廣東省中山市濠頭中學(xué) (528437) 張 宇

廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué) (528404) 楊沛娟

1 試題呈現(xiàn)

(2021年新高考數(shù)學(xué)試題)設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.(1)證明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

2 試題分析

這是一道平面幾何與三角函數(shù)的綜合試題，在高考試題中屬于中檔題，基礎(chǔ)較好的同學(xué)完成此題沒任何問題.當(dāng)然，考生在完成此題的時候，要能讀懂題意，要求學(xué)生有較強(qiáng)的閱讀理解能力，基本的計(jì)算能力和較強(qiáng)的邏輯思維能力，同時對學(xué)生的表達(dá)能力也提出了較高的要求.解決此類問題的時候，容易出現(xiàn)多解，錯解或漏解的情況.

3 解法探究

評述：根據(jù)余弦定理及∠ADB=π-∠CDB得到a,b,c的數(shù)量關(guān)系，得出三條邊a,b,c之間數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求cos∠ABC.

評注：運(yùn)用向量方法得到邊之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了向量的工具作用，這種解法思路清晰，解法自然.

評注：此解法以余弦定理的變形，由兩角互補(bǔ)得到邊之間的關(guān)系，然后由余弦定理求得結(jié)果，解法自然，易于理解和掌握.

評注：此解法先由余弦定理入手，通過變形得到邊的關(guān)系，最后由余弦定理求出結(jié)果，本質(zhì)上和前一解法是一樣的.

評述:解法5將AC邊用3d表示，解題過程中盡量避開分?jǐn)?shù)，過程簡潔，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力極有好處.

評注：解法6通過兩個三角形中的公共角進(jìn)行過渡代換，得到三條邊之間的關(guān)系，思路比較自然，易于理解和掌握.

評注：此解法同樣用一公共角進(jìn)行過渡，其實(shí)質(zhì)與解法6是一樣的.

評注：我們在初中學(xué)過勾股定理，在平面幾何中還有一個較有有名的定理，勾股差定理，在張景中教授的《仁者無敵面積法》中對其有較為詳細(xì)的簡介，供有興趣的讀者進(jìn)一步去探究.

評注：在平面幾何中，有著名的阿波羅尼奧斯定理：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍.運(yùn)用平面幾何中的一些重要定理解決三角形中的一些問題，可以化繁為簡，從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.這些定理對參加過問競賽輔導(dǎo)的同學(xué)較為熟悉.

除以上解法外，此題還有其他解法，限于篇幅，不在這里展開.

4 試題拓展

經(jīng)過進(jìn)一步的分析探究可知，此題還可以進(jìn)行如下的拓展，具體求解方法留給有興趣的讀者作為練習(xí)或進(jìn)一步作研究.

拓展1 設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.AD=kDC(k>0), 求BD和cos∠ABC.

拓展2 設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.AD=kDC(k>0), 求BD和cos∠ABC.

拓展3 設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，b2=mac(m>0),點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.AD=kDC(k>0), 求BD和cos∠ABC.