鄒 敏 方 潘 , 侯勇俊 , 彭 歡 王德金

* (西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,成都 610500)

? (石油天然氣裝備技術(shù)四川省科技資源共享服務(wù)平臺(tái),成都 610500)

引言

振動(dòng)同步可以表征為運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)根據(jù)內(nèi)部子系統(tǒng)之間的耦合效應(yīng)調(diào)整特征量的變化頻率,并使子系統(tǒng)的位移、速度等變量具有一致性和統(tǒng)一性.近年來,由于同步在非線性耦合混沌系統(tǒng)[1-2]、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[3]、多軸控制系統(tǒng)[4-5]、振動(dòng)篩系統(tǒng)[6-7]等工程技術(shù)中具有很高的應(yīng)用價(jià)值和良好的應(yīng)用前景,已成為國(guó)內(nèi)外重要科學(xué)研究課題之一.特別是在振動(dòng)篩分領(lǐng)域,自20 世紀(jì)中葉前蘇聯(lián)學(xué)者Blekhanm 首次對(duì)兩相同激振器同步給出理論解釋[8]后,利用偏心轉(zhuǎn)子同步激勵(lì)振動(dòng)質(zhì)體便開始用于實(shí)現(xiàn)物料的篩選與分級(jí).按照振動(dòng)篩的振動(dòng)軌跡分類,至今共發(fā)展了四類振動(dòng)篩:圓振動(dòng)篩、直線同步振動(dòng)篩、平動(dòng)橢圓同步振動(dòng)篩和雙軌跡同步振動(dòng)篩[9].在整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)中,激振電機(jī)的同步狀態(tài)是影響振動(dòng)篩工作效率的核心因素.

目前針對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)同步機(jī)理和實(shí)驗(yàn)的研究主要側(cè)重于單頻激勵(lì)多電機(jī)振動(dòng)系統(tǒng).比如,趙春雨等[10-11]根據(jù)異步電機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理導(dǎo)出以角轉(zhuǎn)速為變量的電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式,從而進(jìn)一步探究振動(dòng)系統(tǒng)在同轉(zhuǎn)速偏心塊激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)行為和同步穩(wěn)定性理論,并有效解決了若干工程實(shí)際問題.通過將剛性轉(zhuǎn)子安裝在兩個(gè)彈性阻尼支座上,Sperling 等[12]提出一種帶有雙平面自動(dòng)平衡裝置的轉(zhuǎn)子同步模型,并根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算后發(fā)現(xiàn),當(dāng)轉(zhuǎn)子速度高于系統(tǒng)最大共振轉(zhuǎn)速范圍時(shí),系統(tǒng)可以有效補(bǔ)償剛性轉(zhuǎn)子的離心力和不平衡力矩從而獲得同步振動(dòng).Balthazar等[13-14]基于數(shù)值模擬定量地分析了非線性振動(dòng)系統(tǒng)中4 個(gè)非理想激振器安裝于柔性支撐結(jié)構(gòu)的同步運(yùn)動(dòng),表明在共振頻率階段的Sommerfeld 效應(yīng)顯著影響激振電機(jī)的同步性.上述學(xué)者從振動(dòng)力學(xué)理論角度研究了單頻自同步振動(dòng)系統(tǒng)的同步機(jī)理,但是忽略了系統(tǒng)的機(jī)電耦合動(dòng)力特性.針對(duì)機(jī)電耦合誘導(dǎo)的單頻振動(dòng)系統(tǒng)同步傳動(dòng)行為,侯勇俊等[15-16]考慮電機(jī)系統(tǒng)與振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)之間的相互影響,采用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論成功構(gòu)造三機(jī)橢圓振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型,揭示轉(zhuǎn)子與振動(dòng)質(zhì)體間同步傳動(dòng)的機(jī)電耦合機(jī)理.方潘等[17]在侯勇俊的研究基礎(chǔ)上將振動(dòng)電機(jī)視為與擺桿耦合的擺動(dòng)電機(jī),并成功把單自由度轉(zhuǎn)子耦合擺裝置同步問題轉(zhuǎn)化為研究質(zhì)體瞬時(shí)響應(yīng)解的存在性和穩(wěn)定性.然而,該系統(tǒng)受限于質(zhì)體單一振動(dòng)方向而不適用于實(shí)際篩分工程.所以文獻(xiàn)[18-19]更深入探討了多轉(zhuǎn)子耦合擺電機(jī)的多自由度振動(dòng)同步特性,并引入相鄰交叉耦合控制策略實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的橢圓篩分軌跡和零相位控制同步.Zhang等[20-22]運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)理論推導(dǎo)了多個(gè)同頻驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子與圓柱滾子耦合的同步運(yùn)動(dòng)方程,并結(jié)合實(shí)驗(yàn)平臺(tái)討論了滾子與轉(zhuǎn)子之間的同步傳動(dòng)機(jī)理與動(dòng)態(tài)特性.以上研究?jī)H僅闡述了由相同激振器驅(qū)動(dòng)振動(dòng)機(jī)械的動(dòng)力學(xué)理論,將它們應(yīng)用到振動(dòng)篩分工程后發(fā)現(xiàn),物料的篩分能力并沒有得到顯著提升.主要原因是不同粒徑顆粒在單一頻率激勵(lì)下受到相同激振力作用,一旦形成篩網(wǎng)堵塞將會(huì)影響系統(tǒng)透篩率.而倍頻振動(dòng)系統(tǒng)單周期內(nèi)由于受到不同形式的激振力,物料運(yùn)動(dòng)更為活躍的同時(shí)有助于減小篩堵概率.

針對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的雙頻同步行為已有學(xué)者做出一些試探性研究,以提高系統(tǒng)物料分級(jí)與篩分能力.Modrzewski 和Wodzinski[23-24]設(shè)計(jì)了3 種不同類型振動(dòng)篩用于研究礦物廢棄物的分離特性,實(shí)驗(yàn)對(duì)比表明雙頻系統(tǒng)的同步行為和篩選能力優(yōu)于其他振動(dòng)結(jié)構(gòu),但是缺乏振動(dòng)系統(tǒng)的理論支撐.姚運(yùn)仕等[25-26]則提出了一種采用單電機(jī)輪系傳動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)激振器兩種不同頻率的強(qiáng)迫同步,然而受激振器回轉(zhuǎn)振動(dòng)和箱體振動(dòng)的影響,輪系承受較大的沖擊載荷和慣性載荷容易引發(fā)齒輪疲勞失效.馮忠緒等[27]引入運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程闡述了雙頻振動(dòng)篩的工作原理,卻并沒有對(duì)雙頻振動(dòng)系統(tǒng)的模型做出修正,缺陷依然存在.因此,有必要采用雙頻激勵(lì)多電機(jī)自同步振動(dòng)系統(tǒng)(激振器之間無強(qiáng)迫同步的輪系)來實(shí)現(xiàn)雙頻振動(dòng)系統(tǒng)的同步運(yùn)動(dòng),以提高振動(dòng)篩的壽命與可靠性.根據(jù)振動(dòng)系統(tǒng)的能量傳遞過程,文獻(xiàn)[28]引入Lyapunov一次近似理論從數(shù)學(xué)上證明了雙轉(zhuǎn)子二倍頻系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定同步運(yùn)動(dòng)是可行的,但忽視了結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性和同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響.Zou等[9,29]雖然根據(jù)同步性條件討論了遠(yuǎn)共振系統(tǒng)中雙電機(jī)倍頻同步范圍,并從同步控制角度出發(fā)利用計(jì)算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定零相位差控制同步,但是并沒有通過數(shù)值計(jì)算定量探討系統(tǒng)的內(nèi)在耦合特性,同時(shí)缺乏實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其研究的正確性,無法全面揭示振動(dòng)系統(tǒng)的雙頻同步機(jī)理.

