馮浩陽,岳曉奎,汪雪川,*

1.西北工業(yè)大學(xué) 航天飛行動力學(xué)技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710072

2.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,西安 710072

Lambert問題是航天動力學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典問題,很多學(xué)者對其進(jìn)行研究并提出了不同的解決方法。在工程領(lǐng)域,由于攝動Lambert問題不具備解析解,因此主要通過數(shù)值方法進(jìn)行求解。常用的攝動Lambert問題解法主要包括兩類,一類是將其轉(zhuǎn)換為初值問題進(jìn)行迭代求解,另一類是通過離散化方法將其轉(zhuǎn)換為非線性代數(shù)方程組進(jìn)行求解。

將邊值問題轉(zhuǎn)換為初值問題的方法中,最具代表性的方法即打靶法。打靶法[1-2](Shooting Method)把兩點(diǎn)邊值問題轉(zhuǎn)化為初值問題,并使用牛頓法(Newton’s Method)對初速度進(jìn)行迭代修正,該方法雖然具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn),但其收斂域很小且對初值非常敏感,實(shí)際應(yīng)用缺陷較大。多重打靶法[3]融合了有限差分法和打靶法,它將整個(gè)求解區(qū)間劃分為多個(gè)子區(qū)間,并在各個(gè)子區(qū)間上求解初值問題,相對于簡單打靶法,該方法具有更大的收斂域,但仍具有計(jì)算不穩(wěn)定的缺陷,且在各個(gè)子區(qū)間的邊界上存在速度不連續(xù)的問題。隱式打靶法[4]在間接法思想的基礎(chǔ)上,借助尺度變換法和變分法,在求解包含隱式終端約束的軌道優(yōu)化問題中得到應(yīng)用。直接變換法[5-6]能夠?qū)牲c(diǎn)邊值問題轉(zhuǎn)化為一對初值問題,計(jì)算簡便,但該方法對微分方程的形式和邊值條件有特定要求,對于一般的非線性兩點(diǎn)邊值問題并不適用。其他方法如Gooding給出了迭代變量的最優(yōu)起始公式[7],得到了在所有情形下都可以迅速收斂的高精度Lambert問題算法,Battin通過迭代高斯方程[8]得到Lambert問題的解,但是這些經(jīng)典方法都不適用于一般的攝動Lambert問題。

在邊值問題的離散化方法中,有限差分法[9]的應(yīng)用較早,通過差分估計(jì)將轉(zhuǎn)移軌跡離散為大量的差分節(jié)點(diǎn),進(jìn)而對其進(jìn)行代數(shù)求解。然而有限差分法需要建立大規(guī)模非線性代數(shù)矩陣方程,并且需要存儲大量節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)。對于大范圍軌道轉(zhuǎn)移的攝動Lambert問題,有限差分法不僅求解困難,其數(shù)值計(jì)算精度也較低。配點(diǎn)法[10]也是求解初值問題和兩點(diǎn)邊值問題的重要方法,該方法使用基函數(shù)對時(shí)間域內(nèi)的配點(diǎn)插值,從而得到半解析解,且無需存儲大量的離散數(shù)據(jù)[11]。NK/C偽譜法[12]使用Chebyshev正交多項(xiàng)式作為插值基函數(shù),在求解Lambert問題、相對軌道轉(zhuǎn)移等航天動力學(xué)問題中得到應(yīng)用。徑向基函數(shù)(RBFs)方法[13]則使用徑向基函數(shù)對配點(diǎn)插值,在求解二體問題中得到應(yīng)用。配點(diǎn)法具有精確高效的優(yōu)點(diǎn),但在計(jì)算過程中需要對雅克比矩陣求逆,這通常比較繁瑣。修正Chebyshev-Picard迭代法(MCPI)[14]利用Picard迭代構(gòu)造出修正公式,通過正交多項(xiàng)式插值逼近真實(shí)解,避免了矩陣求逆。反饋加速Picard迭代法[15]對修正變分迭代法[16]進(jìn)行改進(jìn),并融合了配點(diǎn)法的思想,使用第一類Chebyshev正交多項(xiàng)式對配點(diǎn)插值,得到了一種可用于攝動軌道遞推和攝動Lambert問題的新型算法。受算法特點(diǎn)所限,該方法的遞推公式需要在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上迭代,為了達(dá)到較高計(jì)算精度需要設(shè)置較多的配點(diǎn)和較多的基函數(shù),使計(jì)算量增加。

