梅亞飛,廖瑛,龔軻杰,羅達(dá)

1.國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073

2.上海衛(wèi)星工程研究所,上海 201109

在空間技術(shù)日新月異發(fā)展的背景下,對(duì)空間飛行器的機(jī)動(dòng)性、準(zhǔn)確性等提出了更高的新要求。相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器的姿態(tài)和軌道的建模與控制問(wèn)題在空間交會(huì)對(duì)接、編隊(duì)飛行航天器等領(lǐng)域一直是研究的熱點(diǎn)。由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)具有強(qiáng)耦合非線性等特點(diǎn),傳統(tǒng)的將姿態(tài)和軌道運(yùn)動(dòng)分成獨(dú)立兩通道控制的思想忽略了二者之間耦合的影響,雖然滿足了一些實(shí)際航天任務(wù)的需求,但對(duì)于有高精度需求的航天任務(wù),分而治之的方法將顯得無(wú)能為力[1]。因此,尋求航天器姿軌一體化控制具有理論指導(dǎo)和工程實(shí)踐意義。

由于航天器長(zhǎng)期處于強(qiáng)輻射、超低溫等惡劣的太空環(huán)境,執(zhí)行機(jī)構(gòu)因老化或其他不可抵抗的誘因難免會(huì)出現(xiàn)各種各樣的故障,此時(shí)基于執(zhí)行機(jī)構(gòu)都正常工作的常規(guī)控制理論難以應(yīng)對(duì)各類(lèi)故障,最終可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的崩潰或失效。另外,航天器自身也會(huì)面臨內(nèi)部和外部的不確定性干擾,造成未建模動(dòng)態(tài)誤差,模型的不確定性也給控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來(lái)了巨大的挑戰(zhàn)。因此,針對(duì)上述故障和干擾的情形選擇合適的容錯(cuò)控制策略顯得尤為重要,這也為航天器長(zhǎng)期在軌服務(wù)運(yùn)行提供了有力保障。

目前針對(duì)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)和執(zhí)行器故障下的容錯(cuò)控制問(wèn)題已受到廣泛關(guān)注和研究[2-4]。但對(duì)于航天器姿軌一體化控制系統(tǒng),當(dāng)相對(duì)姿態(tài)和位置執(zhí)行機(jī)構(gòu)同時(shí)出現(xiàn)各類(lèi)故障時(shí),相關(guān)的六自由度容錯(cuò)控制算法設(shè)計(jì)還有很大的理論空白[5]。航天器姿軌一體化建模與控制方法目前主要分為3類(lèi)：第1類(lèi)是基于向量代數(shù)的方法,此方法采用的是姿態(tài)和軌道運(yùn)動(dòng)先獨(dú)立建模后耦合聯(lián)立方程的思想,難以從根本上解決姿軌耦合問(wèn)題[6]；第2類(lèi)是基于有限螺旋位移理論,該方法引入了李群、辛幾何、微分流形等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論工具,使得剛體運(yùn)動(dòng)能夠脫離具體模型,在統(tǒng)一的位形空間下表示[7-8]；第3類(lèi)是基于共形幾何代數(shù)的方法,該方法采用具有閔氏內(nèi)積結(jié)構(gòu)的五維向量空間,來(lái)描述三維歐氏空間的幾何與運(yùn)動(dòng)問(wèn)題[9],由于其計(jì)算復(fù)雜度很高,目前少有學(xué)者研究。容錯(cuò)控制主要包括主動(dòng)容錯(cuò)控制和被動(dòng)容錯(cuò)控制2類(lèi),其中考慮執(zhí)行器故障屬于被動(dòng)容錯(cuò)控制中的完整性設(shè)計(jì)范疇,目前也是容錯(cuò)控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究方向,取得了豐富的研究成果[10-12]。國(guó)內(nèi)外關(guān)于航天器的位姿一體化容錯(cuò)控制研究還很少,可供借鑒的研究成果并不多,董宏洋[13]基于對(duì)偶四元數(shù)研究了執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障情況下的航天器位姿一體化容錯(cuò)控制,數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了其算法的有效性。

