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        初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問(wèn)題學(xué)習(xí)障礙分析及策略

        2021-12-01 07:58:10楊魁平
        讀與寫(xiě) 2021年36期
        關(guān)鍵詞:解題

        楊魁平

        (貴州省遵義市第五十五中學(xué) 貴州 遵義 563000)

        引言

        相傳古羅馬的亞歷山大城當(dāng)中有擅長(zhǎng)物理、數(shù)學(xué)的學(xué)者,有一天,羅馬將軍要拜訪他,于是將軍向?qū)W者請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題“將軍從A軍營(yíng)出發(fā),到河邊先飲馬,之后去河岸的同側(cè)B處宿營(yíng),如何行走路程才會(huì)最短”。飲水點(diǎn)屬于重點(diǎn),解決問(wèn)題過(guò)程當(dāng)中需要構(gòu)造出對(duì)稱點(diǎn),尋找飲馬的最短距離。部分中學(xué)生在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)不知如何入手,因此需要教師加以指導(dǎo),幫助其找到解題思路。

        1.初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問(wèn)題學(xué)習(xí)障礙分析

        初中生要解決“將軍飲馬”這類(lèi)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,需要明確相關(guān)概念,包括動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn),其中,動(dòng)點(diǎn)就是“飲馬點(diǎn)”,定點(diǎn)就是題干當(dāng)中給定的固定點(diǎn),而對(duì)稱點(diǎn)就是通過(guò)作圖而得到的點(diǎn),也就是解題過(guò)程需要連接的點(diǎn)。部分學(xué)生在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí),可能存在如下困惑:

        第一,怎么尋找對(duì)稱點(diǎn),做哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)?簡(jiǎn)單而言,就是題目當(dāng)中所需要找出的對(duì)稱點(diǎn),因?yàn)閱?wèn)題當(dāng)中給出的都是定點(diǎn),因此,需要利用定點(diǎn)才能尋找對(duì)稱點(diǎn)。部分中學(xué)生由于不了解作對(duì)稱含義,所以,對(duì)稱點(diǎn)的尋找可能存在困難。對(duì)此,需要明確對(duì)稱對(duì)象為一條直線,并非一個(gè)點(diǎn),只有找到具體直線,才能順利找出動(dòng)點(diǎn)所在的直線[1]。

        第二,做對(duì)稱之后應(yīng)該和誰(shuí)連接?做完對(duì)稱以后應(yīng)該與另外定點(diǎn)相連接,不可以將其和動(dòng)點(diǎn)相連,需要學(xué)生明確定點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)仍然為定點(diǎn)這一概念,才能找到連接點(diǎn)。

        第三,所求動(dòng)點(diǎn)如何確認(rèn)?中學(xué)生在求解“將軍飲馬”這類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候,應(yīng)該明確所求之點(diǎn)應(yīng)該為圖上交點(diǎn),具體而言就是已知直線、所做直線二者之間交點(diǎn)。

        2.初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問(wèn)題的學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

        2.1 “一線兩點(diǎn)”同側(cè)類(lèi)型。已知,如圖1所示,BN垂直EF,AM垂直EF,M、N分別為垂足,且MN等于12m,BN等于4m,AM等于5m,P點(diǎn)在EF上為動(dòng)點(diǎn),那么PA和PB之和的最小值是多少?

        此問(wèn)題屬于“將軍飲馬”模型的應(yīng)用,在題干當(dāng)中,A和B兩點(diǎn)屬于定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn),解決問(wèn)題時(shí),需要利用“定點(diǎn)定線”來(lái)“作對(duì)稱”,解決問(wèn)題時(shí),可以先找出A點(diǎn)關(guān)于直線EF對(duì)稱點(diǎn),即A',然后根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短作輔助線,將點(diǎn)A'和點(diǎn)B相連,這時(shí)即可推導(dǎo)出“A'P和PB的和就是A'B,也就是最短距離”。解決問(wèn)題的時(shí)候,需要先構(gòu)造出直角三角形,之后利用勾股定理求解具體問(wèn)題。

        “一線兩點(diǎn)”類(lèi)型的將軍飲馬問(wèn)題可能還會(huì)以變式的形式出現(xiàn),如圖2所示,三角形ABC為正三角形,邊長(zhǎng)是4,AB、AC、BC邊上分別有三點(diǎn)E、F、G,且均為中點(diǎn),EF邊上有一動(dòng)點(diǎn)P,求三角形BPG周長(zhǎng)最小值?

