楊永明，陳世強(qiáng)，李 強(qiáng)

(1.湖北民族大學(xué)新材料與機(jī)電工程學(xué)院，湖北 恩施 445000；2.湖北民族大學(xué)新材料成型及裝備技術(shù)產(chǎn)學(xué)研中心，湖北 恩施 445000)

1 引言

混沌因其具有確定性、類隨機(jī)性、對初值的敏感性等特點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域[1-5]。動力學(xué)行為豐富的混沌系統(tǒng)應(yīng)用于加密領(lǐng)域時，安全性更高[6，7]。

超混沌具有比混沌更豐富的動力學(xué)行為，在圖像加密、保密通信等領(lǐng)域具有相當(dāng)?shù)膽?yīng)用潛力[8-10]。構(gòu)造超混沌的常用方法是[11-17]：改進(jìn)一個混沌系統(tǒng)使其變成超混沌系統(tǒng)；改進(jìn)一個超混沌系統(tǒng)使其成為另一個超混沌系統(tǒng)；直接構(gòu)造新的超混沌系統(tǒng)。文獻(xiàn)[11]通過改進(jìn)經(jīng)典Lü系統(tǒng)并引入憶阻元件，提出了一種基于憶阻的改進(jìn)型超混沌Lü系統(tǒng)，其特點(diǎn)是不存在任何平衡點(diǎn)。文獻(xiàn)[12]利用Cat映射的Lyapunov指數(shù)與相關(guān)Cat矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系提出了一種簡單而有效的構(gòu)造超混沌的方法，該方法可構(gòu)造具有任意個正Lyapunov指數(shù)的超混沌。文獻(xiàn)[13]提出了一種新的具有多動態(tài)特性的四維超混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)具有平衡線或不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，通過改變系統(tǒng)參數(shù)可以改變其特性。文獻(xiàn)[14]構(gòu)造了一種簡單的四維超混沌混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)只有一個穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，能表現(xiàn)出包括混沌，周期性，穩(wěn)定性以及各種吸引子共存的各種動態(tài)行為。文獻(xiàn)[15]基于三維廣義Lorenz系統(tǒng)開發(fā)了一種無平衡點(diǎn)超混沌系統(tǒng)，并在新系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個沒有平衡點(diǎn)復(fù)雜超混沌系統(tǒng)，兩個新系統(tǒng)都具有隱藏吸引子，且能呈現(xiàn)各種動態(tài)行為。文獻(xiàn)[16]提出一種基于肖克利二極管模型、且具有雙曲正弦非線性的四維連續(xù)時間自治超混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)可經(jīng)歷周期態(tài)、準(zhǔn)周期態(tài)、混沌態(tài)及超混沌態(tài)，具有豐富的動力學(xué)行為。文獻(xiàn)[17]在原系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，受“平行宇宙理論”的啟發(fā)，通過引入三角函數(shù)構(gòu)造了一種具有復(fù)雜動態(tài)行為的四維自治超混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)具體無限平衡點(diǎn)，與原始系統(tǒng)相比，系統(tǒng)對初始值更敏感。

此外，增加吸引子渦卷數(shù)量也能豐富混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為[18-21]。目前，一類常用的方法是利用函數(shù)序列生成多渦卷吸引子，如采用飽和函數(shù)序列、雙曲正切函數(shù)序列、非線性調(diào)制函數(shù)序列、閾值函數(shù)序列等[6]。文獻(xiàn)[22]最早提出了變參數(shù)變渦卷的方法，在不改變函數(shù)的情況下，通過改變系統(tǒng)參數(shù)就可以改變渦卷數(shù)量，但該文獻(xiàn)提出的只是三維混沌系統(tǒng)，其動力學(xué)行為還可以進(jìn)一步豐富。

本文構(gòu)造了一種四維多渦卷超混沌系統(tǒng)，在不改變分段線性函數(shù)的情況下，通過修改系統(tǒng)參數(shù)可實(shí)現(xiàn)渦卷數(shù)量的改變。相對于文獻(xiàn)[11]-[17]，本文系統(tǒng)具有更多的渦卷數(shù)量，動力學(xué)行為更豐富。相對于文獻(xiàn)[22]，本文系統(tǒng)具備更多維度，動力學(xué)特性更復(fù)雜。分析結(jié)果表明，本文系統(tǒng)用于圖像加密時安全性高。

2 多渦卷超混沌吸引子

文獻(xiàn)[22]提出的基于Chua系統(tǒng)的參數(shù)控制多渦卷混沌吸引子描述為

(1)