飽和現(xiàn)象是執(zhí)行機(jī)構(gòu)在實(shí)際工作中必然存在的一種非線性現(xiàn)象。飽和現(xiàn)象給航天器姿軌一體化控制器的設(shè)計(jì)增加了難度,使得控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)更加復(fù)雜,如果在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中忽略了飽和特性,輕則可能會(huì)造成控制系統(tǒng)性能下降,重則甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn),任務(wù)失敗的后果。劉聰?shù)萚11]基于線性矩陣不等式設(shè)計(jì)了考慮執(zhí)行器飽和的一體化不等式跟蹤容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì),并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了其算法的有效性。

在有限螺旋位移理論中,基于對(duì)偶四元數(shù)和李群SE(3)的位姿一體化建模是主要研究?jī)?nèi)容,由于對(duì)偶四元數(shù)具有計(jì)算效率高、非奇異、簡(jiǎn)潔等優(yōu)點(diǎn),不少學(xué)者將其用于姿軌一體化建模,目前航天器對(duì)偶四元數(shù)動(dòng)力學(xué)模型大都是基于Brodsky和Shoham[14]引入對(duì)偶質(zhì)量算子的方法。雖然基于對(duì)偶四元數(shù)的航天器姿軌一體化建模方法應(yīng)用很廣泛,但對(duì)偶四元數(shù)也有其局限性。基于對(duì)偶四元數(shù)的模型用8個(gè)參數(shù)來(lái)描述三維運(yùn)動(dòng),因此需要單位化約束,有時(shí)對(duì)這個(gè)約束處理不當(dāng)會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題。而且由于單位四元數(shù)對(duì)應(yīng)的群作用是左乘和右乘,所以四元數(shù)描述姿態(tài)不具有唯一性,嚴(yán)重時(shí)會(huì)產(chǎn)生退繞現(xiàn)象[15]。李群SE(3)的幾何框架描述剛體運(yùn)動(dòng)相較于傳統(tǒng)的歐氏空間中的描述方法更加自然和簡(jiǎn)潔,分析結(jié)果也更加真實(shí)、可信,設(shè)計(jì)的控制器也更加簡(jiǎn)潔,因而近些年來(lái)逐漸受到關(guān)注。相關(guān)學(xué)者[1,8,16-18]在SE(3)上描述了剛體航天器姿軌耦合一體化運(yùn)動(dòng),利用李群與李代數(shù)的指數(shù)映射函數(shù)和對(duì)數(shù)映射函數(shù)的關(guān)系把運(yùn)動(dòng)旋量經(jīng)過(guò)變換轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的航天器姿軌運(yùn)動(dòng)方程,并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)各種簡(jiǎn)潔的控制器,實(shí)現(xiàn)了位姿跟蹤控制目標(biāo)。本文也是在李群SE(3)的框架下建立航天器姿軌耦合一體化模型,便于后文容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)。

模糊逼近能夠充分利用模糊語(yǔ)言的信息能力,構(gòu)造也較為容易,能以任意精度逼近非線性函數(shù)。當(dāng)執(zhí)行器出現(xiàn)故障時(shí),系統(tǒng)的不確定性增加。對(duì)于參數(shù)不確定系統(tǒng),可以通過(guò)Lyapunov方法構(gòu)造自適應(yīng)律,利用基于等價(jià)性原理的自適應(yīng)控制替代模型中的不確定參數(shù),最后為被估計(jì)的參數(shù)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這種主流的自適應(yīng)控制方法由于設(shè)計(jì)思路簡(jiǎn)單、易于理解,目前在航天器控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[19]。對(duì)于執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障的相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器系統(tǒng)就是這樣一類(lèi)含有模型不確定性和參數(shù)不確定性的系統(tǒng),采用基于模糊自適應(yīng)的容錯(cuò)控制方法可以解決上述問(wèn)題,使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。固定時(shí)間控制是在有限時(shí)間控制的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的,二者區(qū)別只是滑模面的形式不同,前者可以不依賴于初始狀態(tài)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間收斂,而后者收斂時(shí)間與初始狀態(tài)相關(guān)。雙冪次快速終端滑模控制作為固定時(shí)間控制的一種,可用來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的固定時(shí)間穩(wěn)定性,并在航天器控制領(lǐng)域有了一定的應(yīng)用[20-21]。