綜上所述,現(xiàn)有研究對(duì)倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)同步機(jī)理和動(dòng)力學(xué)特性分析尚未明確,從而對(duì)系統(tǒng)的同步溯源缺少充分的理論依據(jù).本文將圍繞倍頻振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)同步機(jī)理、同步特征參數(shù)定量計(jì)算、模擬仿真以及振動(dòng)實(shí)驗(yàn)測(cè)試四個(gè)方面展開研究.重點(diǎn)討論了轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量、電機(jī)安裝位置、支撐彈簧剛度以及偏心半徑等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)倍頻同步狀態(tài)的影響,通過實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)不同工況下的箱體以及轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行深入比較與分析,驗(yàn)證了倍頻振動(dòng)同步理論研究的正確性,為研制新型非常規(guī)軌跡的振動(dòng)機(jī)械提供了較好的理論依據(jù).

1 數(shù)學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

為掌握電機(jī)驅(qū)動(dòng)偏心轉(zhuǎn)子之間的倍頻同步運(yùn)動(dòng)機(jī)制,研究箱體沿各自由度的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),本節(jié)旨在推導(dǎo)出振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.如下圖1 所示為倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型.質(zhì)量為m0的箱體與系統(tǒng)基座之間采用4 個(gè)壓縮彈簧進(jìn)行彈性連接,其中彈簧元件沿x,y,ψ自由度的剛度系數(shù)分別考慮為kx,ky,kψ,阻尼系數(shù)fx,fy,fψ分別表征彈簧在能量釋放和吸收過程中沿x,y,ψ方向上的能量耗散.高頻激振電機(jī)(即二極感應(yīng)電機(jī)1)和低頻激振電機(jī)(即四極感應(yīng)電機(jī)2)固定安裝于箱體之上,分別以轉(zhuǎn)速(i=1,2)驅(qū)動(dòng)質(zhì)量為mi的偏心塊作同向回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).將兩偏心塊等效為偏心距均是r的質(zhì)點(diǎn),可以看出振動(dòng)系統(tǒng)所需的激振力是由轉(zhuǎn)子的離心運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生.定義偏心塊i繞自身旋轉(zhuǎn)中心oi轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)相位角為φi;箱體的瞬時(shí)擺動(dòng)角為ψ;系統(tǒng)質(zhì)心至電機(jī)軸i的安裝距離為li;直線oio″與坐標(biāo)軸o″x″之間的夾角為βi.當(dāng)兩電機(jī)在動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系x″o″y″中同步運(yùn)行時(shí),固定坐標(biāo)系xoy可通過圖2 的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原則得到.

圖1 倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematical model of the vibration system actuated with double-frequency and dual-rotor

圖2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原則Fig.2 Principle of coordinate transformation

當(dāng)系統(tǒng)處于振動(dòng)狀態(tài)時(shí),高頻轉(zhuǎn)子坐標(biāo)矩陣Φ1″和低頻轉(zhuǎn)子坐標(biāo)矩陣Φ2″在動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系x″o″y″中可分別描述為

動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系x″o″y″固定于箱體之上,實(shí)時(shí)地跟隨系統(tǒng)作位移振動(dòng)和擺動(dòng);移動(dòng)坐標(biāo)系x′o′y′可通過x″o″y″繞質(zhì)心o″旋轉(zhuǎn)得到;固定坐標(biāo)系xoy可通過移動(dòng)x′o′y′得到.Φi和Φi″的坐標(biāo)矩陣轉(zhuǎn)換方程為

式中,Φi為第i個(gè)轉(zhuǎn)子的固定坐標(biāo)矩陣;[xy]T為系統(tǒng)質(zhì)心沿x,y方向的幅值矩陣;K為變換矩陣.根據(jù)式(1)和式(2),獲得各轉(zhuǎn)子在平面xoy內(nèi)的固定坐標(biāo)

分析整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化過程,由轉(zhuǎn)子驅(qū)動(dòng)箱體產(chǎn)生的系統(tǒng)總動(dòng)能E為

考慮各電機(jī)軸的摩擦系數(shù)分別是f1,f2,則由電機(jī)軸的摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)以及彈簧能量吸收和釋放過程中形成的系統(tǒng)總耗散能D為

倍頻激勵(lì)雙電機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)完整系統(tǒng),將系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)矩陣和各自由度的廣義力矩陣分別考慮為q=[xyψφ1φ2] 和Q=[0 0 0Me1-Re1Me2-Re2].同時(shí)引入下列廣義Lagrange 方程建立力學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)微分方程[20]

在振動(dòng)工程應(yīng)用中,箱體的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于偏心塊的質(zhì)量,即m0mi;箱體的擺動(dòng)角度遠(yuǎn)小于1,即ψ1.因此可以忽略由激振電機(jī)安裝誤差造成的耦合慣性矩,把倍頻激振器驅(qū)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)視為一個(gè)多自由度系統(tǒng).將式(4)～式(6)代入方程(7),并考慮系統(tǒng)總質(zhì)量M=m0+m1+m2,獲得倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)微分方程

2 倍頻振動(dòng)同步機(jī)理

2.1 系統(tǒng)各自由度響應(yīng)近似解

式(8)是關(guān)于x,y,ψ,φ1,φ2的動(dòng)力學(xué)耦合方程.若兩個(gè)轉(zhuǎn)子均以各自額定轉(zhuǎn)速同步振動(dòng)時(shí),激振電機(jī)作為系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)源同樣分別以角速度和運(yùn)行.此時(shí)波動(dòng)很小,可對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程中的角加速度忽略不計(jì).為獲得方程的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)近似解,將系統(tǒng)參數(shù)分別替換為下列無量綱參數(shù)形式

采用復(fù)變函數(shù)規(guī)則求解[30],可推導(dǎo)出箱體的周期性幅值響應(yīng)解為

式中,ρc1,ρc2分別是激振器1 和2 沿c方向的振幅放大因子; γc1,γc2分別是激振器1 和2 沿c方向的滯后相位角.

