趙劍,黃悅琛,李海陽,*,何湘粵

1. 國防科技大學 空天科學學院,長沙 410073

2. 華陰兵器試驗中心,華陰 714200

近年來,隨著商業(yè)航天時代的到來,運載火箭垂直起降(Vertical Takeoff and Vertical Landing,VTVL)技術(shù)已成為國際航天領(lǐng)域的研究熱點[1-2]。目前,VTVL技術(shù)已成為一種可行的、最具前景的可重復(fù)使用運載火箭(Reusable Launch Vehicle,RLV)的技術(shù),極大降低了航天器發(fā)射任務(wù)的成本[3-5]。,盡管VTVL技術(shù)由SpaceX等公司進行了成功驗證,但是由于返回過程中的不確定性和一些執(zhí)行機構(gòu)的故障,獵鷹9號在一些回收任務(wù)中仍然未能成功著陸[2-6]。引導(dǎo)火箭助推器返回大氣層并在地球上著陸并非輕而易舉的任務(wù)[7],尤其是不確定的存在削弱了返回軌跡偏差修正和精確著陸的能力,使返回過程更具挑戰(zhàn)性[8]。因此,有必要在參考軌跡設(shè)計之初就考慮不確定性因素的影響[6],開展不確定性條件下的返回軌跡優(yōu)化,提高返回軌跡的魯棒性和可靠性,以降低飛行風險,保持制導(dǎo)性能并增強應(yīng)急響應(yīng)能力。

確保返回軌跡具有魯棒性和可靠性的方法主要分為兩類,即實施在線軌跡規(guī)劃和提升離線參考軌跡的跟蹤能力[9]。在線軌跡規(guī)劃是根據(jù)當前狀態(tài)和預(yù)測的目標落點狀態(tài)之間的偏差進行軌跡重構(gòu)[7]。本文主要研究提升離線參考軌跡的跟蹤能力的方法,提高參考軌跡的反不確定性能力。當前關(guān)于VTVL RLV返回段標稱參考軌跡的研究主要是在確定性條件下實施[10-13],以標稱返回條件下由確定性優(yōu)化獲得的最優(yōu)軌跡作為傳統(tǒng)的參考軌跡。但是在不確定性條件下的返回軌跡優(yōu)化方法少有文獻研究。在不確定性因素的影響下參考軌跡的約束值將會在約束限值附近波動。因此,在存在不確定性的實際應(yīng)用中,確定性解通常無法滿足路徑約束和終端著陸約束的要求。一個經(jīng)濟可行的確保實際返回軌跡魯棒并且可靠的方法是將返回過程的不確定性因素考慮到參考軌跡的設(shè)計中來。