本文提出一種基于擬線性化和局部變分迭代法的攝動Lambert問題求解方法,該方法能夠一般性的應(yīng)用于地球衛(wèi)星軌道、相對運(yùn)動軌道、深空軌道等不同軌道類型的轉(zhuǎn)移問題中,為地球衛(wèi)星的單圈或多圈軌道轉(zhuǎn)移、航天器的交會對接、多航天器編隊(duì)飛行、深空探測等任務(wù)提供穩(wěn)定、精確、實(shí)時(shí)的軌道轉(zhuǎn)移算法。在攝動Lambert問題中,使用擬線性化[17](Quasi Linearization)法將攝動Lambert問題轉(zhuǎn)化為迭代形式的線性邊值問題,通過疊加法將線性邊值問題分解為兩個(gè)初值問題,并得到初速度和轉(zhuǎn)移軌道的迭代公式。與傳統(tǒng)打靶法相比,其迭代格式更加簡單,計(jì)算更加穩(wěn)定,且收斂域顯著增大。在初值問題的解算方面,本文利用了局部變分迭代法[18-19](Local Variational Iteration Method)精確高效的優(yōu)點(diǎn),在計(jì)算過程中不涉及非線性代數(shù)方程組的矩陣求逆操作,因此計(jì)算簡便高效。在此基礎(chǔ)上提出的擬線性化-局部變分迭代法(QL-LVIM),經(jīng)過較少的幾次迭代,計(jì)算結(jié)果即可達(dá)到很高精度。在初值選取方面,避免了常用的通過二體模型確定初始估計(jì)的步驟,可以通過更簡潔的方式進(jìn)行確定。該方法不僅具有與牛頓打靶法相當(dāng)?shù)目焖偈諗啃?還克服了傳統(tǒng)打靶法初值敏感、收斂域小的缺點(diǎn),并且在同等計(jì)算精度下,能夠顯著提高計(jì)算效率。該方法的精確性、穩(wěn)定性和實(shí)時(shí)性在低軌轉(zhuǎn)移和高軌轉(zhuǎn)移情形下得到了驗(yàn)證,結(jié)果表明,相對于對比方法,本方法在計(jì)算效率和收斂域方面具有明顯優(yōu)勢。通過地-月系三體轉(zhuǎn)移問題對方法的適用性進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。此外,文獻(xiàn)[17]中擬線性化方法僅用于求解一維兩點(diǎn)邊值問題,本文探究了該方法在多維兩點(diǎn)邊值問題求解中的應(yīng)用。

1 問題描述

1.1 非線性邊值問題的擬線性化

考慮兩點(diǎn)邊值問題,對于如下非線性二階微分方程:

y″=f(t,y,y′)

(1)

滿足如下邊界條件：

y(t0)=y0,y(tf)=yf

(2)

式中：y′=dy/dt,y″=d2y/dt2。

式(1)可以改寫為

φ(t,y,y′,y″)=y″-f(t,y,y′)=0

(3)

為得到迭代方程,令yn和yn+1分別表示第n次和第n+1次迭代結(jié)果,并且均滿足φ=0,對第n次迭代,有

(4)

將第n+1次迭代結(jié)果展開有

φ(t,yn+1,y′n+1,y″n+1)=φ(t,yn,y′n,y″n)+

(5)

略去二階及以上偏導(dǎo)數(shù),式(5)可簡化為

(y″n+1-y″n)+…=0

(6)

將式(4)代入式(6)可得

(7)

對應(yīng)的邊界條件為

yn+1(t0)=y0,yn+1(tf)=yf

(8)

