周聰,閆曉東,*,唐碩,呂石

1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,西安 710072

2.陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710068

近年來,快速發(fā)展的高超聲速武器系統(tǒng)對現(xiàn)有攔截系統(tǒng)造成極大挑戰(zhàn),一旦服役,必將打破原有戰(zhàn)略平衡[1]。因此,世界各主要大國在加快進(jìn)攻性高超聲速武器的實(shí)戰(zhàn)化步伐同時,也在大力發(fā)展高超聲速武器防御技術(shù),先進(jìn)、有效的攔截制導(dǎo)方法是防御技術(shù)的關(guān)鍵之一[2]。與應(yīng)對傳統(tǒng)目標(biāo)不同,中制導(dǎo)在此類目標(biāo)攔截制導(dǎo)中被認(rèn)為具有重要作用[3]：一是目標(biāo)高機(jī)動以及軌跡難以預(yù)測的特性對中制導(dǎo)有效實(shí)施造成較大困難[4]；二是在苛刻的攔截條件下,末制導(dǎo)以及最終攔截效果的實(shí)現(xiàn)更依賴中制導(dǎo)交班條件,對中制導(dǎo)交班精度與約束能力提出了更高的要求[5-6]。因此,針對此類目標(biāo)的攔截中制導(dǎo)問題近年來得到了廣泛關(guān)注與研究。目前,多種新型攔截中制導(dǎo)方法被提出,這些方法通過改善目標(biāo)預(yù)測精度[7-8]、考慮更多約束[8-11]以及應(yīng)用數(shù)值規(guī)劃算法增強(qiáng)修偏能力[12-14]等方式來提高攔截高速機(jī)動目標(biāo)的能力。但這些方法在設(shè)計(jì)時更多關(guān)注中末制導(dǎo)交班要求,且假定中制導(dǎo)啟動時發(fā)動機(jī)已關(guān)機(jī),對初制導(dǎo)段的飛行考慮較少。事實(shí)上,初制導(dǎo)段的飛行以及初中制導(dǎo)交班狀態(tài)對后續(xù)中制導(dǎo)性能乃至攔截效果影響顯著,而一般初制導(dǎo)所采用的預(yù)設(shè)程序轉(zhuǎn)彎的方式很難保證能夠提供較優(yōu)的交班條件,也無法在目標(biāo)機(jī)動時實(shí)時調(diào)整跟蹤。尤其在面對具有較強(qiáng)機(jī)動能力的臨近空間目標(biāo)時,其靈活的機(jī)動形式和苛刻的攔截條件更要求精細(xì)化的初制導(dǎo)段以及初中制導(dǎo)交班條件設(shè)計(jì),此時,將傳統(tǒng)的初制導(dǎo)段納入中制導(dǎo)范疇,進(jìn)行聯(lián)合一體化設(shè)計(jì),不失為提高此類目標(biāo)攔截能力的有效途徑。

目前,針對這類初中制導(dǎo)結(jié)合的研究較少,文獻(xiàn)[15]通過采用標(biāo)準(zhǔn)彈道族插值擬合的方法實(shí)現(xiàn)了全程的預(yù)測攔截制導(dǎo)。文獻(xiàn)[16]考慮最大化射程要求,分別采用滑模和脈沖調(diào)制的方法設(shè)計(jì)了初制導(dǎo)和中制導(dǎo),但實(shí)施起來較復(fù)雜,而且沒有考慮制導(dǎo)的最優(yōu)性。由于初、中制導(dǎo)一般對應(yīng)攔截彈的動力段和滑行段[16],是一個典型的兩段制導(dǎo)問題。而且動力段飛行時大氣稠密,飛行狀態(tài)變化劇烈,應(yīng)用傳統(tǒng)解析方法進(jìn)行閉環(huán)制導(dǎo)設(shè)計(jì)時具有較大困難。近年來快速發(fā)展的凸優(yōu)化[17]、模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃(Model Predictive Static Programming, MPSP)[18]等在線優(yōu)化方法為這類復(fù)雜制導(dǎo)問題解決提供了有力工具。其中,凸優(yōu)化已廣泛應(yīng)用于各類制導(dǎo)問題中[19-21],模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃算法作為另一類規(guī)劃算法,相比凸優(yōu)化方法具有更高的計(jì)算效率[22],而且其基于終端偏差修正的求解方式更易用于導(dǎo)彈制導(dǎo)問題中[13]。目前,MPSP算法在攔截中制導(dǎo)設(shè)計(jì)中已有所應(yīng)用[12-13],但仍存在不足。例如只能使用控制量的二次型作為性能指標(biāo),將其直接應(yīng)用于大氣層內(nèi)攔截問題時無法實(shí)現(xiàn)最大化終端速度的要求,影響攔截能力[12]。針對此問題,Kumar等提出了狀態(tài)性能指標(biāo)MPSP算法[23],通過優(yōu)化減小阻力來實(shí)現(xiàn)最大化的終端速度,但其基于狀態(tài)敏感矩陣構(gòu)建的方式,不僅計(jì)算過程繁瑣,而且將影響原有MPSP算法計(jì)算效率。此外,現(xiàn)有MPSP算法一般只能解決終端時間固定的單段制導(dǎo)問題,在應(yīng)用時有諸多限制。

