朱天惠，任鴻翔，趙玉然

(大連海事大學(xué)航海動(dòng)態(tài)仿真和控制交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連116026)

1 引言

航海模擬器的高速發(fā)展為航海院校及科研院所培養(yǎng)輸送大批高素質(zhì)海員提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。航海模擬器的優(yōu)劣主要體現(xiàn)在功能或稱為適任能力、物理真實(shí)感、行為真實(shí)感和操作環(huán)境真實(shí)感等幾個(gè)方面。視景系統(tǒng)是近年來航海模擬器發(fā)展最快的部分之一，是模擬器研制成功與否的關(guān)鍵技術(shù)，其主要體現(xiàn)在提升模擬器的操作環(huán)境真實(shí)感[1]。

航海模擬器中海浪約占整個(gè)視景的一半?yún)^(qū)域，其模擬的逼真與否對(duì)環(huán)境真實(shí)感影響較大?，F(xiàn)階段航海模擬器中有關(guān)海浪的模擬主要采用的是基于構(gòu)造的方法，該方法主要包括基于幾何模型的方法和基于統(tǒng)計(jì)和譜的方法?；跇?gòu)造的方法的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)時(shí)性較強(qiáng)，缺點(diǎn)是真實(shí)感較差，難以展現(xiàn)流體細(xì)節(jié)，而且在較高視點(diǎn)處觀察海浪，磁磚效應(yīng)比較明顯[2]。

隨著計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備的高速發(fā)展，圖形處理器的計(jì)算速度大大加快，基于物理模型的方法逐漸步入視野?；谖锢砟Ｐ偷暮＠死L制方法現(xiàn)階段主要分為歐拉網(wǎng)格法(Grid-basedEulerian Approach)以及拉格朗日粒子法(Particle-based Lagrangian Approach)歐拉法通過固定網(wǎng)格單元來模擬流體在單元上的移動(dòng)，其缺點(diǎn)是易受時(shí)間步長條件限制，且當(dāng)網(wǎng)格分辨率增加，真實(shí)感較強(qiáng)時(shí)，限制效果會(huì)更明顯。拉格朗日法則通過分析流體質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度、運(yùn)動(dòng)軌跡、密度、壓力等物理量，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中使用粒子來表示質(zhì)點(diǎn)，通過粒子來離散控制方程。拉格朗日法的優(yōu)勢(shì)在于模擬真實(shí)感較強(qiáng)，且可以在三維空間模擬例如水花、泡沫等更加豐富的流體細(xì)節(jié)、處理更加復(fù)雜的流體表面[3]。常用的拉格朗日方法有SPH(SmoothedParticleHydrodynamics)方法以及PBF(PositionBasedFluids)方法等。因?yàn)镻BF方法相比較傳統(tǒng)SPH方法，具有允許大時(shí)間步長，實(shí)時(shí)性較好等特點(diǎn)，基于位置的流體繪制方法成為海浪仿真研究的熱點(diǎn)。Müller等[5]最先提出PBD(PositionBasedDynamics)框架，并用來模擬布料。Macklin[5]等首次將PBD框架用于流體模擬，提出一個(gè)融合了密度迭代求解器的PBF框架，實(shí)現(xiàn)了與當(dāng)前SPH求解器接近的不可壓縮性和收斂性，穩(wěn)定性強(qiáng)，時(shí)間步長大，適合實(shí)時(shí)渲染[3]。Kang等[6]通過構(gòu)建無散速度場，加快收斂速度。K?ster等[7]提出一種自適應(yīng)迭代的APBF(Adaptive PBF)方法，適用于更大場景流體實(shí)時(shí)模擬。

結(jié)合上述分析，綜合考慮物理海浪流體建模方法，提出一種基于位置動(dòng)力學(xué)的海浪真實(shí)感模擬方法。主要通過構(gòu)建PBF流體模型，利用渦度約束函數(shù)進(jìn)行Curl運(yùn)算求解粒子的旋度場，再根據(jù)所求得的旋度場與位置向量進(jìn)行計(jì)算，得到渦度力場，最后根據(jù)力場所得旋向加速度實(shí)時(shí)更新流體粒子的速度，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)的真實(shí)感海浪模擬。

