陳 毅 張 泉 張亞飛 夏百戰(zhàn) 劉曉寧 周蕭明 陳常青 胡更開 ,*

1 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100081

2 清華大學(xué)工程力學(xué)系和微納米力學(xué)中心, 北京 100084

3 湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院, 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長(zhǎng)沙 410082

1 引 言

拓?fù)浣^緣體(topological insulator)是近四十年來凝聚態(tài)物理領(lǐng)域備受關(guān)注的課題, 其單向傳播、無損耗傳輸?shù)刃路f性質(zhì)在波動(dòng)控制方面極具應(yīng)用潛力. 近十年, 拓?fù)浣^緣體研究已拓展到經(jīng)典電磁、聲波、彈性波等領(lǐng)域, 為當(dāng)前對(duì)經(jīng)典波傳播的調(diào)控與設(shè)計(jì)提供了新技術(shù). 目前已有不少介紹拓?fù)浣^緣體的論文, 但大多以電學(xué)或電磁學(xué)領(lǐng)域?yàn)橹?Hasan et al. 2010, Qi et al. 2011,Asbóth et al. 2016, Ozawa et al. 2019), 不便于力學(xué)領(lǐng)域?qū)W者掌握拓?fù)浣^緣體基本內(nèi)容. 為此, 本文聚焦彈性波拓?fù)浣^緣體研究, 特別從離散質(zhì)量彈簧系統(tǒng)出發(fā)對(duì)拓?fù)浣^緣體有關(guān)數(shù)學(xué)、物理概念進(jìn)行詳細(xì)解釋, 并系統(tǒng)介紹當(dāng)前研究最多的三類拓?fù)浣^緣體(陳絕緣體、谷霍爾絕緣體、自旋霍爾絕緣體)的物理機(jī)制、刻畫方法、波動(dòng)規(guī)律與已取得的研究進(jìn)展. 除引言中介紹拓?fù)浣^緣體起源涉及到的物理背景以外, 文章其余部分均為動(dòng)態(tài)、靜態(tài)力學(xué)內(nèi)容. 希望論文對(duì)打算開展拓?fù)浣^緣體研究的力學(xué)工作者有所幫助.

本文介紹的拓?fù)洳牧现饕竿負(fù)浣^緣體, 為了涵蓋文中也涉及到的靜力學(xué)拓?fù)洮F(xiàn)象, 這里統(tǒng)一概括為廣義的“拓?fù)洳牧稀?(topological material). 拓?fù)浣^緣體概念與物理和數(shù)學(xué)都有著密切的聯(lián)系(Hasan et al. 2010, Qi et al. 2011). 拓?fù)?topology)一詞來自于數(shù)學(xué)中的拓?fù)鋵W(xué)分支(Willard 2012), 與幾何體或抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象在光滑連續(xù)變化時(shí)仍保持不變的特性相關(guān). 拓?fù)鋵W(xué)即是研究這些不變性質(zhì)的一門重要數(shù)學(xué)分支. 比如, 球形橡皮泥和圓餅狀橡皮泥在幾何上是拓?fù)涞葍r(jià)的,它們均包含0個(gè)孔洞, 在不將橡皮泥撕裂的前提下, 通過擠壓可使橡皮泥形狀在兩者之間相互轉(zhuǎn)換(圖1). 實(shí)際上, 中間形態(tài)也與球體拓?fù)涞葍r(jià). 如果在擠壓過程將橡皮泥撕裂產(chǎn)生新的孔洞, 則幾何拓?fù)浒l(fā)生改變. 例如, 產(chǎn)生1個(gè)孔洞得到的幾何體與甜甜圈形狀等價(jià).

如何對(duì)拓?fù)溥M(jìn)行定量描述正是拓?fù)鋵W(xué)研究的內(nèi)容. 比如, 上述幾何體孔洞數(shù)就可根據(jù)微分幾何中的高斯伯內(nèi)特定理(Gauss-Bonnet theorem)嚴(yán)格地計(jì)算得出

其中,K代表局部高斯曲率, ?Ω為幾何體邊界,X就是幾何體的拓?fù)鋽?shù)或拓?fù)洳蛔兞?topological number, or topological invariant). 對(duì)任意光滑幾何體, 以上公式的取值均為精確整數(shù). 正因?yàn)檫@一點(diǎn), 當(dāng)幾何體在光滑連續(xù)變化時(shí), 其拓?fù)鋽?shù)不會(huì)改變, 僅當(dāng)幾何體出現(xiàn)撕裂等不連續(xù)變化情況時(shí),拓?fù)鋽?shù)才會(huì)發(fā)生突變. 這一積分公式取值不隨幾何體連續(xù)變化而改變, 與常規(guī)積分公式存在顯著差別, 比如體積則隨幾何體變化而連續(xù)地變化.

拓?fù)浣^緣體得名“拓?fù)洹倍值闹饕蛟谟谄渫負(fù)涮匦? 拓?fù)浣^緣體內(nèi)部不導(dǎo)電, 但在其邊界則可以導(dǎo)電, 且這種導(dǎo)電特性是一種拓?fù)涮匦? 即材料或系統(tǒng)參數(shù)光滑連續(xù)變化時(shí)不受影響(圖1 (b)). 與之相對(duì)的普通絕緣體在內(nèi)部和邊界上均不能導(dǎo)電, 且容易受到雜質(zhì)、缺陷等影響.