綜上所述,考慮執(zhí)行器故障和控制輸入飽和情形下,實(shí)現(xiàn)航天器姿軌一體化高精度快速容錯(cuò)控制具有重要的研究意義。本文以主從編隊(duì)航天器為研究對(duì)象,首先推導(dǎo)執(zhí)行器故障情況下的航天器姿軌一體化誤差動(dòng)力學(xué)模型；然后采用模糊自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)雙冪次快速終端滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)固定時(shí)間容錯(cuò)控制,并運(yùn)用Lyapunov方法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。

1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及相關(guān)定義

首先,在介紹航天器姿軌一體化模型之前,引入相關(guān)數(shù)學(xué)概念及其定義。

對(duì)任意的列向量x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn,定義如下的向量：

1) |x|α=[|x1|α,|x2|α,…,|xn|α]T。

6)λ(A)為矩陣A的特征值集合,其中,λmin(A)為矩陣A的最小特征值；λmax(A)為矩陣A的最大特征值。

2 SE(3)上航天器姿軌一體化模型

自然界中剛體運(yùn)動(dòng)的構(gòu)型空間是SE(3),其可以緊湊地表示剛體的平動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

2.1 單剛體航天器姿軌一體化模型

航天器的位姿構(gòu)型可以用李群SE(3)中的一個(gè)元素g表示為[1]

(1)

式中：R∈SO(3)為航天器從體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；b∈R3為地球質(zhì)心到航天器質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)向量。

航天器的姿軌速度矢量定義為

(2)

式中：v為線速度；ω為角速度。速度矢量均在航天器體坐標(biāo)系中建立。為了方便建立航天器姿軌一體化運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程,介紹李群SE(3)及其對(duì)應(yīng)的李代數(shù)需要滿足的映射關(guān)系如下：

1)g=g(R,b)∈SE(3)的伴隨矩陣可以表示為

(3)

式中：[·]∧表示對(duì)向量取李代數(shù),此處表示對(duì)向量取反對(duì)稱(chēng)矩陣。

(4)

(5)

(6)

根據(jù)上述定義,慣性坐標(biāo)系下航天器姿軌一體化運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以表示為

(7)

航天器本體坐標(biāo)系下的姿軌一體化動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

(8)

式中：m、J分別為航天器的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Fg、Mg分別為航天器的重力梯度力和重力梯度力矩；Fc、Mc分別為航天器的控制力和控制力矩；Fd、Md為航天器的干擾力和干擾力矩。Fg、Mg的具體形式為

(9)

(10)

式中:μ=398 600.44 km3·s-2為地球引力常數(shù)；J2=1.082 63×10-3為地球扁率攝動(dòng)；Re=6 378.14 km為地球平均半徑。

綜上,航天器姿軌一體化動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

(11)

2.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器姿軌一體化模型

假設(shè)目標(biāo)航天器的位姿構(gòu)型為go,其中目標(biāo)航天器可以是真實(shí)存在的也可以是虛擬的。跟蹤航天器的實(shí)際位姿構(gòu)型為gb,則跟蹤航天器與目標(biāo)航天器的實(shí)際相對(duì)位姿構(gòu)型[16]為

(12)

若跟蹤航天器期望的位姿構(gòu)型為gd,則跟蹤航天器與目標(biāo)航天器的期望相對(duì)位姿構(gòu)型為

(13)

那么跟蹤航天器的跟蹤誤差為

(14)

通常期望的相對(duì)位姿構(gòu)型為一常值,期望的相對(duì)線速度與相對(duì)角速度為零,即跟蹤航天器與目標(biāo)航天器以某一固定構(gòu)型保持相對(duì)靜止。

跟蹤航天器姿軌位置跟蹤誤差可以表示為

(15)

式中：ρe為航天器軌道位置跟蹤誤差；φe為航天器姿態(tài)位置跟蹤誤差。

跟蹤航天器姿軌速度跟蹤誤差可以表示為

(16)

