董鑫宇，孫 昊，郭 悅，傅卓鑫

(1.河北工業(yè)大學(xué)，天津 300132；2.國家康復(fù)輔具研究中心附屬康復(fù)醫(yī)院，北京 100176)

1 引言

長骨骨折是骨折中最常見的骨折種類，其中股骨，肱骨骨干骨折分別占成年人骨折的6%和5%[1]，骨折發(fā)生時(shí)，閉合的復(fù)位并固定是最佳的治療方案。該方法的優(yōu)勢在于可以減少軟組織解刨，對于骨折愈合，尤其是軟組織挫傷嚴(yán)重或有骨膜損傷的骨折愈合的意義重大。外科醫(yī)生在治療骨折的過程中，常常需要多名經(jīng)驗(yàn)豐富的醫(yī)生聯(lián)合進(jìn)行操作，即便是最優(yōu)秀的醫(yī)生團(tuán)隊(duì)在消費(fèi)大量體力的同時(shí)也不能保證每名患者的復(fù)位效果滿足預(yù)期。骨折復(fù)位完成后還需要考慮如何固定以及進(jìn)一步促進(jìn)愈合的問題，內(nèi)固定雖可靠，但需切開骨折端，對血運(yùn)破壞明顯，容易導(dǎo)致感染和不愈合。而外固定則易面臨復(fù)位不徹底、術(shù)后固定失效和松動斷裂等問題。上述問題的解決在目前看來必須依賴骨科機(jī)器人的引入。通過骨折復(fù)位機(jī)器人進(jìn)行骨折復(fù)位的治療，骨折復(fù)位的精度將得到提高，同時(shí)因?yàn)椴恢＞氲臋C(jī)器手臂可以穩(wěn)定控制骨斷端，理論上將可以明顯的減少傳統(tǒng)骨折復(fù)位手術(shù)中的并發(fā)癥，如擠壓、血管神經(jīng)損傷或者二次骨折的發(fā)生。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有承載能力強(qiáng)，末端執(zhí)行器精度高等優(yōu)點(diǎn)，6-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，動平臺與連桿之間由虎克鉸相連，末端執(zhí)行器在空間有平移及旋轉(zhuǎn)的六個自由度，十分契合骨外科手術(shù)的需求。國內(nèi)外研究者投入了大量精力研究類似的并聯(lián)機(jī)構(gòu)治療骨折或骨畸形，并獲得了一定實(shí)質(zhì)性成果。Seide[2]教授基于Taylor骨外固定架，給Stewart平臺的執(zhí)行連桿加裝了電驅(qū)動器，并用計(jì)算機(jī)對驅(qū)動器進(jìn)行控制和檢測。該機(jī)構(gòu)縮短了復(fù)位的周期，軌跡的規(guī)劃也更為靈活，但由于成本高且在拍攝骨折處透影像時(shí)，機(jī)構(gòu)和電器設(shè)備會給成像效果造成很大程度上的干擾，并未廣泛的應(yīng)用于臨床。Changsheng Li[3]等人將Stewart機(jī)構(gòu)做為執(zhí)行器應(yīng)用在閉合性骨干骨折復(fù)位手術(shù)中，并利用利用串聯(lián)誤差傳遞模型和并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差差分求解方法建立誤差模型，分析了骨折復(fù)位的精度。H.Lin[4]等人將并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)引入骨牽引臺并實(shí)施了股骨骨干的骨折復(fù)位。上述文獻(xiàn)從不同角度介紹了并聯(lián)機(jī)構(gòu)在骨折復(fù)位及畸形矯正方面的應(yīng)用，但缺乏對機(jī)構(gòu)本身運(yùn)動學(xué)機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能的分析。本文基于一種新穎的骨折復(fù)位機(jī)構(gòu)，從運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)角度分析機(jī)器人設(shè)計(jì)的合理性和利用該機(jī)器人進(jìn)行骨折復(fù)位手術(shù)的可行性。