圖1

拓?fù)浣^緣體的發(fā)現(xiàn)可追溯到20世紀(jì)80年代, 德國(guó)物理學(xué)家von Klitzing等(1980)測(cè)量了二維電子材料在外磁場(chǎng)作用時(shí)的邊界導(dǎo)電性, 發(fā)現(xiàn)材料的電導(dǎo)為基本量e2/h的精確整數(shù)倍,σ=nHe2/h, 偏差小于十億分之一. 此外, 電導(dǎo)隨外磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加呈現(xiàn)臺(tái)階狀突變, 即呈現(xiàn)精確量子化現(xiàn)象, 并且對(duì)邊界缺陷等參數(shù)變化不敏感, 這就是經(jīng)典的“整數(shù)量子霍爾效應(yīng)”(integer quantum Hall effect) (Cage et al. 2012). 因發(fā)現(xiàn)這一奇特物理現(xiàn)象, von Klitzing獲得了1985年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).

為了解釋整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的物理機(jī)制, 研究者從不同角度進(jìn)行了闡釋(Laughlin 1981,Thouless et al. 1982, Haldane 1988, Hatsugai 1993). 從其物理表現(xiàn)形式不難得出, 整數(shù)量子霍爾效應(yīng)與拓?fù)渲g應(yīng)該有著密切的聯(lián)系. Thouless等(1982)給出了與拓?fù)渥罱咏慕忉? 他們從理論上揭示了電導(dǎo)與系統(tǒng)體態(tài)之間的關(guān)系, 并給出了計(jì)算導(dǎo)電特性的數(shù)學(xué)公式

式中i為能帶編號(hào),ui(k,r)為第i支能帶上波矢k對(duì)應(yīng)的布洛赫模態(tài)(Bloch mode),uˉi(k,r)為該布洛赫模態(tài)的復(fù)共軛, 求和符號(hào)針對(duì)費(fèi)米能級(jí)以下所有能帶,nH表達(dá)式中關(guān)于dk2的積分區(qū)域?yàn)榈谝徊祭餃Y區(qū)(first Brillouin zone). 可以證明,nH是一個(gè)精確的整數(shù), 后被稱為TKNN數(shù), 是反映系統(tǒng)是否具有量子霍爾效應(yīng)的拓?fù)鋽?shù). 以上積分公式與拓?fù)鋵W(xué)中的第一陳示性類(first Chern class)相關(guān)(Qi et al. 2008), 由我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳省身提出. 所以, 后來TKNN數(shù)又被稱為陳數(shù)(Chern number) (Hatsugai 1993). 如果絕緣體的陳數(shù)為零, 則稱為普通絕緣體, 否則稱為拓?fù)浣^緣體, 或更具體地稱為陳絕緣體(Chern insulator). 式(2)與計(jì)算幾何孔洞的式(1)有如下相似與不同之處. 第一, 由于倒格空間(reciprocal space)中布里淵區(qū)的周期性, 式(2)中的積分區(qū)域等價(jià)于封閉圓環(huán)曲面(圖2). 第二, 這里研究對(duì)象不是二維圓環(huán)曲面本身, 而是曲面上的布洛赫模態(tài)場(chǎng),是一種更抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象. 最后, 被積分對(duì)象稱為貝里曲率(Berry curvature), 是刻畫曲面上布洛赫模態(tài)內(nèi)在性質(zhì)的物理量.

圖2

需要說明的是, 上述拓?fù)鋽?shù)只取決于材料的體態(tài)性質(zhì), 而量子霍爾效應(yīng)卻是材料的邊界特性.這是拓?fù)浣^緣體的一個(gè)獨(dú)特地方, 其體態(tài)性質(zhì)可以決定邊界的導(dǎo)電性質(zhì), 即拓?fù)浣^緣體研究領(lǐng)域著名的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系(Bulk-edge correspondence) (Hasan et al. 2010, Qi et al. 2011): 在陳數(shù)不相等的兩個(gè)絕緣體的公共界面, 存在與拓?fù)鋽?shù)之差相等數(shù)目的拓?fù)浣缑鎽B(tài), 電子波可以不受干擾地繞過缺陷、雜質(zhì)向前傳播. 這種拓?fù)湫再|(zhì)可以從物理上大致理解為, 由于磁場(chǎng)打破了系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性, 電子只能沿單向傳輸, 因此其即使遇到缺陷或雜質(zhì)也無法產(chǎn)生后向散射, 只能繼續(xù)向前傳播. 只有外磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)時(shí), 允許的拓?fù)鋺B(tài)方向才相應(yīng)發(fā)生反轉(zhuǎn).