式中：ve為航天器線速度位置跟蹤誤差；ωe為航天器角速度位置跟蹤誤差。

則he在SE(3)下可以表示為

(17)

通過(guò)李群與李代數(shù)之間的對(duì)數(shù)映射可以解得

(18)

式中：

(19)

ρe=S-1(φe)be

(20)

(21)

根據(jù)李群與李代數(shù)的關(guān)系可以推導(dǎo)當(dāng)期望的相對(duì)速度為零時(shí),跟蹤航天器的相對(duì)速度誤差和相對(duì)加速度誤差的表達(dá)式為

(22)

(23)

綜上,可得相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器姿軌一體化運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(24)

由文獻(xiàn)[15]可知,G(ηe)的表達(dá)式為

(25)

將式(11)代入式(23),得航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)姿軌一體化動(dòng)力學(xué)方程為

(26)

在實(shí)際航天任務(wù)中,慣量矩陣Ξ由于燃料消耗和外部擾動(dòng)存在不確定性,因此實(shí)際慣量矩陣Ξ可以表達(dá)為

Ξ=Ξ0+ΔΞ

(27)

式中：Ξ0為標(biāo)稱(chēng)慣量矩陣；ΔΞ是慣量不確定部分。則慣量矩陣Ξ的逆可以表示為

(28)

式(26)可以進(jìn)一步表示為

(29)

綜上,相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器姿軌一體化運(yùn)動(dòng)模型可以表示為

(30)

2.3 執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障數(shù)學(xué)模型

執(zhí)行機(jī)構(gòu)的各種故障可用數(shù)學(xué)模型描述為

ui(t)=

(31)

上述故障模型可以統(tǒng)一表示為

(32)

2.4 控制輸入飽和數(shù)學(xué)模型

因?yàn)樵趯?shí)際物理可實(shí)現(xiàn)的控制系統(tǒng)中,執(zhí)行器的驅(qū)動(dòng)能力必然是有限的,在航天器系統(tǒng)中飛輪和推力器不可能輸出任意大的控制力矩和控制力,當(dāng)控制指令信號(hào)超出實(shí)際執(zhí)行機(jī)構(gòu)的幅值約束時(shí),執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出將會(huì)保持在最大幅值附近,不會(huì)再隨控制指令信號(hào)增大而增大。

執(zhí)行器飽和特性可以表述為

sat(u)=δu+u

(33)

式中：u為待設(shè)計(jì)的控制器；δu為超出飽和幅值限制的控制信號(hào),其定義為

(34)

式中：ui為第i個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制輸出；uimax、uimin分別為第i個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制輸出的最大值和最小值。

2.5 考慮輸入飽和及執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障情況下相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器姿軌一體模型

根據(jù)式(30)～式(33),考慮輸入飽和及執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器姿軌一體化動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

(35)

3 姿軌一體化容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)

在采用雙冪次快速終端滑模面的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)固定時(shí)間穩(wěn)定控制器。該控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,參數(shù)也易整定,可實(shí)現(xiàn)跟蹤航天器在故障情形下仍能夠在固定時(shí)間內(nèi)完成對(duì)目標(biāo)航天器的高精度位姿跟蹤,實(shí)現(xiàn)真正意義上的六自由度容錯(cuò)控制。

3.1 模糊逼近方法

模糊逼近方法能夠充分運(yùn)用模糊語(yǔ)言信息逼近任意非線性連續(xù)函數(shù),其在非線性函數(shù)的擬合方面具有很好的效果,可以以任意精度逼近非線性連續(xù)函數(shù),下面給出模糊逼近系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其基本理論[22]。

模糊系統(tǒng)的輸入為X=[x1,x2,…,xn]T∈Rn, 對(duì)輸入變量的每個(gè)分量都設(shè)計(jì)M條模糊規(guī)則,則整個(gè)系統(tǒng)就有nM條模糊規(guī)則,每條模糊規(guī)則的具體表達(dá)式為

(36)

若模糊系統(tǒng)采用單值模糊器,中心平均解模糊器和乘積推理機(jī),則可以得到模糊逼近系統(tǒng)的輸出為

(37)