2 流體模型構(gòu)建

PBF方法是一種基于PBD框架下的無網(wǎng)格、拉格朗日粒子法。PBD框架的本質(zhì)是構(gòu)建約束條件，然后通過對(duì)約束條件進(jìn)行投影，更新流體粒子的位置信息，并借此更新速度值。PBF作為基于PBD框架的流體模擬方法，通過構(gòu)建密度約束，迭代求解流體粒子的位移偏量，根據(jù)位移偏量，實(shí)時(shí)更新流體粒子的速度，再將流體粒子繪制出來。

2.1 基于位置的動(dòng)力學(xué)框架

傳統(tǒng)方法通過求解力的值，再根據(jù)力的值進(jìn)行數(shù)值積分，從而更新速度值。與傳統(tǒng)的基于力的求解方法不同，基于位置的動(dòng)力學(xué)框架采用的是約束的手段。在PBD方法中，當(dāng)檢測(cè)到兩個(gè)物體發(fā)生穿透時(shí)，直接根據(jù)所采用的約束條件修正物體的位置，再更新物體的速度信息。PBD框架[4]算法如表1所示：

表1 基于位置的動(dòng)力學(xué)框架算法

基于位置的動(dòng)力學(xué)框架核心在于第7)～15)行。第7)行通過顯式歐拉積分方法估算物體頂點(diǎn)的新位置，9)～11)行是一個(gè)迭代解算器，通過采用高斯-賽德爾迭代的方法反復(fù)進(jìn)行約束投影來控制估算位置從而保證位移滿足約束條件。通過公式可以表示為：

(1)

在13)、14)行，物體頂點(diǎn)移動(dòng)到了最佳估算位置，速度也隨之更新，速度的控制通過第5)、6)及16)行實(shí)現(xiàn)。無法轉(zhuǎn)換為位置約束的外力通過第5)行進(jìn)行速度更新，系統(tǒng)只考慮重力對(duì)物體的影響，所以合外力與質(zhì)量倒數(shù)的乘積等于重力加速度。第6)行用于特定情況下添加速度阻尼，第16)行根據(jù)摩擦系數(shù)和補(bǔ)償系數(shù)調(diào)整碰撞頂點(diǎn)的速度。

2.2 PBF流體模型

通過與傳統(tǒng)SPH插值方法結(jié)合，Macklin等人[5]提出一種基于PBD框架下的流體模擬方法PBF。不同于傳統(tǒng)PBD框架用于解決固體問題而采用的位置約束，PBF方法通過計(jì)算流體質(zhì)點(diǎn)的密度，采用一種密度約束方法來更新流體質(zhì)點(diǎn)的位置。PBF粒子系統(tǒng)建模流程如圖1所示。

圖1 PBF粒子系統(tǒng)建模流程

為保證流體的不可壓縮性，針對(duì)每一個(gè)流體粒子，都需要滿足密度約束條件

(2)

式中，ρ0是靜態(tài)密度，ρi通過標(biāo)準(zhǔn)SPH密度估算器給出

(3)

在流體模型中，認(rèn)為所有的流體粒子擁有均等的質(zhì)量，所以后續(xù)公式中舍掉質(zhì)量項(xiàng)mj。式中W為光滑核函數(shù)，根據(jù)Muller[8]首次將SPH方法用于模擬流體時(shí)采用的核函數(shù)，本文選用Poly6核函數(shù)用于密度估算，選用Spiky核函數(shù)用于梯度計(jì)算，核函數(shù)如下

(4)

(5)

Monaghan等人。給出了在粒子層面上的梯度公式，將其用于密度約束，可以得到對(duì)于任意流體粒子k的約束條件的梯度為

(6)

梯度公式隨著流體粒子的類型不同而產(chǎn)生變化，流體粒子k可分為對(duì)象粒子以及鄰域粒子

(7)

將其帶入到式(1)，可以求得式中拉格朗日算子λ的值為

(8)