考慮到以上問題和需求,基于模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃原理設(shè)計(jì)了一種初中制導(dǎo)聯(lián)合規(guī)劃制導(dǎo)方法。在進(jìn)行中制導(dǎo)設(shè)計(jì)時,同時考慮了初始射向以及傳統(tǒng)的初制導(dǎo)段,以最大化終端速度進(jìn)行整體規(guī)劃,提升攔截能力。所做的主要工作有：① 提 出了帶初始狀態(tài)規(guī)劃以及復(fù)合狀態(tài)性能指標(biāo)的MPSP算法,相比原始MPSP[13]以及狀態(tài)相關(guān)性能指標(biāo)MPSP[23],在引入狀態(tài)相關(guān)性能指標(biāo)同時保持了原有MPSP算法計(jì)算效率,而且可以對初始狀態(tài)進(jìn)行優(yōu)化；② 基于等效阻力建立了包含動力段與非動力的兩段規(guī)劃模型,通過采用分段離散以及構(gòu)建關(guān)機(jī)點(diǎn)變分關(guān)系的方法,避免了內(nèi)點(diǎn)約束的引入,使MPSP算法可直接求解；③ 結(jié) 合本文提出的MPSP算法以及兩段規(guī)劃模型,實(shí)現(xiàn)了終端速度最優(yōu)的攔截軌跡規(guī)劃；同時結(jié)合目標(biāo)預(yù)測方法,實(shí)現(xiàn)了對機(jī)動目標(biāo)的預(yù)測規(guī)劃制導(dǎo)。仿真結(jié)果表明了本文方法的有效性。

1 問題描述與分析

1.1 攔截彈模型

地面發(fā)射坐標(biāo)系下攔截彈的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：V為速度；γ為彈道傾角；ψ為速度航向角；m為攔截彈質(zhì)量；g為重力加速度；x、y、z為攔截彈在地面發(fā)射系下的位置；P、ms為發(fā)動機(jī)的推力和秒流量；α、β為攔截彈的攻角和側(cè)滑角；X、Y和Z分別為攔截彈的阻力、升力和側(cè)向力,定義為

X=qSCx(Ma,α,β)

(8)

Y=qSCy(Ma,α)

(9)

Z=qSCz(Ma,β)

(10)

其中：q為動壓；S為參考面積；Ma為馬赫數(shù)Cx、Cy、Cz分別表示導(dǎo)彈的阻力、升力、側(cè)向力系數(shù)。

一般大氣層內(nèi)攔截彈采用單脈沖固體火箭發(fā)動機(jī),其工作時間是固定的[16],整個飛行過程可分為動力段和無動力段(見圖1)。假定其關(guān)機(jī)點(diǎn)時刻為t1f,則當(dāng)t

圖1 坐標(biāo)系與攔截幾何關(guān)系

(11)

攔截彈的縱側(cè)向制導(dǎo)加速度分別由推力分量與氣動力的合力提供：

(12)

在動力段飛行時,由于有推力分量作用,可用制導(dǎo)加速度較為充足；而在滑行段時,制導(dǎo)加速度完全由氣動力來提供,其大小受最大攻角和側(cè)滑角限制：

(13)

式中：Cymax、Czmax分別表示最大攻角和最大側(cè)滑角下的升力和側(cè)向力系數(shù),其與馬赫數(shù)有關(guān)。

1.2 初、中制導(dǎo)聯(lián)合軌跡規(guī)劃與制導(dǎo)問題

中制導(dǎo)要求為末制導(dǎo)提供良好的初始條件,滿足中末制導(dǎo)交班要求。在攔截高速機(jī)動目標(biāo)時,除了約束終端脫靶量,還需要盡可能的減小交會角同時增大終端速度[6,8]。因此,中、末制導(dǎo)的交班條件可描述為

(14)

max:V(tf)

(15)

式中：(xf,yf,zf)為要求的預(yù)測攔截點(diǎn)位置坐標(biāo)；(γf,ψf)為實(shí)現(xiàn)零交會角要求的終端彈道傾角和速度方向角；tf為終端攔截時刻。以上交班條件的實(shí)現(xiàn),除了與中制導(dǎo)段飛行息息相關(guān)外,很大程度上還取決于初、中制導(dǎo)交班狀態(tài)以及初制導(dǎo)段的飛行。

一般的,初、中制導(dǎo)分別對應(yīng)攔截彈的動力段與滑行段[16]。令初、中制導(dǎo)段的制導(dǎo)加速度分別為[a1y,a1z]T, [a2y,a2z]T。為了保證攔截彈發(fā)射后飛行穩(wěn)定,一般在初始飛行tc時間內(nèi)采用零攻角方式,因此對于初制導(dǎo)加速度有：

a1y(t

(16)

a1z(t

(17)