其中，a、b、c、d、g為控制參數(shù)，x、y、z為狀態(tài)變量，且均為實(shí)常數(shù)，f(x)描述為

f(x)=sgn(x)+sgn(x+b)+sgn(x-b)+

sgn(x+2b)+sgn(x-2b)

(2)

本文在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上，增加狀態(tài)反饋控制器w，同時增加控制參數(shù)h、m、n。為避免計算過程中的奇點(diǎn)，用tanh(100x)函數(shù)替換sgn(x)函數(shù)[22]。改進(jìn)后的系統(tǒng)為

(3)

其中F(x)描述為

F(x)=tanh(100x)+ tanh(100(x+b))

+ tanh(100(x-b))+ tanh(100(x+2b))

+ tanh(100(x-2b))

(4)

保持參數(shù)b=7不變，即函數(shù)F(x)不變，改變其它系統(tǒng)參數(shù)時，可得到不同渦卷數(shù)量的混沌。表1中給出了渦卷數(shù)量與對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)以及用各組參數(shù)計算出的李氏指數(shù)，各組參數(shù)對應(yīng)的x-y相圖如圖1所示，其中計算李氏指數(shù)和畫相圖時所選初始值IC=(1，1，1，1)。表中各組參數(shù)所對應(yīng)的四個李氏指數(shù)均為(+，+，0，-)的形式，說明各組參數(shù)下的系統(tǒng)均為超混沌系統(tǒng)。

表1 不同渦卷數(shù)量對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)及李氏指數(shù)

圖1 不同數(shù)量渦卷對應(yīng)的x-y相圖

3 系統(tǒng)動力學(xué)分析

3.1 對稱性與耗散性

從系統(tǒng)方程(3)中不難發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)不具備對稱性。而根據(jù)系統(tǒng)(3)，可得

(5)

3.2 平衡點(diǎn)分析

令方程(3)右邊等于零，即

(6)

分別代入表中產(chǎn)生2渦卷至6渦卷對應(yīng)的參數(shù)，可以計算出對應(yīng)的平衡點(diǎn)及特征值。例如，產(chǎn)生2渦卷時有4個平衡點(diǎn)，分別為S1=[-31.07，-4.29，26.78，-267.82]，S2=[-6.24，-0.84，5.4，-54.02]，S3=[6.17，0.89，-5.29，52.87]，S4=[31，4.33，-26.67，266.67]，4個平衡點(diǎn)對應(yīng)的特征值均為λ1=-4.7516，λ2=0.0642，λ3，4=0.0937±4.7764i，λ1為負(fù)實(shí)數(shù)，λ3，4的實(shí)部為正，因此這4個平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)；再如，產(chǎn)生5渦卷時有3個平衡點(diǎn)，分別為S1=[-28.46，-4.09，24.37，121.85]，S2=[-3.01，-0.46，2.55，12.76]，S3=[35.17，5.00，-30.18，-150.88]，3個平衡點(diǎn)對應(yīng)的特征值均為λ1=-4.0219，λ2=0.0631，λ3，4=0.1794±3.1180i，λ1為負(fù)實(shí)數(shù)，λ3，4的實(shí)部為正，因此這3個平衡點(diǎn)均為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

對于產(chǎn)生2渦卷時的這組參數(shù)，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初始值IC=(1，1，1，1)時，利用該組參數(shù)可生成2渦卷吸引子，而當(dāng)初始值IC=(0，0，0，0)時，利用該組參數(shù)可生成4渦卷吸引子，如圖2所示。說明系統(tǒng)具有多穩(wěn)態(tài)共存的特性[23]。

圖2 初始值IC=(0，0，0，0)時的x-y相圖

對于產(chǎn)生5渦卷時的這組參數(shù)，系統(tǒng)生成了5渦卷吸引子，但該組參數(shù)對應(yīng)的平衡點(diǎn)只有3個，說明系統(tǒng)處于隱藏振蕩狀態(tài)，生成了隱藏吸引子[24]。

3.3 李氏指數(shù)譜

利用表1中生成2渦卷吸引子的參數(shù)，并令d在20至70之間變化，可得到系統(tǒng)隨參數(shù)d變化的李氏指數(shù)譜，如圖3所示，計算時初始值IC=(1，1，1，1)。從圖3中可以看出，當(dāng)d∈[20，22.8]時，四個李氏指數(shù)的形式為(+，0，-，-)，說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當(dāng)d∈[22.9，35]時，李氏指數(shù)的形式為(+，+，0，-)，說明系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，d∈[52.4，53]時，李氏指數(shù)的形式為(0，0，-，-)，說明系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期狀態(tài)，d∈[64，70]時，李氏指數(shù)的形式為(0，-，-，-)，說明系統(tǒng)處于周期狀態(tài)?？梢姡?dāng)參數(shù)d在20至70之間變化時，系統(tǒng)經(jīng)歷了周期態(tài)、準(zhǔn)周期態(tài)、混沌態(tài)及超混沌態(tài)，表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為。