(38)

z=Wβ

(39)

式中：β為基函數(shù),其具體形式為

(40)

基于上述對(duì)模糊逼近系統(tǒng)的介紹,跟蹤航天器的外部總擾動(dòng)用模糊逼近來(lái)估計(jì)可以表示為

(41)

式中：W*為模糊逼近系統(tǒng)的最優(yōu)權(quán)值矩陣；ε為該系統(tǒng)的有界逼近誤差。

(42)

則最優(yōu)權(quán)值矩陣的估計(jì)誤差為

(43)

3.2 假設(shè)條件

為了便于后文控制器的設(shè)計(jì)與分析,需提出如下假設(shè)。

假設(shè)1模糊逼近系統(tǒng)的輸出有界,系統(tǒng)外部總擾動(dòng)的估計(jì)值有界,可以表示為

(44)

式中：dm為一個(gè)正常數(shù)。

假設(shè)2模糊逼近系統(tǒng)的估計(jì)誤差有界,可以表示為

(45)

式中：εm為一個(gè)正常數(shù)。

假設(shè)3模糊逼近系統(tǒng)的最優(yōu)權(quán)值矩陣估計(jì)誤差有界,可以表示為

(46)

式中：Wm為一個(gè)正常數(shù)。

假設(shè)4執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在故障,但故障后仍滿足約束rank(DE)=6,即在故障發(fā)生后,冗余的推力器仍能夠組合輸出足夠的控制量完成給定的任務(wù)。

備注1因?yàn)楹教炱鞯馁|(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、故障幅值、模糊逼近系統(tǒng)的輸入變量和系統(tǒng)的外部擾動(dòng)及都是有界的,故假設(shè)1合理,同時(shí)假設(shè)2、假設(shè)3具有模糊逼近系統(tǒng)擬合任意非線性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),假設(shè)4不考慮欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),因此也是合理的。

3.3 模糊自適應(yīng)固定時(shí)間穩(wěn)定容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間穩(wěn)定的控制目標(biāo),采用雙冪次快速終端滑模控制,選取的滑模面形式如下：

S=ξe+C1sigα1(ηe)+C2sigα2(ηe)

(47)

為了使得相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器在系統(tǒng)故障情況下仍能在固定時(shí)間內(nèi)收斂到期望狀態(tài),模糊自適應(yīng)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)如下：

(48)

最優(yōu)權(quán)值矩陣的自適應(yīng)更新律為

(49)

式中：γ>0為一個(gè)與控制無(wú)關(guān)的輔助參數(shù)。

3.4 穩(wěn)定性分析

為便于穩(wěn)定性的證明和分析,給出相關(guān)引理。

引理1[15]給定一個(gè)連續(xù)正定函數(shù)V(x):Rn→R,對(duì)于任意非零初始狀態(tài),若滿足如下不等式：

(50)

式中：ρ1>0;ρ2>0;υ1>1;υ2∈(0,1)。那么V(x) 可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡狀態(tài),系統(tǒng)到達(dá)平衡點(diǎn)的時(shí)間T滿足

(51)

引理2[1]矩陣G(ηe)的所有特征值都是正值。

引理3[15]對(duì)?xi∈R(i=1,2,…,n),其中01,有下面不等式成立：

(52)

定理1對(duì)于相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器系統(tǒng),當(dāng)非線性系統(tǒng)(式(47))到達(dá)滑模面S=0時(shí),系統(tǒng)的狀態(tài)ηe、ξe可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。

證明當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面S=0時(shí),可得

ξe=-C1sigα1(ηe)-C2sigα2(ηe)

(53)

選擇如下Lyapunov函數(shù)：

(54)

對(duì)V求導(dǎo)可得

(55)

(56)

下面證明滑模面(式(48))可以在固定時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)附近,提出定理2。

定理2對(duì)于執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障信息已知的相對(duì)運(yùn)動(dòng)航天器系統(tǒng)(式(35)),當(dāng)采用滑模面(式(47))與模糊自適應(yīng)控制律(式(48)、式(49))時(shí),系統(tǒng)的滑模面S可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到包含零點(diǎn)的小區(qū)域內(nèi)。