本文介紹了一種新穎的骨折復(fù)位機(jī)器人，介紹了利用該機(jī)器人進(jìn)行骨折復(fù)位的方法，并針對機(jī)器人的主要執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行了逆運(yùn)動學(xué)分析。利用SimMechanic建立了機(jī)器人執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動力學(xué)仿真模型，并通過拉格朗日法建立了詳細(xì)的動力學(xué)模型，推導(dǎo)出了該機(jī)構(gòu)的雅各比矩陣，通過分析驅(qū)動關(guān)節(jié)與末端執(zhí)行器的受力情況，驗(yàn)證了該動力學(xué)模型的正確性。最后，利用建立的機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型設(shè)計(jì)了關(guān)節(jié)空間中基于計(jì)算力矩法的機(jī)器人控制器，通過非線性反饋補(bǔ)償機(jī)器人的非線性部分，使得機(jī)構(gòu)利用線性控制器也可以獲得滿意的控制效果。

2 骨折復(fù)位機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

在傳統(tǒng)骨折復(fù)位手術(shù)過程中，醫(yī)師通過牽引并緩慢矯正移動骨相對于近端參照骨的畸形來實(shí)現(xiàn)復(fù)位。骨折發(fā)生時(shí)，移動骨相對于參照骨有可能會形成復(fù)雜的畸形狀態(tài)，根據(jù)剛體在空間的姿態(tài)描述，可以通過6個自由度來確定移動骨相對于參照骨的全部畸形狀態(tài)，即3個旋轉(zhuǎn)自由度和3個平動自由度。為了滿足一定范圍內(nèi)移動骨復(fù)位的需求，采用6-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為機(jī)器人的主要執(zhí)行機(jī)構(gòu)。基本的骨折復(fù)位手術(shù)生物學(xué)固定原則指出，外固定減少了植入物與組織的接觸面積，很大程度上減少了骨折復(fù)位并發(fā)癥的發(fā)生。通過考慮傳統(tǒng)骨折復(fù)位手術(shù)中醫(yī)生體力消耗大，復(fù)位精度不高等問題，參考了醫(yī)生的復(fù)位手法相關(guān)臨床經(jīng)驗(yàn)，利用Soildworks軟件設(shè)計(jì)骨折復(fù)位機(jī)器人如圖1所示，圖2為復(fù)位機(jī)器人的主要執(zhí)行機(jī)構(gòu)。該機(jī)器人由軌跡規(guī)劃單元，位姿反解單元，控制系統(tǒng)及執(zhí)行機(jī)構(gòu)組成，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺作為主要的執(zhí)行器對移動骨進(jìn)行牽伸和對位。利用骨折復(fù)位機(jī)器人進(jìn)行骨折復(fù)位手術(shù)的流程可以分三個階段：

圖1 骨折復(fù)位機(jī)器人系統(tǒng)

圖2 骨折復(fù)位機(jī)器人執(zhí)行器部分

首先利用骨外固定環(huán)分別固定患者遠(yuǎn)端及近端，由遠(yuǎn)端環(huán)充當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的移動平臺，近端與手術(shù)床保持剛性連接。再通過透視影像測算移動骨與參照骨的相對位姿，利用計(jì)算機(jī)軟件根據(jù)醫(yī)生的臨床經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)移動骨的復(fù)位軌跡，機(jī)器人根據(jù)設(shè)定好的復(fù)位軌跡進(jìn)行骨折復(fù)位。在復(fù)位結(jié)束后，通過定制外固定連桿連接近/遠(yuǎn)端的骨外固定環(huán)構(gòu)成六自由度外固定器或采用內(nèi)固定(如髓內(nèi)釘或鋼板等)的方式固定。最后斷開固定環(huán)與手術(shù)床與機(jī)器人的連接，結(jié)束手術(shù)。

3 骨折復(fù)位機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)分析

本文主要以骨折復(fù)位機(jī)器人的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為研究對象。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正運(yùn)動學(xué)問題分析較為復(fù)雜且本文在對其進(jìn)行控制時(shí)刻意回避了正運(yùn)動學(xué)求解，因此本文僅對骨折復(fù)位機(jī)器人并聯(lián)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動學(xué)進(jìn)行分析及求解。圖3為該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖。

圖3 骨折復(fù)位機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖

(1)

因此，第i根支鏈的長度ρi可以表示為

至此，給定動平臺相對于定平臺的位姿變化，就能通過(1)式計(jì)算出各執(zhí)行器的長度，這實(shí)際上就是骨折復(fù)位機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)的求解過程。

