趙劍,黃悅琛,李海陽,*,何湘粵

1. 國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073

2. 華陰兵器試驗(yàn)中心,華陰 714200

近年來,隨著商業(yè)航天時(shí)代的到來,運(yùn)載火箭垂直起降(Vertical Takeoff and Vertical Landing,VTVL)技術(shù)已成為國(guó)際航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1-2]。目前,VTVL技術(shù)已成為一種可行的、最具前景的可重復(fù)使用運(yùn)載火箭(Reusable Launch Vehicle,RLV)的技術(shù),極大降低了航天器發(fā)射任務(wù)的成本[3-5]。,盡管VTVL技術(shù)由SpaceX等公司進(jìn)行了成功驗(yàn)證,但是由于返回過程中的不確定性和一些執(zhí)行機(jī)構(gòu)的故障,獵鷹9號(hào)在一些回收任務(wù)中仍然未能成功著陸[2-6]。引導(dǎo)火箭助推器返回大氣層并在地球上著陸并非輕而易舉的任務(wù)[7],尤其是不確定的存在削弱了返回軌跡偏差修正和精確著陸的能力,使返回過程更具挑戰(zhàn)性[8]。因此,有必要在參考軌跡設(shè)計(jì)之初就考慮不確定性因素的影響[6],開展不確定性條件下的返回軌跡優(yōu)化,提高返回軌跡的魯棒性和可靠性,以降低飛行風(fēng)險(xiǎn),保持制導(dǎo)性能并增強(qiáng)應(yīng)急響應(yīng)能力。

確保返回軌跡具有魯棒性和可靠性的方法主要分為兩類,即實(shí)施在線軌跡規(guī)劃和提升離線參考軌跡的跟蹤能力[9]。在線軌跡規(guī)劃是根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)和預(yù)測(cè)的目標(biāo)落點(diǎn)狀態(tài)之間的偏差進(jìn)行軌跡重構(gòu)[7]。本文主要研究提升離線參考軌跡的跟蹤能力的方法,提高參考軌跡的反不確定性能力。當(dāng)前關(guān)于VTVL RLV返回段標(biāo)稱參考軌跡的研究主要是在確定性條件下實(shí)施[10-13],以標(biāo)稱返回條件下由確定性優(yōu)化獲得的最優(yōu)軌跡作為傳統(tǒng)的參考軌跡。但是在不確定性條件下的返回軌跡優(yōu)化方法少有文獻(xiàn)研究。在不確定性因素的影響下參考軌跡的約束值將會(huì)在約束限值附近波動(dòng)。因此,在存在不確定性的實(shí)際應(yīng)用中,確定性解通常無法滿足路徑約束和終端著陸約束的要求。一個(gè)經(jīng)濟(jì)可行的確保實(shí)際返回軌跡魯棒并且可靠的方法是將返回過程的不確定性因素考慮到參考軌跡的設(shè)計(jì)中來。

目前關(guān)于不確定性條件下的軌跡優(yōu)化方法主要有基于可靠性的優(yōu)化和魯棒優(yōu)化[14]。基于可靠性的優(yōu)化強(qiáng)調(diào)設(shè)計(jì)的高可靠性,通過在期望的水平上保證概率約束的滿足,涉及到全局優(yōu)化和迭代概率評(píng)估的雙過程,計(jì)算效率要求比較高[15]。諸多研究者提出了解耦優(yōu)化策略[16-17],將優(yōu)化環(huán)與可靠度評(píng)估環(huán)獨(dú)立開來,其中由Du和Chen提出的序列優(yōu)化與可靠度評(píng)估(Sequential Optimization and Reliability Assessment,SORA)方法應(yīng)用最為廣泛[15]。本文引入多項(xiàng)式混沌展開方法對(duì)SORA方法進(jìn)一步改進(jìn)以提高可靠度評(píng)估環(huán)節(jié)的效率。魯棒優(yōu)化側(cè)重于通過優(yōu)化系統(tǒng)的平均性能和最小化系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)差,使得系統(tǒng)對(duì)于不確定性參數(shù)不敏感。Wang等[18]將多項(xiàng)式混沌展開理論與凸優(yōu)化技術(shù)結(jié)合,提出了一種新的高精度、高效率的火星著陸魯棒軌跡優(yōu)化方法。羅佳奇等[19]提出考慮幾何設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性影響的葉片穩(wěn)健性氣動(dòng)設(shè)計(jì)優(yōu)化來提高葉片平均氣動(dòng)性能及氣動(dòng)穩(wěn)健性。Jiang等[20-21]結(jié)合魯棒優(yōu)化策略、不確定性量化方法和偽譜方法,提出了一種在不確定性條件下的火星進(jìn)入軌跡魯棒優(yōu)化方法。而在本文VTVL RLV的返回軌跡研究中,為同時(shí)兼顧并提高設(shè)計(jì)的魯棒性和可靠性,需要將這兩個(gè)性能在不確定條件下統(tǒng)一的模型中同時(shí)考慮,即基于可靠性的魯棒優(yōu)化[14],該方法也被用于航天器設(shè)計(jì)及其他產(chǎn)品設(shè)計(jì)中[22-24]。本文不選擇單獨(dú)的可靠性優(yōu)化或者魯棒優(yōu)化方法來生成不確定性條件下的返回軌跡的主要原因有： ① 可 靠性優(yōu)化通常用于獲得極端情況下能夠正常工作的可靠性設(shè)計(jì),它不關(guān)注優(yōu)化結(jié)果在不確定性條件下的性能損失[21],并且一子級(jí)回收問題對(duì)于著陸精度要求比較高,單純的可靠性優(yōu)化無法降低末端著陸狀態(tài)對(duì)于不確定因素的敏感度；② 魯棒優(yōu)化要求所有約束都達(dá)到要求,但是一子級(jí)返回軌跡的路徑約束對(duì)于不確定因素的敏感度要求不高,并且在開環(huán)的不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)中,使得所有的路徑約束都達(dá)到名義設(shè)計(jì)要求比較難以實(shí)現(xiàn),而且對(duì)于性能也會(huì)有一定損失。因此,在不確定性條件下,同時(shí)考慮可靠性和魯棒性的方法比單獨(dú)的可靠性優(yōu)化或魯棒優(yōu)化方法更有利于提高軌跡的綜合性能[14]。