量子霍爾效應(yīng)需要外部強(qiáng)磁場(chǎng)打破系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性, 但強(qiáng)磁場(chǎng)不利于實(shí)際應(yīng)用. 美國(guó)物理學(xué)家Haldane (1988)提出了一個(gè)僅包含內(nèi)部磁鏈的二維模型, 該模型也打破時(shí)間反演對(duì)稱性, 可以實(shí)現(xiàn)量子霍爾效應(yīng). 這導(dǎo)致在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi), 研究者都認(rèn)為, 時(shí)間反演對(duì)稱性破缺是實(shí)現(xiàn)拓?fù)洮F(xiàn)象所必須的. 直到2005年左右, 量子自旋霍爾效應(yīng)(quantum spin Hall effect)的提出打破了傳統(tǒng)認(rèn)知(Kane et al. 2005a, Hasan et al. 2010). 在量子自旋霍爾效應(yīng)中, 電子的內(nèi)在自旋特性起到了類磁場(chǎng)作用, 上自旋電子和下自旋電子沿著界面相反的方向傳輸, 且其電導(dǎo)特性一樣呈現(xiàn)精確量子化現(xiàn)象. 之后, 還發(fā)現(xiàn)了量子谷霍爾效應(yīng)(quantum valley Hall effect), 既不需要打破時(shí)間反演對(duì)稱性也不依賴電子自旋(Tworzyd et al. 2007, Xiao et al. 2007). 這三類拓?fù)洳▌?dòng)現(xiàn)象是目前二維體系中研究最廣泛的, 分別對(duì)應(yīng)霍爾絕緣體(Hall insulator or Chern insulator)、自旋霍爾絕緣體(spin Hall insulator)和谷霍爾絕緣體(valley Hall insulator).

盡管拓?fù)浣^緣體最早在量子波領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn), 但其拓?fù)浔举|(zhì)主要與波動(dòng)行為相關(guān), 而量子特性并不是其必備條件. 從式(2)可以看出, 這種拓?fù)涮匦詠碓从陔娮硬悸搴漳B(tài)的內(nèi)在特性. 實(shí)際上, 經(jīng)典波動(dòng)領(lǐng)域的周期介質(zhì), 如光子晶體、聲子晶體等, 也有相對(duì)應(yīng)的布洛赫波模態(tài). 因此, 拓?fù)浣^緣體概念可以自然地拓展到經(jīng)典波領(lǐng)域. 近十年來, 電磁波、聲波拓?fù)浣^緣體得到了快速的發(fā)展(Tworzyd et al. 2007, Xiao et al. 2007). 對(duì)應(yīng)的彈性波領(lǐng)域有關(guān)進(jìn)展則相對(duì)較少, 這與彈性波本身及彈性波理論更復(fù)雜有關(guān). 例如, 聲波只有縱波模式, 電磁波只有橫波模式, 而彈性波則通常耦合有橫波與縱波(Achenbach 2012). 不過復(fù)雜性中也蘊(yùn)含著新的機(jī)會(huì), 例如, 彈性體表面的瑞利波就有類似的贗自旋效應(yīng)(pseudo spin) (Long et al. 2018), 或許可以更簡(jiǎn)便地設(shè)計(jì)類自旋霍爾絕緣體. 此外, 彈性波研究中梁、薄板等各種波導(dǎo)(Vila et al. 2017; Yan et al. 2018; Miniaci et al.2018; Zhang et al. 2019a, 2020; Gao et al. 2021)也提供了豐富的拓?fù)浣^緣體實(shí)驗(yàn)研究平臺(tái). 將量子中的拓?fù)洮F(xiàn)象拓展到經(jīng)典波領(lǐng)域, 一方面可以拓展經(jīng)典波動(dòng)調(diào)控設(shè)計(jì)能力, 如實(shí)現(xiàn)單向傳播、缺陷免疫波導(dǎo)等新穎功能. 同時(shí), 也為探索量子拓?fù)洮F(xiàn)象提供了新的平臺(tái), 經(jīng)典波現(xiàn)象屬于宏觀領(lǐng)域, 無論在觀測(cè)技術(shù)或是操控手段方面都比微觀量子領(lǐng)域更加容易.

本文主體框架以作者所在各課題組開展的相關(guān)研究為基礎(chǔ), 著重介紹谷霍爾絕緣體、陳絕緣體與自旋霍爾絕緣體設(shè)計(jì)機(jī)理、理論刻畫方法, 并概括有關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證. 為方便讀者了解更全面的拓?fù)溲芯績(jī)?nèi)容, 本文還簡(jiǎn)單介紹了近期研究較多的高階拓?fù)洮F(xiàn)象、靜力學(xué)中的拓?fù)洮F(xiàn)象. 論文內(nèi)容安排如下: 第二節(jié)從一維、二維質(zhì)量彈簧系統(tǒng)出發(fā), 對(duì)拓?fù)溲芯肯嚓P(guān)概念進(jìn)行了詳細(xì)闡釋,包括狄拉克錐、確定性簡(jiǎn)并、能帶翻轉(zhuǎn)、貝里曲率、拓?fù)洳蛔兞康然靖拍? 重點(diǎn)是周期離散系統(tǒng)的k?p微擾等效模型建立方法, 及該等效方法在計(jì)算拓?fù)鋽?shù)和解析求解拓?fù)浣缑鎽B(tài)中的應(yīng)用. 第三至第五節(jié)為本文主要內(nèi)容, 依次為谷霍爾絕緣體、陳絕緣體及自旋霍爾絕緣體研究進(jìn)展. 第六節(jié)簡(jiǎn)要介紹角態(tài)高階拓?fù)浣^緣體概念與基本設(shè)計(jì)思路, 第七節(jié)為多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)的拓?fù)涔铝⒆?、Maxwell桁架中的拓?fù)淞隳苣Ｊ竭@類靜態(tài)拓?fù)洮F(xiàn)象. 文末是總結(jié)與展望.