目前關(guān)于不確定性條件下的軌跡優(yōu)化方法主要有基于可靠性的優(yōu)化和魯棒優(yōu)化[14]?；诳煽啃缘膬?yōu)化強調(diào)設(shè)計的高可靠性,通過在期望的水平上保證概率約束的滿足,涉及到全局優(yōu)化和迭代概率評估的雙過程,計算效率要求比較高[15]。諸多研究者提出了解耦優(yōu)化策略[16-17],將優(yōu)化環(huán)與可靠度評估環(huán)獨立開來,其中由Du和Chen提出的序列優(yōu)化與可靠度評估(Sequential Optimization and Reliability Assessment,SORA)方法應(yīng)用最為廣泛[15]。本文引入多項式混沌展開方法對SORA方法進一步改進以提高可靠度評估環(huán)節(jié)的效率。魯棒優(yōu)化側(cè)重于通過優(yōu)化系統(tǒng)的平均性能和最小化系統(tǒng)標準差,使得系統(tǒng)對于不確定性參數(shù)不敏感。Wang等[18]將多項式混沌展開理論與凸優(yōu)化技術(shù)結(jié)合,提出了一種新的高精度、高效率的火星著陸魯棒軌跡優(yōu)化方法。羅佳奇等[19]提出考慮幾何設(shè)計參數(shù)不確定性影響的葉片穩(wěn)健性氣動設(shè)計優(yōu)化來提高葉片平均氣動性能及氣動穩(wěn)健性。Jiang等[20-21]結(jié)合魯棒優(yōu)化策略、不確定性量化方法和偽譜方法,提出了一種在不確定性條件下的火星進入軌跡魯棒優(yōu)化方法。而在本文VTVL RLV的返回軌跡研究中,為同時兼顧并提高設(shè)計的魯棒性和可靠性,需要將這兩個性能在不確定條件下統(tǒng)一的模型中同時考慮,即基于可靠性的魯棒優(yōu)化[14],該方法也被用于航天器設(shè)計及其他產(chǎn)品設(shè)計中[22-24]。本文不選擇單獨的可靠性優(yōu)化或者魯棒優(yōu)化方法來生成不確定性條件下的返回軌跡的主要原因有： ① 可 靠性優(yōu)化通常用于獲得極端情況下能夠正常工作的可靠性設(shè)計,它不關(guān)注優(yōu)化結(jié)果在不確定性條件下的性能損失[21],并且一子級回收問題對于著陸精度要求比較高,單純的可靠性優(yōu)化無法降低末端著陸狀態(tài)對于不確定因素的敏感度；② 魯棒優(yōu)化要求所有約束都達到要求,但是一子級返回軌跡的路徑約束對于不確定因素的敏感度要求不高,并且在開環(huán)的不確定性優(yōu)化設(shè)計中,使得所有的路徑約束都達到名義設(shè)計要求比較難以實現(xiàn),而且對于性能也會有一定損失。因此,在不確定性條件下,同時考慮可靠性和魯棒性的方法比單獨的可靠性優(yōu)化或魯棒優(yōu)化方法更有利于提高軌跡的綜合性能[14]。

基于上述考慮,本文研究了VTVL RLV返回軌跡在不確定性條件下的優(yōu)化方法。本文的創(chuàng)新工作主要有：① 建立了由魯棒目標函數(shù)和魯棒等式約束以及基于可靠度的路徑約束構(gòu)成的不確定性優(yōu)化模型；② 基于非侵入式多項式混沌展開方法對魯棒目標函數(shù)和魯棒等式約束的均值和標準差進行量化處理；③ 基于非侵入式多項式混沌展開方法對的最可能點法進行改進以提高可靠度評估的效率,發(fā)展了序列優(yōu)化和可靠度評估策略。該方法兼顧了魯棒性和可靠性指標,具有較高的效率和精度。

1 返回軌跡確定性優(yōu)化模型

本文所研究的軌跡優(yōu)化問題僅針對VTVL RLV一子級的回收過程,因此不考慮上升段。一子級回收包括返回原場和不返回原場2種方式[25-26],本文研究不返回原場的回收方式。典型的不返回原場的一子級在完成上升段飛行后,其返回過程中通常經(jīng)歷調(diào)姿段、滑行段、動力減速段、大氣再入段、垂直著陸段等多個飛行段[1-13]。對于不同的飛行任務(wù),返回段劃分也有所不同?？紤]到調(diào)姿段、滑行段基本上均處于稠密大氣層外,可以忽略氣動影響[6],而調(diào)姿段也是無動力滑行,依靠反推力控制系統(tǒng)進行調(diào)姿[26],因此這2個飛行段均只受引力影響。本文對返回段劃分模型進行簡化,將返回軌跡分為調(diào)姿段、動力減速段、大氣再入段和垂直著陸段4個飛行段,返回軌跡飛行剖面圖如圖1所示。

圖1 返回軌跡飛行剖面圖

在研究一子級返回軌跡的質(zhì)心運動時,不考其姿態(tài)的控制調(diào)整過程。由于工程設(shè)計人員在設(shè)計之初更關(guān)注系統(tǒng)在平均狀態(tài)下的參數(shù),并且VTVL RLV一子級返回著陸時間較短,忽略地球的自轉(zhuǎn)運動和扁率的影響,根據(jù)文獻[7,13]推導(dǎo)了一子級返回軌跡的三自由度動力學方程,用如下的微分方程組表示:

(1)