基于上述考慮,本文研究了VTVL RLV返回軌跡在不確定性條件下的優(yōu)化方法。本文的創(chuàng)新工作主要有：① 建立了由魯棒目標(biāo)函數(shù)和魯棒等式約束以及基于可靠度的路徑約束構(gòu)成的不確定性優(yōu)化模型；② 基于非侵入式多項(xiàng)式混沌展開方法對(duì)魯棒目標(biāo)函數(shù)和魯棒等式約束的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行量化處理；③ 基于非侵入式多項(xiàng)式混沌展開方法對(duì)的最可能點(diǎn)法進(jìn)行改進(jìn)以提高可靠度評(píng)估的效率,發(fā)展了序列優(yōu)化和可靠度評(píng)估策略。該方法兼顧了魯棒性和可靠性指標(biāo),具有較高的效率和精度。

1 返回軌跡確定性優(yōu)化模型

本文所研究的軌跡優(yōu)化問題僅針對(duì)VTVL RLV一子級(jí)的回收過程,因此不考慮上升段。一子級(jí)回收包括返回原場(chǎng)和不返回原場(chǎng)2種方式[25-26],本文研究不返回原場(chǎng)的回收方式。典型的不返回原場(chǎng)的一子級(jí)在完成上升段飛行后,其返回過程中通常經(jīng)歷調(diào)姿段、滑行段、動(dòng)力減速段、大氣再入段、垂直著陸段等多個(gè)飛行段[1-13]。對(duì)于不同的飛行任務(wù),返回段劃分也有所不同?？紤]到調(diào)姿段、滑行段基本上均處于稠密大氣層外,可以忽略氣動(dòng)影響[6],而調(diào)姿段也是無動(dòng)力滑行,依靠反推力控制系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)姿[26],因此這2個(gè)飛行段均只受引力影響。本文對(duì)返回段劃分模型進(jìn)行簡(jiǎn)化,將返回軌跡分為調(diào)姿段、動(dòng)力減速段、大氣再入段和垂直著陸段4個(gè)飛行段,返回軌跡飛行剖面圖如圖1所示。

圖1 返回軌跡飛行剖面圖

在研究一子級(jí)返回軌跡的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí),不考其姿態(tài)的控制調(diào)整過程。由于工程設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)之初更關(guān)注系統(tǒng)在平均狀態(tài)下的參數(shù),并且VTVL RLV一子級(jí)返回著陸時(shí)間較短,忽略地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和扁率的影響,根據(jù)文獻(xiàn)[7,13]推導(dǎo)了一子級(jí)返回軌跡的三自由度動(dòng)力學(xué)方程,用如下的微分方程組表示:

(1)

式中：x、y、z為一子級(jí)在發(fā)射坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；V為速度大??；θ為速度傾角；σ為偏航角,前3個(gè)量描述了一子級(jí)在發(fā)射坐標(biāo)系中的位置,后3個(gè)量描述了其速度；m為一子級(jí)質(zhì)量；R為地球半徑；r為地心距；P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；g0為海平面重力加速度；gr=-μ/r2(μ為地球引力常數(shù))；α為攻角；β為側(cè)滑角。Xq、Yq、Zq為速度坐標(biāo)系下的氣動(dòng)力分量,定義為