每個(gè)流體粒子都具有拉格朗日算子λ，算子的值對(duì)于同一流體模型中的所有流體粒子都是相同的。

因?yàn)槭?2)中的約束條件是非線性的，且在光滑核函數(shù)的邊界梯度逐漸消失。這會(huì)導(dǎo)致所求得的拉格朗日算子在分母無窮小時(shí)的不穩(wěn)定。根據(jù)Smith提出的混合約束力理論，可以在密度約束階段添加一個(gè)大小為ξλ的約束力，從而使約束更加合理，ξ是人為定義的松弛參數(shù)常量，考慮影響的拉格朗日算子為

(9)

由此，可以得到考慮鄰域粒子密度約束修正情況下，且保證流體不可壓縮性條件的流體粒子的位移值為

(10)

3 旋渦限制力

為實(shí)現(xiàn)海浪表面的逼真模擬，并體現(xiàn)海浪粒子運(yùn)動(dòng)實(shí)時(shí)性的特點(diǎn)，需要為海浪表面粒子添加旋渦限制力。本文在添加旋渦限制力階段采用的方法是渦度約束的方法[11]。不同于文獻(xiàn)[4]利用渦度約束函數(shù)來抵消因?yàn)榉椒ū旧懋a(chǎn)生的附加阻尼導(dǎo)致的原有渦旋的耗散，本文通過討論選用合理化調(diào)節(jié)系數(shù)，通過渦度約束函數(shù)產(chǎn)生旋渦控制力調(diào)節(jié)流體粒子系統(tǒng)速度場，從而達(dá)到逼真模擬海浪的目地。

圖2 一個(gè)簡單向量的旋度場

3.1 Curl運(yùn)算

在進(jìn)行流體粒子渦度計(jì)算的時(shí)候，采用了Curl運(yùn)算。向量分析中，旋度(Curl)是一個(gè)向量算子，表示在三維歐幾里得空間中的向量場的無窮小量旋轉(zhuǎn)，在向量場每個(gè)點(diǎn)上，點(diǎn)的旋度表示為一個(gè)向量，稱為旋度向量。這個(gè)向量的特征刻畫了在這個(gè)點(diǎn)上的旋轉(zhuǎn)。

在不同的坐標(biāo)系下，向量場的旋度有不同的表達(dá)方式。PBF流體模型中采用的是流體粒子三維直角坐標(biāo)系，所以三維直角坐標(biāo)系中展開Curl運(yùn)算。

設(shè)向量場A為

A(x，y，z)=Ax(x，y，z)i+Ay(x，y，z)j+Az(x，y，z)k

(11)

(12)

采用向量積的行列式記號(hào)形式可表示為：

(13)

3.2 渦度約束

渦度約束[12]的方法需要首先對(duì)于每一個(gè)流體粒子i采用Curl運(yùn)算計(jì)算其渦度ωi：

(14)

式中，mj為流體粒子的質(zhì)量，ρj為流體粒子的密度，vi流體粒子的速度，vj為粒子i的鄰域粒子的速度。采用粒子i與鄰域粒子的速度差與梯度核函數(shù)進(jìn)行叉乘，得到Curl運(yùn)算的結(jié)果。

得到流體粒子的渦度ωi后，需計(jì)算流體粒子的位置矢量N：

(15)

(16)

將計(jì)算所得位置矢量與已得渦度進(jìn)行叉乘，得到流體粒子的旋渦控制力F：

(17)

最后，根據(jù)由旋渦控制力所求得的加速度，在時(shí)間步長內(nèi)更新流體粒子的速度。在調(diào)節(jié)系數(shù)ε的控制下，旋渦控制力大小的不一致產(chǎn)生不同程度的流體粒子表面的起伏，從而實(shí)現(xiàn)逼真地模擬海浪。

4 結(jié)果與討論

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是Intel(R)Core(TM)i5-7300HQ CPU 2.50 GHZ，主存16GB，GPU為NVIDIAGeForceGTX 1050 Ti，顯卡內(nèi)存為4GB，開發(fā)環(huán)境VisualStudio 2015，采用OpenGL作為圖形的編程接口。