2 拓?fù)浣^緣體基礎(chǔ)

2.1 一維質(zhì)量彈簧鏈系統(tǒng)

本小節(jié)以一維質(zhì)量彈簧鏈系統(tǒng)為例, 介紹一維拓?fù)湎嚓P(guān)概念. 考慮如圖3 (a)所示的雙原子鏈模型(Chen et al. 2018a), 其晶格常數(shù)記為a, 單胞內(nèi)包含兩個(gè)質(zhì)量塊m1和m2, 兩個(gè)彈簧剛度分別為k1和k2. 記第n個(gè)單胞內(nèi)的第j(j= 1, 2)個(gè)質(zhì)量塊的位移為并假設(shè)m1=m2=m, 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

該特征值方程刻畫了系統(tǒng)的頻散特性.圖3 (b)給出了三種典型情況的頻散曲線, 分別對(duì)應(yīng)γ= 0.2,γ= 0和γ= ?0.2. 其中,γ= (k1?k2)/(k1+k2), 無量綱化頻率

如圖3 (b)所示, 從頻散曲線上看, 構(gòu)型γ=γ0和γ= ?γ0(γ0≠ 0)并無任何區(qū)別, 但兩者的拓?fù)湫再|(zhì)完全不同, 這反映在相應(yīng)的特征模態(tài)上. 當(dāng)γ的值由正變負(fù)時(shí),q= π/a處的特征模態(tài)發(fā)生翻轉(zhuǎn). 如圖3 (b)中插圖所示, 構(gòu)型γ= 0.2的聲學(xué)頻散分支的特征模態(tài)與構(gòu)型γ= ?0.2的光學(xué)頻散分支相同, 而構(gòu)型γ= 0.2的光學(xué)頻散分支的特征模態(tài)與構(gòu)型γ= ?0.2的聲學(xué)頻散分支相同. 這種能帶翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象不是偶然發(fā)生的, 其必須通過帶隙關(guān)閉(γ= 0)進(jìn)行過渡. 下面將借助拓?fù)湔Z(yǔ)言說明,若不經(jīng)過帶隙關(guān)閉, 無論怎么調(diào)節(jié)k1與k2, 均不會(huì)發(fā)生上述能帶翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

圖3

為此, 接下來研究聲學(xué)頻散分支的拓?fù)湫再|(zhì), 計(jì)算波數(shù)由q= ? π/a變?yōu)閝= π/a過程中聲學(xué)分支特征模態(tài)的相位積累θ. 一般地, 對(duì)于兩個(gè)模為1的復(fù)數(shù)z1= exp (iβ1)和z2= exp (iβ2), 其相帶翻轉(zhuǎn)位差為這里要求δz=z2-z1≈ 0. 則波數(shù)從q= ? π/a變?yōu)閝= π/a時(shí)積累的相位差為

其中〈,〉表 示厄米點(diǎn)積,φ(q)為聲學(xué)分支波數(shù)q對(duì)應(yīng)的歸一化特征模態(tài)k2exp(iqa). 將歸一化特征模態(tài)φ代入式(5), 可得

θ就是所謂的Zak相位(Zak 1989), 類似于后續(xù)小節(jié)即將介紹的貝里相位(Simon 1983). 兩者均用于描述系統(tǒng)的拓?fù)鋵傩? 區(qū)別在于Zak相位特別針對(duì)一維材料, 而貝里相位用于二維或三維材料. 另外一個(gè)關(guān)于一維材料的拓?fù)洳蛔兞渴抢p繞數(shù)υ(Ryu et al. 2010), 其與Zak相位的對(duì)應(yīng)關(guān)系為υ=θ/π. 由此可見, 能帶翻轉(zhuǎn)意味著θ由0變?yōu)棣? 也就是υ由0變?yōu)?. 為了更生動(dòng)地說明這一點(diǎn), 將z(q)表示的封閉曲線η繪制在復(fù)平面上, 如圖4所示. 當(dāng)k1>k2時(shí), 復(fù)平面原點(diǎn)不被包含在封閉曲線η內(nèi)部, 對(duì)應(yīng)于υ= 0. 當(dāng)k1

圖4

上述分析表明, 構(gòu)型k1>k2和k1k2)時(shí), 體帶隙范圍內(nèi)不存在邊界態(tài)模式.

圖5

進(jìn)一步考慮兩側(cè)各有200個(gè)單胞的含界面點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)(圖6 (a)), 界面兩側(cè)的單胞中,k1與k2發(fā)生了交換. 由于界面兩側(cè)材料的纏繞數(shù)絕對(duì)差值為1, 無論γ為正或負(fù), 材料體帶隙范圍內(nèi)均存在1支界面態(tài)模式(圖6 (d)).圖6 (b)(c)分別給出了γ= ?0.5和γ= 0.5時(shí)的界面模態(tài). 可以看到, 兩者對(duì)應(yīng)的位移分布還是有明顯區(qū)別的. 當(dāng)γ< 0時(shí), 界面處的質(zhì)量靜止且位移分布關(guān)于界面反對(duì)稱. 而當(dāng)γ> 0時(shí), 界面處的質(zhì)量具有最大的振蕩幅度且位移分布關(guān)于界面對(duì)稱. 類似的現(xiàn)象也出現(xiàn)在二維拓?fù)湎到y(tǒng)中, 將在后續(xù)章節(jié)中介紹.