2.2 系統(tǒng)倍頻自同步準(zhǔn)則

通過偏心塊間相位差的變化趨勢(shì)可反映出兩臺(tái)激振電機(jī)的同步特性,從而揭示振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征.在同步振動(dòng)過程中,以低頻電機(jī)的特性參數(shù)為基準(zhǔn),兩轉(zhuǎn)子的平均相位為φ=(φ1/2+φ2)/2.高頻轉(zhuǎn)子與低頻轉(zhuǎn)子的瞬時(shí)相位角可分別表示如下

在單頻激勵(lì)的振動(dòng)系統(tǒng)中,其同步穩(wěn)定性通過轉(zhuǎn)子間的真實(shí)相位差值表示.然而在倍頻激勵(lì)的振動(dòng)同步系統(tǒng)中,真實(shí)相位差φ1-φ2=φ+3α0是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù),即φ1-φ2不穩(wěn)定,無法用于揭示倍頻同步機(jī)理.因此,考慮到兩振動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速關(guān)系,可定義倍頻激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)的相位差為

依據(jù)修正的小參數(shù)平均法[10,20],雖然轉(zhuǎn)子平均角速度是一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的慢變參量,但是當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)同步振動(dòng)時(shí),依然可以視為在ωm附近周期性波動(dòng).以低頻轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)特性為基準(zhǔn),將其最小正周期T作為時(shí)域上的積分區(qū)間,此時(shí)在T內(nèi)積分應(yīng)視為常數(shù)

引入擾動(dòng)參數(shù)ε1與ε2分別表征與在瞬時(shí)狀態(tài)下的波動(dòng)程度,可寫為

當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到同步振動(dòng)時(shí),偏心塊的轉(zhuǎn)速不產(chǎn)生變化,說明電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩近似等于電磁轉(zhuǎn)矩,即實(shí)際輸出轉(zhuǎn)矩與驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡的狀態(tài).而在能量傳遞和能量耦合振動(dòng)過程中,電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩值是時(shí)變的,需要通過轉(zhuǎn)子1 和2 在周期T內(nèi)的微分運(yùn)動(dòng)方程的積分平均值來表征.因此先采用式(11)計(jì)算得到參數(shù),然后將其代入方程(8)后兩式中并積分求平均,忽略擾動(dòng)參數(shù)εi的高階無窮小項(xiàng)的影響,則兩轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)平衡方程可以推導(dǎo)出

式中

式中,Mi是電機(jī)i的輸入轉(zhuǎn)矩;ki是電機(jī)i在額定轉(zhuǎn)速運(yùn)行時(shí)的剛度系數(shù);npi是電機(jī)i的磁極對(duì)數(shù),np1=1,np2=2;Lmi和Lsi分別是電機(jī)i的互感系數(shù)和定子電感;Rri是電機(jī)i的轉(zhuǎn)子阻抗;Us是電機(jī)額定電壓;ωi是電機(jī)i的額定激振頻率;ωs是電網(wǎng)供電頻率.

重新整理方程(18),將其寫成與電磁轉(zhuǎn)矩有關(guān)的一階微分方程的矩陣形式

式中,方程(23)稱為振動(dòng)系統(tǒng)耦合方程,反映了倍頻激勵(lì)下兩個(gè)偏心塊之間的耦合運(yùn)動(dòng)關(guān)系.P為與轉(zhuǎn)子加速度有關(guān)的慣性耦合矩陣;Q為與轉(zhuǎn)子角速度有關(guān)的剛度耦合矩陣;R為各電機(jī)軸上的電磁轉(zhuǎn)矩與負(fù)載轉(zhuǎn)矩之差.當(dāng)激振器之間達(dá)到穩(wěn)定的同步振動(dòng),擾動(dòng)參數(shù)矩陣和的值與振動(dòng)電機(jī)的激勵(lì)頻率相比可忽略,其變化量在T內(nèi)的平均波動(dòng)是零,即.將它代入耦合方程(23),兩電機(jī)軸間的平衡轉(zhuǎn)矩方程可以描述為通過分析方程(25)可以確定振動(dòng)系統(tǒng)倍頻激勵(lì)下的自同步準(zhǔn)則.第一式表示兩振動(dòng)電機(jī)的電磁輸出轉(zhuǎn)矩之和,ωm(2f1+f2)表示兩振動(dòng)電機(jī)軸上的摩擦力矩之和,其余項(xiàng)表示振動(dòng)系統(tǒng)在倍頻激勵(lì)下的負(fù)載轉(zhuǎn)矩之和.因此第一式揭示了兩電機(jī)同步狀態(tài)下的電磁轉(zhuǎn)矩之和與激振器摩擦力矩以及負(fù)載轉(zhuǎn)矩的總和相等.方程(25)中第二式表示兩電機(jī)以各自額定激振頻率工作時(shí)的轉(zhuǎn)矩差分方程.高頻電機(jī)與低頻電機(jī)之間的電磁轉(zhuǎn)矩以彈性振動(dòng)體為媒介相互傳遞,通過調(diào)節(jié)兩個(gè)轉(zhuǎn)子之間的瞬時(shí)相位差來平衡兩個(gè)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩的差值,以保證高頻轉(zhuǎn)子與低頻轉(zhuǎn)子達(dá)到倍頻自同步狀態(tài).根據(jù)上述差分方程并考慮相應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)可以反解得到系統(tǒng)同步相位差值.另外Ws與Wc分別是與滯后相位γci(c=x,y,ψ;i=1,2)有關(guān)的正弦系數(shù)和余弦系數(shù).由于箱體的支撐彈簧在各方向的相對(duì)阻尼系數(shù)ξc普遍較小,則存在于Ws中與滯后相位有關(guān)的正弦項(xiàng)可忽略.最后,方程(25)第二式可以進(jìn)一步整理為

式中,Tri為電機(jī)i的剩余轉(zhuǎn)矩;Td為兩電機(jī)間的剩余轉(zhuǎn)矩之差;Tsyn為系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)倍頻同步的同步轉(zhuǎn)矩.由式(27)可以看出,振動(dòng)系統(tǒng)在倍頻激勵(lì)下的同步相位差值是由參數(shù)Td,Tsyn和θc共同確定的,而它們又依賴于激振器安裝在箱體上的位置結(jié)構(gòu)、偏心質(zhì)量大小、支撐彈簧剛度等一系列參數(shù).因此振動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)子的倍頻同步狀態(tài)產(chǎn)生影響.根據(jù)三角函數(shù)的有界性原則,獲得雙轉(zhuǎn)子倍頻同步運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)則為

作為實(shí)現(xiàn)倍頻同步振動(dòng)的必要條件,兩臺(tái)電機(jī)之間輸出剩余轉(zhuǎn)矩差的絕對(duì)值不能超過系統(tǒng)達(dá)到倍頻同步的同步轉(zhuǎn)矩.兩臺(tái)激振器之間的同步轉(zhuǎn)矩越大,系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)行越理想,利用數(shù)值解法即可求出式(27)中倍頻激勵(lì)下的同步相位差.

