摘要：以角接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，運(yùn)用網(wǎng)格法和懲罰函數(shù)法進(jìn)行對(duì)比設(shè)計(jì)計(jì)算。兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本相同，但應(yīng)用網(wǎng)格法計(jì)算，速度快、計(jì)算數(shù)據(jù)更接近真實(shí)情況；應(yīng)有懲罰函數(shù)法計(jì)算，耗時(shí)大、且需要對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行調(diào)整以符合軸承設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。滾動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題屬于具有離散變量的小型約束優(yōu)化問(wèn)題，針對(duì)這一具體問(wèn)題，網(wǎng)格法較懲罰函數(shù)可操作性、實(shí)用性更強(qiáng)。

關(guān)鍵詞：角接觸球軸承；優(yōu)化設(shè)計(jì)；網(wǎng)格法；懲罰函數(shù)法

引言

我國(guó)采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)滾動(dòng)軸承已有近百年的歷史，且隨著計(jì)算機(jī)的普及應(yīng)用，利用其高速計(jì)算能力對(duì)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法進(jìn)行編程計(jì)算也早已成為可能。本文將重點(diǎn)介紹一下優(yōu)化算法在滾動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。滾動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，對(duì)此問(wèn)題有兩種解法，直接法或轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題求解。網(wǎng)格法是一種直接解法，在文獻(xiàn)[1]中介紹了一種間接解法，懲罰函數(shù)法。一般認(rèn)為，懲罰函數(shù)法較網(wǎng)格法容易理解，且易于編程實(shí)現(xiàn)，很多書籍對(duì)其都有大量說(shuō)明，但很少有文獻(xiàn)資料涉及網(wǎng)格法，但是通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在滾動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題上，網(wǎng)格法較懲罰函數(shù)法更加合適，現(xiàn)將兩種情況對(duì)比介紹如下。

1 滾動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程

滾動(dòng)軸承產(chǎn)品設(shè)計(jì)的正確與否對(duì)其性能、壽命和可靠性有著根本的影響，進(jìn)而也影響到主機(jī)的工作質(zhì)量。設(shè)計(jì)人員的職責(zé)是從所有可能的候選方案中選取最優(yōu)者。通用軸承的設(shè)計(jì)計(jì)算流程[2]（以角接觸球軸承為例）。由于對(duì)通用軸承來(lái)說(shuō)，第1層設(shè)計(jì)參數(shù)已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化，而第3、4層設(shè)計(jì)參數(shù)的確定又依賴于第2層設(shè)計(jì)參數(shù)，因此本文所進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計(jì)重點(diǎn)是第2層設(shè)計(jì)參數(shù)，即滾動(dòng)軸承主參數(shù)的設(shè)計(jì)。

滾動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)中，滾動(dòng)體直徑、數(shù)量、公稱接觸角、滾動(dòng)體中心圓直徑等均可作為設(shè)計(jì)變量。滾動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)屬于約束優(yōu)化問(wèn)題的范疇。同樣，根據(jù)具體的工作要求，可以對(duì)滾動(dòng)軸承提出不同的目標(biāo)函數(shù)。若軸承工作條件正常，主要的破壞方式是接觸疲勞，則對(duì)于給定輪廓尺寸的軸承，應(yīng)在最大的動(dòng)負(fù)荷情況下進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)；其他類型和工作場(chǎng)合的軸承還要求磨損壽命最長(zhǎng)、摩擦力矩最低、旋滾比最小等因素。滾動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)可以是單目標(biāo)的，也可以是多目標(biāo)的。以角接觸球軸承為例，說(shuō)明網(wǎng)格法和懲罰函數(shù)法在通用軸承設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，為保證軸承地壽命最長(zhǎng)，應(yīng)把目標(biāo)函數(shù)取為角接觸球軸承的最大動(dòng)負(fù)荷。

對(duì)于球軸承來(lái)說(shuō)，其最大動(dòng)載荷計(jì)Cr的計(jì)算式[3]如下所示：

其中bm為修正系數(shù)，i為球之列數(shù)，α為公稱接觸角。對(duì)雙列角接觸球軸承來(lái)說(shuō)， ，因此，角接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：

