嚴 明

（福州職業(yè)技術學院，福建福州，350108）

一、引言

“信號與系統(tǒng)”是我國電子信息大類相關專業(yè)都需開設的一門專業(yè)基礎課，目前國內(nèi)主流的教材[1-3]對該課程撰寫的思路都十分清晰，即由求解微分方程的方法引入，由淺入深地將傅里葉級數(shù)（變換）、拉普拉斯變換、Z 變換等知識環(huán)環(huán)相扣，串成一條主線。然而，傅里葉級數(shù)作為時域跨入頻域的第一道門檻，因理論公式繁多，讓部分學生望而卻步，于是出現(xiàn)了死記公式的現(xiàn)象，并對公式感到迷茫且無從下手。為提高學生對傅里葉級數(shù)知識的吸收效果，國內(nèi)本科院校教師進行了一系列教學研究。國防科技大學曹聚亮等[4]提出指數(shù)信號的三層次法，通過數(shù)學層面、圖形層面、應用層面等，盡可能使學生較好地理解時域頻域分析過程；西北師范大學唐榮安等[5]建議在教學中從物理詮釋方面對傅里葉變換性質(zhì)進行講解；王靜等[6]從學生認知調(diào)查和原因分析入手，在教學設計中設置懸念引出傅里葉級數(shù)主題，通過簡單、典型的舉例進行教學，并進行課后反饋。有的本科院校教師則利用Matlab GUI界面查看傅里葉級數(shù)展開項等方式，使學生從直觀上理解傅里葉變換。[7-9]而高職高專院校目前在這一方面尚未有探討。

本文根據(jù)高職學生實際情況，提倡“教為主導，學為主體”的教學思想，學生通過動手實踐，自主疊加展開項來驗證波形，同時利用Matlab 仿真查看三維空間圖，從而對傅里葉級數(shù)的認識從“客觀存在”提升到能“加以分析”的程度。

二、傅里葉級數(shù)的教學總體設計

（一）“工學一體化”教學模式簡介

工學一體化教學模式從理實一體化發(fā)展而來。[10]在傳統(tǒng)理論教學中，教師以灌輸知識為主，學生被動接受，這勢必導致學習積極性的磨滅。著名的職業(yè)教育專家趙志群教授中指出，教學要逐漸轉變?yōu)橐詫W生為中心。為了突出課堂以學生為中心，工學一體化教學以項目或任務為驅(qū)動，在確定項目（任務）的主題后，分析為完成該任務需要在任務實施前準備什么；在任務實施過程中做什么、學什么；在任務實施完成后如何進行相應的評價。該教學思路強調(diào)學生在實施任務過程中掌握新知識和技能，比較適合高職教育的工科課堂教學。[11]

（二）教學過程結構表設計

為使教學思路更清晰，傅里葉級數(shù)教學從單頻正弦信號引入，到任務實施與驗證，再到師生互動分析等過程，均需進行詳細的教學過程設計?，F(xiàn)借助工學一體化教學模式，用表格展現(xiàn)任務實施過程中教師和學生需完成的事項和對應的知識點、評價標準等（如表1）。

表1 教學過程表格化設計

三、傅里葉級數(shù)教學過程詳細設計

（一）課前準備

歐拉公式及三角函數(shù)是傅里葉級數(shù)兩種表示形式間的轉換橋梁，因此需要學生課前做好一定的準備工作。教師在課前需提供指數(shù)與三角函數(shù)如何建立聯(lián)系的學材：任意一個復數(shù)A可在復平面上找到對應的一個點（如圖1），當加入單位圓概念后，A 點坐標不僅可以表示為A=a+jb，也可以表示為z=r(cosθ+jsinθ)，教師由此根據(jù)極坐標表示方式，引出歐拉公式e^jθ=cosθ+jsinθ，這就在復平面上建立起指數(shù)與三角函數(shù)間的聯(lián)系。

令θ=ωt，其中ω 為角頻率，則歐拉公式變?yōu)椋篹^jωt=cosωt+jsinωt，隨著時間t的推移，歐拉公式等號左邊可看作是繞著圓周逆時針不停旋轉的點A（如圖1），等號右邊是A 點繞圓周運動時在時間軸上的投影，即可理解為歐拉公式是A 點的兩種表示方式。由于A 點在時間軸t 上的推移，慢慢拉出一條螺旋線，其x 軸投影為cosωt，其y 軸投影為sinωt（如圖2）。

圖1 復平面上的點

（二）明確任務并制定實施計劃

明確本教學任務為：驗證傅里葉級數(shù)展開式，并理解頻譜概念?？紤]到任何周期信號的傅里葉級數(shù)展開項均由正余弦函數(shù)線性疊加而成，學生若能獨立分析單一的、或某幾個正余弦函數(shù)疊加，就可理解無限個線性求和的結果。因此在實施教學時，首先思考單頻正弦信號在頻率軸上如何表示（即幅度譜和相位譜）。反過來，已知頻譜圖，求時域的正弦信號表達式，進而得到結論：頻域和時域均可唯一表示一個信號（即同一信號的兩種表示方法）；更進一步，當展開項（諧波分量）逐漸增多時，驗證其趨于某個（矩形）波形；當展開項個數(shù)趨于無限個，即為傅里葉級數(shù)展開式。

