黑龍江省哈爾濱市第五十八中學(xué) 高 楊

2021年，第三批“新高考”試點的8個省份的高三考生參加新高考，如今共有12個省份的考生已經(jīng)進(jìn)入新高考。雖然目前全國多數(shù)省份還沒有進(jìn)入新高考，但新高考的腳步已經(jīng)日益臨近，如今很多省份的高考處于新舊高考的過渡時期。通過近年的高考試題，不難看出試題命制在逐步向新教材和新高考過渡。筆者從舊高考、舊教材向新高考、新教材過渡的角度，分析試題命制的意圖和高考數(shù)學(xué)全國卷命題趨勢。

一、高考命題向新教材新增加的知識點過渡

人教A版的新教材與舊教材相比，新增加了一些知識內(nèi)容，尤其是在“概率統(tǒng)計”部分。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是計算機(jī)科學(xué)、人工智能的迅猛發(fā)展，對未來社會人才的概率統(tǒng)計思想方法和數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)提出了更高要求，選擇性必修的“概率統(tǒng)計”部分知識中加入了全概率公式和貝葉斯公式，利用先驗概率校正后驗概率的思想方法也是人工智能領(lǐng)域機(jī)器學(xué)習(xí)的基本思想方法。

如2020年高考全國二卷的理科試題第3題：

在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓。為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）。

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

由題意可知，第二天新增訂單不超過1600份的概率為0.95，所以第二天需要至少完成1600份訂單以及之前積壓的500份訂單，即可保證第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的概率不小于0.95，但為什么“使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95”志愿者就一定要最少完成900份訂單？這個問題的本質(zhì)究竟是什么，它和概率部分的知識又有怎樣的聯(lián)系？

我們不妨從全概率公式的角度來看一下這個問題。第二天的新增訂單數(shù)量有兩種情況：“超過1600份”和“不超過1600份”，它們發(fā)生的概率分別為0.05和0.95。設(shè)需要志愿者x人，設(shè)事件A1為“第二天新增訂單數(shù)超過1600”，事件A2為“第二天新增訂單數(shù)不超過1600”，事件B為“有志愿者x人時完成積壓訂單及當(dāng)日新增訂單”，則根據(jù)全概率公式：P(B)=P(A1)P(B丨A1)+P(A2)P(B丨A2)，現(xiàn)需使P(B)≥0.95，即P(A1)P(B丨A1)+P(A2)P(B丨A2)≥0.95，將已知代入可得0.05P(B丨A1)+0.95P(B丨A2)≥0.95，若此不等式成立，則必須使P(B丨A2)=1，即必須保證新增訂單不超過1600份的條件下一定能夠完成（因為若P(B丨A2)＜1，P(B丨A1)必然為0，即新增訂單不超過1600份的條件不一定能夠完成，則新增訂單超過1600的條件下x名志愿者完成的概率必然為0），故志愿者至少要完成的訂單數(shù)為500+1600-1200=900。

2020年全國二卷的省份尚未進(jìn)入新高考。從本題的命制中不難看出，在新舊高考交匯時期，向新教材的新增只是過渡會是今后兩年高考題命制的重要方向，一些試題會以學(xué)習(xí)舊教材的考生都可以讀懂的方式給出，但其中蘊含的深層的思想和方法與新增知識點有密切的關(guān)系，把握新舊教材知識方面的變化，才能更好地把握未來兩年高考的命題方向。

二、高考試題與新教材中的知識情境的結(jié)合

新版教材中，無論是每章引言還是每節(jié)新知識的引入，內(nèi)容都更加豐富也更有時代特色，舊教材的知識引入更注重引導(dǎo)學(xué)生加深對知識的理解和掌握，以及數(shù)學(xué)文化的滲透；新教材的知識引入更加注重引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，除了數(shù)學(xué)文化外，也加入了更多中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的滲透。每節(jié)的“導(dǎo)入語”從現(xiàn)實世界、數(shù)學(xué)理論發(fā)展、數(shù)學(xué)發(fā)展史等方面的背景出發(fā)，以問題形式引出本節(jié)所學(xué)主要內(nèi)容。

2020年全國高考二卷中，天壇圜丘壇的圓形石板塊數(shù)的計算問題被師生廣泛討論，此題主要考查了等差數(shù)列的概念和前n項和。此題從知識方面的角度來看，考查的難度不大，如果沒有這個背景材料，直接將條件給出，此題的得分率必然會比較高。但對于很多同學(xué)來說，讀懂題目是一個困難的地方，學(xué)生需從材料中提取出這個等差數(shù)列的相關(guān)條件。此題的背景是北京天壇的圜丘壇的圓形石板塊數(shù)的計算問題，這個背景材料實則出現(xiàn)在新教材選擇性必修第二冊等差數(shù)列的概念引入部分。2020年考全國二卷數(shù)學(xué)的省份尚未開始實施新教材。該試題的命制旨在引導(dǎo)廣大教師關(guān)注新教材中新增設(shè)的知識情境，了解中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中蘊含的數(shù)學(xué)智慧。舊教材中等差數(shù)列的概念引入中是以奧運會舉重級別、管理水庫的水位、銀行存款利息為例，而新版教材以天壇圜丘壇的圓形石板塊數(shù)、衣服尺碼、大氣溫度、貸款月供為例。新教材的知識引入更加貼近當(dāng)代的生活，也具有更豐富的知識性和文化特色。