(2)

式中：SM為運(yùn)載火箭一子級(jí)參考面積；ρ為地球當(dāng)?shù)卮髿饷芏?ρ=ρ0e-y/h0,ρ0為海平面大氣密度,h0為參考高度；Cx、Cy、Cz分別為阻力、升力和側(cè)力系數(shù),且Cz=-Cy,定義為

(3)

(4)

式(4)應(yīng)滿足初始狀態(tài)約束:

x(t0)-x0=0

(5)

為使VTVL RLV運(yùn)載能力最佳并有足夠的燃料用于制導(dǎo)修正機(jī)動(dòng),一子級(jí)返回軌跡的性能指標(biāo)為燃料消耗最少,即末端著陸質(zhì)量最大,軌跡優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)表示為

minJ=-m(tf)

(6)

在返回的過程中路徑約束主要需要考慮動(dòng)壓和過載的限制:

(7)

F=[F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8]T=

[n(1),n(2),n(3),n(4),q(1),q(2),q(3),q(4)]T-

(8)

著陸段終端著陸要求一子級(jí)位置和速度都要達(dá)到指定的目標(biāo)和精度,同時(shí)其姿態(tài)要保證垂直。本文研究中采用位置x、位置y、位置z、速度和當(dāng)?shù)厮俣葍A角作為終端著陸約束,則終端等式約束G可以表示為

G=[G1,G2,G3,G4,G5]T=[x(tf),y(tf),z(tf),

V(tf),θ(tf)]T-[xf,yf,zf,Vf,θf]T=0

(9)

式中：x(tf)、y(tf)、z(tf)、V(tf)、θ(tf)分別為計(jì)算得到的著陸點(diǎn)的位置x、位置y、位置z、速度、當(dāng)?shù)厮俣葍A角；xf、yf、zf、Vf、θf分別為目標(biāo)著陸點(diǎn)位置x、位置y、位置z、速度、當(dāng)?shù)貜椀纼A角。

從而建立了確定性條件下的優(yōu)化模型,即尋找最優(yōu)的控制變量u(t),使得式(6)的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu),并滿足式(4)的微分方程約束、式(5)的初始狀態(tài)約束、式(8)的路徑約束以及式(9)的終端著陸等式約束。

2 返回軌跡不確定性優(yōu)化模型

本節(jié)在所建立的確定性優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上,引入不確定性因素,建立了由魯棒最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)、基于可靠度的路徑約束和魯棒等式約束構(gòu)成的隨機(jī)不確定性優(yōu)化模型。本文考慮的不確定性為隨機(jī)不確定性參數(shù),假定這些不確定性參數(shù)之間相互獨(dú)立且服從均勻分布。

2.1 魯棒最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)

為了提高不確定性條件下VTVL RLV返回軌跡的魯棒性,并保證燃料消耗盡可能的小,需要在式(6)所示的目標(biāo)函數(shù)中需要平衡魯棒性和最優(yōu)性?？紤]到標(biāo)準(zhǔn)差可以表示不確定性條件下返回軌跡的魯棒性,而均值可以表示其最優(yōu)性,因此通過均值μ(·)和標(biāo)準(zhǔn)差σ(·)建立魯棒優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

(10)

2.2 基于可靠度的路徑約束

在不確定性條件下開展返回軌跡的優(yōu)化時(shí),路徑約束可能會(huì)超過設(shè)計(jì)要求。處理該問題的一個(gè)途徑是在約束限制范圍內(nèi)確定極端情況,然而由于一子級(jí)返回動(dòng)力學(xué)的高度非線性以及不確定性的多樣性,極端情況很難找到。將統(tǒng)計(jì)矩引入路徑約束之中確實(shí)能夠解決隨機(jī)約束問題,但是在強(qiáng)非線性的返回動(dòng)力學(xué)中高階矩的約束限值難以獲得,并且這種方法處理的路徑約束沒有明確的物理意義。本文引入概率信息,采用基于概率可靠度的方法對(duì)路徑約束進(jìn)行處理,它是一種在預(yù)先確定的可靠度要求下,以較小的失效概率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。

在隨機(jī)空間中,引入不確定因素之后,式(4)變?yōu)殡S機(jī)微分方程組

(11)

式(8)的路徑約束可轉(zhuǎn)換為

(12)

(13)