為充分理解具有雙頻率激勵(lì)特點(diǎn)的系統(tǒng)同步能力,規(guī)定倍頻同步能力指數(shù)ξ

式中,ML=m2r2ωm2(2Ws1+Ws2/2+Wc0+Ws0),表示兩振動(dòng)電機(jī)的最大負(fù)載轉(zhuǎn)矩.同步能力指數(shù)ξ反映了激振器所承受的最大負(fù)載轉(zhuǎn)矩與倍頻同步轉(zhuǎn)矩比值的絕對(duì)值.若ξ越趨近于零,系統(tǒng)獲得同步運(yùn)動(dòng)的可行性越大.

2.3 系統(tǒng)倍頻同步穩(wěn)定判據(jù)

根據(jù)式(27)反解得出的相位差可能會(huì)存在多解的情況,其中哪一個(gè)值具有同步狀態(tài)的穩(wěn)定性,使得系統(tǒng)能夠以二倍激勵(lì)頻率穩(wěn)定地同步振動(dòng),需要利用Poincare-Lyapunov 方法確定[17].即考慮Pi存在一組特定參數(shù),滿足下列n-1 階特征方程

若上述行列式的特征根δi(i=1,2,···,n-1)實(shí)部全部是負(fù)值,則參數(shù)的值具有唯一性,系統(tǒng)擁有周期性的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解;若所有特征根δi實(shí)部至少存在一個(gè)是正值,則系統(tǒng)的響應(yīng)解是非穩(wěn)態(tài)的;若所有特征根δi中部分實(shí)部是零并且其他根實(shí)部均是負(fù)值,則系統(tǒng)的響應(yīng)解穩(wěn)定性由中心流形定理界定.

結(jié)合式(18)和式(31),由倍頻激勵(lì)雙偏心塊的同步穩(wěn)定判別式可寫為

轉(zhuǎn)子同步狀態(tài)的穩(wěn)定性決定振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,各自由度的瞬態(tài)響應(yīng)解的穩(wěn)定性依賴于振動(dòng)電機(jī)的安裝參數(shù)、支承彈簧的剛度系數(shù)和偏心質(zhì)量等.系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)滿足式(29)和式(32)的前提條件下,穩(wěn)定的倍頻同步振動(dòng)能夠獲得,即式(27)的穩(wěn)態(tài)相位差具有唯一性.由于是一個(gè)負(fù)數(shù),式(32)簡(jiǎn)化為

3 數(shù)值計(jì)算與討論

第2 節(jié)以數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式詳細(xì)探究了倍頻轉(zhuǎn)子間的同步性與穩(wěn)定性判據(jù)以及遠(yuǎn)共振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)耦合機(jī)理.可知,系統(tǒng)的同步運(yùn)動(dòng)特性主要取決于轉(zhuǎn)子的質(zhì)量比、振動(dòng)電機(jī)位置結(jié)構(gòu)和彈簧剛度等參數(shù).針對(duì)轉(zhuǎn)子同步狀態(tài)與系統(tǒng)各參數(shù)之間的關(guān)系,本節(jié)將運(yùn)用數(shù)值計(jì)算對(duì)其進(jìn)行定量的討論.分析結(jié)果為后續(xù)倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模擬和同步特性實(shí)驗(yàn)研究提供重要的理論依據(jù).為便于計(jì)算,考慮兩電機(jī)安裝距離l1=l2=l,即rl1=rl2=rl.系統(tǒng)基本參數(shù)值如下:m0=92 kg,m1=2 kg,Jm=10 kg·m2,m2=2～ 3.5 kg (η2=0.02～ 0.035),β1=2π/3～5π/6 rad,β2=π/6～ π/3 rad,fx=fy=300～ 3000 N·s/m,fψ=50～ 500 N·m·s/rad (ξx=ξy=ξψ=0.03～ 0.5),kx=ky=1 × 103～ 2 × 107N/m,kψ=1 × 102～ 5 × 106N·m/rad (λx=λy=λψ=0.02～ 2.85),l=0～ 3.6 m (rl=0～ 12).

3.1 振動(dòng)同步范圍分析

根據(jù)式(29),高頻轉(zhuǎn)子與低頻轉(zhuǎn)子之間的同步條件可以通過轉(zhuǎn)子輸出剩余轉(zhuǎn)矩差和系統(tǒng)同步轉(zhuǎn)矩的關(guān)系來反映.設(shè)安裝距離rl以及激振器質(zhì)量比η12為自由變量,在轉(zhuǎn)子2 的不同偏心質(zhì)量下出現(xiàn)同步運(yùn)動(dòng)的區(qū)域如圖2 和圖3 所示.當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)無法滿足同步運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)則時(shí)的非同步區(qū)域用黑色指示標(biāo)記,藍(lán)色范圍表示系統(tǒng)在此狀態(tài)下可以出現(xiàn)同步振動(dòng).可見,倍頻激勵(lì)下雙轉(zhuǎn)子同步區(qū)域遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不適用于同步運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)則的區(qū)域.振動(dòng)電機(jī)軸至系統(tǒng)質(zhì)心的安裝距離與激振器質(zhì)量比越大,兩電機(jī)之間更容易獲得倍頻同步運(yùn)動(dòng).同時(shí),隨著低頻轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量的增加,雙頻振動(dòng)系統(tǒng)的非同步范圍逐漸減小.由此可知,實(shí)現(xiàn)不同頻率之間同步振動(dòng)的可行性受結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響.在實(shí)際工程應(yīng)用中,通過選擇有效的系統(tǒng)參數(shù),可以滿足振動(dòng)系統(tǒng)不同的同步特性和工業(yè)要求.

圖3 倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)同步范圍Fig.3 Synchronization region of two rotors driven by double-frequency