式中：x、y、z為一子級在發(fā)射坐標系中的坐標；V為速度大??；θ為速度傾角；σ為偏航角,前3個量描述了一子級在發(fā)射坐標系中的位置,后3個量描述了其速度；m為一子級質(zhì)量；R為地球半徑；r為地心距；P為發(fā)動機推力；Isp為發(fā)動機比沖；g0為海平面重力加速度；gr=-μ/r2(μ為地球引力常數(shù))；α為攻角；β為側(cè)滑角。Xq、Yq、Zq為速度坐標系下的氣動力分量,定義為

(2)

式中：SM為運載火箭一子級參考面積；ρ為地球當?shù)卮髿饷芏?ρ=ρ0e-y/h0,ρ0為海平面大氣密度,h0為參考高度；Cx、Cy、Cz分別為阻力、升力和側(cè)力系數(shù),且Cz=-Cy,定義為

(3)

(4)

式(4)應(yīng)滿足初始狀態(tài)約束:

x(t0)-x0=0

(5)

為使VTVL RLV運載能力最佳并有足夠的燃料用于制導(dǎo)修正機動,一子級返回軌跡的性能指標為燃料消耗最少,即末端著陸質(zhì)量最大,軌跡優(yōu)化的目標函數(shù)表示為

minJ=-m(tf)

(6)

在返回的過程中路徑約束主要需要考慮動壓和過載的限制:

(7)

F=[F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8]T=

[n(1),n(2),n(3),n(4),q(1),q(2),q(3),q(4)]T-

(8)

著陸段終端著陸要求一子級位置和速度都要達到指定的目標和精度,同時其姿態(tài)要保證垂直。本文研究中采用位置x、位置y、位置z、速度和當?shù)厮俣葍A角作為終端著陸約束,則終端等式約束G可以表示為

G=[G1,G2,G3,G4,G5]T=[x(tf),y(tf),z(tf),

V(tf),θ(tf)]T-[xf,yf,zf,Vf,θf]T=0

(9)

式中：x(tf)、y(tf)、z(tf)、V(tf)、θ(tf)分別為計算得到的著陸點的位置x、位置y、位置z、速度、當?shù)厮俣葍A角；xf、yf、zf、Vf、θf分別為目標著陸點位置x、位置y、位置z、速度、當?shù)貜椀纼A角。

從而建立了確定性條件下的優(yōu)化模型,即尋找最優(yōu)的控制變量u(t),使得式(6)的目標函數(shù)最優(yōu),并滿足式(4)的微分方程約束、式(5)的初始狀態(tài)約束、式(8)的路徑約束以及式(9)的終端著陸等式約束。

2 返回軌跡不確定性優(yōu)化模型

本節(jié)在所建立的確定性優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上,引入不確定性因素,建立了由魯棒最優(yōu)目標函數(shù)、基于可靠度的路徑約束和魯棒等式約束構(gòu)成的隨機不確定性優(yōu)化模型。本文考慮的不確定性為隨機不確定性參數(shù),假定這些不確定性參數(shù)之間相互獨立且服從均勻分布。

2.1 魯棒最優(yōu)目標函數(shù)

為了提高不確定性條件下VTVL RLV返回軌跡的魯棒性,并保證燃料消耗盡可能的小,需要在式(6)所示的目標函數(shù)中需要平衡魯棒性和最優(yōu)性?？紤]到標準差可以表示不確定性條件下返回軌跡的魯棒性,而均值可以表示其最優(yōu)性,因此通過均值μ(·)和標準差σ(·)建立魯棒優(yōu)化目標函數(shù)

(10)

2.2 基于可靠度的路徑約束

在不確定性條件下開展返回軌跡的優(yōu)化時,路徑約束可能會超過設(shè)計要求。處理該問題的一個途徑是在約束限制范圍內(nèi)確定極端情況,然而由于一子級返回動力學的高度非線性以及不確定性的多樣性,極端情況很難找到。將統(tǒng)計矩引入路徑約束之中確實能夠解決隨機約束問題,但是在強非線性的返回動力學中高階矩的約束限值難以獲得,并且這種方法處理的路徑約束沒有明確的物理意義。本文引入概率信息,采用基于概率可靠度的方法對路徑約束進行處理,它是一種在預(yù)先確定的可靠度要求下,以較小的失效概率進行優(yōu)化設(shè)計的方法。

