北京市第一0一中學(xué)懷柔分校 (101407) 李加軍

山東省棲霞市觀里中學(xué) (265314) 徐艷華

近兩年各地高考數(shù)學(xué)試題各有千秋，從不同角度考查了學(xué)生數(shù)學(xué)的“四基”、“三會(huì)”和六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，給人以賞心悅目的感受.縱觀各套試卷，如果抓住一般與特殊的關(guān)系，靈活尋求特值，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，有些試題可以迎刃而解，達(dá)到以四兩撥千斤的效果.

例1 (2020年北京)已知函數(shù)f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)>0的解集是( ).

A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

分析：本題旨在借助函數(shù)y=2x和y=x+1的圖象，觀察圖象可得結(jié)果，對(duì)有些同學(xué)會(huì)有點(diǎn)難度.但是觀察選擇項(xiàng)，只需驗(yàn)證特殊值即可.

例2 (2021年全國(guó)新高考)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則( ).

A.eb

分析：結(jié)合曲線y=ex的圖象直觀即可判定點(diǎn)(a,b)在曲線下方和x軸上方時(shí)才可以作出兩條切線，再結(jié)合選項(xiàng)列舉兩組特值排除a,b所不滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).

解：畫出函數(shù)y=ex的圖象，如圖1所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,b)在曲線下方和x軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.

圖1

A.abC.aba2

分析：先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，選取兩組特值進(jìn)行驗(yàn)證，排除a,b所不滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).

A.0 B.1 C.2 D.3

例5 (2020年山東)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( ).

A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]

分析：此題首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.但這一過程很多同學(xué)可能會(huì)不太清晰，如果借助特值，結(jié)果馬上水落石出.

解：記g(x)=xf(x-1)，且xf(x-1)≥0即g(x)≥0的解集為M，首先因?yàn)間(2)=2f(1)=-2f(-1)>-2f(-2)=2f(2)=0，所以2∈M，排除A，B，其次g(4)=4f(3)=-4f(-3)<-4f(-2)=4f(2)=0，所以4?M，排除C，故選D.

例6 (2020年新課標(biāo)Ⅰ)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，對(duì)學(xué)生有些難度.如果適當(dāng)選取幾個(gè)特值進(jìn)行驗(yàn)證，可以順利解決此題.

例7 (2020年全國(guó)Ⅱ理)設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(x)( ).

分析：本題考查函數(shù)的奇偶性以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，如果學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)能力稍弱，可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤判斷.借助特值運(yùn)算，可以降低試題的難度，輕松過關(guān).

A.是奇函數(shù)，且在(0，+∞)單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在(0，+∞)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0，+∞)單調(diào)遞增

D.是偶函數(shù)，且在(0，+∞)單調(diào)遞減

分析：本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，難度不大，但借助特值判斷，可以提高準(zhǔn)確率.

例9 (2020年新課標(biāo)Ⅱ)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析：本題考查對(duì)數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是將不等式變?yōu)?x-3-x<2y-3-y，通過構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t-3-t的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到x,y的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，但對(duì)許多同學(xué)來說并不簡(jiǎn)單.如果通過驗(yàn)證特值或許就順手得到結(jié)果.

解：易知取x=1，y=2符合條件，此時(shí)排除B, C, D,故選A.

解：取k=1，則h(x)=|x2-2x|=

例11 (2020新課標(biāo)Ⅱ理)若α為第四象限角，則( ).

A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0

分析：由α為第四象限角推出2α的范圍，然后判斷2α的正、余弦值的正負(fù).選兩個(gè)特值可以快速得出結(jié)論.

例12 (2020年新課標(biāo)Ⅰ文)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5}，則A∩B=( ).

A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3}

分析：首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A∩B，得到結(jié)果.試題雖然簡(jiǎn)單，但結(jié)合選擇項(xiàng)，選特值計(jì)算更快更準(zhǔn).

解：設(shè)f(x)=x2-3x-4，易驗(yàn)證f(1)=-6<0及f(3)=-4<0得1∈A∩B且3∈A∩B，故選D.

A

B

C

D

分析：先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)值的特點(diǎn).因此直接取幾個(gè)特殊值即可.

例4 (2020年浙江)函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[﹣π，π]上的圖象可能是( ).

A

B

C

D

分析：先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)值的特點(diǎn).因此直接取幾個(gè)特殊值即可.

解：令y=f(x)=xcosx+sinx，f(π)=πcosπ+sinπ=-π<0，且f(-π)=-πcos(-π)+sin(-π)=π，排除B，C，D，故選A.

高考試題的解答固然需要扎實(shí)的基本知識(shí)，但輔之以靈活的方法將使我們?nèi)缁⑻硪恚雍?jiǎn)便快捷地解決一些問題.