3.2 倍頻同步能力分析

按照式(30),已利用數(shù)值計(jì)算方法發(fā)現(xiàn)電機(jī)在箱體上傾角βi的變化不影響轉(zhuǎn)子倍頻同步能力,本小節(jié)不再討論.給定β1=120°,β2=60°,圖4 揭示了振動(dòng)系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量和偏心半徑下,振動(dòng)電機(jī)的安裝距離對(duì)倍頻轉(zhuǎn)子同步能力指數(shù)的變化規(guī)律.可以看出,隨著低頻轉(zhuǎn)子質(zhì)量參數(shù)η2的增大,系統(tǒng)同步指數(shù)將會(huì)逐漸減小.意味著增加低頻轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量有利于提高振動(dòng)系統(tǒng)的有效激振力,兩電機(jī)通過箱體的彈性振動(dòng)和能量傳遞使得轉(zhuǎn)子間的耦合量增加,從而提高系統(tǒng)的同步能力.同時(shí),以rl=1附近為界線,左邊部分的同步指數(shù)對(duì)rl變化的敏感性程度明顯大于右邊,原因在于縮短電機(jī)旋轉(zhuǎn)中心至箱體質(zhì)心的距離容易造成電機(jī)間用于平衡自身電磁轉(zhuǎn)矩達(dá)到同步狀態(tài)的可調(diào)節(jié)量不足.當(dāng)rl＞ 1 時(shí),ξ的變化幅度趨于平緩,并最終以很小的斜率無限接近于零值附近,表明箱體獲得倍頻同步振動(dòng)的可行性也越來越高,該結(jié)果符合3.1 節(jié)的倍頻同步范圍分析.對(duì)比圖4(a)～4(d),顯示轉(zhuǎn)子的偏心半徑參數(shù)ro不影響系統(tǒng)同步指數(shù)的整體變化趨勢(shì),只改變?chǔ)卧谙鄳?yīng)的ro和rl取值下的值域.另一方面,若β2=60°,ro=0.16 時(shí),對(duì)于電機(jī)距離參數(shù)rl分別取1,3,5,7,質(zhì)量參數(shù)η2分別為0.02,0.025,0.03,0.035 時(shí),不同支撐彈簧剛度值對(duì)系統(tǒng)倍頻同步能力的影響如圖5所示.可見,由于振動(dòng)系統(tǒng)具有兩個(gè)不同的激勵(lì)頻率,導(dǎo)致圖中共出現(xiàn)兩個(gè)共振區(qū)域,分別位于2.46 × 106N/m 和9.86 × 106N/m 附近.此時(shí),系統(tǒng)各自由度的固有頻率和系統(tǒng)的外界激勵(lì)頻率接近,即系統(tǒng)處于近共振狀態(tài),頻率比λx=λy=λψ=1,無法出現(xiàn)激振器穩(wěn)定的倍頻同步狀態(tài)和箱體的周期性振動(dòng).

圖4 當(dāng)β1=120°,β2=60°時(shí)的倍頻同步能力Fig.4 Double-frequency synchronization capacity with β1=120°,β2=60°

圖5 當(dāng)β2=60°,ro=0.16 時(shí)的倍頻同步能力Fig.5 Double-frequency synchronization capacity with β2=60°,ro=0.16

3.3 倍頻同步轉(zhuǎn)矩分析

根據(jù)振動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩差分方程(25) 第2 式和式(27),高頻電機(jī)與低頻電機(jī)通過箱體的彈性耦合以及動(dòng)能、勢(shì)能與電能等能量之間的相互轉(zhuǎn)化,使得偏心塊以各自額定轉(zhuǎn)速同步驅(qū)動(dòng)的同時(shí),其電機(jī)軸上的電磁轉(zhuǎn)矩可以達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡.因此,振動(dòng)系統(tǒng)的倍頻同步行為問題可以轉(zhuǎn)換為對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系研究.根據(jù)倍頻同步準(zhǔn)則(29)與同步穩(wěn)定判別式(33),倍頻同步轉(zhuǎn)矩參數(shù)Tsyn由常數(shù)和余弦系數(shù)Wc兩個(gè)因式組成,所以Wc不僅直接影響系統(tǒng)同步轉(zhuǎn)矩的變化,還決定系統(tǒng)同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的穩(wěn)定性,可將Wc等效為倍頻同步轉(zhuǎn)矩.已確定電機(jī)傾斜角βi的取值幾乎不影響系統(tǒng)倍頻同步轉(zhuǎn)矩.因此,如圖6 所示運(yùn)用數(shù)值計(jì)算探究了不同轉(zhuǎn)子的偏心距和偏心質(zhì)量下,位置參數(shù)rl與倍頻同步轉(zhuǎn)矩值的關(guān)系.可以看出,當(dāng)rl=0 時(shí),倍頻同步轉(zhuǎn)矩值同樣為零,此時(shí)不滿足式(29)和式(33),即兩電機(jī)無法實(shí)現(xiàn)倍頻振動(dòng).隨著安裝距離的不斷增加,Wc的值逐漸增大,表明轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)同步的能力越容易,這與3.2 節(jié)的研究結(jié)果相一致.另外假設(shè)rl不變,倍頻同步轉(zhuǎn)矩Wc的值將隨著轉(zhuǎn)子2 質(zhì)量的增大而增加,說明在保證電機(jī)所能承受最大負(fù)載的前提下,適當(dāng)增大低頻轉(zhuǎn)子的質(zhì)量有利于提高系統(tǒng)的同步性.對(duì)比圖6(a)～6(d),討論了轉(zhuǎn)子的偏心半徑ro只會(huì)改變Wc在相應(yīng)的ro和rl取值下的值域,并不會(huì)影響振動(dòng)系統(tǒng)倍頻同步轉(zhuǎn)矩的整體變化趨勢(shì).

圖6 當(dāng)β1=120°,β2=60°時(shí)的倍頻同步轉(zhuǎn)矩Fig.6 Double-frequency synchronization torque with β2=60°,ro=0.16

3.4 雙轉(zhuǎn)子倍頻同步狀態(tài)分析

雙轉(zhuǎn)子倍頻同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是由高低頻振動(dòng)電機(jī)以及剛性箱體之間的耦合振動(dòng)效應(yīng)形成的,其值的穩(wěn)定性決定了振動(dòng)系統(tǒng)沿各自由度的位移響應(yīng)和動(dòng)力學(xué)特性,是評(píng)估系統(tǒng)同步振動(dòng)的最重要數(shù)字特征.考慮不同的電機(jī)傾斜角βi,根據(jù)上述倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子同步理論推導(dǎo),電機(jī)位置結(jié)構(gòu)參數(shù)rl、支撐彈簧剛度值kx和ky以及雙轉(zhuǎn)子相位差近似穩(wěn)態(tài)值α之間的關(guān)系如圖7 所示,數(shù)值計(jì)算的正確性將在接下來的模擬仿真和實(shí)驗(yàn)研究中得到驗(yàn)證.關(guān)于機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)類型可分為:系統(tǒng)1/λc＜ 0.9 時(shí)是亞共振系統(tǒng);0.9 ≤ 1/λc≤ 1.1 是近共振系統(tǒng);1.1 ≤ 1/λc≤ 3 是遠(yuǎn)共振系統(tǒng);1/λc＞ 3 是超遠(yuǎn)共振系統(tǒng)[22].本文考慮系統(tǒng)的kx=ky,kψ可由kx和ky換算得到,kx和ky的取值范圍為1 × 103N/m ＜kx=ky＜ 2 × 105N/m,即頻率比1/λx=1/λy=1/λψ＞ 3.5,研究對(duì)象確定為超遠(yuǎn)共振系統(tǒng).由圖7 可知,當(dāng)β1=150°,β2=30°時(shí),隨著安裝距離rl的增加,實(shí)現(xiàn)倍頻振動(dòng)的穩(wěn)定同步狀態(tài)值α在剛度系數(shù)不變的情況下逐漸減小并最終趨于-1.55 rad 附近.同時(shí),考慮rl為一常數(shù),可見x和y方向彈簧剛度系數(shù)的增加幾乎不影響兩振動(dòng)電機(jī)的穩(wěn)態(tài)相位差值的變化情況.若改變兩振動(dòng)電機(jī)的傾斜角度,即增加各電機(jī)的βi值,圖7(b)的同步狀態(tài)變化規(guī)律類似于圖7(a),但明顯兩倍頻激勵(lì)的轉(zhuǎn)子相位差的值域發(fā)生變化,此時(shí)系統(tǒng)同步狀態(tài)趨近于-1.96 rad 附近.另外圖7(c)和7(d)顯示轉(zhuǎn)子在不同的電機(jī)傾斜角βi下,其穩(wěn)定同步狀態(tài)值分別鎖定在-2.32 rad 和-3.12 rad 附近.根據(jù)研究結(jié)果表明電機(jī)斜傾角βi的取值雖然不對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的同步范圍、同步能力以及同步轉(zhuǎn)矩值產(chǎn)生影響,但是對(duì)倍頻轉(zhuǎn)子的同步行為具有一定的耦合作用.系統(tǒng)的激振力與同步運(yùn)動(dòng)特性依賴于不同相位差值所反映出的動(dòng)力學(xué)特性,在工程中合理設(shè)計(jì)振動(dòng)電機(jī)的安裝位置可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的振動(dòng)篩分.