則式(1)和式(2)構(gòu)成的非線性兩點(diǎn)邊值問題被轉(zhuǎn)化為式(7)和式(8)構(gòu)成的迭代形式的線性兩點(diǎn)邊值問題,通過對其多次求解和迭代,即可不斷逼近原非線性兩點(diǎn)邊值問題的解。在擬線性化處理中,雖然忽略了二階及以上偏導(dǎo)數(shù),但通過多次迭代,仍可以使計(jì)算結(jié)果達(dá)到較高精度。

1.2 攝動Lambert問題的擬線性化

航天器在繞地球運(yùn)行中,會受到地球非球形攝動、大氣阻力攝動、日月攝動、太陽光壓攝動等干擾。在近地軌道,主要攝動因素為地球非球形攝動和大氣阻力攝動,在中高軌道,主要攝動因素為地球非球形攝動[20-21],這里考慮地球非球形攝動和大氣阻力攝動,忽略其他高階小攝動力的影響。在赤道慣性坐標(biāo)系下,航天器的軌道動力學(xué)方程為

(9)

(10)

記軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間為tf,邊值條件為

r(t0)=r0

(11)

r(tf)=rf

(12)

(13)

rn+1(t0)=r0

(14)

rn+1(tf)=rf

(15)

1.3 通過疊加法求解擬線性化形式的Lambert問題

為求解式(13),使用疊加法[17]將rn+1寫為

rn+1=V+W·s

(16)

式中:V和W為分運(yùn)動的位置矢量;s為飛行器在轉(zhuǎn)移軌道起點(diǎn)處的速度,即

(17)

在t0時(shí)刻,初值條件式(14)滿足：

rn+1(t0)=V(t0)+W(t0)·s=r0

(18)

(19)

為應(yīng)用疊加法,將約束(18)和(19)做如下分解:

式中:03×3為3階零矩陣;03×1為3×1零向量,E3×3為3階單位陣。則式(13)～式(15) 構(gòu)成的兩點(diǎn)邊值問題被分解為如下兩個(gè)初值問題。

1) 初值問題Ⅰ

(20)

(21)

2) 初值問題Ⅱ

(22)

(23)

利用邊值條件(15)有

rn+1(tf)=V(tf)+W(tf)·s=rf

(24)

s=W(tf)-1·[rf-V(tf)]

(25)

不同于對初值敏感的牛頓法,擬線性化方法具有較大的收斂域,在確定邊值問題的初始估計(jì)解時(shí)可以較為隨意,這里以連接2個(gè)邊界點(diǎn)的線段作為初始估計(jì)解。另外,由于03×3和E3×3均為3×3矩陣,直接求解初值問題Ⅱ比較繁瑣,此時(shí)可以將其分解為x、y、z方向上的3個(gè)子問題,并分別求解,由3個(gè)子問題的求解結(jié)果合并得到W,注意圖1中rn,n=0表示初始估計(jì)解而非轉(zhuǎn)移軌道的初始位置。

圖1 擬線性化法求解Lambert問題的流程

1.4 局部變分迭代法對初值問題的求解

經(jīng)典的求解初值問題的方法有歐拉法、龍格庫塔方法、線性多步法等,為得到較高精度的解,這些方法需要設(shè)置較小的步長,造成計(jì)算耗時(shí)較長,并且需要存儲大量的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)。局部變分迭代法也是求解初值問題的方法之一,并具有精確高效的優(yōu)點(diǎn),計(jì)算中選取較大的步長就可以達(dá)到較高的計(jì)算精度,且無需存儲大量節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù),這里使用該方法對以上2個(gè)初值問題進(jìn)行求解。對于如下一階非線性微分方程：

(26)

x(t)=[x1(t),x2(t),…,xd(t),…,xD(t)]T為隨時(shí)間變化的D維矢量。首先給出方程解的初始估計(jì),記為x0(τ),隨后在求解區(qū)間內(nèi)對其進(jìn)行多次修正,從而不斷逼近方程的真實(shí)解,迭代公式為

τ]}dτ

(27)