圖6

2.2 二維蜂窩質(zhì)量彈簧系統(tǒng)

本小節(jié)以二維蜂窩質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為例(Chen et al. 2019), 說明二維拓?fù)浣^緣體研究有關(guān)概念.二維周期蜂窩點(diǎn)陣系統(tǒng)如圖7 (a)所示, 高亮六邊形區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)單胞, 單胞內(nèi)包含兩個(gè)質(zhì)量點(diǎn), 記作p和q, 其質(zhì)量分別為mp和mq, 最近鄰質(zhì)點(diǎn)由剛度為t的彈簧連接. 為簡(jiǎn)化表達(dá), 設(shè)彈簧長(zhǎng)度及剛度分別為L(zhǎng)0= 1 m和t= 1N/m. 長(zhǎng)度為的兩個(gè)晶格矢量為a1= (ax, ?ay) = (3L0/2,根據(jù)晶格矢量可將每一個(gè)六邊形單胞用兩個(gè)數(shù)字進(jìn)行編號(hào)(m,n),m和n取值為0, ?1, +1, ?2, +2, ···. 計(jì)高亮區(qū)域單胞編號(hào)為(0, 0), 編號(hào)為(m,n)的單胞, 可由編號(hào)為(0, 0)的單胞沿矢量ma1+na2平移得到.圖7 (b)給出了蜂窩系統(tǒng)的第一布里淵區(qū), 兩個(gè)倒格矢量為倒格矢量與晶格矢量之間滿足關(guān)系ai?bj=δij,δij代表克羅內(nèi)克爾符號(hào).

圖7

考慮面內(nèi)彈性波在該點(diǎn)陣中的傳播. 由于系統(tǒng)的周期特性, 可假定其波動(dòng)解為布洛赫形式,即位置矢量相差ma1+na2的質(zhì)點(diǎn)的位移解僅存在相位差exp [?ik·(ma1+na2)],m和n為整數(shù),為布洛赫波矢. 位移解可具體表示為其中,為 編號(hào)(m,n)的胞元中p質(zhì)點(diǎn)的位移矢量,為胞元(0,0)中p質(zhì)點(diǎn)的位移矢量, 不同胞元內(nèi)q質(zhì)點(diǎn)的位移滿足相似關(guān)系.

根據(jù)布洛赫波特征, 只需要對(duì)單胞進(jìn)行分析, 即可得出整個(gè)結(jié)構(gòu)的波傳播規(guī)律. 具體以編號(hào)(0, 0)的胞元為例, 分析其p和q兩質(zhì)點(diǎn)的平衡方程. 考慮小幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)問題, 頻率記為ω, 質(zhì)點(diǎn)p和q各受到三個(gè)相鄰質(zhì)點(diǎn)施加的彈性力, 其平衡方程為

其中,ex= (1, 0),et= (cos(2π/3), sin(2π/3)),et′ = (cos(?2π/3), sin(?2π/3))為三個(gè)沿彈簧方向的單位矢量. 將布洛赫解形式代入上式, 可以得到如下矩陣表示的特征值方程

U為p和q兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移組成的特征向量U= {up,uq}. 質(zhì)量矩陣M4×4和剛度矩陣K4×4(k)分別為

符號(hào)?代表復(fù)共軛轉(zhuǎn)置.I為2 × 2的單位矩陣. 方程(9)的解即為點(diǎn)陣中允許的布洛赫模態(tài). 為了得到非平凡的零解, 系數(shù)矩陣的行列式必須為零Det(ω2M4×4+K4×4(k)) = 0, 據(jù)此可求解出色散關(guān)系ω(k), 以及對(duì)應(yīng)的模態(tài).

簡(jiǎn)單計(jì)算后, 得到上述4 × 4矩陣特征值的4個(gè)解, 其色散關(guān)系分別為

其中Y= 2[8cos(kxax)cos(kyay) + 4cos(2kyay) ? 3]/9. 特征模態(tài)的表達(dá)式比較繁瑣, 這里就不再詳細(xì)給出. 第1和第4階色散關(guān)系與系統(tǒng)剪切波模態(tài)對(duì)應(yīng), 其取值為常數(shù), 這里重點(diǎn)關(guān)注第2、第3支色散曲線. 第2、第3階色散曲線在布里淵區(qū)角點(diǎn)K和K′處達(dá)到極值ω= (3t/2mp)1/2, (3t/2mq)1/2,此處局部特征頻率呈現(xiàn)山谷頂或谷底形式, 因此, 波矢K和K′又被稱為谷(valley), 對(duì)應(yīng)的特征模態(tài)被稱之為谷態(tài)(valley state). 在谷點(diǎn)K′處, 與特征頻率ω= (3t/2mp)1/2和(3t/2mq)1/2對(duì)應(yīng)的特征模態(tài)分別為

由于系統(tǒng)滿足時(shí)間反演對(duì)稱性,K對(duì)應(yīng)谷態(tài)為上述谷態(tài)的復(fù)共軛形式

對(duì)于u1(K)/u1(K′)谷態(tài), 胞元內(nèi)質(zhì)點(diǎn)p在x和y方向的位移大小相等, 相位相差π/2, 代表質(zhì)點(diǎn)p繞平衡位置作順/逆時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng), 而質(zhì)點(diǎn)q靜止不動(dòng). 對(duì)于u2(K)/u2(K′)谷態(tài), 質(zhì)點(diǎn)q繞平衡位置作逆/順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng), 而質(zhì)點(diǎn)p則靜止不動(dòng).