此外,在實(shí)際攔截過程中攔截彈的射向(初始彈道傾角γ0和速度方位角ψ0)也將會對攔截效果和后續(xù)飛行帶來較大影響。通過選擇合理的初始狀態(tài),可以有效降低能量消耗。

綜上所述,為了給末制導(dǎo)提供更好的初始狀態(tài),實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的交班的條件,需要考慮初始射向,初制導(dǎo)以及中制導(dǎo)段飛行,此問題可描述為：給出合理的初始狀態(tài)[γ0,ψ0]以及初制導(dǎo)段和中制導(dǎo)段控制序列[a1y,a1z]T, [a2y,a2z]T,使其在滿足式(13)式(14)以及式(16)和式(17)約束的條件下,最大化性能指標(biāo)式(15)。

2 改進(jìn)的MPSP算法

原始MPSP算法[13]一般用于解決固定初始條件,帶終端約束最優(yōu)控制問題,通常采用總控制量最省的性能指標(biāo)：

(18)

式中：Uk、Rk分別為第k離散步對應(yīng)的控制量和控制權(quán)重。如前所述,對于大氣內(nèi)攔截問題,希望盡可能的增大終端速度,即需要減小飛行過程中的阻力。一般地,飛行器的阻力包括零升阻力和升致阻力兩部分。當(dāng)采用過載作為控制量時,應(yīng)用如式(18)的性能指標(biāo)可實(shí)現(xiàn)飛行過程中的升致阻力最小。但為了更好的實(shí)現(xiàn)最大化終端速度要求,還需要減少零升阻力。由于零升阻力主要與飛行狀態(tài)相關(guān)(高度、速度),因此在規(guī)劃時需要采用復(fù)合狀態(tài)相關(guān)的性能指標(biāo)；此外,為了選擇合理的射向(初始彈道傾角和彈道偏角),需要對飛行器的初始狀態(tài)進(jìn)行優(yōu)化。為了解決以上問題,提出了可進(jìn)行初始狀態(tài)規(guī)劃,同時復(fù)合狀態(tài)相關(guān)性能指標(biāo)的改進(jìn)MPSP算法。

2.1 帶初始狀態(tài)規(guī)劃和狀態(tài)性能指標(biāo)的MPSP算法

改進(jìn)的MPSP算法基于以下離散系統(tǒng)：

Xk=Fk-1(Xk-1,Uk-1)

(19)

Yk=h(Xk)

(20)

式中：Xk∈Rn,Uk∈Rm,Yk∈Rp分別為系統(tǒng)第k離散步下的狀態(tài)矢量,控制矢量和輸出矢量,且k=1,2,…,N。將系統(tǒng)的終端輸出偏差ΔYN視為小量, 有：

(21)

對式(19)進(jìn)行泰勒展開,忽略高階項(xiàng),可得到第i離散步的狀態(tài)偏差：

(22)

同理可得第i-1,i-2,…,2離散步的狀態(tài)偏差dXi-1,dXi-2,…,dX2,將其依次代入式(22),可得：

(23)

式中：各系數(shù)矩陣為

(24)

(25)

在原始MPSP算法中,不考慮初始狀態(tài)偏差,即認(rèn)為dX1=0。在這里考慮系統(tǒng)的若干初始狀態(tài)Z=[z1,z2,…,zs]T∈X1可調(diào),其中s≤n,此時令

(26)

相應(yīng)的,式(23)可寫為：

(27)

若i=N,式(27)即表示終端狀態(tài)偏差dXN。將其代入式(21),可得系統(tǒng)的輸出偏差為

dYN=A0dZ+B1dU1…+BN-1dUN-1

(28)

式中：

(29)

A0,Bk即為可調(diào)初始狀態(tài)量Z以及控制量Uk(k=1,2,…,N-1)對系統(tǒng)輸出的敏感矩陣。

至此,獲得了各離散時刻控制以及初始狀態(tài)偏差與系統(tǒng)輸出偏差的關(guān)系式(28)。MPSP算法的設(shè)計(jì)目標(biāo)為同時迭代控制量Uk以及可調(diào)的初始狀態(tài)Z,使系統(tǒng)輸出趨向于要求值(YN→YNd),同時使以下復(fù)合系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的性能指標(biāo)最優(yōu)：

(30)

(31)

(32)

此外,可調(diào)初始狀態(tài)Z作為本文算法的另一迭代量有以下更新關(guān)系：

Zp+1=Zp-dZ

(33)

由此,可構(gòu)建關(guān)于dZ和dUk(k=1,2,…,N-1)的靜態(tài)規(guī)劃問題,即在滿足等式約束式(28)的同時使性能指標(biāo)式(30)最小。此問題的增廣拉格朗日函數(shù)為