式中:λ(τ)為待定的拉格朗日乘子矩陣。式(27)表明,近似解xn+1包括2部分,一部分為xn,另一部分為xn在t時(shí)刻之前累計(jì)偏差的加權(quán)平均。若使式(27)右端關(guān)于xn不變,則右端的變分為零,由此可以得到如下約束：

(28)

式中：t0≤τ≤t;I為單位陣;J(τ)=?g(xn,τ)/?xn。將λ(τ)在τ=t處做一階泰勒展開,可以得到

λ(τ)≈-I+J(t)(τ-t)

(29)

(30)

通過在時(shí)間域配點(diǎn)可以將式(30)離散化,記t1,t2,…,tM為配點(diǎn)時(shí)刻,則由式(30)可得

(31)

(32)

式中：Φd=[φd,1(t),φd,2,…,φd,N(t)]為基函數(shù)系;Ad=[αd,1(t),αd,2(t),…,αd,N(t)]T為基函數(shù)的系數(shù)矢量。當(dāng)x(t)的各分量用相同的正交基函數(shù)表示時(shí),編程會大大簡化,因此將Φd(t)統(tǒng)一寫為Φ(t)。根據(jù)式(32)有

(33)

(34)

對于第n次迭代,

(35)

式中：G(t)=[G1(t),G2(t),…,Gd(t),…,GD(t)]T為D維矢量。通過正交基函數(shù)插值,將Gd表示為

(36)

式中：Φ(t)=[φ1(t),φ2(t),…,φN(t)],Bd=[βd,1(t),βd,2(t),…,βd,N(t)]T,對xd(t)和Gd(t)的插值使用相同的基函數(shù)Φ(t)。在t1,t2,…,tM時(shí)刻,由式(36)可得

(37)

(38)

類似地可以得到

(39)

(40)

可以得到迭代公式為

(41)

2 求解驗(yàn)證

2.1 計(jì)算精度和效率分析

本節(jié)使用QL-LVIM對攝動Lambert問題進(jìn)行求解,并與另外4種求解兩點(diǎn)邊值問題的方法進(jìn)行對比。打靶法是求解兩點(diǎn)邊值問題的經(jīng)典方法之一,利用牛頓法可以得到初速度的迭代公式,并將兩點(diǎn)邊值問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)初值問題,若通過經(jīng)典的四階龍格庫塔方法(RK4)對初值問題進(jìn)行求解,就得到了牛頓-四階龍格庫塔方法(Newton-RK4),這里將其作為第1種對比方法。同時(shí),將牛頓法與局部變分迭代法結(jié)合,構(gòu)造Newton-LVIM作為第2種對比方法。牛頓法具有初值敏感性,當(dāng)初始估計(jì)與實(shí)際初速度偏差不是很大時(shí),才可以保證算法收斂。為了觀察大范圍收斂情況下不同方法的精度和效率,構(gòu)造擬線性化-四階龍格庫塔方法(QL-RK4)作為第3種對比方法。最后,與文獻(xiàn)[15]提出的反饋加速Picard迭代(FAPI)方法對比,該方法具有精度高、效率高的特點(diǎn)。本文使用聯(lián)想筆記本R480(CPU： Intel Core i5-8250U；RAM：8.00 G)安裝的MATLAB R2017a軟件進(jìn)行數(shù)值仿真,未采用GPU加速和并行計(jì)算。

表1 攝動Lambert問題的邊值條件和轉(zhuǎn)移時(shí)間

表2 計(jì)算參數(shù)

初始估計(jì)解可以通過多種方法確定,這里選取連接初始位置和末位置的勻速直線軌道,這種初始估計(jì)也被稱作“冷啟動”(詳見附錄A)。求解后得到低軌和高軌的轉(zhuǎn)移軌道如圖2所示,作為參照,調(diào)用MATLAB內(nèi)置的ODE45函數(shù)(將相對誤差和絕對誤差分別設(shè)置為1×10-13和1×10-15),根據(jù)QL-LVIM求出的初速度做軌道遞推,遞推結(jié)果也在圖2中給出,可以看到QL-LVIM的計(jì)算結(jié)果和ODE45函數(shù)的遞推結(jié)果能夠很好的擬合。

