顏閩秀， 徐 輝， 孫靖宇

(1.沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142； 2.工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)遼寧省高校重點實驗室， 遼寧 沈陽 110142； 3.北京首鋼國際工程技術(shù)有限公司， 北京 100041)

Lorenz系統(tǒng)[1]是于1963年首次被提出的混沌系統(tǒng)，自其提出后，開創(chuàng)了混沌領(lǐng)域研究的篇章，促進了混沌理論的發(fā)展和應(yīng)用.之后，不同類型的混沌系統(tǒng)不斷地被發(fā)現(xiàn)，如Chen系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3]、Liu系統(tǒng)[4]，而超混沌、分數(shù)階、高維、多翼混沌也相繼被提出[5-14].在1984年，Matsumoto[15]提出了雙渦卷電路且首次搭建非線性電路將其實現(xiàn)，使其雙渦卷電路模型成為研究混沌電路的經(jīng)典模型.由于模擬電路能夠有效地檢測連續(xù)混沌系統(tǒng)的混沌特性,因此被廣泛應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的驗證.陳關(guān)榮[16]、呂金虎[17]、禹思敏[18]、包伯成[19]等對混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計進行了深入研究，并在其專著中詳細闡述了混沌電路原理.為了更深入探索混沌系統(tǒng)的工程應(yīng)用，豐富混沌系統(tǒng)數(shù)量，尋找新的混沌系統(tǒng)十分必要.本文提出一個新型三維自治混沌系統(tǒng)，經(jīng)理論分析和仿真驗證其混沌特性，于Multisim軟件中設(shè)計電子電路，模擬結(jié)果表明本文提出的混沌系統(tǒng)具有豐富的混沌特性.

1 系統(tǒng)模型及其相關(guān)特性分析

1.1 新混沌系統(tǒng)模型

提出的新混沌系統(tǒng)[系統(tǒng)(1)]數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：系統(tǒng)參數(shù)a，b，c，d，f，g是實常數(shù)，當a=-16、b=50、c=2、d=10、f=-8、g=4時，系統(tǒng)存在典型的吸引子，如圖1～圖4所示.由圖1～圖4可以看出:系統(tǒng)(1)的吸引子的幾何形狀非常復(fù)雜，具有很強的吸引性、復(fù)雜的折疊和拉伸軌線，軌線被限定在一個特定的區(qū)域內(nèi)，是有界的.

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

圖2 x-y相圖

圖3 x-z相圖

圖4 y-z相圖

1.2 李雅普諾夫指數(shù)和維數(shù)

利用Matlab，通過正交法求得系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)為:λL1=2.392,λL2=0,λL3=-16.39.

計算李雅普諾夫維數(shù)DL為

(2)

由于系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)分別為正、零和負，以及李雅普諾夫維數(shù)為分數(shù)，可以判斷出系統(tǒng)(1)是混沌的[20].

1.3 系統(tǒng)的耗散性和吸引子的存在性

計算系統(tǒng)的能量函數(shù)?V為

-16+10-8=-14<0.

(3)

所以系統(tǒng)是耗散的，且以

指數(shù)形式收斂，即體積元V0在時刻t時收縮至V0e(a+d+f)t=V0e-14t，即t→∞時,包含系統(tǒng)軌跡的每個體積元均以指數(shù)速率(a+d+f)收縮到零.所以系統(tǒng)軌跡都會被限制在體積為零的集合上,其漸近行為被固定在一個吸引子上，這說明了吸引子的存在性.

1.4 平衡點及其穩(wěn)定性

令系統(tǒng)(1)式左邊為0，即

(5)

解此方程，得到3個平衡點，分別為:A(0，0，0)，B(24.2，4.904，12.03)，C(-21.58，-4.959，12.3).

在平衡點A處對系統(tǒng)線性化，得到Jacobian 矩陣為

(6)

令det(J1-λI)=0，λ為特征值，I為單位矩陣.解得其特征值為：22.87、-28.87、-8，根據(jù)特征值的正負情況，分析出平衡點A為一個不穩(wěn)定的鞍點.

同理，在平衡點B處線性化，得到Jacobian 矩陣為

(7)

解得其特征值為：0.899 4+31.86i、0.899 4-31.86i、-15.8， 因其特征值一個為負數(shù)，兩個為正實部的共軛復(fù)數(shù)，所以平衡點B為一個不穩(wěn)定的鞍焦點.

在平衡點C處線性化，得到Jacobian 矩陣為

(8)

解得其特征值為：0.733 4+30.63i、0.733 4-30.63i、-15.47，所以平衡點C為一個不穩(wěn)定的鞍焦點.

綜上所述，系統(tǒng)(1)具有1個不穩(wěn)定的鞍點，2個不穩(wěn)定的鞍焦點.

1.5 參數(shù)變化時系統(tǒng)的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜

當固定參數(shù)b，c，d，f，g時，令a∈[-30,-10]，繪制出系統(tǒng)關(guān)于x的分岔圖以及李雅普諾夫指數(shù)譜，分別如圖5和圖6所示.