式中：可靠度向量α=[α1,α2,…,α8]T,當(dāng)可靠度向量確定之后,路徑約束的可行域隨之確定。

2.3 魯棒等式約束

由于優(yōu)化問題在不確定條件下的概率性質(zhì),等式約束并不總是能夠嚴(yán)格滿足的,等式約束在不確定性條件下是一個(gè)隨機(jī)函數(shù),不能完全相同的等于常值。魯棒優(yōu)化中處理等式約束通常有2種方法[27]：一是完全滿足均值的等式約束,在該方法中,等式約束只需滿足均值設(shè)計(jì)要求即可；二是采用近似矩匹配方法,設(shè)計(jì)者可以指定關(guān)于等式約束的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的偏好。在實(shí)際設(shè)計(jì)中,對(duì)于不同的等式約束,設(shè)計(jì)者可根據(jù)需求選擇不同的處理方法。

對(duì)于式(5)中初始狀態(tài)的等式約束,本文采用均值方法進(jìn)行魯棒設(shè)計(jì),可以表示為

(14)

對(duì)于終端著陸約束,本文采用近似矩匹配方法,即基于均值和標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計(jì)矩對(duì)其進(jìn)行設(shè)計(jì),即

(15)

(16)

值得注意的是,在已有的文獻(xiàn)研究中[21],魯棒等式約束通常如下處理:

(17)

式中：κσ為標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。

相比于式(17)將等式約束用均值和標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)組合表示,本文將均值和標(biāo)準(zhǔn)差采用2個(gè)單獨(dú)的約束,如式(15)和式(16)所示,雖然增加了約束的數(shù)量,但是其具有更明確的物理意義,即不確定性等式約束函數(shù)滿足均值意義上的原始精度著陸要求,而其標(biāo)準(zhǔn)差有單獨(dú)的敏感度約束,在均值和標(biāo)準(zhǔn)差的共同約束下構(gòu)成了魯棒等式約束。

3 基于非侵入式多項(xiàng)式混沌展開的返回不確定性軌跡序列優(yōu)化與可靠度評(píng)估策略

本節(jié)基于非侵入式多項(xiàng)式混沌展開(Nonintrusive Polynomial Chaos Expansion, NPCE)方法求解魯棒目標(biāo)函數(shù)和等式約束的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,同時(shí)基于NPCE方法提高最可能點(diǎn)策略[15]進(jìn)行路徑約束可靠性評(píng)估的效率,形成了基于NPCE方法的序列優(yōu)化和可靠度評(píng)估(SORA)不確定軌跡魯棒優(yōu)化策略。

3.1 基于NPCE的魯棒目標(biāo)函數(shù)和等式約束的不確定性量化

由式(10)、式(14)～式(16)可知,在每次優(yōu)化迭代中需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)和等式約束進(jìn)行統(tǒng)計(jì)特性的求解。本節(jié)基于NPCE方法求解返回軌跡的近似解,然后通過近似解的系數(shù)獲得目標(biāo)函數(shù)和等式約束的均值和標(biāo)準(zhǔn)差值。

(18)

(19)

式中：iN為隨機(jī)變量向量ξ每一維的展開階數(shù)。

需要指出的是,多維隨機(jī)變量的多項(xiàng)式基函數(shù)φi(ξ)可以通過單變量的多項(xiàng)式進(jìn)行張量積運(yùn)算得到

φi(ξ)=φj1(ξ1)φj2(ξd)…φjd(ξd)

(20)

式中：φjk(ξk)為jk∈Ni階隨機(jī)變量ξk的多項(xiàng)式基函數(shù),k=1,2,…,d。

(21)

根據(jù)正交多項(xiàng)式的正交特性,可得

(22)

為方便推導(dǎo),將式(22)中k替換為i,則多項(xiàng)式系數(shù)可表示為

(23)

式中：μ[·]表示期望運(yùn)算。

式(23)中的期望運(yùn)算可以用積分表示為

(24)

式中:f(ξ)為概率密度函數(shù)。

因此,式(23)可以進(jìn)一步表示為

(25)

采用高斯加權(quán)公式近似式(25)右端的積分運(yùn)算,即

(26)

式中：ξj為隨機(jī)樣本積分節(jié)點(diǎn);M為樣本的總數(shù);wj(ξj)為積分節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù);式(26)的精度可以通過增加樣本數(shù)量得到提高[28]。

類比目標(biāo)函數(shù)的多項(xiàng)式基函數(shù)系數(shù)推導(dǎo)過程,可得終端等式約束的系數(shù)表達(dá)式為

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

對(duì)于隨機(jī)變量向量ξ,設(shè)其維數(shù)為d,即包含d個(gè)不確定性參數(shù),每個(gè)分量ξi選取Mi個(gè)積分節(jié)點(diǎn),通過張量網(wǎng)格方法得到的隨機(jī)樣本的總數(shù)為

M=M1…Mi…Md

(32)