圖2 擬線性化-局部變分迭代法的求解結(jié)果

為進(jìn)一步分析QL-LVIM的計(jì)算精度和計(jì)算效率,將其與Newton-RK4、Newton-LVIM、QL-RK4、FAPI的計(jì)算誤差和計(jì)算時(shí)間進(jìn)行對比,相關(guān)參數(shù)和初始估計(jì)見表2。求解兩點(diǎn)邊值問題的關(guān)鍵在于求出準(zhǔn)確的初速度,初速度的精度反映了算法的精度,因此采用如下方式定義誤差：首先求出轉(zhuǎn)移軌道的初速度,再根據(jù)起點(diǎn)位置和初速度使用ODE45函數(shù)(調(diào)至最高精度)做軌道遞推,將遞推出的終點(diǎn)位置與實(shí)際終點(diǎn)位置rf進(jìn)行比較,則二者的偏差反映了初速度的精度和算法的精度,將該偏差定義為誤差。5種方法求出的初速度如表3所示,計(jì)算誤差和計(jì)算時(shí)間如表4所示,其中的計(jì)算時(shí)間為10次計(jì)算的平均值。

表3顯示,不同算法求出的初速度非常接近,5種算法的有效性得到互相驗(yàn)證。在2種軌道類型下,QL-LVIM、Newton-RK4、Newton-LVIM、FAPI算法求解結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后6位、后8位完全一致,QL-RK4求解結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后2位與其他算法一致,表明QL-LVIM、Newton-RK4、Newton-LVIM、FAPI算法精度較高,QL-RK4精度較低。

表4顯示,在表2的參數(shù)條件下,可以將QL-LVIM、Newton-RK4、Newton-LVIM、FAPI方法的計(jì)算誤差都調(diào)整至1×10-6級別,這能夠使不同算法的計(jì)算時(shí)間更具有可比性。在2種軌道類型下,QL-LVIM的計(jì)算時(shí)間均最短,其計(jì)算速度不同程度的快于其他算法,表明QL-LVIM具有更高的計(jì)算效率。而采用QL-RK4方法在經(jīng)過150 s以上的運(yùn)算后,精度也只能達(dá)到個(gè)位數(shù)級別,由于更長的計(jì)算時(shí)間很可能無法滿足航天工程中的實(shí)時(shí)性需要,因此沒有必要繼續(xù)延長計(jì)算時(shí)間以提高精度。這一結(jié)論也與表3的結(jié)果吻合。

表3 5種方法計(jì)算出的初速度對比

表4 5種方法的計(jì)算誤差與計(jì)算效率對比

QL-LVIM和FAPI都使用了變分迭代的思想,但前者計(jì)算速度更快,這是由于在應(yīng)用FAPI方法時(shí),必須在整個(gè)轉(zhuǎn)移區(qū)間上迭代,由于時(shí)間跨度較大,迭代所需的配點(diǎn)個(gè)數(shù)和基函數(shù)個(gè)數(shù)較多,參數(shù)選擇為M=N=32,使得計(jì)算量較大,且迭代次數(shù)較多。而本文方法克服了這一困難,在求解初值問題時(shí)可以將整個(gè)轉(zhuǎn)移區(qū)間劃分為眾多子區(qū)間,在每個(gè)子區(qū)間分別迭代求解,在M=N=10時(shí)即可達(dá)到同樣的計(jì)算精度。

QL-LVIM和QL-RK4都使用了擬線性化方法,但二者的計(jì)算精度和計(jì)算效率差異較大,這是由于RK4和LVIM具有不同的計(jì)算特點(diǎn)所致。具體來說,2種方法在對初速度進(jìn)行迭代時(shí),都用到了兩個(gè)初值問題在終點(diǎn)時(shí)刻的計(jì)算結(jié)果,在RK4方法中,終點(diǎn)之前所有節(jié)點(diǎn)的誤差都會累積至終點(diǎn),這造成累積誤差嚴(yán)重,計(jì)算精度較低,而在LVIM中,前一步長的誤差不會累積到下一步長,即終點(diǎn)處的計(jì)算結(jié)果不受終點(diǎn)之前各節(jié)點(diǎn)計(jì)算誤差的累積影響,因此精度較高。計(jì)算中RK4是利用小步長做單點(diǎn)遞推,LVIM則是在大步長內(nèi)對多個(gè)配點(diǎn)同時(shí)迭代,因此計(jì)算效率大大提高。這說明在應(yīng)用擬線性化方法之后求解初值問題時(shí),LVIM比RK4更有優(yōu)勢。