在隨機空間中,引入不確定因素之后,式(4)變?yōu)殡S機微分方程組

(11)

式(8)的路徑約束可轉(zhuǎn)換為

(12)

(13)

式中：可靠度向量α=[α1,α2,…,α8]T,當可靠度向量確定之后,路徑約束的可行域隨之確定。

2.3 魯棒等式約束

由于優(yōu)化問題在不確定條件下的概率性質(zhì),等式約束并不總是能夠嚴格滿足的,等式約束在不確定性條件下是一個隨機函數(shù),不能完全相同的等于常值。魯棒優(yōu)化中處理等式約束通常有2種方法[27]：一是完全滿足均值的等式約束,在該方法中,等式約束只需滿足均值設(shè)計要求即可；二是采用近似矩匹配方法,設(shè)計者可以指定關(guān)于等式約束的均值和標準差的偏好。在實際設(shè)計中,對于不同的等式約束,設(shè)計者可根據(jù)需求選擇不同的處理方法。

對于式(5)中初始狀態(tài)的等式約束,本文采用均值方法進行魯棒設(shè)計,可以表示為

(14)

對于終端著陸約束,本文采用近似矩匹配方法,即基于均值和標準差的統(tǒng)計矩對其進行設(shè)計,即

(15)

(16)

值得注意的是,在已有的文獻研究中[21],魯棒等式約束通常如下處理:

(17)

式中：κσ為標準差對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。

相比于式(17)將等式約束用均值和標準差的加權(quán)組合表示,本文將均值和標準差采用2個單獨的約束,如式(15)和式(16)所示,雖然增加了約束的數(shù)量,但是其具有更明確的物理意義,即不確定性等式約束函數(shù)滿足均值意義上的原始精度著陸要求,而其標準差有單獨的敏感度約束,在均值和標準差的共同約束下構(gòu)成了魯棒等式約束。

3 基于非侵入式多項式混沌展開的返回不確定性軌跡序列優(yōu)化與可靠度評估策略

本節(jié)基于非侵入式多項式混沌展開(Nonintrusive Polynomial Chaos Expansion, NPCE)方法求解魯棒目標函數(shù)和等式約束的均值和標準差,同時基于NPCE方法提高最可能點策略[15]進行路徑約束可靠性評估的效率,形成了基于NPCE方法的序列優(yōu)化和可靠度評估(SORA)不確定軌跡魯棒優(yōu)化策略。

3.1 基于NPCE的魯棒目標函數(shù)和等式約束的不確定性量化

由式(10)、式(14)～式(16)可知,在每次優(yōu)化迭代中需要對目標函數(shù)和等式約束進行統(tǒng)計特性的求解。本節(jié)基于NPCE方法求解返回軌跡的近似解,然后通過近似解的系數(shù)獲得目標函數(shù)和等式約束的均值和標準差值。

(18)

(19)

式中：iN為隨機變量向量ξ每一維的展開階數(shù)。

需要指出的是,多維隨機變量的多項式基函數(shù)φi(ξ)可以通過單變量的多項式進行張量積運算得到

φi(ξ)=φj1(ξ1)φj2(ξd)…φjd(ξd)

(20)

式中：φjk(ξk)為jk∈Ni階隨機變量ξk的多項式基函數(shù),k=1,2,…,d。

(21)

根據(jù)正交多項式的正交特性,可得

(22)

為方便推導(dǎo),將式(22)中k替換為i,則多項式系數(shù)可表示為

(23)

式中：μ[·]表示期望運算。

式(23)中的期望運算可以用積分表示為

(24)

式中:f(ξ)為概率密度函數(shù)。

因此,式(23)可以進一步表示為

(25)

采用高斯加權(quán)公式近似式(25)右端的積分運算,即

(26)

式中：ξj為隨機樣本積分節(jié)點;M為樣本的總數(shù);wj(ξj)為積分節(jié)點對應(yīng)的權(quán)重系數(shù);式(26)的精度可以通過增加樣本數(shù)量得到提高[28]。

類比目標函數(shù)的多項式基函數(shù)系數(shù)推導(dǎo)過程,可得終端等式約束的系數(shù)表達式為

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

對于隨機變量向量ξ,設(shè)其維數(shù)為d,即包含d個不確定性參數(shù),每個分量ξi選取Mi個積分節(jié)點,通過張量網(wǎng)格方法得到的隨機樣本的總數(shù)為