式中：i∈Nd。若每一維隨機(jī)變量的節(jié)點(diǎn)數(shù)均為Mξ,則d維隨機(jī)空間總的節(jié)點(diǎn)數(shù)為

(33)

注意到每組節(jié)點(diǎn)ξj組成的樣本點(diǎn)均對(duì)應(yīng)一組R7空間下的微分方程組,因此M個(gè)積分節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的微分方程組可寫為

(34)

式(34)滿足：

(35)

式(35)為式(14)對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)約束,考慮到不確定性參數(shù)積分節(jié)點(diǎn)服從零均值均勻?qū)ΨQ分布,初始狀態(tài)的均值等式約束自然滿足。

至此,將式(11)的隨機(jī)微分方程組變?yōu)槭?34)在RM×7空間下的微分方程組,將隨機(jī)空間的不確定性軌跡轉(zhuǎn)為高維空間下的確定性軌跡求解。在不確定性軌跡優(yōu)化中,每次迭代求解魯棒優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和魯棒等式約束時(shí),需要求解M×7個(gè)微分方程組,得到樣本解之后根據(jù)式(26)～式(31)求解得到目標(biāo)函數(shù)和終端等式約束多項(xiàng)式混沌展開的系數(shù)解,進(jìn)一步計(jì)算得到目標(biāo)函數(shù)和終端等式約束的均值和標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式為

(36)

(37)

(38)

(39)

3.2 基于NPCE的最可能點(diǎn)法

在不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中,除了優(yōu)化環(huán)節(jié)之外,還要對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行評(píng)估,分析優(yōu)化設(shè)計(jì)的魯棒性及可靠性。對(duì)于等式約束,通過均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行約束,可保證其魯棒性；對(duì)于路徑約束,在保證樣本點(diǎn)滿足約束要求的情況下需要進(jìn)行可靠度評(píng)估?；谧羁赡茳c(diǎn)的分析方法是可靠性評(píng)估的一種有效方法[29],能夠通過優(yōu)化求得所設(shè)計(jì)的可靠度對(duì)應(yīng)的不等式約束限值。

考慮本文優(yōu)化問題的一個(gè)路徑約束:

(40)

式(40)的概率約束可以進(jìn)一步表示為

(41)

結(jié)合式(40)和式(41),可建立可靠度與其對(duì)應(yīng)的不等式約束限值之間的映射關(guān)系為

(42)

(43)

式中:Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù);E(·)為累積分布函數(shù);ul為不確定性因素ξ的函數(shù),可將其視為ξ張成的超球面上的一個(gè)點(diǎn)。

Φ(βl)=αl

(44)

由于ul為隨機(jī)變量ξ的函數(shù),其近似解析函數(shù)可以通過NPCE方法獲得

(45)

3.3 基于NPCE的序列優(yōu)化和可靠度評(píng)估策略

序列優(yōu)化和可靠度評(píng)估(SORA)最先用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化,然后逐步用于多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化[30]。本節(jié)結(jié)合前文所述的基于NPCE的魯棒目標(biāo)函數(shù)及等式約束構(gòu)成的隨機(jī)魯棒優(yōu)化模型、基于NPCE的改進(jìn)的最可能點(diǎn)分析方法,展示了返回軌跡SORA方法的分析流程,如圖2所示。

圖2 SORA方法流程

SORA方法采用單回路策略,將問題分解為具有一系列隨機(jī)魯棒優(yōu)化和可靠度評(píng)估環(huán)節(jié)。對(duì)于隨機(jī)魯棒優(yōu)化環(huán)節(jié)而言,基于NPCE方法將隨機(jī)空間下的優(yōu)化問題模型轉(zhuǎn)換為高維空間下的等價(jià)的確定性優(yōu)化問題模型,從而采用軌跡優(yōu)化算法如序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行優(yōu)化求解。對(duì)于可靠度評(píng)估環(huán)節(jié)而言,引入了基于NPCE的最可能點(diǎn)方法來計(jì)算要求的可靠度對(duì)應(yīng)的約束限值。在每個(gè)SORA的循環(huán)中,魯棒優(yōu)化與可靠度評(píng)估相互解耦,可靠度評(píng)估只在魯棒優(yōu)化后進(jìn)行,以驗(yàn)證不確定性條件下約束的可行性。