圖5 a-x分岔圖

圖6 李雅普諾夫指數(shù)

根據(jù)系統(tǒng)最大的李雅普諾夫指數(shù)是否大于0以及分岔圖中有沒有由點構(gòu)成的成片的密集區(qū)域來判斷系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)[18].從圖5、圖6可以看出：a在區(qū)間[-30,-23.4)上時，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)均小于0，且分岔圖沒有出現(xiàn)由密集點構(gòu)成的區(qū)域，此時系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當a在區(qū)間[-23.4，-10]上時，系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

當固定參數(shù)a，c，d，f，g時，令b∈[-60,60]，系統(tǒng)關(guān)于x的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜分別如圖7和圖8所示.

圖7 b-x分岔圖

從圖7、圖8可以看出：b在區(qū)間[-60,-19)上時，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)均小于0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；b在區(qū)間[-19,-8]上時，系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)大于0，系統(tǒng)由之前的周期狀態(tài)進入混沌狀態(tài)，分岔圖在該區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)由密集點構(gòu)成的區(qū)域；b在區(qū)間(-8,0]、[13,14]上時系統(tǒng)最大的李雅普諾夫指數(shù)小于0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；b在區(qū)間(0,5)、(5,13)、(14,22)、(22,60)上時，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；在b=5、b=22處，系統(tǒng)最大的李雅普諾夫指數(shù)為0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，分岔圖中出現(xiàn)分岔.

圖8 李雅普諾夫指數(shù)

當參數(shù)c，d，f，g變化時，系統(tǒng)仍具有豐富的混沌特性，此處不一一贅述，只通過表格的形式給出參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響(見表1).表1中的設(shè)置區(qū)間是當固定系統(tǒng)的其他參數(shù)時某一參數(shù)的變化區(qū)間，周期區(qū)間、混沌區(qū)間分別是出現(xiàn)周期和混沌現(xiàn)象的參數(shù)區(qū)間.

表1 參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響

1.6 系統(tǒng)的頻譜圖及龐加萊截面圖

系統(tǒng)的動力學(xué)特性還可以通過觀察系統(tǒng)的頻譜圖和龐加萊截面圖得到.當繪制龐加萊截面圖時，龐加萊截面要選取恰當，不能包含系統(tǒng)的軌線，也不能與軌線相切.系統(tǒng)關(guān)于x的功率譜圖和z=6、z=11、z=16關(guān)于xy平面的3個不同截面的龐加萊截面圖分別如圖9、圖10所示.從圖9可以看出系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)譜，沒有明顯的波峰，并且峰值連成一片.從圖10可以看出龐加萊截面圖上有成片且具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，吸引子的葉片明顯可見，再次說明系統(tǒng)(1)是混沌系統(tǒng)[18].

圖9 功率譜圖

圖10 z關(guān)于平面xy的3個不同截面的龐加萊截面

2 電路設(shè)計與仿真

通過設(shè)計混沌電路進行模擬來判斷文章提出的混沌系統(tǒng)能否物理實現(xiàn)，并對上述理論分析和仿真結(jié)果進行驗證.通過Multisim設(shè)計實現(xiàn)該電路的原理圖如圖11所示.電路采用線性電阻、電容器、運算放大器、模擬乘法器(增益為1)設(shè)計實現(xiàn). 其中：模擬乘法器用于實現(xiàn)系統(tǒng)中的非線性項；電容器用于實現(xiàn)積分運算；運算放大器及其相關(guān)電阻用于實現(xiàn)加、減運算.

圖11 混沌系統(tǒng)電路原理

根據(jù)電路原理和電路理論得到混沌電路的實現(xiàn)方程為

(9)

將式(9)與式(1)比較，可得

在(10)式作為約束條件下，令C1=C2=C3=1 μF,并取R1=62.5 kΩ,R2=R3=R6=20 kΩ,R7=R8=500 kΩ,R4=R9=R10=R11=100 kΩ,R5=125 kΩ，R13=R15=R16=R17=100 kΩ,R12=10 kΩ,R14=40 kΩ.基于以上數(shù)據(jù)對搭建的混沌電路進行仿真，仿真結(jié)果如圖12～圖14所示.從圖12～圖14可以看出電路模擬結(jié)果與上述理論分析以及數(shù)值仿真的結(jié)果一致，表明本文提出的混沌系統(tǒng)具有豐富的混沌特性.

圖12 U1-U2相圖

圖13 U2-U3相圖

圖14 U1-U3相圖

3 結(jié) 論

本文提出了一個新的三維自治混沌系統(tǒng)，通過相關(guān)理論、Matlab仿真、李雅普諾夫指數(shù)和維數(shù)計算、耗散性、平衡點的穩(wěn)定性、分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜、功率譜和龐加萊截面圖分析新混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性.研究結(jié)果表明系統(tǒng)的吸引子是一個新的混沌吸引子，且由混沌系統(tǒng)模型搭建電路進一步驗證證實了該系統(tǒng)的混沌特性.