M=M1…Mi…Md

(32)

式中：i∈Nd。若每一維隨機變量的節(jié)點數(shù)均為Mξ,則d維隨機空間總的節(jié)點數(shù)為

(33)

注意到每組節(jié)點ξj組成的樣本點均對應(yīng)一組R7空間下的微分方程組,因此M個積分節(jié)點對應(yīng)的微分方程組可寫為

(34)

式(34)滿足：

(35)

式(35)為式(14)對應(yīng)的初始狀態(tài)約束,考慮到不確定性參數(shù)積分節(jié)點服從零均值均勻?qū)ΨQ分布,初始狀態(tài)的均值等式約束自然滿足。

至此,將式(11)的隨機微分方程組變?yōu)槭?34)在RM×7空間下的微分方程組,將隨機空間的不確定性軌跡轉(zhuǎn)為高維空間下的確定性軌跡求解。在不確定性軌跡優(yōu)化中,每次迭代求解魯棒優(yōu)化目標函數(shù)和魯棒等式約束時,需要求解M×7個微分方程組,得到樣本解之后根據(jù)式(26)～式(31)求解得到目標函數(shù)和終端等式約束多項式混沌展開的系數(shù)解,進一步計算得到目標函數(shù)和終端等式約束的均值和標準差表達式為

(36)

(37)

(38)

(39)

3.2 基于NPCE的最可能點法

在不確定性優(yōu)化設(shè)計問題中,除了優(yōu)化環(huán)節(jié)之外,還要對優(yōu)化結(jié)果進行評估,分析優(yōu)化設(shè)計的魯棒性及可靠性。對于等式約束,通過均值和標準差進行約束,可保證其魯棒性；對于路徑約束,在保證樣本點滿足約束要求的情況下需要進行可靠度評估?；谧羁赡茳c的分析方法是可靠性評估的一種有效方法[29],能夠通過優(yōu)化求得所設(shè)計的可靠度對應(yīng)的不等式約束限值。

考慮本文優(yōu)化問題的一個路徑約束:

(40)

式(40)的概率約束可以進一步表示為

(41)

結(jié)合式(40)和式(41),可建立可靠度與其對應(yīng)的不等式約束限值之間的映射關(guān)系為

(42)

(43)

式中:Φ(·)為標準正態(tài)分布函數(shù);E(·)為累積分布函數(shù);ul為不確定性因素ξ的函數(shù),可將其視為ξ張成的超球面上的一個點。

Φ(βl)=αl

(44)

由于ul為隨機變量ξ的函數(shù),其近似解析函數(shù)可以通過NPCE方法獲得

(45)

3.3 基于NPCE的序列優(yōu)化和可靠度評估策略

序列優(yōu)化和可靠度評估(SORA)最先用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化,然后逐步用于多學科設(shè)計優(yōu)化[30]。本節(jié)結(jié)合前文所述的基于NPCE的魯棒目標函數(shù)及等式約束構(gòu)成的隨機魯棒優(yōu)化模型、基于NPCE的改進的最可能點分析方法,展示了返回軌跡SORA方法的分析流程,如圖2所示。

圖2 SORA方法流程

SORA方法采用單回路策略,將問題分解為具有一系列隨機魯棒優(yōu)化和可靠度評估環(huán)節(jié)。對于隨機魯棒優(yōu)化環(huán)節(jié)而言,基于NPCE方法將隨機空間下的優(yōu)化問題模型轉(zhuǎn)換為高維空間下的等價的確定性優(yōu)化問題模型,從而采用軌跡優(yōu)化算法如序列二次規(guī)劃算法進行優(yōu)化求解。對于可靠度評估環(huán)節(jié)而言,引入了基于NPCE的最可能點方法來計算要求的可靠度對應(yīng)的約束限值。在每個SORA的循環(huán)中,魯棒優(yōu)化與可靠度評估相互解耦,可靠度評估只在魯棒優(yōu)化后進行,以驗證不確定性條件下約束的可行性。