該方法的關(guān)鍵是根據(jù)前一個(gè)周期獲得的可靠性信息,將失效約束的邊界轉(zhuǎn)移到可行方向。但是在初始迭代時(shí),由于缺少可靠度對(duì)應(yīng)的不等式約束的限值,因此考慮將名義值作為初次迭代的設(shè)計(jì)值。若不等式約束不滿足所要求的可靠度對(duì)應(yīng)的約束限值,則需要對(duì)約束限值進(jìn)行更新,然后以更新后的約束限值代入隨機(jī)魯棒優(yōu)化環(huán)節(jié)再次進(jìn)行優(yōu)化,而新的優(yōu)化結(jié)果已不同于上一輪的優(yōu)化結(jié)果,因此需要對(duì)新一輪的約束值再次進(jìn)行可靠度評(píng)估,直至約束限值達(dá)到設(shè)計(jì)要求為止。一般而言,序列優(yōu)化只需要有限次迭代即可收斂[31]。SORA的主要執(zhí)行步驟如下:

步驟2在每一次的隨機(jī)魯棒優(yōu)化與可靠度評(píng)估中,將可靠性和魯棒性并存的隨機(jī)優(yōu)化問題模型轉(zhuǎn)化為如下的高維空間的確定性優(yōu)化問題模型進(jìn)行求解：

(46)

滿足：

(47)

(48)

(49)

(50)

m=1,2,…,5

(51)

式中：下標(biāo)k為序列優(yōu)化迭代的次數(shù)。式(46)～式(51) 將隨機(jī)魯棒優(yōu)化問題模型轉(zhuǎn)換為確定性優(yōu)化模型進(jìn)行求解,可選擇合適的優(yōu)化算法進(jìn)行軌跡優(yōu)化,圖3給出了隨機(jī)魯棒優(yōu)化的計(jì)算框架。

圖3 隨機(jī)魯棒優(yōu)化的計(jì)算框架

(52)

通過不斷執(zhí)行步驟2和3進(jìn)行序列優(yōu)化,直至MPP方法評(píng)估得到的約束限值小于名義設(shè)計(jì)值即可結(jié)束優(yōu)化。

4 仿真結(jié)果及分析

表1 初始狀態(tài)參數(shù)和目標(biāo)著陸點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)

選取初始狀態(tài)參數(shù)中的分離速度和模型參數(shù)中的大氣密度作為不確定性參數(shù),不確定性參數(shù)的分布如表2所示。

表2 不確定性參數(shù)

在可靠度評(píng)估環(huán)節(jié)中,各個(gè)路徑約束的可靠度設(shè)計(jì)為

Prob{q(n)≤1.4×105N/m2}≥97%,n=1,2,3,4

(53)

Prob{n(n)≤9g}≥97%,n=1,2,3,4

(54)

本節(jié)設(shè)計(jì)了一個(gè)VTVL RLV返回任務(wù)來驗(yàn)證所提出的基于NPCE的SORA方法的有效性。數(shù)值仿真對(duì)比了基于可靠度的魯棒軌跡優(yōu)化解與確定性優(yōu)化(Deterministic Optimization, DO)解。SORA和DO均選取序列二次規(guī)劃算法(SQP)作為返回軌跡優(yōu)化方法。在基于NPCE方法的SORA中,每個(gè)不確定參數(shù)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量取5個(gè)積分節(jié)點(diǎn),則兩個(gè)不確定性參數(shù)對(duì)應(yīng)的總的樣本數(shù)為25個(gè),所以在式(34)所示的微分方程組中,RM×7=R25×7,即在每次迭代計(jì)算中,需要對(duì)175維的樣本軌跡進(jìn)行積分運(yùn)算。下面以DO軌跡解作為參考,分析SORA軌跡解的魯棒性和可靠性,并結(jié)合基于蒙特卡羅(MC)的傳統(tǒng)優(yōu)化方法驗(yàn)證本方法的精度和效率。

4.1 SORA和DO方法的標(biāo)稱軌跡對(duì)比分析

圖4展示了SORA和DO優(yōu)化得到的最優(yōu)控制律在標(biāo)稱情況下各個(gè)狀態(tài)量的變化曲線。圖4(a)和圖4(b)分別為過載和動(dòng)壓隨時(shí)間的變化曲線,可以看出,SORA解和DO解均在所要求的路徑約束限值之內(nèi)。但是DO解的過載和動(dòng)壓最大值接近于所設(shè)定的限值,并且SORA解的過載和動(dòng)壓的最大值要小于DO解的最大值,這意味著在存在不確定性的情況下,若按照DO解的最優(yōu)控制律飛行,則很有可能越過安全區(qū),飛行器在返回過程會(huì)存在很大的風(fēng)險(xiǎn)。圖4(c)～圖4(e)分別為末端著陸約束參數(shù)隨時(shí)間的變化曲線,包括位置、速度和速度傾角變化曲線,可以看出SORA對(duì)應(yīng)的標(biāo)稱軌跡具有與DO解近似的軌跡。換言之,從狀態(tài)約束的角度考慮,SORA的最優(yōu)解具有一定的DO解的最優(yōu)性。但是由于SORA的最優(yōu)控制律是在不確定性條件下得到的,末端著陸狀態(tài)是以均值作為約束指標(biāo),所以在標(biāo)稱情況下的垂直著陸段末端著陸精度比DO要低,甚至有可能會(huì)出現(xiàn)不滿足精度的情況,但是約束的偏差在飛行器調(diào)節(jié)的能力范圍之內(nèi),可以通過制導(dǎo)控制系統(tǒng)修正實(shí)現(xiàn)精確著陸。圖4(f)～圖4(h)分別展示了攻角、側(cè)滑角和發(fā)動(dòng)機(jī)推力隨時(shí)間的變化曲線。