圖3 系統(tǒng)隨參數(shù)d變化的李氏指數(shù)譜

4 系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)

為了驗(yàn)證系統(tǒng)(3)在工程應(yīng)用中的可行性，以5渦卷系統(tǒng)為例，采用OrCAD PSpice軟件設(shè)計了系統(tǒng)的電路，如圖4所示，仿真結(jié)果的x-y相圖如圖5所示。觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果可發(fā)現(xiàn)電路仿真與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的，從而驗(yàn)證了本文提出的超混沌模型在物理上是可以實(shí)現(xiàn)的。

圖4 系統(tǒng)仿真電路

圖5 電路仿真x-y相圖

電路中運(yùn)算放大器采用LF412，其供電電壓為±12VDC，為避免輸出失真，將狀態(tài)變量按式(7)作線性變換，變換后的系統(tǒng)為(8)，F(xiàn)(x)為(9)，電路的狀態(tài)空間方程為(10)。組成F(x)的五個符號函數(shù)中，每個tanh(100x)函數(shù)由兩個運(yùn)算放大器及其外圍元器件實(shí)現(xiàn)，如U10B、U1A、R1、R4、R7、R10、V1組成了tanh(100(x-1.4))，U10B的輸出經(jīng)R4、R7分壓后由跟隨器輸出。當(dāng)供電電壓為±12VDC時，LF412的輸出電壓范圍為-11.3V至+11.3V，為使U1A輸出為+1V或-1V，需要滿足R4:R7=10.3:1，由此可確定R4、R7的阻值。根據(jù)以上分析可確定所有元件參數(shù)，如表2所示。

表2 元件參數(shù)

(x，y，z，w)→(10x，y，10z，10w)

(7)

(8)

F(x)=tanh(100x)+ tanh(100(x+0.7))

+ tanh(100(x-0.7))+ tanh(100(x+1.4))

+ tanh(100(x-1.4)

(9)

(10)

5 參數(shù)控制多渦卷超混沌吸引子在圖像加密中的應(yīng)用

混沌系統(tǒng)因具有初值敏感性、類隨機(jī)性和不可預(yù)測性常用于圖像加密，本文將提出的參數(shù)控制多渦卷超混沌系統(tǒng)也用于了圖像加密，并取得了良好的加密效果。

5.1 加密及解密原理

對于給定的灰度圖像，首先對圖像中每個點(diǎn)的像素值進(jìn)行替換，且偶數(shù)位置的點(diǎn)和奇數(shù)位置的點(diǎn)分別基于X相和Y相混沌序列進(jìn)行像素值替換，之后基于Z相混沌序列對像素位置置亂，加密流程如圖6所示，加密步驟如下。解密過程是加密過程的逆過程。

圖6 加密流程

Step1：輸入明文圖像A，像素大小為M×N，令L=M×N。

Step2：用初始值(密匙)[x0，y0，z0，w0]求解微分方程，取其中長度為L的四組混沌序列C[X，Y，Z，W]。

Step3：按公式求取像素值加密序列K

(11)

Step4：將K轉(zhuǎn)換成M×N的矩陣，將該矩陣中的每一個元素與矩陣A中的每一個元素進(jìn)行按位異或運(yùn)算得到圖像A1。

Step5：對Z組中的所有元素分別進(jìn)行放大1015倍、向負(fù)無窮方向取整、對L取模運(yùn)算，再對元素進(jìn)行升序排序，將排序得到的位置向量G作為像素位置置亂向量。

Step6：將A1轉(zhuǎn)換成一維行向量P，按公式將圖像中的像素進(jìn)行置換得到P1，將P1轉(zhuǎn)換成M×N的矩陣得到加密后的圖像A2。

P1(i)=P(G(i))，1≤i≤L

(12)

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)以經(jīng)典的lena灰度圖像為例，其像素值為512×512，采用本文算法對圖像進(jìn)行加密及解密，算法中采用的混沌系統(tǒng)為系統(tǒng)(8)，混沌初始值(密匙)Key1=[0.2 0.5 0.3 0.1]，圖7為原圖、加密圖像及解密圖像的對比。從圖7中可以看出，加密圖像雜亂無章，完全失去原圖信息，而解密圖像與原圖完全一致，說明算法能正確實(shí)現(xiàn)圖像的加密及解密。