所以，無論在舊高考的復(fù)習(xí)備考還是新教材的實施過程中，注重新教材中的知識情境，拓寬學(xué)生的視野和知識面。教學(xué)中教師可以多結(jié)合新教材中的章“導(dǎo)入語”和節(jié)“導(dǎo)入語”中所提到的背景材料和知識情境，進(jìn)行考試題或練習(xí)題的命制，以培養(yǎng)和提升學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)模型的能力，提升學(xué)生的閱讀能力、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)以及知識的遷移與應(yīng)用能力。

三、適應(yīng)新教材中習(xí)題的變化即能力要求的變化

教材中的練習(xí)和習(xí)題是學(xué)生課內(nèi)學(xué)習(xí)活動的一個組成部分，是學(xué)生鞏固所學(xué)知識、評價學(xué)生對知識掌握情況的重要工具。舊教材的習(xí)題分為A組和B組，A組習(xí)題更為基礎(chǔ)，B組習(xí)題的綜合性和對思維能力的要求更高。新教材的習(xí)題按功能分為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次，習(xí)題具有鞏固知識、拓展知識、深化數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和實踐能力上的重要作用。因此，習(xí)題的設(shè)置也直接體現(xiàn)教材編寫者對學(xué)生對每部分知識能力水平的要求。

2019年全國二卷理科數(shù)學(xué)的第16題，一改以往立體小題更注重點線面之間位置關(guān)系的、三視圖及空間幾何體的表面積和體積，而是考查了計算幾何體的面數(shù)以及棱長的計算，這種考查方式更加注重學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)，而不僅是公式和定理，考查方式更加靈活。此題學(xué)生通過空間想象得到多面體的面的個數(shù)，將該多面體補成正方體后，根據(jù)對稱性列方程求解。

結(jié)合新教材的變化，我們能夠發(fā)現(xiàn)此類型題的出現(xiàn)是有章可循的，新教材必修第二冊8.3.1中的課后練習(xí)題中的第3題中的幾何體模型得到的方法和此題類似。新教材必修第二冊第八章章末復(fù)習(xí)題的第1題，探究了多面體的頂點、棱數(shù)和面數(shù)的數(shù)量及這些數(shù)量之間的關(guān)系，這里V+F-E的值為2，這個結(jié)論也是空間中多面體同胚于球的情況下的“歐拉公式”，在代數(shù)拓?fù)渲?，“歐拉示性數(shù)”是一個重要的拓?fù)洳蛔兞?，“歐拉公式”在拓?fù)鋵W(xué)中有著舉足輕重的地位，題目的設(shè)置旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，也引導(dǎo)學(xué)生更深層次地探究幾何學(xué)中的不變量問題，為學(xué)生進(jìn)入高校后更深入地學(xué)習(xí)幾何學(xué)在思想方法上做一定的鋪墊。新教材對學(xué)生立體幾何部分的學(xué)習(xí)提出了更高的要求，加強(qiáng)直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的同時，還需要有探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律和總結(jié)歸納的能力。2021年1月，2021年首次參加新高考的8個省份進(jìn)行的適應(yīng)性考試中的21題考查了一個以“歐拉公式”為知識背景的題目，此次考試由教育部考試中心為這8個即將參加新高考的考生提前適應(yīng)新高考的命題難度、命題風(fēng)格和試卷結(jié)構(gòu)而命制的，對于研究高考的命題趨勢也是非常有價值的。此題作為一道立體幾何的解答題，與以往考查線面關(guān)系證明和所成角問題不同，不僅考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理的能力，還考查了學(xué)生的閱讀能力、探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律和總結(jié)歸納能力。

高考的真題和全國統(tǒng)考的適應(yīng)性考試試題都在釋放一個信號，今后高考的立體幾何部分必將更注重對直觀想象能力以及探究發(fā)現(xiàn)能力的考查，綜合性會比以往常規(guī)的立體幾何問題更強(qiáng)。在日常教學(xué)中，教師需要更加深入研究新教材中習(xí)題設(shè)置的變化，體會新教材、新課程對學(xué)生的素養(yǎng)提升提出的更高要求，這樣才能更好地把握教學(xué)重難點以及高考的命題趨勢。

對于高考命題的研究和對教材的研究是廣大一線教師的重要課題。處在新舊高考交匯的時期，教師應(yīng)更加注重研究新舊教材知識內(nèi)容變化、知識情境的變化、能力要求的變化，才能在教學(xué)中將新教材、新課程的理念滲透給學(xué)生，使學(xué)生能夠適應(yīng)高考中的變化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，達(dá)到立德樹人的目的。