總體而言,與DO方法得到的最優(yōu)控制律相比,SORA所需的攻角和側(cè)滑角的控制能力和調(diào)節(jié)范圍要更大,這在動(dòng)力減速段和垂直著陸段表現(xiàn)得尤為明顯。同時(shí),在動(dòng)力減速段,SORA優(yōu)化得到的發(fā)動(dòng)機(jī)推力更大,從而在圖4(i)的燃料消耗隨時(shí)間的變化曲線中,可以發(fā)現(xiàn)SORA的燃料消耗要高于DO的燃料消耗質(zhì)量,這是由于SORA解為均衡路徑約束的可靠性和終端著陸約束的魯棒性需要更高的控制和調(diào)節(jié)能力,以及更多的燃料消耗,同時(shí)也說明了基于可靠性的魯棒優(yōu)化不是尋找確定性最優(yōu)解,而是尋找一個(gè)可靠性和魯棒性最優(yōu)的多指標(biāo)最優(yōu)解。

圖4 標(biāo)稱情況下SORA和DO得到的返回軌跡

4.2 終端著陸約束魯棒性分析

在控制律確定的情況下,本文選取的初始速度和大氣密度2個(gè)不確定性因素對(duì)于燃料消耗沒有影響,因此這里不需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)的魯棒性進(jìn)行分析,只需要對(duì)終端著陸參數(shù)進(jìn)行魯棒性分析。如圖5(a)和圖5(b)展示了終端著陸約束參數(shù)的散點(diǎn)偏差分布,可以發(fā)現(xiàn)SORA方法得到的落點(diǎn)所形成的包絡(luò)區(qū)域在DO方法得到的落點(diǎn)所形成的包絡(luò)區(qū)域之內(nèi)。返回著陸軌跡的魯棒性可以用標(biāo)準(zhǔn)差來衡量,為了更加直觀地比較不確定性條件下的SORA和DO解的魯棒性,通過蒙特卡羅打靶仿真,統(tǒng)計(jì)終端著陸點(diǎn)的狀態(tài)集合,并使用正態(tài)函數(shù)擬合著陸點(diǎn)的分布情況,如圖5(c)～圖5(g) 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)SORA方法得到的末端著陸點(diǎn)比DO方法更加接近均值縱軸,并且在均值附近的分布更密集,在兩端的分布相對(duì)較小,這一點(diǎn)在終端速度和終端當(dāng)?shù)厮俣葍A角上表現(xiàn)的尤為明顯。這是由于在SORA方法中考慮了終端著陸點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差約束,因此相對(duì)于DO方法而言,SORA在末端著陸約束上表現(xiàn)出更好的魯棒性。

圖5 終端著陸約束參數(shù)的散點(diǎn)及概率分布

4.3 路徑約束可靠性分析

本節(jié)將均勻分布的不確定性因素ΔV0和Δρ歸一化到[-1,1]區(qū)間,對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量符號(hào)表示為ξv和ξρ。DO解和SORA解對(duì)應(yīng)的路徑約束參數(shù)峰值的分布分別如圖6和圖7所示。為了更加直觀地表示路徑約束峰值與其設(shè)計(jì)限值之間的關(guān)系,分別用過載和動(dòng)壓的峰值除以其設(shè)計(jì)限值進(jìn)行歸一化處理,若歸一化的值小于1則滿足路徑約束,反之則不滿足約束。從圖6和圖7可以看出,在不確定性條件下,DO的解顯然超過了設(shè)計(jì)限值,在很多情況下不滿足約束；而對(duì)于SORA方法,在考慮可靠性的優(yōu)化中,盡管存在±30 m/s 的速度不確定性和±20%的大氣密度不確定性,路徑約束均滿足設(shè)計(jì)要求,可靠度指標(biāo)也達(dá)到了要求。