該方法的關(guān)鍵是根據(jù)前一個周期獲得的可靠性信息,將失效約束的邊界轉(zhuǎn)移到可行方向。但是在初始迭代時,由于缺少可靠度對應(yīng)的不等式約束的限值,因此考慮將名義值作為初次迭代的設(shè)計值。若不等式約束不滿足所要求的可靠度對應(yīng)的約束限值,則需要對約束限值進行更新,然后以更新后的約束限值代入隨機魯棒優(yōu)化環(huán)節(jié)再次進行優(yōu)化,而新的優(yōu)化結(jié)果已不同于上一輪的優(yōu)化結(jié)果,因此需要對新一輪的約束值再次進行可靠度評估,直至約束限值達到設(shè)計要求為止。一般而言,序列優(yōu)化只需要有限次迭代即可收斂[31]。SORA的主要執(zhí)行步驟如下:

步驟2在每一次的隨機魯棒優(yōu)化與可靠度評估中,將可靠性和魯棒性并存的隨機優(yōu)化問題模型轉(zhuǎn)化為如下的高維空間的確定性優(yōu)化問題模型進行求解：

(46)

滿足：

(47)

(48)

(49)

(50)

m=1,2,…,5

(51)

式中：下標k為序列優(yōu)化迭代的次數(shù)。式(46)～式(51) 將隨機魯棒優(yōu)化問題模型轉(zhuǎn)換為確定性優(yōu)化模型進行求解,可選擇合適的優(yōu)化算法進行軌跡優(yōu)化,圖3給出了隨機魯棒優(yōu)化的計算框架。

圖3 隨機魯棒優(yōu)化的計算框架

(52)

通過不斷執(zhí)行步驟2和3進行序列優(yōu)化,直至MPP方法評估得到的約束限值小于名義設(shè)計值即可結(jié)束優(yōu)化。

4 仿真結(jié)果及分析

表1 初始狀態(tài)參數(shù)和目標著陸點狀態(tài)參數(shù)

選取初始狀態(tài)參數(shù)中的分離速度和模型參數(shù)中的大氣密度作為不確定性參數(shù),不確定性參數(shù)的分布如表2所示。

表2 不確定性參數(shù)

在可靠度評估環(huán)節(jié)中,各個路徑約束的可靠度設(shè)計為

Prob{q(n)≤1.4×105N/m2}≥97%,n=1,2,3,4

(53)

Prob{n(n)≤9g}≥97%,n=1,2,3,4

(54)

本節(jié)設(shè)計了一個VTVL RLV返回任務(wù)來驗證所提出的基于NPCE的SORA方法的有效性。數(shù)值仿真對比了基于可靠度的魯棒軌跡優(yōu)化解與確定性優(yōu)化(Deterministic Optimization, DO)解。SORA和DO均選取序列二次規(guī)劃算法(SQP)作為返回軌跡優(yōu)化方法。在基于NPCE方法的SORA中,每個不確定參數(shù)對應(yīng)的隨機變量取5個積分節(jié)點,則兩個不確定性參數(shù)對應(yīng)的總的樣本數(shù)為25個,所以在式(34)所示的微分方程組中,RM×7=R25×7,即在每次迭代計算中,需要對175維的樣本軌跡進行積分運算。下面以DO軌跡解作為參考,分析SORA軌跡解的魯棒性和可靠性,并結(jié)合基于蒙特卡羅(MC)的傳統(tǒng)優(yōu)化方法驗證本方法的精度和效率。