Newton-RK4與QL-RK4的計(jì)算效率和計(jì)算精度也差異較大,這是由于在Newton-RK4中,第1個(gè)初值問題的微分方程是原非線性微分方程,第2個(gè)初值問題的微分方程是原非線性微分方程關(guān)于初速度的偏導(dǎo)[17],非線性性質(zhì)沒有損失,因此計(jì)算精度較高。而QL-RK4方法中,2個(gè)初值問題求解的均為原非線性微分方程擬線性化后的微分方程,非線性性質(zhì)的丟失造成計(jì)算精度的損失,為了提高初速度的精度,就要進(jìn)一步縮小RK4方法的計(jì)算步長,這造成計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間增加,但即便如此,計(jì)算結(jié)果也無法獲得令人滿意的精度。

雖然Newton-LVIM方法也有較好的計(jì)算精度和效率,但該方法僅在初速度估計(jì)值比較接近真實(shí)值的情況下才有效,這也是Newton打靶法的主要缺陷。相對于Newton法,QL方法的一大優(yōu)勢是具有大收斂域,為分析QL法和Newton法的收斂性,將Newton-LVIM與QL-LVIM進(jìn)行對比,兩種方法均采用LVIM對初值問題進(jìn)行求解,以排除初值問題求解方法差異對收斂域的影響,對比結(jié)果在2.2節(jié)給出。

2.2 擬線性化方法與牛頓法的收斂性分析

在工程應(yīng)用中,算法的收斂性是衡量算法性能優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)之一,本節(jié)對QL-LVIM和Newton-LVIM的收斂域進(jìn)行對比分析。由于2種方法的收斂域難以直接精確求出,這里采用蒙特卡羅模擬方法,為2種方法隨機(jī)選取大量初值,考察在這些初值條件下兩種方法的收斂情況。如前文所述,QL法通過對初始估計(jì)解(一段運(yùn)行軌跡)不斷迭代得到真實(shí)解,Newton法通過對初速度估計(jì)值不斷迭代得到精確初速度。由于牛頓法不存在通用的初速度估計(jì)方法,這里假設(shè),通過二體模型或歷史數(shù)據(jù)大致知道真實(shí)初速度的數(shù)量級,在此基礎(chǔ)上,在以原點(diǎn)為球心、真實(shí)初速度的模為半徑的球面上隨機(jī)選取Ns個(gè)點(diǎn),以球心到這Ns個(gè)點(diǎn)的矢徑做為Ns個(gè)初速度估計(jì)值,并分別使用Newton-LVIM迭代求解,以驗(yàn)證各個(gè)初速度估計(jì)值的收斂性。為增強(qiáng)可比性,利用這Ns個(gè)初速度和初始位置r0、運(yùn)行時(shí)間tf構(gòu)造Ns種“冷啟動”(詳見附錄A),做為QL-LVIM的初始估計(jì)解,并分析收斂性,相關(guān)參數(shù)和模擬結(jié)果如表5和圖3所示。

表5中,對于QL-LVIM方法,在LEO情形下,2 000個(gè)初始估計(jì)中有1 606個(gè)收斂,經(jīng)計(jì)算這些收斂結(jié)果的方差為[5.7×10-21, 4.8×10-23, 6.7×-23],表明這些情形均收斂到了真實(shí)初速度且具有較高的精度,在HEO情形下,有1 933 個(gè)初始估計(jì)收斂到了真實(shí)初速度,這些結(jié)果的方差為[1.35×10-21, 3.36×10-25, 1.96×10-21],2種情形收斂初值的比例均達(dá)到80%以上。由于受大氣阻力影響更大,LEO情形的初值收斂比例略低。在Newton-LVIM方法下,隨機(jī)選取的初速度收斂的比例在20%左右,表明在上述隨機(jī)采樣方式下,QL法比Newton法具有更大的收斂域。其原因在于,不同于只對初速度進(jìn)行迭代的Newton法,QL算法對整條估計(jì)軌道上的節(jié)點(diǎn)都進(jìn)行迭代,這使得QL方法收斂域更大。圖3 直觀展示了2種方法下收斂初值的空間分布。