圖6 DO解在不確定條件下的路徑約束峰值

圖7 SORA解在不確定條件下的路徑約束峰值

圖8為SORA和DO解的過載和動(dòng)壓在不確定性條件下的概率累積分布情況。從圖8(a)可以看出,在過載限值為9g的情況下,DO解的可靠度指標(biāo)僅為0.49。因此,盡管DO解在標(biāo)稱情況下路徑約束滿足設(shè)計(jì)限值(圖4(a)所示),但是在初始速度和大氣密度存在不確定性的情況下不滿足可靠度要求,并且很容易陷入失效域,對(duì)飛行器帶來極大的風(fēng)險(xiǎn)。同樣地,對(duì)于DO解的動(dòng)壓而言,在動(dòng)壓限值為1.4×105的情況下,動(dòng)壓的可靠度指標(biāo)僅為0.463,不滿足可靠性要求。而SORA解的過載和動(dòng)壓約束的最值均未超過設(shè)計(jì)限值,可靠度也達(dá)到了設(shè)計(jì)要求,這證明了該方法中可靠度評(píng)估環(huán)節(jié)的有效性。

圖8 SORA和DO解路徑約束峰值的概率累積分布

4.4 精度和效率分析

為進(jìn)一步說明基于NPCE的SORA方法的精度和效率,本節(jié)將該方法與傳統(tǒng)的基于MC仿真的序列優(yōu)化方法進(jìn)行對(duì)比分析。在基于MC的可靠性評(píng)估中,采用同樣的參數(shù)配置。兩者的主要區(qū)別在于,在SORA的可靠度評(píng)估中,約束樣本通過NPCE方法求得；而在基于MC的約束可靠度評(píng)估中,樣本點(diǎn)通過檢測(cè)MC統(tǒng)計(jì)值的收斂情況得到,當(dāng)約束統(tǒng)計(jì)均值小于某一設(shè)定的偏差時(shí)則可認(rèn)為其收斂。

圖9給出了2種可靠度評(píng)估方法的路徑約束峰值分布。可以看出,2種方法的動(dòng)壓和過載的都達(dá)到了97%的可靠度設(shè)計(jì)要求。2種方法的過載和動(dòng)壓的小偏差可以看出所提的SORA方法具有較高的精度。在兩種方法的序列優(yōu)化中,可靠度評(píng)估貫穿于整個(gè)優(yōu)化求解過程。在基于MC的可靠度評(píng)估中,進(jìn)行了3 000次樣本計(jì)算后才達(dá)到收斂,可靠度評(píng)估時(shí)間接近3 025 s。而SORA的可靠度評(píng)估環(huán)節(jié)中,只需要計(jì)算25個(gè)樣本點(diǎn),大約25 s的計(jì)算時(shí)間。因此,基于NPCE的SORA方法在可靠度評(píng)估中具有較高的計(jì)算效率。

圖9 基于NPCE和基于MC方法的路徑約束峰值分布

5 結(jié) 論

本文針對(duì)返回軌跡存在不確定性的問題,在同時(shí)考慮返回軌跡魯棒性和可靠性的基礎(chǔ)上,提出了基于非侵入式多項(xiàng)式混沌展開的序列優(yōu)化和可靠度評(píng)估策略。得出如下主要結(jié)論：

1) 建立了由魯棒目標(biāo)函數(shù)、基于可靠度的路徑約束和魯棒等式約束組成的返回軌跡不確定性優(yōu)化模型,基于非侵入式多項(xiàng)式混沌展開方法對(duì)魯棒目標(biāo)函數(shù)和等式約束進(jìn)行量化處理,將隨機(jī)空間下的不確定性優(yōu)化問題模型轉(zhuǎn)換為高維空間下的等價(jià)的確定性優(yōu)化問題模型。仿真表明,與DO方法相比,不確定優(yōu)化不是尋找確定性最優(yōu)解,而是尋找一個(gè)可靠性和魯棒性最優(yōu)的“次優(yōu)解”。

2) 采用基于非侵入式多項(xiàng)式混沌展開方法的最可能點(diǎn)法,在要求的可靠度下評(píng)估路徑約束滿足的程度,進(jìn)一步提高了可靠度評(píng)估的效率。

3) 所提出的基于非侵入式多項(xiàng)式混沌展開的序列優(yōu)化和可靠度評(píng)估策略將問題分解為隨機(jī)魯棒優(yōu)化和可靠度評(píng)估環(huán)節(jié),提高了軌跡解的等式約束的魯棒性和路徑約束的可靠性,同時(shí)也具有較高的精度和計(jì)算效率。

總之,本文所提出的不確定性優(yōu)化方法增強(qiáng)了參考軌跡的跟蹤能力和反不確定性能力,提高了返回軌跡的魯棒性和可靠性,對(duì)于中國(guó)未來垂直起降可重復(fù)使用運(yùn)載火箭的發(fā)展具有一定的理論研究?jī)r(jià)值和工程參考意義。