KW和βmax的取值與角接觸球軸承的直徑系列有關(guān)，fc的取值與Dw和 Dwp有關(guān)，均可查表取得，因此，優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為3個(gè)：Dw、Dwp和Z。以角接觸球軸承702/06，外形尺寸D=64mm，d=30mm，B=16mm，公稱接觸角a=25°為例進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，此時(shí)查表得Kwmin=0.34、Kwmax=0.41、βmax=194°。

2 網(wǎng)格法

網(wǎng)格法是解非線性規(guī)劃的一種方法，事實(shí)上它是一種窮舉法。其基本原理[4]是：首先把設(shè)計(jì)區(qū)間劃分為網(wǎng)格，逐一計(jì)算各網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并作可行性驗(yàn)證，通過(guò)比較目標(biāo)函數(shù)值的大小找出可行的最好點(diǎn)，然后再以該點(diǎn)周圍結(jié)點(diǎn)為界構(gòu)成新的設(shè)計(jì)區(qū)間，將網(wǎng)格加密尋找可行的最優(yōu)點(diǎn)。

對(duì)于702/06角接觸球軸承，可以計(jì)算出約束條件（1）和（2）的約束范圍，分別為：8.68mm≤Dw≤10.92mm，48mm≤Dwp≤57.42mm。將約束條件（1）和（2）作為邊界條件，對(duì)其所構(gòu)成的區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，以設(shè)計(jì)變量Dw和Dwp組成坐標(biāo)系，在其標(biāo)準(zhǔn)值相交處形成結(jié)點(diǎn)，共形成20組結(jié)點(diǎn)。分別驗(yàn)證這20組結(jié)點(diǎn)是否滿足約束條件（3），如果滿足，則進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)值的計(jì)算，并比較各目標(biāo)函數(shù)值的大小，記錄最大值；如不滿足，則放棄該組結(jié)點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果最優(yōu)結(jié)點(diǎn)為Dw=9.58mm、Dwp=48mm、Z=8個(gè)，此時(shí)Cr=19768N。

3 懲罰函數(shù)法

懲罰函數(shù)法是一種間接求解約束問(wèn)題的方法，將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題，然后調(diào)用無(wú)約束優(yōu)化方法求解。采用懲罰函數(shù)法對(duì)角接觸球軸承進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)，鋼球數(shù)量Z、鋼球直徑Dw及軸承中心距Dwp等均作為連續(xù)變量求解，再采用湊整法來(lái)求得符合軸承設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)解。

本例選用懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法，此時(shí)角接觸球軸承的數(shù)學(xué)模型需要略作改變?nèi)缦拢?/p>

角接觸球軸承優(yōu)化計(jì)算原函數(shù)中的fc取值與Dw和Dwp有關(guān)，可查表取得；bm取值為常數(shù)，可暫時(shí)忽略。

利用湊整法求得最優(yōu)解為x1=Z=8個(gè)、x2=Dw=9.58mm、x3=Dwp=48mm，計(jì)算出最大額定動(dòng)負(fù)荷Cr=19768N。計(jì)算結(jié)果與網(wǎng)格法計(jì)算結(jié)果相同。

4 結(jié)論

本文以角接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，運(yùn)用兩種優(yōu)化算法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果相同，但網(wǎng)格法簡(jiǎn)便易行、結(jié)果精確；而懲罰函數(shù)法需要構(gòu)造新的函數(shù)，計(jì)算復(fù)雜，因此對(duì)于角接觸球軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)這種變量較少的優(yōu)化問(wèn)題，網(wǎng)格法較懲罰函數(shù)便捷。

參考文獻(xiàn)：

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[3]岡本純?nèi)ㄈ眨┲?，黃志強(qiáng)譯，羅繼偉校.球軸承的設(shè)計(jì)計(jì)算[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

[4]任中全，寇子明，趙燦.現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)理論與方法[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，2003.

作者簡(jiǎn)介：張丹丹（1986-）女，漢族，山東交通技師學(xué)院