圖3顯示了粒子系統(tǒng)的初始形態(tài)，流體粒子數(shù)為12000，調(diào)節(jié)系數(shù)選定為0，即不添加旋渦控制力時(shí)流體粒子的潰堤模型。從圖中可以看出，粒子模型表面平整，無渦旋痕跡，較為光滑，是一種靜水中水面的模擬。但切合航海實(shí)際，大多數(shù)情況下海面不會(huì)是平靜的，在風(fēng)流、浪涌的作用下，海面會(huì)產(chǎn)生浪花等不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。所以添加旋渦限制力來模擬海面是必要地。

圖3 無添加旋渦限制力的流體粒子模型

圖4顯示了當(dāng)調(diào)節(jié)系數(shù)選定為1.0時(shí)的流體粒子模型。此時(shí)隨著旋渦控制力的加入，流體模型表層粒子產(chǎn)生渦旋效果，渦旋與渦旋的邊界相疊加從而產(chǎn)生類似于波峰波谷的變化。

圖4 調(diào)節(jié)系數(shù)1.0下的流體粒子模型

隨著調(diào)節(jié)系數(shù)的不斷加大，流體粒子的運(yùn)動(dòng)劇烈程度逐漸加大。圖5為調(diào)節(jié)系數(shù)2.0下的流體粒子模型。與調(diào)節(jié)系數(shù)1.0下的粒子模型不同的是，當(dāng)系數(shù)加大至2.0時(shí)，可以清楚地看到在模型的上方有部分粒子飛濺，同時(shí)整個(gè)模型的運(yùn)動(dòng)程度相比較系數(shù)1.0下更為劇烈。從航海實(shí)際來看，劇烈的海浪運(yùn)動(dòng)常常帶有翻卷、破碎飛濺等細(xì)節(jié)特征。當(dāng)調(diào)節(jié)系數(shù)選取合適時(shí)，飛濺的粒子能恰好的模擬出海浪運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生浪花飛濺等特效。

圖5 調(diào)節(jié)系數(shù)2.0下的流體粒子模型

4.2 比較分析

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，流體粒子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)劇烈程度隨著調(diào)節(jié)系數(shù)的增大而變得更加劇烈，但是海浪模擬的真實(shí)感不會(huì)隨著系數(shù)的增大而變得更為真實(shí)。當(dāng)系數(shù)增大到一定程度時(shí)，流體粒子的旋向加速度會(huì)使其旋向速度過大，從而導(dǎo)致流體粒子發(fā)生橫向漂移。此時(shí)，流體粒子的運(yùn)動(dòng)已不符合自然物理規(guī)律，無法真實(shí)地模擬海浪運(yùn)動(dòng)。

表2給出了在不同調(diào)節(jié)系數(shù)下海浪運(yùn)動(dòng)的模擬效果。當(dāng)調(diào)節(jié)系數(shù)選取在0～0.9之間時(shí)，流體粒子模型的渦旋程度只能模擬出原有流體粒子渦旋的耗散；當(dāng)系數(shù)選取在1.0～2.9之間時(shí)，伴隨著所選取系數(shù)的增大，海面的波動(dòng)程度不斷加深；系數(shù)選取在3.0～3.9之間時(shí)，整個(gè)流體粒子系統(tǒng)演變?yōu)橐粋€(gè)大渦旋的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)已無法真實(shí)地模擬海浪運(yùn)動(dòng)；當(dāng)系數(shù)的選取大于4.0時(shí)，流體粒子系統(tǒng)發(fā)散。

表2 不同調(diào)節(jié)系數(shù)下的模擬效果

通過綜合比較分析，當(dāng)調(diào)節(jié)系數(shù)取值在1.0～3.0之間，可以較好地模擬海浪運(yùn)動(dòng)。

5 結(jié)語

本文主要討論海浪真實(shí)感模擬問題。利用基于位置的動(dòng)力學(xué)框架下的PBF方法進(jìn)行流體粒子建模，再利用渦度約束的方法豐富流體表面細(xì)節(jié)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的合理化系數(shù)渦度約束方法能有效的模擬海浪表面的翻卷與破碎，提高了海面模擬的真實(shí)感。但對(duì)于流體表面重建與繪制以及調(diào)節(jié)系數(shù)的最優(yōu)化選擇還需要做進(jìn)一步的研究，從而繼續(xù)提升模擬的真實(shí)感。