圖8 給出了單胞中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量相等(mp=mq= 1.0,t= 1.0)及不等(mp= 0.9,mq= 1.1,t=1.0)兩種情況下的色散曲面. 可以清晰地看出, 第2、第3支色散曲面在布里淵區(qū)角點(diǎn)K′和K處取極大、極小值. 當(dāng)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量相等時(shí)(圖8(a)), 色散曲面在K′和K處取得相同頻率, 稱為簡(jiǎn)并頻率. 簡(jiǎn)并頻率附近色散曲線與波矢線性相關(guān)Δω~ Δ|k|, 即局部色散曲面在K′和K呈現(xiàn)為雙圓錐, 被稱為狄拉克錐. 反之p和q質(zhì)量不等時(shí)(圖8(b)), 系統(tǒng)的對(duì)稱性降低, 第2、第3支色散曲面在K′和K取值不等, 簡(jiǎn)并被破壞. 第2支色散曲面的極大值頻率與第3支色散曲面的極小值間的頻率范圍稱為系統(tǒng)的禁帶, 系統(tǒng)不能傳播頻率處于禁帶的波.

圖8

上述簡(jiǎn)并由系統(tǒng)的對(duì)稱性決定, 被稱為確定性簡(jiǎn)并(deterministic degenerate), 當(dāng)相應(yīng)的對(duì)稱性被破壞后, 對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)并狀態(tài)也會(huì)被打破. 針對(duì)上述蜂窩點(diǎn)陣質(zhì)量彈簧系統(tǒng), 當(dāng)p和q質(zhì)點(diǎn)相等時(shí), 系統(tǒng)滿足C6v對(duì)稱性. 其中, C對(duì)應(yīng)英文名稱為Cyclic, 代表旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性, 與數(shù)字n組合一起表示系統(tǒng)每旋轉(zhuǎn)360o/n不變, 而v表示系統(tǒng)還具有與旋轉(zhuǎn)軸平行的鏡像對(duì)稱面. 除了結(jié)構(gòu)本身的對(duì)稱性之外, 波矢位置的對(duì)稱性也很重要. 針對(duì)上述系統(tǒng),K′點(diǎn)和K點(diǎn)滿足C3v對(duì)稱性, 則系統(tǒng)在K′和K存在某兩支色散曲面簡(jiǎn)并的情況, 具體是哪兩支則視特定系統(tǒng)而定. 對(duì)于確定性簡(jiǎn)并, 只要需求的對(duì)稱性不被破壞, 則簡(jiǎn)并始終存在. 例如對(duì)于上述蜂窩系統(tǒng),p和q質(zhì)量同時(shí)增大或減小僅改變簡(jiǎn)并頻率, 不改變第2、第3支色散曲面在K′和K的簡(jiǎn)并特征. 除對(duì)稱性帶來的確定性簡(jiǎn)并, 特定的參數(shù)組合也可使系統(tǒng)產(chǎn)生簡(jiǎn)并, 稱為偶發(fā)簡(jiǎn)并. 根據(jù)文獻(xiàn)中的研究(Lu et al. 2014), 將可能的幾種簡(jiǎn)并類型總結(jié)如表1, 讀者可以參考文獻(xiàn)了解證明細(xì)節(jié).

表 1 二維對(duì)稱系統(tǒng)中狄拉克簡(jiǎn)并情況總結(jié)

2.2.1 k ?p微擾等效模型

k?p微擾等效模型(Lu et al. 2014)是研究參數(shù)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)波動(dòng)規(guī)律影響的有效方法, 可以將離散系統(tǒng)的波動(dòng)描述連續(xù)化, 便于從解析角度分析系統(tǒng)的拓?fù)涮卣? 這里以蜂窩質(zhì)量彈簧點(diǎn)陣為例子, 說明如何推導(dǎo)得出系統(tǒng)的微擾等效模型.

在系統(tǒng)p和q質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相等時(shí)mp=mq, 第2、第3支色散曲面將在K和K′發(fā)生簡(jiǎn)并, 其對(duì)應(yīng)的特征模態(tài)由式(13)(14)給出. 下面考慮p和q質(zhì)量不相等mp≠mq的情況, 則系統(tǒng)對(duì)于任意波矢k的布洛赫解u′(k)滿足與方程(9)一樣的形式

進(jìn)一步假定參數(shù)滿足|mp?mq| << 1, 則該系統(tǒng)可認(rèn)為是由p和q質(zhì)量均為(mp+mq)/2的系統(tǒng)微擾而來, 后者在K(K′)簡(jiǎn)并, 其第2、第3階特征模態(tài)由式(13)(14)給出. 因此, 微擾后的系統(tǒng)在K(K′)附近波矢的第2、第3階特征模態(tài)可由微擾前系統(tǒng)的特征模態(tài)的線性組合近似得到, 以K′附近波矢k=K′ + Δk為例

