毛 健 仰楓帆

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院 南京 211100）

1 引言

1970年戈帕（Goppa）系統(tǒng)地構(gòu)造了一類有理分式碼——Goppa碼［1］。Goppa碼的最主要的優(yōu)點是，對某些Goppa碼而言，能達到香農(nóng)信道編碼定理所給出的性能。由于Goppa碼的良好性能，自該碼提出以來，眾多學(xué)者對其性質(zhì)和編譯碼方法進行了深入的研究。特別地，由Goppa碼引出的幾何代數(shù)碼在公開密鑰系統(tǒng)中得到了很好的應(yīng)用。因此，研究Goppa碼有著非常重要的實際意義。而編碼協(xié)作［2～4］作為一種新型的分集技術(shù)可以有效地對抗信號衰落，從而提高系統(tǒng)地誤碼率性能。本文主要研究循環(huán)Goppa碼在協(xié)作通信系統(tǒng)中的應(yīng)用，構(gòu)造了基于循環(huán)Goppa碼的編碼協(xié)作［5～6］系統(tǒng)，為循環(huán)Goppa碼的編碼協(xié)作在未來無線通信系統(tǒng)中的應(yīng)用做出了探索性的研究。通過系統(tǒng)仿真表明，我們構(gòu)造的循環(huán)Goppa碼編碼協(xié)作系統(tǒng)的性能在AW?GN信道以及衰落信道中都有著不錯的表現(xiàn)。

2 Goppa碼的構(gòu)造及譯碼

定義1：設(shè)0

定義2：設(shè)在GF（q）上碼長為n的線性碼C，如果碼字的循環(huán)移位仍是碼字，則稱線性碼C為循環(huán)碼，即當a(x)∈C時有x?a(x)mod(xn-1)∈C。也就是說，環(huán)R=GF（q）［x］/（xn-1）上的一個理想I=（g（x））則為一個由g（x）生成的一個循環(huán)碼。

如果定義1中的Goppa碼字的循環(huán)移位仍是Goppa碼字，則稱Г（L，G）為循環(huán)Goppa碼。

文獻［10］中提到，若Goppa碼Г（L，G）滿足以下條件：

表1 集合L的各個元素計算結(jié)果

由定義可得：

Goppa碼作為GRS碼的子域子碼，通過為碼空間轉(zhuǎn)換添加簡單的預(yù)處理和后處理，特定的GRS碼的譯碼器（可能存在更優(yōu)的譯碼算法）可以在另一個Goppa碼空間中進行糾錯譯碼。所以應(yīng)用于RS碼的譯碼算法（如歐幾里得譯碼算法）也可以應(yīng)用于使用碼空間轉(zhuǎn)換得到Goppa碼，并且不會降低譯碼性能［11～13］。

Goppa碼的譯碼步驟如下：

第一步：由接收到的碼字多項式r（Z）計算校正子多項式S（Z）。如果是打孔的Goppa碼則需要對S（Z）進行修正［14～15］。校正子多項式的修正就是將先前計算得到的S（Z）乘以打孔位置多項式，即

第二步：由S（Z）尋找錯誤位置多項式Λ(Z)和錯誤數(shù)值多項式Ω（Z）。

第三步：由Λ(Z)求解出它的根，找出錯誤位置，再與Ω（Z）一起計算錯誤數(shù)值大小，進而糾正接收的碼字多項式中的錯誤。特別地，如果是二進制Goppa碼，我們只需要找出錯誤位置即可，即可實現(xiàn)糾錯。

3 基于Goppa碼編碼協(xié)作系統(tǒng)

通過對Goppa碼以及編碼協(xié)作特性的研究，我們構(gòu)造如圖1的基于循環(huán)Goppa碼編碼協(xié)作系統(tǒng)。在源節(jié)點處采用（n，k）Goppa碼，打孔去除n-n1位得到碼長為n1的碼字，之后進行BPSK調(diào)制，分別廣播至中繼節(jié)點處和目的節(jié)點處；而在中繼節(jié)點處采用相同的編碼，進而獲得先前打孔去除的校驗位，將其調(diào)制后發(fā)送至目的節(jié)點。這樣在目的節(jié)點處可以合成一個完整碼長的Goppa碼。