根據(jù)以上實施思路，本單元教學場所需為模擬電子技術實訓室，或者機房（電腦均已安裝Proteus 軟件，且可播放音頻），本文的教學環(huán)境以機房教學為例。

階段一：從單頻正弦波引入頻譜概念

已知正弦信號如下：

其中f=50Hz，或ω=2πf，初始相位為π/4（如圖3）。為了使學生更快建立起頻譜概念，將該波形的橫軸由時間t 轉為頻率后，用幅度譜、相位譜圖表示單頻正弦信號。反過來，根據(jù)幅度譜、相位譜寫出時域的正弦信號表達式（注意圖3 相位譜中初始角是π/4=0.7854，因此相位譜高度接近0.8）；最后引導學生理解：在頻域也能唯一確定正弦信號，頻域是信號的另一種表示方式。于是得出結論：我們習慣思維在時域表示一個信號，其實在頻域也可表示一個信號，而且時域和頻域表示同一個信號的效果是完全相同的。

圖3 正弦信號的時域和頻域表示（Matlab 單邊譜）

階段二：傅里葉級數(shù)展開項驗證

為了驗證矩形波傅里葉級數(shù)是無限多個余弦信號疊加而成，可根據(jù)傅里葉級數(shù)系數(shù)公式，引導學生求解前10 個展開項，學生根據(jù)展開項設置Proteus 元器件參數(shù)，并在設計的加法器電路（如圖4）左邊逐項遞增地接入展開項的余弦波，通過示波器觀察波形變化。電路輸出端接喇叭，可對比不同展開項疊加波形后的音頻。即通過動手求解系數(shù)、眼睛觀察波形、耳朵辨別音頻等方式加深對傅里葉級數(shù)展開項的理解。

圖4 多個正余弦信號相加放大的電路圖（Proteus）

通過本階段任務，得到結論：隨著諧波分量逐漸增多，疊加的波形越來越接近矩形波（如圖5）。當在時域波形越來越接近矩形波時，對應的頻域圖則按順序增加對應的譜線（如圖6）。也即時域每增加一個諧波分量，頻域中就增加一條對應頻率的譜線，由此也可說明頻域和時域在表示一個信號的形成過程是完全相當?shù)?。隨著諧波分量無限疊加，波形就趨近于矩形，也就得到傅里葉級數(shù)展開式。

圖5 諧波分量遞增的時域波形（Matlab）

圖6 諧波分量遞增的頻譜波形（Matlab）

階段三：三維傅里葉級數(shù)分析

以上階段任務實施采用了Proteus、Matlab仿真實踐，分別通過驗證時域和頻域波形來引導學生理解傅里葉級數(shù)和頻譜的概念，本階段將時域和頻域的圖示結合在一張三維空間圖中，仍以矩形波的傅里葉級數(shù)展開為例。

由于矩形波既是偶函數(shù)，又是奇諧函數(shù)，因此其傅里葉展開只可能含有奇次諧波的余弦項。圖7 為了分析方便，只取前3 次諧波分量分析時域和頻域的統(tǒng)一性。從時間軸往右邊看，時域疊加波形是由1 次諧波和3 次諧波相加而成；從頻率軸往里看，1 次諧波對應頻率ω_1，3 次諧波對應頻率3ω_1，即兩個諧波疊加的波形在頻域中也可唯一確定。這將使學生進一步加深在時域和頻域中分析同一個信號的理解程度。然而時域的缺陷在于時域波形隨著諧波分量的增多，波形計算越來越復雜；而頻域分析卻十分簡單，即一個諧波分量增加一條譜線，因此在信號系統(tǒng)中分析頻域是十分有利的。

圖7 傅里葉級數(shù)的三維空間圖

四、教學評價

工學一體化教學中，應盡可能讓所有的學生都參與到評價過程中。[12]在本單元的傅里葉級數(shù)教學過程中，2 人為一組，以實踐過程評價為主，結果性評價為補充。評價的主體包含學生自評、互評和教師評價，除了評價學習態(tài)度、溝通協(xié)調(diào)方面，主要以階段性任務完成情況為評價單元，根據(jù)表1 右側的評價標準，細化具體行動。評價的目的主要是為學生提供本次課堂實踐過程中需要改善的方面，同時也幫助學生梳理知識架構。

五、結束語

本文針對學生在學習傅里葉級數(shù)章節(jié)時，因理論較多而迷茫問題，借助工學一體化教學中以學生為主體的思路，讓學生參與其中，教師引導解惑完成教學任務。通過在高職課堂實踐，學生在課堂上不再木然，個別學生甚至在課堂上獨立完成三角波的疊加演示圖，表明該教學思路提高了學生學習的積極性，而且對提升傅里葉級數(shù)教學效果具有一定實際意義。