將上述表達(dá)式代入其嚴(yán)格的波動(dòng)方程(15), 并分別與u1(K′)和u2(K′)內(nèi)積可以得到兩個(gè)線性方程

將簡(jiǎn)并系統(tǒng)特征模態(tài)代入, 并化簡(jiǎn)可得到關(guān)于系數(shù)c1和c2的線性方程組

將上式截取到關(guān)于Δk的一階近似項(xiàng)

上述方程中, ΔH代表系統(tǒng)的等效哈密頓量,ψ= {c1,c2}T為由線性疊加系數(shù)組成的特征模態(tài). 參數(shù)τ= +1 (?1)用于區(qū)分K′(K)谷點(diǎn),σx,σy和σz稱為泡利矩陣(Shen 2017). 參數(shù)m和v表示系統(tǒng)的等效狄拉克質(zhì)量(Dirac mass)和狄拉克速度(Dirac velocity). 根據(jù)以上等效模型, 可以得到Δω關(guān)于Δk的表達(dá)式及相應(yīng)的特征模態(tài)

這里, 特征模態(tài)ψ滿足歸一化條件〈ψ|ψ〉=ψ?ψ= 1. 結(jié)合谷點(diǎn)波矢K′(K) 和已經(jīng)確定的狄拉克錐點(diǎn)頻率ω0, 可以得到谷點(diǎn)波矢K′(K) 附近的真實(shí)色散關(guān)系, 表示為K′(K) + Δk與ω0+ Δω的關(guān)系. 可以看到, 上下兩階色散曲面關(guān)于Δω= 0對(duì)稱, 兩階色散曲線之間禁帶寬度為|2m|. 當(dāng)p、q質(zhì)量相等的時(shí)候, 禁帶消失, 兩階色散曲線在Δk= 0處形成斜率為v的狄拉克錐.

2.3 二維彈性波拓?fù)浣^緣體分類

引言部分已提到, 目前研究較多的二維拓?fù)浣^緣體有三類: 陳絕緣體、自旋霍爾絕緣體及谷霍爾絕緣體. 上述三類拓?fù)浣^緣體分別由陳數(shù)、自旋陳數(shù)以及谷陳數(shù)拓?fù)鋽?shù)刻畫, 拓?fù)鋽?shù)為零對(duì)應(yīng)平凡絕緣體, 否則為拓?fù)浣^緣體. 下面概括三類拓?fù)浣^緣體的基本特點(diǎn)和波傳播規(guī)律, 拓?fù)鋽?shù)的計(jì)算在后文具體加以說明.

霍爾絕緣體對(duì)應(yīng)于最早發(fā)現(xiàn)的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)(Klitzing et al. 1980), 其邊界支持單向傳播態(tài), 這對(duì)于能量單向傳輸極具意義. 實(shí)現(xiàn)霍爾絕緣體的關(guān)鍵在于打破時(shí)間反演對(duì)稱性(Bansil et al.2016, Qi et al. 2011, Hasan et al. 2010), 如何在彈性波中做到這一點(diǎn)是設(shè)計(jì)的主要難點(diǎn). 目前主要有兩種思路, 一是將彈性波系統(tǒng)與旋轉(zhuǎn)陀螺相耦合(Wang et al. 2015a, Suesstrunk et al. 2015,Nash et al. 2015, Zhao et al. 2020), 利用陀螺自身的旋轉(zhuǎn)打破時(shí)間反演對(duì)稱性; 另一種是利用科里奧利力打破時(shí)間反演對(duì)稱性, 如將系統(tǒng)放置于非慣性系旋轉(zhuǎn)平臺(tái)(Wang et al. 2015b, Chen et al.2019). 無論是利用陀螺力或是科氏力, 當(dāng)前的研究主要偏向于理論設(shè)計(jì)或者是基于離散模型的驗(yàn)證, 在連續(xù)的彈性體上開展的實(shí)驗(yàn)研究還未有報(bào)道. 根據(jù)體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系(Wang et al. 2015b,Chen et al. 2019), 陳絕緣體與平凡絕緣體組成的界面支持拓?fù)浔Ｗo(hù)的單向界面態(tài), 即在材料界面發(fā)生彎曲或者材料有缺陷時(shí), 能量都只能往前傳播不會(huì)發(fā)生后向散射, 稱為后向散射免疫(backscattering immune). 典型的陳絕緣體界面帶結(jié)構(gòu)如圖9 (a)所示, 在禁帶范圍內(nèi)僅有單向傳播的邊界態(tài). 這里說明一下, 真空可以看作平凡絕緣體, 因此, 陳絕緣體的邊界本身也支持以上單向態(tài).