4 骨折復(fù)位機(jī)器人的動力學(xué)建模

4.1 拉格朗日法求機(jī)器人動力學(xué)方程

本文利用拉格朗日法建立骨折復(fù)位機(jī)器人執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型。利用拉格朗日法建立機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型，對于骨折復(fù)位機(jī)器人這一完全約束的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，支鏈與平臺構(gòu)成封閉的結(jié)構(gòu)，機(jī)構(gòu)的每個部分存在許多中間坐標(biāo)和約束條件，通常相互依賴。首先需要采用合適的廣義坐標(biāo)求解系統(tǒng)的動能和勢能[5]。根據(jù)虛功原理的定義，在廣義坐標(biāo)的基礎(chǔ)上定義拉格朗日函數(shù)為

L=K-P

(2)

其中K表示系統(tǒng)的動能，P表示系統(tǒng)的勢能，由于機(jī)構(gòu)動能取決于廣義坐標(biāo)及其它們時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，勢能取決于廣義坐標(biāo)本身，則系統(tǒng)的拉格朗日方程為：

其中Q表示廣義力，對于六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，選取運(yùn)動平臺質(zhì)心位置變量和螺旋系下的姿態(tài)變量X作為廣義坐標(biāo)。機(jī)械臂的動能可以由質(zhì)量矩陣M(X)表示

因此拉格朗日函數(shù)可以重寫為

由于動能是速度向量的二次型，將上式帶入式(2)可得

定義

(3)

(4)

在拉格朗日方程中，式(3)包含了科氏力與離心力加速度引起的所有慣性力，為了簡化科氏力和離心力向量，利用張量積可以將V表示為如下形式

根據(jù)張量積的運(yùn)算法則，定義C被表示為如下形式

采用這種表示形式，對于任何并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程都可以寫成一般的封閉形式：

為了應(yīng)用機(jī)構(gòu)參數(shù)及運(yùn)動學(xué)參數(shù)并推導(dǎo)出骨折復(fù)位機(jī)構(gòu)具體的動力學(xué)方程，將機(jī)構(gòu)分解為運(yùn)動平臺和6條支鏈分別建立其動力學(xué)方程，分別建立廣義坐標(biāo)并獨(dú)立分析，最后通過轉(zhuǎn)換關(guān)系將兩部分合并，求出動力學(xué)矩陣的參數(shù)表達(dá)式。

首先建立各支鏈的運(yùn)動學(xué)方程。假設(shè)每個支鏈由動臂和靜臂兩部分組成，動臂和靜臂的質(zhì)心分別為ci1和ci2，質(zhì)量分別為mi1，mi2.作用于肢體上的有外部力，驅(qū)動力和重力并假定沒有擾動扭力。定義支鏈與上平臺鉸點(diǎn)Bi的位置為廣義坐標(biāo)。定義為xi，支鏈動力學(xué)方程的一般形式為

質(zhì)量矩陣可以從每個肢體的動能中直接求出

重力項(xiàng)Gi可以根據(jù)勢能相對于廣義坐標(biāo)xi的偏導(dǎo)求得，即

科氏力和離心力項(xiàng)則根據(jù)拉格朗日等式的拉格朗日函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)直接求得。

下面出了它們的具體形式

(5)

(6)

(7)

其中

骨折復(fù)位機(jī)器人的動平臺是一個幾何對稱質(zhì)量均勻的剛體，選取運(yùn)動平臺自身的運(yùn)動參數(shù)X作為廣義坐標(biāo)，建立運(yùn)動平臺的動力學(xué)方程

其中質(zhì)量矩陣可以從運(yùn)動平臺動能推導(dǎo)而來

科氏力與離心力向量可以通過將質(zhì)量矩陣相對于時(shí)間進(jìn)行微分以及將動能相對于廣義坐標(biāo)進(jìn)行微分得到

重力項(xiàng)則是通過將動平臺勢能對廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)得到：

最終，動平臺的動力學(xué)矩陣為

(8)

(9)

(10)

為了獲得機(jī)構(gòu)整體的動力學(xué)矩陣，需要將中間廣義坐標(biāo)系xi通過雅各比矩陣Ji轉(zhuǎn)化為全局的廣義坐標(biāo)X，并按如下公式計(jì)算骨折復(fù)位機(jī)構(gòu)的整體動力學(xué)矩陣