圖7 倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子相位差近似穩(wěn)態(tài)值Fig.7 Double-frequency phase difference between the two rotors in steady state

4 計(jì)算機(jī)模擬與分析

為進(jìn)一步論證倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)同步理論分析的有效性,明確兩電機(jī)在倍頻激振源的驅(qū)動(dòng)下各轉(zhuǎn)子與箱體的機(jī)電耦合動(dòng)態(tài)特性,掌握系統(tǒng)倍頻振動(dòng)同步機(jī)理,本節(jié)根據(jù)多自由度運(yùn)動(dòng)微分方程(8)建立了系統(tǒng)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)仿真模型,如圖8 所示.采用Runge-Kutta 算法可求解轉(zhuǎn)子與箱體在超遠(yuǎn)共振系統(tǒng)中的動(dòng)態(tài)模擬結(jié)果.求解原理如下:圖中x,y,ψ方向的動(dòng)力學(xué)方程模塊依次表示箱體質(zhì)心沿水平方向、豎直方向以及擺動(dòng)方向上,以加速度c″ (c=x,y,ψ)作為輸出信號(hào)的運(yùn)動(dòng)微分方程.同時(shí),利用積分器分別對(duì)其進(jìn)行一次與二次積分運(yùn)算,獲取箱體沿c自由度瞬時(shí)速度c′和瞬時(shí)位移c.在高頻振動(dòng)電機(jī)1 與低頻振動(dòng)電機(jī)2 的運(yùn)動(dòng)方程中,分別以各自電磁轉(zhuǎn)矩Mei-Rei作為電機(jī)i仿真模型的輸入信號(hào),進(jìn)而輸出轉(zhuǎn)子i的角速度信號(hào).并通過積分器和微分器分別對(duì)其進(jìn)行一次微分和一次積分運(yùn)算,獲取各轉(zhuǎn)子的瞬時(shí)角速度和瞬時(shí)相位角.最后,通過引入數(shù)據(jù)總線模塊連續(xù)將輸出信號(hào)繼續(xù)視為整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的初始值,并加入示波模塊以更加直觀地分析各輸出信號(hào)的運(yùn)動(dòng)特性.根據(jù)此原理,參照第3 節(jié)中的系統(tǒng)基本參數(shù)作為模型仿真參數(shù),可實(shí)現(xiàn)由激振器和箱體之間的相互耦合所形成的倍頻同步運(yùn)動(dòng),并針對(duì)系統(tǒng)的倍頻振動(dòng)特性做出相應(yīng)分析,包括:箱體各方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究、轉(zhuǎn)子倍頻同步狀態(tài)研究、轉(zhuǎn)子同步穩(wěn)定性研究以及振動(dòng)電機(jī)的性能參數(shù)分析等.此外,兩振動(dòng)電機(jī)均考慮為鼠籠式異步激振電機(jī),電機(jī)模型的各電氣參數(shù)值如下:高頻電機(jī)額定功率0.12 kW,額定電壓380 V,工業(yè)電壓頻率50 Hz,額定轉(zhuǎn)速(激振頻率)314 rad/s,磁極對(duì)數(shù)1.低頻電機(jī)額定功率0.12 kW,額定電壓380 V,工業(yè)電壓頻率50 Hz,額定轉(zhuǎn)速(激振頻率)157 rad/s,磁極對(duì)數(shù)2.

圖8 倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)仿真模型Fig.8 Electromechanical coupling dynamics simulation model of dual-rotor vibration system excited by double-frequency

4.1 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時(shí)的倍頻同步特性

考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)kx=ky=89 586 N/m,kψ=13 560 N·m/rad (λx=λy=λy=0.2),m2=3 kg (η2=0.03,η12=0.67),l=0.36 m (rl=1.2),系統(tǒng)倍頻同步特性模擬結(jié)果如圖9 所示.經(jīng)過計(jì)算驗(yàn)證,此組結(jié)構(gòu)參數(shù)符合同步準(zhǔn)則和穩(wěn)定判別式.如圖9(a)所示,同時(shí)對(duì)高頻振動(dòng)電機(jī)和低頻振動(dòng)電機(jī)提供相同動(dòng)力源,驅(qū)動(dòng)各轉(zhuǎn)子作同向回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).由于兩電機(jī)內(nèi)部性能參數(shù)存在一定的差異,轉(zhuǎn)子1 到達(dá)額定轉(zhuǎn)速所消耗的時(shí)間相對(duì)轉(zhuǎn)子2 較長(zhǎng),導(dǎo)致兩電機(jī)在初始階段無法以相同轉(zhuǎn)速同步啟動(dòng),并且轉(zhuǎn)子1 的加速度略小于轉(zhuǎn)子2.可見低頻電機(jī)率先以152.3 rad/s 到達(dá)同步轉(zhuǎn)速狀態(tài),大約運(yùn)行2 s 后,高頻電機(jī)的穩(wěn)態(tài)同步轉(zhuǎn)速為304.6 rad/s,此時(shí)系統(tǒng)逐漸獲得周期性振動(dòng).將各轉(zhuǎn)子的速度波動(dòng)范圍與振動(dòng)電機(jī)的實(shí)際運(yùn)行速度相比較,前者遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于后者,證明理論分析中將擾動(dòng)參數(shù)看作慢變參量并考慮擾動(dòng)參數(shù)矩陣是可行的.圖9(b)為振動(dòng)電機(jī)的輸出扭矩情況,啟動(dòng)階段時(shí)箱體質(zhì)量較大而施加在激振器旋轉(zhuǎn)軸上的力矩較小,使得振動(dòng)電機(jī)的輸出電磁轉(zhuǎn)矩主要依靠由動(dòng)力源提供的驅(qū)動(dòng)力而逐漸增大,并最終分別以7 N·m 和3.5 N·m 穩(wěn)定在一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡的位置.此時(shí),可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子由雙頻激勵(lì)的同步振動(dòng)現(xiàn)象.高頻轉(zhuǎn)子和低頻轉(zhuǎn)子的自定義穩(wěn)態(tài)同步相位差α近似鎖定在-0.63 rad(-264.52 ≈ -84π-0.63),如圖9(c)所示,仿真結(jié)果與圖7(a)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果較為接近.由于該振動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)平面驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng),振動(dòng)電機(jī)激勵(lì)的轉(zhuǎn)子1 和轉(zhuǎn)子2 均在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),沿xoy平面的垂直方向并無其他激振力.因此圖9(d)和9(e)顯示箱體僅在x,y與ψ自由度上存在位移響應(yīng),其幅值分別是1.2 mm,0.8 mm 和0.01 rad.在振動(dòng)系統(tǒng)從靜止到同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的過渡中,箱體因共振將存在短暫的混沌運(yùn)動(dòng).然后隨著速度上升,其質(zhì)心的穩(wěn)定軌跡將會(huì)顯示為如圖9(f)所示的內(nèi)“8”字型.