證明：選擇如下Lyapunov函數(shù)：

(57)

對(duì)V1求導(dǎo)可得

STΞ0ε-STK1sigα1(S)-STK2sigα2(S)+

STΞ0ε-STK1sigα1(S)-STK2sigα2(S)

(58)

將式(49)的自適應(yīng)律代入式(58),可得

(59)

結(jié)合引理3的式(52)可知：

(60)

綜上可得

(61)

式中：Δ的定義為

(62)

由假設(shè)2和假設(shè)3可知Δ滿足如下不等式：

(63)

(64)

則式(61)可以化簡(jiǎn)為

(65)

式(65)進(jìn)一步可以寫(xiě)為

(66)

(67)

(68)

T′=min{T1,T2}

(69)

由于如下不等式成立：

(70)

I6(-C1sigα1(ηe)-C2sigα2(ηe))=-α2·

(71)

4 數(shù)值仿真與分析

為了驗(yàn)證本文算法對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障的容錯(cuò)能力,首先給出航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安裝方式。跟蹤航天器的姿態(tài)控制的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為反作用飛輪,軌道控制的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為推力器。采用4個(gè)反作用飛輪和4對(duì)推力器的控制布局方式,實(shí)現(xiàn)航天器姿軌一體化容錯(cuò)控制。4個(gè)反作用飛輪采用傳統(tǒng)的三正交一斜裝的安裝方式,其配置結(jié)構(gòu)如圖1所示[13]。

圖1 飛輪配置結(jié)構(gòu)[13]

8個(gè)推力器兩兩對(duì)稱(chēng)安裝在立方體每條棱的中點(diǎn),采用推力過(guò)質(zhì)心的安裝方式,其配置結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 推力器配置結(jié)構(gòu)

在仿真開(kāi)始前,先定義模糊逼近系統(tǒng)的輸入表達(dá)式為

(72)

7個(gè)模糊隸屬度函數(shù)選取如下：

(73)

在仿真中,假設(shè)跟蹤航天器與目標(biāo)航天器的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同,其數(shù)值為

(74)

目標(biāo)航天器圍繞地球進(jìn)行軌道運(yùn)動(dòng),其軌道六要素如表1所示。

表1 目標(biāo)航天器軌道六要素

假設(shè)目標(biāo)航天器沿著理想的軌道運(yùn)動(dòng),它的運(yùn)行軌道由離線計(jì)算產(chǎn)生,初始時(shí)刻目標(biāo)航天器的體坐標(biāo)系與軌道坐標(biāo)系重合,其初始位姿狀態(tài)及初始速度分別為

go=

(75)

(76)

式中：位置矢量均為在慣性坐標(biāo)系下的表示,單位為km；速度矢量均為在航天器體坐標(biāo)系下的表示,單位分別為km/s、rad/s。

跟蹤航天器相對(duì)目標(biāo)航天器的初始位姿和初始速度參數(shù)定義見(jiàn)表2。

表2 跟蹤航天器與目標(biāo)航天器的初始相對(duì)狀態(tài)

跟蹤航天器與目標(biāo)航天器的期望相對(duì)位姿構(gòu)型與相對(duì)速度見(jiàn)表3。

表3 跟蹤航天器與目標(biāo)航天器的期望相對(duì)狀態(tài)

考慮到實(shí)際工況中,由于受燃料消耗及其他因素的影響,慣量矩陣會(huì)隨著時(shí)間不斷變化,故假設(shè)慣量矩陣偏差和外界擾動(dòng)數(shù)值如下：

(77)

仿真過(guò)程中,反作用飛輪和推力器的飽和約束為:執(zhí)行器力矩、力的最大輸出值分別限制在[-1,1] N·m和[-10,10] N以內(nèi),控制器的參數(shù)選取見(jiàn)表4。

表4 控制器參數(shù)

飛輪和推力器的具體故障形式見(jiàn)表5。

表5 執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障形式

仿真結(jié)果與分析均是在MATLAB/SIMULINK 環(huán)境下完成。由于總干擾中包含控制器輸出信息,可能存在代數(shù)環(huán)問(wèn)題,故在控制器的反饋通道中加入單位延遲環(huán)節(jié),以避免可能出現(xiàn)的代數(shù)環(huán)。