此外，作用于機(jī)構(gòu)的廣義力Q可以認(rèn)為是驅(qū)動力與擾動扭轉(zhuǎn)力Fd共同作用，即

Q=JTτ+Fd

至此，即求得了骨折復(fù)位機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程的封閉形式，該形式有助于將先進(jìn)的控制策略運(yùn)用到控制系統(tǒng)中。

4.2 逆動力學(xué)仿真

通過給定末端執(zhí)行器運(yùn)動軌跡，觀察各支鏈及平臺所受的力是否符合預(yù)期，可以驗(yàn)證動力學(xué)模型建立的正確性和完整性。首先需要為機(jī)器人的動平臺設(shè)定運(yùn)動的軌跡。由于6-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在空間有3各個平移及三個旋轉(zhuǎn)的自由度因此需要為6個自由度分別設(shè)計(jì)運(yùn)動軌跡。處于機(jī)器人考慮，因此希望執(zhí)行器可以柔和的啟動并緩慢的停止，即希望末端執(zhí)行器在個自由度的起始和終止速度為零，并且在軌跡的中間階段運(yùn)動盡可能保持勻速，多項(xiàng)式函數(shù)可以被用于模擬機(jī)構(gòu)的運(yùn)動軌跡，本文采用三次多項(xiàng)式表示個自由度的運(yùn)動軌跡

q(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3

軌跡的速度為

通過Simulink模擬了動平臺的運(yùn)動軌跡，設(shè)置仿真時(shí)間為6秒并模擬了三條動平臺的運(yùn)動軌跡如圖4所示，分別使動平臺沿Z軸平移30mm，沿X軸及Z軸分別平移30mm及繞Y軸旋轉(zhuǎn)30度，其中藍(lán)色線段表示機(jī)構(gòu)的起始狀態(tài)，紅色線段表示機(jī)構(gòu)的終止?fàn)顟B(tài)。將該軌跡輸入骨折復(fù)位機(jī)器人的動力學(xué)模型，認(rèn)為作用于機(jī)構(gòu)的外部力只有重力g=[0，0，-9.8]T，其對應(yīng)的平臺受力曲線如圖所示，利用力雅可比矩陣得到各支鏈的受力情況如圖5所示。

圖4 由左到右分別為動平臺沿z軸上升30mm;動平臺分別沿z軸和x軸移動30mm;動平臺繞X軸旋轉(zhuǎn)20度

圖5 各支鏈在三種運(yùn)動軌跡下所受的力

三組軌跡下的動平臺分別沿著Z正方向的力向上移動30mm，沿Z軸及X軸同時(shí)各移動30mm和繞Y軸旋轉(zhuǎn)30度，并經(jīng)歷先加速再減速的過程，由于設(shè)置Z軸沿豎直向下，動平臺沿各軸受力偏離0軸，以克服重力的影響。

5 骨折復(fù)位機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

5.1 關(guān)節(jié)空間的控制系統(tǒng)架構(gòu)

基于工作空間的控制系統(tǒng)如圖6a所示，期望軌跡與機(jī)構(gòu)輸出的軌跡產(chǎn)生的偏差被送入控制器，控制器根據(jù)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型產(chǎn)生相應(yīng)的關(guān)節(jié)驅(qū)動力輸入機(jī)構(gòu)的各個關(guān)節(jié)，構(gòu)成一個閉環(huán)系統(tǒng)。但是，實(shí)際的情況是，機(jī)構(gòu)動平臺的運(yùn)動參數(shù)X通常很難直接測量，相比于測量動平臺的運(yùn)動參數(shù)，測量主動關(guān)節(jié)的位移變化更加經(jīng)濟(jì)方便。一種可行的方法是通過在工作空間中設(shè)計(jì)控制器，通過傳感器測量機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)變量，并通過前向運(yùn)動學(xué)求解工作空間中動平臺的位姿X，但由于前向運(yùn)動學(xué)需要求解一系列非線性方程，計(jì)算復(fù)雜度高，尤其是需要實(shí)時(shí)的提供控制信號時(shí)，該方法的實(shí)現(xiàn)較為困難。相比于前向動力學(xué)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反向運(yùn)動學(xué)求解就要簡單的多。本文首先利用并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反向運(yùn)動學(xué)模型根據(jù)機(jī)器人的期望軌跡計(jì)算出相應(yīng)的期望關(guān)節(jié)位移量Ld，基于期望關(guān)節(jié)位移與實(shí)際關(guān)節(jié)位移q(t)在關(guān)節(jié)空間的誤差eq來設(shè)計(jì)控制器，控制器輸入是誤差eq，輸出是執(zhí)行器關(guān)節(jié)的力τ。通過這種改變，明顯減少了動態(tài)系統(tǒng)的耦合性和非線性特性，使得在控制架構(gòu)中為每個關(guān)節(jié)設(shè)置獨(dú)立控制器變得有效。