(34)

式中：λ為拉格朗日算子,其一階必要條件為

(35)

(36)

(37)

式中：

(38)

(39)

(40)

因此,敏感矩陣hk和h′0的表達(dá)式為

(41)

(42)

式中：

(43)

獲得以上敏感矩陣后,通過聯(lián)立式(35)～式(37) 即可求解控制矢量和初始狀態(tài)矢量的更新量dUk、 dZ。

首先由式(36)可得

(44)

將式(44)代入式(35),得

dYN-bλ-Aλ·λ-cλ-A0dZ=0

(45)

式中：

(46)

(47)

(48)

此時,式(45)和式(37)可組成關(guān)于dZ和λ的線性方程組,令

有

W·X=N

(49)

可解得

X=W-1·N

(50)

由此,可得到dZ以及λ,將解得的λ代入式(44),即可求得dUk。

需要注意的是,若不考慮對初始狀態(tài)Z優(yōu)化,則矩陣A0、h′0、 dZp均為0,此時求解方程式(50)可得到復(fù)合狀態(tài)性能指標(biāo)下的控制矢量更新式：

(51)

進(jìn)一步的,若不復(fù)合狀態(tài)相關(guān)性能指標(biāo),采用式(18)的性能指標(biāo)形式,此時矩陣hk,cλ變?yōu)?,則控制矢量更新式(51)退化為

(52)

式(52)即為原始MPSP方法的控制矢量更新方法。

2.2 敏感矩陣計(jì)算方法

敏感矩陣計(jì)算是MPSP算法實(shí)施的關(guān)鍵,也是其計(jì)算耗時最多的部分[22]。為了提高計(jì)算效率,原始MPSP算法通過反向遞歸的方法計(jì)算敏感矩陣Bk[13]：

(53)

式中：k=N-1,N-2,…,1,且當(dāng)k=N-1時有

(54)

本文MPSP算法在實(shí)施時,除了Bk,還需要計(jì)算敏感矩陣A0、hk以及h′0。對于敏感矩陣A0,可在敏感矩陣Bk遞歸計(jì)算的基礎(chǔ)上計(jì)算：

(55)

而對于敏感矩陣hk和h′0,設(shè)計(jì)遞歸計(jì)算方法,首先令

(56)

則根據(jù)式(24)、式(25)及式(26),有

(57)

進(jìn)一步地,令

(58)

根據(jù)定義,敏感矩陣hk和h′0可以表示為

(59)

(60)

(61)

3 初、中制導(dǎo)軌跡聯(lián)合規(guī)劃

3.1 兩階段規(guī)劃模型

為了應(yīng)用本文MPSP算法求解如1.2節(jié)定義的規(guī)劃問題,對式(1)～式(12)描述的動力學(xué)模型進(jìn)行如下處理,首先令

Px=P(1-cosαcosβ)

(62)

Py=Psinα

(63)

Pz=Pcosαsinβ

(64)

式中:Py、Pz分別表示導(dǎo)彈推力在縱向和側(cè)向的分量,Px可理解為推力在速度方向的損失。此時攔截彈的縱向和側(cè)向制導(dǎo)加速度可分別表示為

(65)

(66)

分別應(yīng)用式(62)、式(65)以及式(66),可將方程式(1)～式(3)改寫為

(67)

(68)

(69)

式中：

XD=Px+X

(70)

將原動力學(xué)方程組中的式(1)～式(3)用式(67)～ 式(69)替換,同時加入時間t,可組成用于規(guī)劃的動力學(xué)方程組：

(71)

其中,狀態(tài)向量X=[V,γ,ψ,x,y,z,m,t]T,控制向量U=[ay,az]T,XD可理解為導(dǎo)彈的等效阻力。為了應(yīng)用此方程組,需要建立控制量[ay,az]與XD的關(guān)系：

首先考慮動力段,此時攔截彈的攻角,側(cè)滑角均很小,式(65) 和式(66)可近似為

(72)

(73)

式中：

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

則式(75)和式(76)可寫為

Py=c1·may,Y=c2·may

(79)

Pz=c1·maz,Z=c2·maz

(80)

此時：

(81)

應(yīng)用阻力極曲線[22],可將攔截彈的阻力系數(shù)表示為

(82)

式中：Cx0為零升阻力系數(shù),K為誘導(dǎo)阻力系數(shù),其與馬赫數(shù)有關(guān)。將式(82)代入式(8),同時結(jié)合式(79)和式(80),可將攔截彈的阻力表示為

(83)

式中：

X0=Cx0·q·S

(84)

將式(81)和式(83)分別代入式(70),整理可得：

(85)

式中：

(86)

(87)

(88)

