng)特征預(yù)先設(shè)置點(diǎn)源來(lái)改變網(wǎng)格分布.而背景網(wǎng)格法需要人工設(shè)置點(diǎn)源,本文算例中,在遠(yuǎn)場(chǎng)和翼型附近人工設(shè)置數(shù)十個(gè)點(diǎn)源,每個(gè)點(diǎn)源人為給定強(qiáng)度、位置等參數(shù),需要一定的經(jīng)驗(yàn),自動(dòng)化程度較低.而RBF 方法和ANN 方法只需要給定離散的邊界節(jié)點(diǎn),就可以得到空間網(wǎng)格尺度分布,自動(dòng)化程度相對(duì)較高,但是靈活性較低.

從網(wǎng)格生成效率的角度,背景網(wǎng)格法需要在笛卡爾網(wǎng)格上迭代求解泊松方程,在背景網(wǎng)格很密時(shí),求解效率較低.而RBF 方法雖然需要求解矩陣的逆,但在引入貪婪算法之后,參考點(diǎn)數(shù)量減少,RBF 方法的效率得到提高.ANN 方法雖然需要求解最小壁面距離,但壁面距離的值并不需要十分精確,因此可以采用一些近似求法,也可以達(dá)到更高的效率.

表3 給出了3 種方法在生成網(wǎng)格過(guò)程中尺度控制所耗費(fèi)的時(shí)間,由于每種方法生成的網(wǎng)格單元數(shù)存在一定差異,因此表中也給出了網(wǎng)格單元數(shù)量.

表3 3 種方法控制網(wǎng)格尺度耗時(shí)對(duì)比Table 3 Efficiency comparison of the three methods

背景網(wǎng)格法耗時(shí)基本由背景網(wǎng)格的規(guī)模及點(diǎn)源的數(shù)量決定.在本文三個(gè)算例中,背景網(wǎng)格規(guī)模為51 × 51,301 × 301 和401 × 401,點(diǎn)源的數(shù)量大致為20 個(gè),因此在采用背景網(wǎng)格法時(shí),翼型算例耗時(shí)明顯增加.

由表3 中數(shù)據(jù)可見(jiàn),在背景網(wǎng)格數(shù)量較少時(shí),背景網(wǎng)格法的效率較高,但是隨著背景網(wǎng)格數(shù)量和點(diǎn)源數(shù)量的增加,背景網(wǎng)格法效率明顯下降.相較于傳統(tǒng)背景網(wǎng)格法,RBF 方法和ANN 方法的耗時(shí)明顯減少,耗時(shí)僅為背景網(wǎng)格法耗時(shí)的1/10～ 1/5,網(wǎng)格尺度控制效率相應(yīng)提高了5～ 10 倍.而且,在外形相對(duì)復(fù)雜的情況下,ANN 方法展現(xiàn)了更好的控制效率.可以預(yù)見(jiàn),在三維復(fù)雜外形情況下,ANN 的控制效果和效率會(huì)更高.

5 總結(jié)與展望

本文提出了一種采用ANN 進(jìn)行網(wǎng)格尺度分布控制的方法,初步確定了合理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入輸出參數(shù),基于Matlab 建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,采用商業(yè)軟件生成二維圓柱和NACA0012 翼型非結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格作為網(wǎng)格密度訓(xùn)練樣本,通過(guò)訓(xùn)練和學(xué)習(xí)建立起壁面距離和網(wǎng)格尺度的映射關(guān)系,實(shí)現(xiàn)了不同密度的二維圓柱和不同二維翼型的網(wǎng)格尺度預(yù)測(cè).同時(shí),發(fā)展了基于RBF 方法的網(wǎng)格尺度控制方法,采用貪婪算法對(duì)插值參考點(diǎn)序列進(jìn)行精簡(jiǎn),將RBF 插值效率提高了一倍.

與傳統(tǒng)背景網(wǎng)格法相比,基于ANN 方法和RBF方法的網(wǎng)格尺度預(yù)測(cè)效率提高5～10 倍,有助于進(jìn)一步提高網(wǎng)格生成效率.最后將基于ANN 的網(wǎng)格尺度控制方法拓展應(yīng)用于各向異性混合網(wǎng)格的尺度控制,得到的網(wǎng)格質(zhì)量滿足要求,證明了方法的實(shí)用性.

展望ANN 方法在尺度分布控制領(lǐng)域的應(yīng)用前景,在以往的CFD 研究和工程實(shí)踐中,已經(jīng)積累了大量各種類型的網(wǎng)格,其中包含了網(wǎng)格尺度分布信息.對(duì)已有的網(wǎng)格數(shù)據(jù)按照幾何外形進(jìn)行分類,訓(xùn)練得到可以處理不同類別幾何外形的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),在需要對(duì)新的幾何外形進(jìn)行網(wǎng)格尺度控制時(shí),只需選擇已經(jīng)訓(xùn)練好的該類別的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即可高效快速完成尺度控制.進(jìn)一步還可以考慮流場(chǎng)特征(來(lái)流條件),對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的適用范圍進(jìn)行細(xì)分,使得其能夠同時(shí)考慮幾何外形和流場(chǎng)特征進(jìn)行尺度控制.

可以進(jìn)一步考慮物面幾何曲率、局部特征尺寸(窄邊、狹縫)等參數(shù),提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化性,同時(shí)研究通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行流場(chǎng)預(yù)測(cè),并根據(jù)流場(chǎng)特征進(jìn)行網(wǎng)格自適應(yīng).