圖6 控制系統(tǒng)架構(gòu)

由于上一章所推導(dǎo)的機(jī)器人動力學(xué)模型是在工作空間中建立的，再利用關(guān)節(jié)空間的控制架構(gòu)時(shí)有必要將動力學(xué)模型轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間中。執(zhí)行器的力矩向量和對應(yīng)的工作空間的廣義力的關(guān)系可以表示為

F=JTτ

其中J為機(jī)構(gòu)的雅各比矩陣。由于機(jī)構(gòu)是完全約束的機(jī)構(gòu)，雅各比矩陣在非奇異狀態(tài)下可逆。工作空間中加速度與速度可以表示為

(11)

Mq=J-TM(X)J-1

Gq=J-TG(X)；τd=J-TFd

5.2 逆動力學(xué)模型的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

計(jì)算力矩法是典型的考慮機(jī)器人動力學(xué)模型的控制方案，通過機(jī)器人的動力學(xué)模型為PD控制的輸出提供了非線性的補(bǔ)償，使得被控對象變成更容易控制的線性定長系統(tǒng)，再采用PD控制便可以的到滿意的控制效果。式(11)為機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間中的動力學(xué)方程，計(jì)算力矩法的控制架構(gòu)如圖7所示。

圖7 逆動力學(xué)模型控制

各支鏈獲得的控制量為

機(jī)器人的動力學(xué)方程可以表示為

若動態(tài)矩陣的值精確且M(q)可逆，則可以消去上式的非線性項(xiàng)，上式等價(jià)于一個解耦的線性定常系統(tǒng)

當(dāng)期望軌跡qd(t)給定后，可對上述系統(tǒng)引入包含偏置的PD控制

式中e=qd(t)-q(t)，Kd，Kp均是對角矩陣且正定的。閉環(huán)系統(tǒng)的方程為

5.3 逆動力學(xué)模型的控制系統(tǒng)仿真

圖8 動平臺運(yùn)動軌跡

圖9 基于力矩法的仿真控制系統(tǒng)

圖10 各桿的長度變化

圖11 各桿的受力情況

圖12 動平臺受力情況

圖13 動平臺實(shí)際的運(yùn)動軌跡及與期望軌跡的誤差

左圖為期望變換曲線，右圖為實(shí)際變化曲線

6 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種新型的并聯(lián)骨折復(fù)位機(jī)器人用于替代外科醫(yī)生來進(jìn)行長骨骨折復(fù)位手術(shù)。該機(jī)構(gòu)通過動平臺帶動骨折遠(yuǎn)端移動骨進(jìn)行空間上六個自由度的運(yùn)動以實(shí)現(xiàn)骨折復(fù)位的目的。通過MATLAB軟件中的SimMechanic工具箱結(jié)合Soildworks軟件設(shè)計(jì)骨折復(fù)位機(jī)器人，通過Simulink工具箱搭建了機(jī)構(gòu)的軌跡生成模塊及反向運(yùn)動學(xué)求解模塊，對骨折復(fù)位機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)仿真?；谶\(yùn)動學(xué)分析的結(jié)果，運(yùn)用拉格朗日法建立了該骨折復(fù)位機(jī)器人的動力學(xué)模型，并探究了平臺位姿與關(guān)節(jié)驅(qū)動力及平臺受力的關(guān)系；利用計(jì)算力矩法在關(guān)節(jié)空間中設(shè)計(jì)了骨折復(fù)位機(jī)構(gòu)逆動力學(xué)控制器。通過該仿真結(jié)果可以看出引入機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的計(jì)算力矩法的控制器使得機(jī)器人具有較好的跟蹤性能及魯棒性。該研究為實(shí)際控制器設(shè)計(jì)及控制系統(tǒng)開發(fā)提供了理論支持。