3.2 方程離散化

模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃算法基于固定自變量區(qū)間的離散模型,在實(shí)施時首先需要將原動力學(xué)方程離散化。對于一般的制導(dǎo)問題,由于終端時間不定,通常將導(dǎo)彈位置分量x作為離散自變量[14]。但本文規(guī)劃軌跡包含了動力與不帶動力的兩段,如直接按位置分量x進(jìn)行離散,由于關(guān)機(jī)點(diǎn)時刻位置不確定,將面臨內(nèi)點(diǎn)約束問題?？紤]到動力段終端時間是確定的,而滑行段終端位置是確定,本文在求解兩段軌跡規(guī)劃問題時,采用混合離散的方法,即在動力段按時間離散,而在滑行段按導(dǎo)彈的位移分量進(jìn)行離散,為此定義新的系統(tǒng)自變量：

(89)

式中：t1f為關(guān)機(jī)點(diǎn)時刻,x1f為關(guān)機(jī)點(diǎn)位置的x坐標(biāo),x2f為攔截點(diǎn)位置x坐標(biāo)。此時,動力段系統(tǒng)自變量τ∈[-1,0],而在無動力段τ∈[0,1]。

將規(guī)劃方程(71)轉(zhuǎn)化為以τ為自變量,首先令：

(90)

定義權(quán)重量W=dt/dτ,同時由式(89)可得：

(91)

則以τ為自變量的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

X′=f′(X,U,t)=f(X,U,t)·W

(92)

對新的系統(tǒng)方程式(92)在區(qū)間τ∈[-1, 1]上離散,即可實(shí)現(xiàn)對原系統(tǒng)方程在動力段按時間離散以及滑行段按位移x離散的要求。一般地,采用歐拉離散,其離散方程可表示為

Fk(Xk,Uk)=Xk+f′(Xk,Uk,τk)·Δτ

(93)

(94)

(95)

(96)

在實(shí)際計(jì)算時,權(quán)重W中的x1f可取初始猜測或前次迭代得到的關(guān)機(jī)點(diǎn)時刻的導(dǎo)彈位移,即

x1f=x(t1f)

(97)

(98)

同時觀察式(97),考慮到x1f僅由關(guān)機(jī)點(diǎn)時刻導(dǎo)彈狀態(tài)決定,從而有

(99)

式中：ex=?x/?X=[0,0,0,1,0,0,0]。將式(99)代入式(98),可得

(100)

(101)

3.3 初、中制導(dǎo)軌跡聯(lián)合規(guī)劃

基于3.1節(jié)和3.2節(jié)建立的離散規(guī)劃模型,同時應(yīng)用第2節(jié)介紹的MPSP算法,求解1.2節(jié)描述的兩段軌跡規(guī)劃問題。首先考慮攔截彈的初始彈道傾角和彈道偏角可調(diào),即令Z=[γ,ψ]T；為了對終端脫靶量和交會角約束,定義系統(tǒng)輸出為Y=[x,y,z,γ,ψ,]T。

本文軌跡規(guī)劃的目標(biāo)為終端速度最大,首先將終端速度近似為

(102)

式中：Δτ為離散步長。將式(67)和式(85)依次代入式(102),得

(103)

Rk=(A2+A1)mW

(104)

(105)

此外,為了保證攔截彈發(fā)射后飛行穩(wěn)定,確保在初始飛行tc時間內(nèi)采用零攻角方式(即U(t

Bk(k

(106)

(107)

其中,tkc=tc。

3.4 結(jié)合目標(biāo)預(yù)測的規(guī)劃制導(dǎo)方法

攔截高速機(jī)動目標(biāo)時,需要采用預(yù)測制導(dǎo)的模式,即首先預(yù)估攔截點(diǎn),然后引導(dǎo)導(dǎo)彈打擊該攔截點(diǎn)。因此,為了應(yīng)用本文方法攔截機(jī)動目標(biāo),需要結(jié)合目標(biāo)預(yù)測方法。一般的,對目標(biāo)狀態(tài)的預(yù)測是基于目標(biāo)當(dāng)前狀態(tài)(位置、速度、加速度等)和剩余飛行時間的,可將某一預(yù)測方法表示為

Y′T=fp(XT,tgo)

(108)

式中：XT表示可獲得的目標(biāo)當(dāng)前狀態(tài)；tgo為剩余飛行時間；Y′T為預(yù)測的目標(biāo)狀態(tài)。

為了滿足機(jī)動目標(biāo)攔截以及交會角約束要求,預(yù)測方法需要給出攔截點(diǎn)處的目標(biāo)位置以及航跡角,因此選擇：Y′T=[x′T,y′T,z′T,γ′T,ψ′T]T。在實(shí)施時,將目標(biāo)預(yù)測與MPSP方法的模型預(yù)測過程相結(jié)合：當(dāng)MPSP算法采用數(shù)值積分方法逐時間步長tk計(jì)算導(dǎo)彈輸出Y(tk)時,同步按照預(yù)測方程式(108)計(jì)算tk時刻(剩余飛行時間tgo=tk-t)的目標(biāo)預(yù)測狀態(tài)Y′T(tk),以及兩者的脫靶量R(tk),直至R(tk)