圖3為姿態(tài)跟蹤誤差結(jié)果,從圖中可以看出誤差曲線在17 s之內(nèi)快速收斂到平衡狀態(tài),且收斂精度最終保持在5×10-5(°)之內(nèi)。

圖3 姿態(tài)跟蹤誤差

圖4為角速度跟蹤誤差結(jié)果,從圖中可以看出誤差曲線也可以在17 s之內(nèi)快速收斂到平衡狀態(tài),且收斂精度最終保持在5×10-6(°)/s之內(nèi)。

圖4 角速度跟蹤誤差

圖5為位置跟蹤誤差結(jié)果,從圖中可以看出誤差曲線可以在96 s之內(nèi)快速收斂到平衡狀態(tài),且收斂精度最終保持在1.5×10-5m之內(nèi)。

圖5 位置跟蹤誤差

圖6為速度跟蹤誤差結(jié)果,從圖中可以看出誤差曲線可以在105 s之內(nèi)快速收斂到平衡狀態(tài),且收斂精度最終保持在4×10-5m/s之內(nèi)。

圖6 速度跟蹤誤差

圖7、圖8分別為飛輪和推力器在故障后的實(shí)際輸出力矩與力的大小結(jié)果,可以看出,執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出曲線很好地反映了故障的形式與大小,系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)后執(zhí)行機(jī)構(gòu)還存在輸出是為了繼續(xù)克服故障與內(nèi)外擾動(dòng)的影響。

圖7 飛輪輸出

圖8 推力器輸出

圖9為模糊逼近方法對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)的估計(jì)結(jié)果,從圖中可以看出其對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)的估計(jì)效果都很好,可以準(zhǔn)確地估計(jì)出系統(tǒng)的內(nèi)外干擾與故障大小,很好地解決了控制輸入飽和的問(wèn)題,因此姿態(tài)與軌道運(yùn)動(dòng)的收斂精度都很高。仿真結(jié)果也再次驗(yàn)證了模糊逼近方法的萬(wàn)能逼近特性,從而可以減少對(duì)精確模型的依賴程度,更便于控制器的設(shè)計(jì)。

圖9 模糊逼近方法總擾動(dòng)估計(jì)

圖10為采用傳統(tǒng)的PID控制方法的姿軌位置與速度跟蹤誤差曲線,從圖中可以看出,在收斂速度和控制精度上PID控制方法都不及本文控制方法,收斂速度明顯慢于本文的固定時(shí)間滑?？刂?在穩(wěn)態(tài)精度上也與本文方法存在量級(jí)上的差距,因此可證明本文提出的固定時(shí)間姿軌耦合容錯(cuò)控制方法更適用于實(shí)際有快速性和高精度要求的航天任務(wù)。

圖10 PID控制姿軌跟蹤誤差

綜上,本文所設(shè)計(jì)的模糊自適應(yīng)固定時(shí)間穩(wěn)定控制器應(yīng)用于姿軌一體化跟蹤時(shí)具有很好的控制性能,能夠滿足快速性和高精度的任務(wù)需求,且對(duì)于執(zhí)行器失效的故障情況具有良好的容錯(cuò)能力。

5 結(jié) 論

1) 基于李群SE(3)的姿軌一體化建模形式簡(jiǎn)單,可應(yīng)用于解決實(shí)際航天工程中六自由度的建模問(wèn)題。

2) 模糊自適應(yīng)控制方法可以很好地估計(jì)總擾動(dòng)及部分故障信息,精度很高,下一步可以考慮引入模糊逼近方法估計(jì)的誤差補(bǔ)償項(xiàng),進(jìn)一步提高軌道運(yùn)動(dòng)的控制精度。

3) 雙冪次快速終端滑模實(shí)現(xiàn)了固定時(shí)間容錯(cuò)控制,相比于傳統(tǒng)的PID控制,快速性更好,控制精度更高,可以很好地解決執(zhí)行器失效的故障情況,且具有潛在的工程應(yīng)用價(jià)值。