4.1 SORA和DO方法的標稱軌跡對比分析

圖4展示了SORA和DO優(yōu)化得到的最優(yōu)控制律在標稱情況下各個狀態(tài)量的變化曲線。圖4(a)和圖4(b)分別為過載和動壓隨時間的變化曲線,可以看出,SORA解和DO解均在所要求的路徑約束限值之內(nèi)。但是DO解的過載和動壓最大值接近于所設(shè)定的限值,并且SORA解的過載和動壓的最大值要小于DO解的最大值,這意味著在存在不確定性的情況下,若按照DO解的最優(yōu)控制律飛行,則很有可能越過安全區(qū),飛行器在返回過程會存在很大的風險。圖4(c)～圖4(e)分別為末端著陸約束參數(shù)隨時間的變化曲線,包括位置、速度和速度傾角變化曲線,可以看出SORA對應(yīng)的標稱軌跡具有與DO解近似的軌跡。換言之,從狀態(tài)約束的角度考慮,SORA的最優(yōu)解具有一定的DO解的最優(yōu)性。但是由于SORA的最優(yōu)控制律是在不確定性條件下得到的,末端著陸狀態(tài)是以均值作為約束指標,所以在標稱情況下的垂直著陸段末端著陸精度比DO要低,甚至有可能會出現(xiàn)不滿足精度的情況,但是約束的偏差在飛行器調(diào)節(jié)的能力范圍之內(nèi),可以通過制導(dǎo)控制系統(tǒng)修正實現(xiàn)精確著陸。圖4(f)～圖4(h)分別展示了攻角、側(cè)滑角和發(fā)動機推力隨時間的變化曲線。

總體而言,與DO方法得到的最優(yōu)控制律相比,SORA所需的攻角和側(cè)滑角的控制能力和調(diào)節(jié)范圍要更大,這在動力減速段和垂直著陸段表現(xiàn)得尤為明顯。同時,在動力減速段,SORA優(yōu)化得到的發(fā)動機推力更大,從而在圖4(i)的燃料消耗隨時間的變化曲線中,可以發(fā)現(xiàn)SORA的燃料消耗要高于DO的燃料消耗質(zhì)量,這是由于SORA解為均衡路徑約束的可靠性和終端著陸約束的魯棒性需要更高的控制和調(diào)節(jié)能力,以及更多的燃料消耗,同時也說明了基于可靠性的魯棒優(yōu)化不是尋找確定性最優(yōu)解,而是尋找一個可靠性和魯棒性最優(yōu)的多指標最優(yōu)解。

圖4 標稱情況下SORA和DO得到的返回軌跡

4.2 終端著陸約束魯棒性分析

在控制律確定的情況下,本文選取的初始速度和大氣密度2個不確定性因素對于燃料消耗沒有影響,因此這里不需要對目標函數(shù)的魯棒性進行分析,只需要對終端著陸參數(shù)進行魯棒性分析。如圖5(a)和圖5(b)展示了終端著陸約束參數(shù)的散點偏差分布,可以發(fā)現(xiàn)SORA方法得到的落點所形成的包絡(luò)區(qū)域在DO方法得到的落點所形成的包絡(luò)區(qū)域之內(nèi)。返回著陸軌跡的魯棒性可以用標準差來衡量,為了更加直觀地比較不確定性條件下的SORA和DO解的魯棒性,通過蒙特卡羅打靶仿真,統(tǒng)計終端著陸點的狀態(tài)集合,并使用正態(tài)函數(shù)擬合著陸點的分布情況,如圖5(c)～圖5(g) 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)SORA方法得到的末端著陸點比DO方法更加接近均值縱軸,并且在均值附近的分布更密集,在兩端的分布相對較小,這一點在終端速度和終端當?shù)厮俣葍A角上表現(xiàn)的尤為明顯。這是由于在SORA方法中考慮了終端著陸點的標準差約束,因此相對于DO方法而言,SORA在末端著陸約束上表現(xiàn)出更好的魯棒性。

圖5 終端著陸約束參數(shù)的散點及概率分布

4.3 路徑約束可靠性分析

本節(jié)將均勻分布的不確定性因素ΔV0和Δρ歸一化到[-1,1]區(qū)間,對應(yīng)的隨機變量符號表示為ξv和ξρ。DO解和SORA解對應(yīng)的路徑約束參數(shù)峰值的分布分別如圖6和圖7所示。為了更加直觀地表示路徑約束峰值與其設(shè)計限值之間的關(guān)系,分別用過載和動壓的峰值除以其設(shè)計限值進行歸一化處理,若歸一化的值小于1則滿足路徑約束,反之則不滿足約束。從圖6和圖7可以看出,在不確定性條件下,DO的解顯然超過了設(shè)計限值,在很多情況下不滿足約束；而對于SORA方法,在考慮可靠性的優(yōu)化中,盡管存在±30 m/s 的速度不確定性和±20%的大氣密度不確定性,路徑約束均滿足設(shè)計要求,可靠度指標也達到了要求。