圖9 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時(shí)的仿真結(jié)果Fig.9 Simulation result when β1=150°,β2=30° and rl=1.2

圖9 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時(shí)的仿真結(jié)果(續(xù))Fig.9 Simulation result when β1=150°,β2=30° and rl=1.2(continued)

4.2 β1=142°,β2=38°,rl=1 時(shí)的倍頻同步特性

改變電機(jī)位置參數(shù)并考慮kx=ky=89 586 N/m,kψ=13 560 N·m/rad (λx=λy=λy=0.2),m2=3 kg (η2=0.03,η12=0.67),l=0.31 m (rl=1),其他系統(tǒng)參數(shù)見數(shù)值計(jì)算部分,進(jìn)一步論證機(jī)械模型的準(zhǔn)確性,其倍頻同步特性模擬結(jié)果如圖10 所示.將結(jié)構(gòu)參數(shù)代入振動(dòng)系統(tǒng)兩個(gè)必要條件中進(jìn)行理論計(jì)算,結(jié)果符合關(guān)于穩(wěn)定相位差值的驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn).在零時(shí)刻同時(shí)對(duì)高頻電機(jī)和低頻電機(jī)提供激振源,從圖10(a)可知轉(zhuǎn)子1 的轉(zhuǎn)速上升趨勢(shì)明顯慢于轉(zhuǎn)子2,這是因?yàn)橄到y(tǒng)所采用的振動(dòng)電機(jī)為一個(gè)二極異步電機(jī)和一個(gè)四極異步電機(jī),各電機(jī)的電氣參數(shù)存在差異性,導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在到達(dá)額定角速度過程中所需的角加速度值不一樣.運(yùn)行2 s 之后兩轉(zhuǎn)子逐漸趨于穩(wěn)態(tài),其同步轉(zhuǎn)速分別維持在304.6 rad/s 和152.3 rad/s.同時(shí)可以看出,兩振動(dòng)電機(jī)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的速度波動(dòng)最大值僅為0.3 rad/s,遠(yuǎn)小于振動(dòng)電機(jī)的激勵(lì)頻率.另外,圖10(b)顯示為振動(dòng)電機(jī)的輸出電磁轉(zhuǎn)矩.初始時(shí)刻由于箱體質(zhì)量和支撐彈簧的剛度值均較大,造成箱體無法馬上激起振動(dòng)響應(yīng).隨著運(yùn)行時(shí)間增長(zhǎng),兩電機(jī)的輸出扭矩增大,并經(jīng)過共振區(qū)后逐漸穩(wěn)定在7 N·m 和4 N·m.系統(tǒng)處于穩(wěn)定的倍頻同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài),圖10(c)反應(yīng)轉(zhuǎn)子1 與轉(zhuǎn)子2 間的相位差α穩(wěn)定在-1.32 rad(-265.21 ≈ -84π-1.32).與圖7(b)的理論值相比,計(jì)算結(jié)果在允許的誤差范圍內(nèi)是吻合的.此外,圖2-圖10(e)揭示了箱體在雙頻激勵(lì)下可獲得穩(wěn)定的周期性振動(dòng),各自由度的幅值分別確定為1.1 mm,0.6 mm 與0.008 rad.最后結(jié)合箱體質(zhì)心沿x和y方向的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以得到如圖10(f)所示的內(nèi)“8”型穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖10 β1=142°,β2=38°,rl=1 時(shí)的仿真結(jié)果Fig.10 Simulation result when β1=150°,β2=30° and rl=1

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

前文已對(duì)倍頻同步系統(tǒng)的理論推導(dǎo)、數(shù)值計(jì)算和計(jì)算仿真進(jìn)行詳細(xì)的研究,但是研究成果能否應(yīng)用于振動(dòng)篩分工程中有待進(jìn)一步證明.因此設(shè)計(jì)倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)系統(tǒng)試驗(yàn)樣機(jī)如圖11 所示.電機(jī)啟動(dòng)時(shí),機(jī)械裝置在電機(jī)激勵(lì)偏心塊的離心力作用下產(chǎn)生激振力,其中電機(jī)技術(shù)參數(shù)如表1 所示.箱體在彈簧能量吸收和能量釋放過程中發(fā)生位移振動(dòng)和旋轉(zhuǎn)擺動(dòng).隨著兩電機(jī)的回轉(zhuǎn)速度比值逐漸以穩(wěn)定的兩倍關(guān)系驅(qū)動(dòng)偏心塊,基于箱體與電機(jī)間的彈性耦合效應(yīng),兩偏心塊將會(huì)以恒定相位差值做倍頻同步運(yùn)動(dòng),此時(shí)箱體在各方向上做周期性振動(dòng).根據(jù)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)制定倍頻同步實(shí)驗(yàn)測(cè)試方案,如圖12 所示.實(shí)驗(yàn)平臺(tái)包括同步測(cè)試系統(tǒng)、實(shí)驗(yàn)樣機(jī)和動(dòng)態(tài)測(cè)試系統(tǒng).首先,在動(dòng)態(tài)測(cè)試過程中,測(cè)試點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)由一系列加速度傳感器及時(shí)采集.然后通過信號(hào)放大器和數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)進(jìn)行分析得到信號(hào)的動(dòng)態(tài)特性.其次,在同步測(cè)試過程中,通過高速成像系統(tǒng)準(zhǔn)確捕捉高頻轉(zhuǎn)子與低頻轉(zhuǎn)子在瞬時(shí)狀態(tài)下的相位差,可以直觀地實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定同步運(yùn)動(dòng)的定量分析.最后將實(shí)驗(yàn)圖像傳輸?shù)接?jì)算機(jī)進(jìn)行存儲(chǔ)和處理.