圖2 MPSP規(guī)劃制導(dǎo)實(shí)施流程

采用這樣的方式,MPSP方法在進(jìn)行模型預(yù)測的同時即可估計(jì)預(yù)測攔截點(diǎn)狀態(tài),繼而根據(jù)兩者偏差規(guī)劃實(shí)現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的預(yù)測攔截。由于MPSP方法在模型預(yù)測時采用了數(shù)值積分方法,相應(yīng)的,目標(biāo)預(yù)測方法式(109)可應(yīng)用數(shù)值或解析形式。本文在實(shí)施時,采用文獻(xiàn)[8]提出的圓弧預(yù)測方法,其需要的測量信息為多個歷史時刻的目標(biāo)位置。

4 數(shù)值仿真與分析

通過數(shù)值仿真驗(yàn)證本文方法的實(shí)際效果,在實(shí)施時分為兩部分：首先針對固定攔截點(diǎn)進(jìn)行打擊,驗(yàn)證本文MPSP方法的規(guī)劃效果；然后以做側(cè)向機(jī)動的CAV-H飛行器作為目標(biāo),驗(yàn)證本文MPSP方法結(jié)合目標(biāo)預(yù)測后對機(jī)動目標(biāo)的攔截能力。仿真時,滑行段可用過載由最大攻角和側(cè)滑角α、β∈[-15°,15°]約束。

4.1 針對固定攔截點(diǎn)規(guī)劃結(jié)果

攔截彈的初始位置為(0, 0, 0) km,速度為15 m/s, 發(fā)動機(jī)工作時間17 s。給定的攔截點(diǎn)位置為(70, 30, 4) km,速度傾角和航向角約束均為0°。分別應(yīng)用本文MPSP方法、原始MPSP方法以及高斯偽譜法(GPM)進(jìn)行規(guī)劃。其中在應(yīng)用原始MPSP方法時,采用與本文方法一致的模型,控制量性能指標(biāo)選擇式(104)。由于原始MPSP方法不具備初始狀態(tài)規(guī)劃能力,在規(guī)劃時初始速度航向角選擇本文方法得到的結(jié)果,初始彈道傾角設(shè)為60°(其它值無法收斂)。在實(shí)施時,本文MPSP方法與原始MPSP方法在動力段與滑行段分別采用零控(U=[0,0]T)和比例制導(dǎo)作為初始猜測,終端脫靶量和角約束精度分別設(shè)為1 m和0.1°。各方法的規(guī)劃結(jié)果如表1、圖3～圖4所示。

表1 針對固定點(diǎn)規(guī)劃結(jié)果

圖3給出了本文方法的規(guī)劃迭代過程。可以

圖3 本文MPSP方法規(guī)劃結(jié)果

看到,經(jīng)過5次迭代,其終端精度滿足了要求。而且在迭代過程中,關(guān)機(jī)點(diǎn)和初始彈道傾角以及速度航向角進(jìn)行了有效的調(diào)整,證明了本文方法以及所構(gòu)建兩段規(guī)劃模型的有效。

圖4給出了3種方法的規(guī)劃結(jié)果對比?？梢钥闯?本文MPSP方法規(guī)劃得到的結(jié)果非常接近高斯偽譜法(GPM)給出的最優(yōu)解,其終端速度(1 713.99 m/s)僅比高斯偽譜法得到的結(jié)果小12 m/s,而且兩者得到的初始射向(如表1 所示),軌跡形式(圖4(a)～圖4(d))和加速度曲線(圖4(e)～圖4(f))也較為接近。相比之下,應(yīng)用原始MPSP方法規(guī)劃時出現(xiàn)了較大的速度損失,其終端速度(785.2 m/s)遠(yuǎn)小于速度最優(yōu)解,軌跡形式和加速度剖面也顯著不同于本文方法和最優(yōu)解。導(dǎo)致這一差異的主要原因?yàn)樵糓PSP算法所采用二次型性能指標(biāo)形式(18),無法在其中引入零升阻力項(xiàng)。在這樣的優(yōu)化目標(biāo)下,算法只能最大程度的減小升致阻力,如圖4(e)～圖4(f) 所示,其生成的制導(dǎo)加速度明顯小于最優(yōu)解,甚至在后半段直接令加速度為0,同時飛行時間也大幅度增加。這樣的控制策略可以有效減小升致阻力(制導(dǎo)加速度由升力提供,與升致阻力正相關(guān)),但卻使零升阻力的消耗大幅增加,從而導(dǎo)致了顯著的速度損失(如圖4(c) 所示)。顯然,這樣的速度損失將極大影響攔截能力。此外,本文MPSP算法在實(shí)施時相比原始MPSP算法僅增加13%的計(jì)算時間,遠(yuǎn)小于高斯偽譜法(如表1 所示)。其主要得益于一系列敏感矩陣遞歸計(jì)算設(shè)計(jì),證明了算法的高效以及在線應(yīng)用的可行性。