        針對(duì)此問(wèn)題深度分析,可以根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)和中點(diǎn)性質(zhì),判斷出BG的長(zhǎng)度是2,利用轉(zhuǎn)化思想得出求三角形BPG周長(zhǎng)最小值就是求BP和PG和最小值,因此,能夠判斷出該問(wèn)題也是“將軍飲馬”的“一線兩點(diǎn)”類(lèi)型,因此,解題過(guò)程可以尋找G點(diǎn)關(guān)于直線EF對(duì)稱點(diǎn),部分學(xué)生可能難以直觀看出對(duì)稱點(diǎn),對(duì)此,可以將AG相連接,根據(jù)“三線合一”,可知AG和BC垂直,之后將EG相連,據(jù)“直角三角形的斜邊中線為其一半”能夠得出,AE和EG相等,就可順利知道G點(diǎn)關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)A,在計(jì)算周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí),需要將BG的長(zhǎng)度考慮其中。連接AG以后,可知PA和PG相等,也就是PB與PG的和、BP與PA的和相等,即A、B、P三個(gè)點(diǎn)共線的時(shí)候,BP和PG的和最短,等于AB,故三角形BPG最短周長(zhǎng)是6。

        2.2 “兩線一點(diǎn)”類(lèi)型。在“將軍飲馬”模型當(dāng)中,存在“兩線一點(diǎn)”類(lèi)型的習(xí)題,如圖3所示,三角形ABC當(dāng)中,AB和AC均為10,BC中點(diǎn)是D,AD的長(zhǎng)度是6,AD上存在動(dòng)點(diǎn)P,AC邊上存在動(dòng)點(diǎn)E,試求PC與PF之和最小值?

        對(duì)于此類(lèi)題型進(jìn)行分析,可知定點(diǎn)為C,動(dòng)點(diǎn)分別是P和E,所屬“將軍飲馬”類(lèi)模型,因?yàn)槿切蜛BC是等腰三角形,且AD為BC邊上的中線,AD是BC的垂直平分線,B、C兩點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱,可知,PE、PC之和、PE、PB之和相等,因此,很明顯可以看出B、P、E共線的時(shí)候,線段BE的距離較短,但是卻不是最短的,此時(shí),按照“垂線段最短”定理,可知,BE垂直AC的時(shí)候,BE的長(zhǎng)度(也就是PC+PF)最短,因此,可以利用面積法進(jìn)行求解。解題過(guò)程,可以作BE垂直AC,和AD的交點(diǎn)是P,因?yàn)锳D和BC垂直,由勾股定理知道CD為4,進(jìn)而B(niǎo)C為8,根據(jù)等積法,可求出BE等于9.6[2]。

        2.3 “兩線兩點(diǎn)”類(lèi)型?!皟删€兩點(diǎn)”類(lèi)型,如圖4所示已知A、B為銳角∠MON內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn);要求在OM上找一點(diǎn)P,在ON上找一點(diǎn)Q,使四邊形APQB的周長(zhǎng)最小。解答此類(lèi)問(wèn)題找到兩線是關(guān)鍵,如何找到兩線呢,先明確動(dòng)點(diǎn)在哪條線上找(如圖4中OM,ON),哪條線就為對(duì)稱線,再找到兩定點(diǎn)如圖4中A,B,作點(diǎn)A關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)A′。解答方法:作點(diǎn)B關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接A′B′交OM于P,交ON于Q,則點(diǎn)P、點(diǎn)Q即為所求,此時(shí)四邊形APQB周長(zhǎng)的最小值即為線段AB和A′B′的長(zhǎng)度之和;理由:AB長(zhǎng)為定值,由基本模型將PA轉(zhuǎn)化為PA′,將QB轉(zhuǎn)化為QB′,當(dāng)A′、P、Q、B′四點(diǎn)共線時(shí),PA′+PQ+QB′的值最小,即PA+PQ+QB的值最小。

        結(jié)束語(yǔ)

        總之,針對(duì)初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”這類(lèi)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解,需要明確初中生的學(xué)習(xí)障礙,使其明確問(wèn)題本質(zhì),針對(duì)不同的題型,給出解題指導(dǎo)。只有中學(xué)生掌握問(wèn)題的本質(zhì),才能根據(jù)不同類(lèi)型問(wèn)題,尋找問(wèn)題的解決方法,高效學(xué)習(xí)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,靈活運(yùn)用“將軍飲馬”這類(lèi)數(shù)學(xué)模型。

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