圖11 試驗(yàn)樣機(jī):1 二極振動(dòng)電機(jī);2 四極振動(dòng)電機(jī);3 偏心塊;4 電機(jī)座;5 鋼架;6 鎖緊螺栓;7 箱體;8 支撐彈簧;9 基座Fig.11 Experimental prototype:1 two-pole motor;2 four-pole motor;3 eccentric block;4 motor base;5 steel frame.;6 locking bolt;7 oscillating body;8 supporting spring;9 foundation support

表1 激振電機(jī)的技術(shù)參數(shù)Table 1 Technical parameters of the exciting motors

圖12 倍頻同步振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試方案Fig.12 Experimental testing scheme of double-frequency synchronization vibration system

5.1 參數(shù)β1=150°,β2=30°,rl=1.2 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)圖12 的實(shí)驗(yàn)測(cè)試方案,得到參數(shù)β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時(shí)的倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖13 和圖14 所示.此組結(jié)構(gòu)參數(shù)下,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)根據(jù)兩種不同激勵(lì)頻率疊加所產(chǎn)生的波形可視為近似穩(wěn)定的周期振動(dòng).箱體沿水平方向的位移單幅值穩(wěn)定在1.1 mm;同時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的沿豎直方向位移響應(yīng)測(cè)得0.65 mm.為實(shí)現(xiàn)同向回轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子倍頻同步振動(dòng),箱體不僅必須具有穩(wěn)定的幅值響應(yīng),還需要兩激振電機(jī)獲得同步運(yùn)動(dòng),這依賴于偏心轉(zhuǎn)子相位差的穩(wěn)定性.如圖14所示,利用高速成像系統(tǒng)精確記錄不同瞬時(shí)狀態(tài)的偏心轉(zhuǎn)子位置.實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果分析表明倍頻同步相位差α基本穩(wěn)定在-39°～ -35°(即-0.68～ -0.61 rad),波動(dòng)范圍很小.與數(shù)值分析和計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果對(duì)比如表2 所示,確定該工況下的同步狀態(tài)實(shí)驗(yàn)最大誤差為9%,符合振動(dòng)篩分工程的誤差允許范圍.整個(gè)機(jī)電耦合系統(tǒng)的動(dòng)能,勢(shì)能和電能在同步運(yùn)行過程中可以產(chǎn)生穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)平衡,所提出的機(jī)械模型能夠成功實(shí)現(xiàn)倍頻同步運(yùn)動(dòng).

圖13 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 的位移響應(yīng)Fig.13 Displacement responses with β1=150°,β2=30°,rl=1.2

圖14 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 的同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài):(a)～ (f) 分別為轉(zhuǎn)子瞬時(shí)相位差Fig.14 Synchronous motion state with β1=150°,β2=30°,rl=1.2:(a)～ (f) the instantaneous phase differences between rotors

表2 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的理論、仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果Table 2 Comparison results among the theories,simulations and experiments of the dynamic responses

5.2 參數(shù)β1=142°,β2=38°,rl=1 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

結(jié)合實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和理論推導(dǎo),重新考慮電機(jī)安裝位置參數(shù)β1=142°,β2=38°,rl=1,再次研究了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的機(jī)電耦合穩(wěn)態(tài)同步行為,如圖15 和圖16 所示.運(yùn)用加速度傳感器測(cè)得實(shí)驗(yàn)測(cè)試點(diǎn)沿水平方向的加速度響應(yīng),并在振動(dòng)分析儀中將加速度值對(duì)時(shí)間二次積分得到測(cè)點(diǎn)的位移振幅為1 mm.同理,對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的豎直方向位移響應(yīng)測(cè)得0.4 mm.此外,系統(tǒng)6 個(gè)不同瞬態(tài)的偏心轉(zhuǎn)子位置被高速攝像機(jī)準(zhǔn)確捕捉.經(jīng)過對(duì)倍頻同步狀態(tài)的分析與計(jì)算,得出不同瞬態(tài)的轉(zhuǎn)子相位差值α≈ -79°～ -74°(即-1.38～-1.3 rad).理論、仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果如表3 所示.無論是箱體的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)還是轉(zhuǎn)子間的同步狀態(tài),實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與理論推導(dǎo),計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果基本一致,并且同步狀態(tài)的絕對(duì)誤差為3.3%,進(jìn)一步論證了倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)系統(tǒng)的可行性和正確性.造成波動(dòng)誤差的原因歸納為:從振動(dòng)質(zhì)體的角度出發(fā),機(jī)械裝置施加在電機(jī)軸上的負(fù)載具有可變性和非均勻性,這是由于激振電機(jī)與箱體之間的耦合作用以及振動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量分布的不均勻造成的;從激振器的角度出發(fā),實(shí)驗(yàn)測(cè)試環(huán)境的溫度和濕度變化對(duì)感應(yīng)電機(jī)的各項(xiàng)電氣參數(shù)會(huì)有一定的影響,比如電機(jī)內(nèi)部轉(zhuǎn)子和定子的電感系數(shù),阻抗系數(shù),互感系數(shù)等.

圖15 β1=142°,β2=38°,rl=1 的位移響應(yīng)Fig.15 Displacement responses with β1=142°,β2=38°,rl=1

圖16 β1=142°,β2=38°,rl=1 的同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài):(a)～ (f) 分別為轉(zhuǎn)子瞬時(shí)相位差Fig.16 Synchronous motion state with β1=150°,β2=30°,rl=1:(a)～ (f) the instantaneous phase differences between rotors

表3 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的理論、仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果Table 3 Comparison results among the theories,simulations and experiments of the dynamic responses

6 結(jié)論

本文通過以上理論推導(dǎo),數(shù)值計(jì)算,仿真研究以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證詳細(xì)揭示了倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)系統(tǒng)的自同步機(jī)理和動(dòng)態(tài)特征.重要結(jié)論概括如下:

(1)系統(tǒng)倍頻同步條件可表征為兩臺(tái)激振器之間輸出剩余轉(zhuǎn)矩差的絕對(duì)值不能超過倍頻同步轉(zhuǎn)矩值,穩(wěn)定性判據(jù)可通過一個(gè)與倍頻同步轉(zhuǎn)矩和同步相位差有關(guān)的判別式反映;

(2)系統(tǒng)的倍頻同步特性主要依賴于安裝位置,激振器的偏心質(zhì)量,支撐彈簧剛度值以及偏心半徑等參數(shù).倍頻同步能力隨著安裝距離的不斷增加而逐漸接近于零值附近,電機(jī)間用于平衡電磁轉(zhuǎn)矩達(dá)到同步狀態(tài)的耦合量增大,系統(tǒng)獲得倍頻同步振動(dòng)的可行性越來越高;

(3)系統(tǒng)的倍頻穩(wěn)態(tài)相位差值在單周期內(nèi)隨著電機(jī)位置參數(shù)的增大而逐漸趨于平緩,直至系統(tǒng)同步狀態(tài)不再受到安裝距離變化的影響.另外電機(jī)傾角不影響同步狀態(tài)的整體變化趨勢(shì),只改變相位差的值域,系統(tǒng)同步狀態(tài)在計(jì)算模擬與實(shí)驗(yàn)研究中得到驗(yàn)證;

(4)與常規(guī)同頻系統(tǒng)不同,倍頻激勵(lì)雙轉(zhuǎn)子振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡顯示為內(nèi)“8”型,為研制新型非常規(guī)軌跡的振動(dòng)機(jī)械提供了較好的理論依據(jù).