圖4 針對固定攔截點(diǎn)的規(guī)劃結(jié)果

以上結(jié)果和分析表明,零升阻力對大氣層內(nèi)攔截彈的飛行速度具有顯著影響。應(yīng)用原始MPSP算法進(jìn)行規(guī)劃時,由于在性能指標(biāo)中不能考慮零升阻力,終端速度的最優(yōu)性很難實(shí)現(xiàn)。而本文MPSP方法通過在性能指標(biāo)中構(gòu)建狀態(tài)相關(guān)量以及構(gòu)建終端速度最優(yōu)的兩段規(guī)劃模型,在保持原有MPSP算法計(jì)算效率下,可得到接近最優(yōu)解的結(jié)果,從而大幅提升終端速度,保證攔截彈具備良好的攔截能力

4.2 針對機(jī)動目標(biāo)攔截制導(dǎo)結(jié)果

選擇CAV-H飛行器作為機(jī)動目標(biāo),其初始時刻位置(300, 35, 0) km,高度 35 km,速度3500 m/s,速度傾角和航向角均為0°。在仿真時,CAV-H以恒定的攻角和傾側(cè)角(α=10°,σ=40°)進(jìn)行側(cè)向機(jī)動,模擬其滑翔段的飛行方式。由于沒有考慮末制導(dǎo)段,假定距目標(biāo) 15 km時中制導(dǎo)結(jié)束,隨后保持當(dāng)前指令,以最終脫靶量和交會角為制導(dǎo)性能指標(biāo)。其余初始狀態(tài)和仿真條件沿用4.1節(jié)設(shè)置。

為了進(jìn)行制導(dǎo)性能對比,分別應(yīng)用本文提出的方法、比例制導(dǎo)以及變系數(shù)顯式制導(dǎo)[8]進(jìn)行仿真分析,均采用圓弧預(yù)測方法[8]進(jìn)行目標(biāo)預(yù)測。在實(shí)施本文方法時,首先應(yīng)用本文帶初始狀態(tài)規(guī)劃的MPSP算法(式(50))規(guī)劃得到最優(yōu)的初始彈道傾角和航向角,然后以此作為仿真初始條件采用不含初始狀態(tài)規(guī)劃的算法(式(51))進(jìn)行制導(dǎo)。由于比例制導(dǎo)和顯式制導(dǎo)一般只能用于無動力段,故動力段采用程序轉(zhuǎn)彎方式[24],其轉(zhuǎn)彎參數(shù)通過調(diào)制得到,初始彈道傾角和航向角選擇本文方法給出的最優(yōu)解。在實(shí)施時,首先調(diào)制出一組較優(yōu)的程序轉(zhuǎn)彎參數(shù)(條件1)應(yīng)用于比例制導(dǎo)和顯式制導(dǎo),然后通過改變初始彈道傾角和偏角生成不同的關(guān)機(jī)點(diǎn)條件(如表2 所示,對應(yīng)條件2,3)應(yīng)用于顯式制導(dǎo)以展示不同關(guān)機(jī)點(diǎn)條件對攔截效果的影響。

本文方法、比例制導(dǎo)以及不同關(guān)機(jī)點(diǎn)條件下顯式制導(dǎo)的攔截結(jié)果如表2 和圖5 所示, 可以看出：由于未加入末制導(dǎo)段修正,本文方法脫靶量和終端交會角沒有完全收斂到0,然而其精度和終端速度顯著高于比例制導(dǎo)和顯式制導(dǎo),且足以滿足中末制導(dǎo)交班要求。作為對比,比例制導(dǎo)出現(xiàn)了較大的脫靶量,其主要是沒有考慮可用過載約束,制導(dǎo)加速度飽和導(dǎo)致的[8]。當(dāng)采用顯式制導(dǎo)時,通過在初制導(dǎo)段選擇合適的初始射向,調(diào)制合理的轉(zhuǎn)彎參數(shù)(條件1),其精度也可以滿足交班要求。但這一攔截效果的實(shí)現(xiàn)很大程度上依賴于初制導(dǎo)段良好的初始射向和飛行狀態(tài),如表2 所示,當(dāng)調(diào)整初始彈道傾角和速度航向角使其關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)偏離調(diào)制所得到的較優(yōu)條件(條件1)后,其攔截精度出現(xiàn)了較大程度下降(條件2),或是終端速度出現(xiàn)了較大程度的損失(條件3),而且其所需的制導(dǎo)加速度也出現(xiàn)了較大程度的增加(如圖5 (c) 所示)。結(jié)果表明,初中制導(dǎo)交班條件對攔截效果具有較大影響,當(dāng)在初制導(dǎo)段應(yīng)用傳統(tǒng)的程序轉(zhuǎn)彎方式時,需要合理設(shè)計(jì)才能保證攔截效果。但在實(shí)際中這一要求并不容易達(dá)到,尤其考慮到臨近空間目標(biāo)靈活多變的機(jī)動特性和對攔截系統(tǒng)快速反應(yīng)的要求。而本文所提出結(jié)合目標(biāo)預(yù)測,采用MPSP進(jìn)行初中制導(dǎo)聯(lián)合規(guī)劃制導(dǎo)的方法,不僅可以根據(jù)目標(biāo)當(dāng)前狀態(tài)實(shí)時調(diào)整規(guī)劃,而且可以實(shí)現(xiàn)更高的終端速度與精度。此外,結(jié)合MPSP方法進(jìn)行預(yù)測攔截點(diǎn)估計(jì)時,由于直接應(yīng)用了攔截彈非線性模型,可以考慮攔截彈速度變化,因此相比傳統(tǒng)方法可以獲得更高的預(yù)測精度(如圖5(e)和圖5(f) 所示),而預(yù)測精度的提升同樣有助于提高攔截精度。