圖7 圖像加密與解密結(jié)果

5.3 密匙敏感性分析

密文圖像的變化率(The change rate of cipher text，CRC)可以反映密匙的加密敏感程度。用正確密匙Key1=[0.2，0.5，0.3，0.1]對lena原圖進(jìn)行加密得到密文圖像A1，如圖8(b)，用錯誤密匙Key2=[0.200000000001，0.5，0.3，0.1]對lena原圖進(jìn)行加密得到密文圖像A2，如圖8(c)，計算得A1和A2的圖像變化率為99.61%。圖8(a)為原圖，圖8(d)為用Key1對A1進(jìn)行解密的結(jié)果，圖8(e)為用Key2對A1進(jìn)行解密的結(jié)果。說明即使密匙發(fā)生微小變化時，密文圖像變化率也能接近100%，而用錯誤密匙得到的解密圖像與原圖的關(guān)聯(lián)性也無法看出，說明算法對密匙極為敏感。

圖8 密匙敏感性測試結(jié)果

5.4 直方圖分析

直方圖可以反應(yīng)圖像像素值分布是否均勻，密文圖像直方圖越平坦則像素值分布越均勻，抵御灰度統(tǒng)計分析攻擊的能力也越強(qiáng)。圖9(a)示為lena原圖直方圖，圖9(b)為lena密文圖像直方圖，對比可發(fā)現(xiàn)，密文圖像直方圖的灰度均勻性明顯優(yōu)于原文圖像，具有良好的抵御灰度統(tǒng)計分析攻擊的能力。

圖9 直方圖分析結(jié)果

5.5 相關(guān)性分析

一副正常的數(shù)字圖像中，相鄰的兩個像素點(diǎn)的灰度值是很接近的，圖像的相關(guān)系數(shù)可達(dá)0.9，經(jīng)過加密后的圖像中，相鄰的兩個像素點(diǎn)的灰度值不應(yīng)具有明顯相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)越接近0說明加密效果越好。在lena原圖中隨機(jī)取1000個點(diǎn)，利用文獻(xiàn)[25]中的公式計算得其水平、垂直和對角線方向的相關(guān)性分別為0.9733、0.9870、0.9603，在lena加密圖像中隨機(jī)取1000個點(diǎn)，計算得其水平、垂直和對角線方向的相關(guān)性分別為0.0153、0.0034、0.0101，說明原圖的相關(guān)性極強(qiáng)，加密后的相關(guān)性極弱。這表明原始圖像的統(tǒng)計特征已經(jīng)被擴(kuò)散到密文圖像中。

5.6 信息熵分析

信息熵反應(yīng)了圖像灰度值分布是否均勻，灰度值分布越均勻信息熵越大，其理論值是8。計算得lena原圖的信息熵為7.4455，lena加密圖像的信息熵為7.9992，接近理論值8，說明圖像像素值分布很均勻，加密效果良好。

5.7 抗攻擊能力分析

為測試算法的抗攻擊能力，對加密圖像進(jìn)行了剪切攻擊。剪掉加密圖像中間180×180大小的圖像，如圖10(b)所示，再對剪切過的圖像進(jìn)行解密，解密圖像如圖10(d)所示。圖10(a)為剪切前的加密圖像，圖10(c)為剪切前加密圖像的解密圖像。對比圖10(c)和圖10(d)可以發(fā)現(xiàn)，圖10(d)中均勻分布有一些錯誤的像素點(diǎn)，但仍然可以清晰辨認(rèn)原始圖像信息。說明加密圖像在遭受攻擊后仍然具有良好的解密效果。

圖10 抗攻擊能力分析結(jié)果

6 結(jié)論

本文通過增加線性反饋項(xiàng)構(gòu)造了一種四維多渦卷超混沌系統(tǒng)，在不同參數(shù)下可表現(xiàn)出2渦卷到6渦卷超混沌吸引子。理論分析表明，系統(tǒng)是耗散的，在一定參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)具有兩個正李氏指數(shù)，處于超混沌態(tài)，表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為；系統(tǒng)電路仿真結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果一致，說明系統(tǒng)在物理上可以實(shí)現(xiàn)；對系統(tǒng)進(jìn)行了圖像加密應(yīng)用，密文相關(guān)性低于0.02、信息熵大于7.999，密匙變化10-11時，密文的變化率達(dá)99.61%，且具有良好的抵御灰度統(tǒng)計分析的能力和抗攻擊能力，說明將超混沌系統(tǒng)用于圖像加密時安全性高。