圖1 基于循環(huán)Goppa碼的編碼協(xié)作系統(tǒng)

該編碼協(xié)作系統(tǒng)工作的具體步驟如下。

1）在信源節(jié)點處，對長度為k的信息位進行Goppa碼編碼，生成碼長為n的碼字。對生成碼字的校驗位進行打孔，得到長為n1的碼字，將該碼字通過廣播信道發(fā)送至目的節(jié)點和中繼節(jié)點。

2）中繼節(jié)點首先對接收到的碼字進行譯碼，若譯碼正確，則采用與源節(jié)點相同的編碼方案對譯出的原始信息位進行編碼，提取出碼字中在第一階段被打孔的校驗位，長為n2=n-n1，可以看成碼長為n2的Goppa碼傳送到目的節(jié)點。

3）目的節(jié)點處接收到來自S-D信道和R-D信道傳輸?shù)拇a字，將碼長為n1和n2的兩路信號合并成碼長為n=n1+n2，進行聯(lián)合迭代譯碼得到原始信息。

4 目的節(jié)點的聯(lián)合譯碼方案

由于目的節(jié)點接收到是來自源節(jié)點和中繼節(jié)點的兩路信號，所以我們需要將這兩路信號合并成一路信號。如圖2，目的節(jié)點接收到是來自源節(jié)點解調(diào)得到的序列和中繼節(jié)點序列，將其合并后得到序列，之后將其送去譯碼器，進行歐幾里得迭代譯碼，最終得到信息的估計序列。

圖2 目的節(jié)點的聯(lián)合譯碼

5 仿真結(jié)果分析

本文所研究的是理想的編碼協(xié)作系統(tǒng)，即S-R信道的信噪比足夠大，使得中繼節(jié)點可以正確譯碼來自源節(jié)點的信息。在非理想情況下，中繼節(jié)點可能無法正確譯碼，那么中繼節(jié)點的再編碼也是不可靠的，從而影響整個系統(tǒng)的性能。仿真設(shè)置為：在源節(jié)點采用（31，21）Goppa碼進行編碼，之后打孔4位，采用BPSK調(diào)制方式，將該碼字通過廣播信道發(fā)送至目的節(jié)點和中繼節(jié)點，中繼節(jié)點采用與源節(jié)點相同的編碼方案對譯出的原始信息位進行編碼，提取出碼字中在第一階段被打孔的4位校驗位傳送到目的節(jié)點。其中設(shè)置SNRR-D=SNRS-D+1dB，分別在AWGN信道和瑞利快衰落信道下傳輸106幀數(shù)據(jù)。

由圖3可知，在AWGN信道下，誤碼率在10-5時，Goppa協(xié)作系統(tǒng)比非協(xié)作系統(tǒng)有著了1.8dB的性能增益。由圖4可知，在快衰落信道下，誤碼率在10-5時，Goppa協(xié)作系統(tǒng)比非協(xié)作系統(tǒng)有2dB左右的性能增益。

圖3 （31，21）Goppa碼的編碼協(xié)作系統(tǒng)在AWGN信道下的誤碼率曲線

圖4 （31，21）Goppa碼的編碼協(xié)作系統(tǒng)在快衰落信道下的誤碼率曲線

6 結(jié)語

在對Goppa碼的構(gòu)造原理以及譯碼算法的研究過程中，提出了基于循環(huán)Goppa碼的編碼協(xié)作系統(tǒng)方案。該方案巧妙地將Goppa碼與編碼協(xié)作系統(tǒng)相結(jié)合，并且仿真結(jié)果表明，在AWGN信道和瑞利快衰落信道下，采用Goppa碼的編碼協(xié)作系統(tǒng)不僅可以降低系統(tǒng)誤碼率，而且提升了系統(tǒng)的傳輸效率，相較于非協(xié)作的系統(tǒng)，系統(tǒng)性能都有了不同程度的提升。