圖6 DO解在不確定條件下的路徑約束峰值

圖7 SORA解在不確定條件下的路徑約束峰值

圖8為SORA和DO解的過載和動壓在不確定性條件下的概率累積分布情況。從圖8(a)可以看出,在過載限值為9g的情況下,DO解的可靠度指標僅為0.49。因此,盡管DO解在標稱情況下路徑約束滿足設(shè)計限值(圖4(a)所示),但是在初始速度和大氣密度存在不確定性的情況下不滿足可靠度要求,并且很容易陷入失效域,對飛行器帶來極大的風險。同樣地,對于DO解的動壓而言,在動壓限值為1.4×105的情況下,動壓的可靠度指標僅為0.463,不滿足可靠性要求。而SORA解的過載和動壓約束的最值均未超過設(shè)計限值,可靠度也達到了設(shè)計要求,這證明了該方法中可靠度評估環(huán)節(jié)的有效性。

圖8 SORA和DO解路徑約束峰值的概率累積分布

4.4 精度和效率分析

為進一步說明基于NPCE的SORA方法的精度和效率,本節(jié)將該方法與傳統(tǒng)的基于MC仿真的序列優(yōu)化方法進行對比分析。在基于MC的可靠性評估中,采用同樣的參數(shù)配置。兩者的主要區(qū)別在于,在SORA的可靠度評估中,約束樣本通過NPCE方法求得；而在基于MC的約束可靠度評估中,樣本點通過檢測MC統(tǒng)計值的收斂情況得到,當約束統(tǒng)計均值小于某一設(shè)定的偏差時則可認為其收斂。

圖9給出了2種可靠度評估方法的路徑約束峰值分布?？梢钥闯?2種方法的動壓和過載的都達到了97%的可靠度設(shè)計要求。2種方法的過載和動壓的小偏差可以看出所提的SORA方法具有較高的精度。在兩種方法的序列優(yōu)化中,可靠度評估貫穿于整個優(yōu)化求解過程。在基于MC的可靠度評估中,進行了3 000次樣本計算后才達到收斂,可靠度評估時間接近3 025 s。而SORA的可靠度評估環(huán)節(jié)中,只需要計算25個樣本點,大約25 s的計算時間。因此,基于NPCE的SORA方法在可靠度評估中具有較高的計算效率。

圖9 基于NPCE和基于MC方法的路徑約束峰值分布

5 結(jié) 論

本文針對返回軌跡存在不確定性的問題,在同時考慮返回軌跡魯棒性和可靠性的基礎(chǔ)上,提出了基于非侵入式多項式混沌展開的序列優(yōu)化和可靠度評估策略。得出如下主要結(jié)論：

1) 建立了由魯棒目標函數(shù)、基于可靠度的路徑約束和魯棒等式約束組成的返回軌跡不確定性優(yōu)化模型,基于非侵入式多項式混沌展開方法對魯棒目標函數(shù)和等式約束進行量化處理,將隨機空間下的不確定性優(yōu)化問題模型轉(zhuǎn)換為高維空間下的等價的確定性優(yōu)化問題模型。仿真表明,與DO方法相比,不確定優(yōu)化不是尋找確定性最優(yōu)解,而是尋找一個可靠性和魯棒性最優(yōu)的“次優(yōu)解”。

2) 采用基于非侵入式多項式混沌展開方法的最可能點法,在要求的可靠度下評估路徑約束滿足的程度,進一步提高了可靠度評估的效率。

3) 所提出的基于非侵入式多項式混沌展開的序列優(yōu)化和可靠度評估策略將問題分解為隨機魯棒優(yōu)化和可靠度評估環(huán)節(jié),提高了軌跡解的等式約束的魯棒性和路徑約束的可靠性,同時也具有較高的精度和計算效率。

總之,本文所提出的不確定性優(yōu)化方法增強了參考軌跡的跟蹤能力和反不確定性能力,提高了返回軌跡的魯棒性和可靠性,對于中國未來垂直起降可重復(fù)使用運載火箭的發(fā)展具有一定的理論研究價值和工程參考意義。