表2 機(jī)動目標(biāo)攔截結(jié)果

圖5 針對機(jī)動目標(biāo)攔截軌跡

進(jìn)一步地,在前述仿真條件的基礎(chǔ)上,將目標(biāo)初始位置依次設(shè)置為距發(fā)射陣地 350 km和 400 km 實(shí)施仿真。此時相比原有條件(距發(fā)射陣地 300 km),目標(biāo)將實(shí)現(xiàn)更大的機(jī)動航程和機(jī)動橫程(圖6),相應(yīng)的攔截結(jié)果如表3所示。與表2

表3 不同機(jī)動范圍下目標(biāo)攔截結(jié)果

圖6 針對不同機(jī)動范圍目標(biāo)的側(cè)向攔截軌跡

結(jié)果對比可以看到,隨著目標(biāo)側(cè)向機(jī)動距離增大,比例制導(dǎo)和顯式制導(dǎo)的攔截精度和終端速度顯著下降,當(dāng)目標(biāo)初始位置為(400,0,0)km時已無法滿足中末制導(dǎo)交班要求。而本文方法依然能實(shí)現(xiàn)較好的終端精度和終端速度,滿足中末制導(dǎo)交班要求。結(jié)果表明,本文方法具備攔截更大機(jī)動范圍目標(biāo)能力,更能滿足機(jī)動目標(biāo)攔截的要求。

為了驗(yàn)證本文方法在測量信息不準(zhǔn)確和參數(shù)偏差條件下的制導(dǎo)效果,在5.2仿真條件基礎(chǔ)上,加入測量信息和氣動參數(shù)偏差進(jìn)行蒙特卡洛打靶仿真。其中,假定目標(biāo)位置(x,y,z)和速度(Vx,Vy,Vz)分別含有一倍標(biāo)準(zhǔn)差為 50 m和 30 m/s的測量偏差[25],攔截彈的氣動系數(shù)按三倍標(biāo)準(zhǔn)差為15%的偏差限攝動,仿真次數(shù)500。打靶統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4,圖7以及圖8所示。

圖7 交會角分布圖

圖8 脫靶量(ZEM)分布圖

表4 蒙特卡洛仿真統(tǒng)計(jì)結(jié)果

可以看到,加入隨機(jī)偏差后,本文方法得到的零控脫靶量和交會角相比無測量偏差條件下均有所增大,其主要是由于位置偏差導(dǎo)致預(yù)測攔截點(diǎn)變化引起的?？紤]到未加入末制導(dǎo)段修正,這樣的精度與散布仍然能夠滿足中末制導(dǎo)交班要求。結(jié)果表明,在測量信息和氣動參數(shù)存在隨機(jī)偏差條件下,本文方法依然能夠保持較好的預(yù)測和制導(dǎo)性能,且零控脫靶量和交會角可以滿足中末制導(dǎo)交班要求。

5 結(jié) 論

1) 零升阻力對大氣層內(nèi)攔截彈的飛行速度具有顯著影響,MPSP算法在規(guī)劃時通過考慮狀態(tài)相關(guān)性能指標(biāo)引入零升阻力,可有效提升終端速度和攔截能力。

2) 在中制導(dǎo)設(shè)計(jì)時,通過考慮攔截彈的射向以及初制導(dǎo)段,進(jìn)行聯(lián)合規(guī)劃,不僅可以提高導(dǎo)彈終端速度和制導(dǎo)精度,而且更能滿足機(jī)動目標(biāo)攔截的要求。

3) 測量不準(zhǔn)確和氣動參數(shù)不確定條件下,基于MPSP規(guī)劃制導(dǎo)方法依然能夠保持較好的制導(dǎo)性能,滿足中末制導(dǎo)交班要求。

4) 帶初始狀態(tài)規(guī)劃和復(fù)合狀態(tài)相關(guān)性能指標(biāo)的MPSP算法,以及所采用的兩段規(guī)劃模型的構(gòu)建方法可用于其他制導(dǎo)問題。