表5 擬線性化法與牛頓法的收斂性對比

圖3 擬線性化法與牛頓法收斂初值分布對比

3 QL-LVIM在三體問題求解中的應(yīng)用

為驗(yàn)證本文方法在其他軌道轉(zhuǎn)移問題中的適用性,本節(jié)對地-月系的圓型限制性三體問題進(jìn)行求解。

從地球到月球Halo軌道的轉(zhuǎn)移通常借助Halo軌道的穩(wěn)定流形[23],以地球到月球L1點(diǎn)Halo軌道的轉(zhuǎn)移為例,通常包括2個(gè)階段,第1階段是航天器從地球停泊軌道到穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移,第2階段是航天器沿著穩(wěn)定流形的運(yùn)動,這一階段不消耗或較少消耗能量。其中,地球軌道到穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移軌道要通過大量計(jì)算才能確定,傳統(tǒng)方法通常先借助蒙特卡羅模擬或經(jīng)驗(yàn)方法確定一條估計(jì)軌道,再通過打靶法將其修正到精確結(jié)果。但由于邊界條件和轉(zhuǎn)移時(shí)間是任意的,這樣的軌道搜尋過程較為耗時(shí)和不便,這里使用QL-LVIM方法對該問題進(jìn)行求解。假設(shè)轉(zhuǎn)移軌道的起點(diǎn)位于185 km高度的地球停泊軌道,其他初始條件和計(jì)算參數(shù)見表6。在地-月系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下,將地球、月球、航天器分別記為P1、P2、P3,則無量綱形式的航天器運(yùn)動方程為

表6 地-月Halo軌道轉(zhuǎn)移問題參數(shù)

(42)

圖4 地-月系三體轉(zhuǎn)移問題求解結(jié)果

4 結(jié) 論

設(shè)計(jì)了一種航天器軌道轉(zhuǎn)移問題的新型解法——擬線性化-局部變分迭代法(QL-LVIM)。該方法兼具擬線性化的大收斂域優(yōu)勢和局部變分迭代法的快速收斂優(yōu)勢,能夠?qū)壍擂D(zhuǎn)移問題進(jìn)行快速、精確、穩(wěn)定求解,較好地克服了牛頓打靶法收斂域小的缺陷和有限差分法計(jì)算效率低的缺陷。

1) 對LEO和HEO情形下的攝動Lambert問題的求解結(jié)果表明,QL-LVIM在計(jì)算效率方面具有明顯優(yōu)勢。在同等計(jì)算精度下,該方法的計(jì)算耗時(shí)遠(yuǎn)低于幾類對比方法。

2) 通過蒙特卡羅模擬對收斂域進(jìn)行分析,結(jié)果表明本文方法的收斂域遠(yuǎn)大于牛頓法,該結(jié)論在三維圖形中得到展示和驗(yàn)證。

3) 本文方法在計(jì)算效率和收斂域方面均具有優(yōu)勢,即使在計(jì)算能力較弱的星載計(jì)算機(jī)上也能快速計(jì)算出變軌結(jié)果,較少消耗星載計(jì)算機(jī)的計(jì)算資源。在未來工作中,將使用本方法解決相對運(yùn)動、深空探測等更復(fù)雜空間任務(wù)中的邊值問題,并對方法進(jìn)行優(yōu)化以進(jìn)一步提高計(jì)算性能。

4) 除連續(xù)和可導(dǎo),本文方法對于待求解的微分方程沒有更多要求,因此對其他領(lǐng)域的多維兩點(diǎn)邊值問題也具有適用性。