陳絕緣體的單向態(tài)在能量無損傳輸方面具有潛力, 但物理上通常難以打破時(shí)間反演對(duì)稱性.隨著研究的深入, 后來發(fā)現(xiàn)了自旋霍爾絕緣體這類特殊絕緣體, 其對(duì)應(yīng)的拓?fù)鋽?shù)為自旋陳數(shù)(Kane et al. 2005a, 2005b; Bernevig et al. 2006). 事實(shí)上, 拓?fù)浣^緣體最早就特指自旋霍爾絕緣體,后來才逐漸涵蓋更廣義的陳絕緣體、谷霍爾絕緣體等. 自旋霍爾絕緣體不需要打破時(shí)間反演對(duì)稱性(Kane et al. 2005a, 2005b; Bernevig et al. 2006), 在其界面上存在傳播方向相反的界面態(tài), 分別對(duì)應(yīng)于上、下兩種自旋, 典型界面帶結(jié)構(gòu)如圖9 (b)所示. 通過選擇性地激發(fā)上或下自旋, 可以實(shí)現(xiàn)能量傳播方向的控制, 由于無需打破時(shí)間反演對(duì)稱性, 因此更利于實(shí)際應(yīng)用. 只要缺陷不是特別強(qiáng), 不使得自旋或者贗自旋自由度翻轉(zhuǎn), 就能保持對(duì)缺陷的魯棒性. 由于彈性波不存在類似電子的內(nèi)秉自旋, 要在彈性波中實(shí)現(xiàn)自旋霍爾絕緣體, 需要特別構(gòu)造贗自旋態(tài). 現(xiàn)有的設(shè)計(jì)包括:利用薄板結(jié)構(gòu)的對(duì)稱反對(duì)稱模態(tài)耦合(Mousavi et al. 2015, Miniaci et al. 2018), 或基于超胞晶格布洛赫模態(tài)的構(gòu)造方案(Yu et al. 2018, Li et al. 2018). 實(shí)際上, 彈性波天然包含復(fù)雜的耦合特性,例如, 彈性體表面的瑞利波就有類似的自旋效應(yīng)(Long et al. 2018), 目前還沒有這種類自旋特性的霍爾絕緣體設(shè)計(jì).

圖9

谷霍爾絕緣體是實(shí)現(xiàn)條件最簡(jiǎn)單的一類, 目前的研究也非常多(Lu et al. 2016, Xiao et al.2007, Vila et al. 2017, Pal et al. 2017, Xia et al. 2018, Zhang et al. 2019a, Chen et al. 2019, Gao et al.2021). 一般來說, 谷霍爾絕緣體可通過簡(jiǎn)單地打破狄拉克錐簡(jiǎn)并來實(shí)現(xiàn), 如打破反演對(duì)稱或鏡面對(duì)稱等空間對(duì)稱性. 谷霍爾絕緣體一般在兩個(gè)谷點(diǎn)附近的貝里曲率相反, 因此, 貝里曲率在整個(gè)布里淵區(qū)的積分等于零. 但是, 貝里曲率在谷點(diǎn)附近的積分等于半整數(shù), 可分為正、負(fù)兩種谷霍爾絕緣體. 在正、負(fù)兩種谷霍爾絕緣體組成的界面上, 存在沿雙向傳播的界面態(tài), 典型界面帶結(jié)構(gòu)如圖9(c)所示. 盡管正負(fù)谷霍爾相組成的界面不具備單向?qū)Рㄌ匦? 但其波動(dòng)的拓?fù)涮卣鞯玫搅撕芎玫谋Ａ? 同樣具有對(duì)缺陷、擾動(dòng)不敏感的特征.

下面將按照設(shè)計(jì)難易程度順序?qū)椥圆ü然魻柦^緣體、陳絕緣體及自旋霍爾絕緣體的研究進(jìn)展進(jìn)行介紹, 并重點(diǎn)以前一小節(jié)提出的蜂窩質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為例, 對(duì)拓?fù)浣^緣體設(shè)計(jì)、分析與計(jì)算中用到的理論方法進(jìn)行詳細(xì)介紹.

3 谷霍爾絕緣體研究進(jìn)展

3.1 谷霍爾絕緣體設(shè)計(jì)

這里將介紹在2.2小節(jié)所述蜂窩質(zhì)量彈簧系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)谷霍爾絕緣體. 實(shí)現(xiàn)谷霍爾絕緣體一般需要打破鏡像對(duì)稱或空間反演對(duì)稱. 當(dāng)上述蜂窩單胞中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量不相等時(shí), 系統(tǒng)不再滿足空間反演對(duì)稱性, 先前的理論分析也表明, 系統(tǒng)原本滿足的狄拉克簡(jiǎn)并破缺并產(chǎn)生完全禁帶. 此時(shí)系統(tǒng)是否屬于谷霍爾絕緣體可以通過計(jì)算谷陳數(shù)加以判斷. 之前導(dǎo)出的微擾等效模型對(duì)于理論分析系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞渴址奖? 并且在后續(xù)拓?fù)浣缑鎽B(tài)的解析求解中也非常實(shí)用. 拓?fù)鋽?shù)可由貝里曲率經(jīng)過積分得到, 貝里曲率定義類似式(2)

根據(jù)微擾等效模型給出的特征模態(tài)式(23), 可以解析求出低頻色散曲面分支的貝里曲率為

與先前類似,τ= ?1或+1分別對(duì)應(yīng)于兩個(gè)谷點(diǎn). 當(dāng)然, 精確的貝里曲率也可以根據(jù)嚴(yán)格的特征問題方程式(9)的特征模態(tài)求出.圖10 (a)中給出了精確帶結(jié)構(gòu)曲線以及在谷點(diǎn)附近的解析色散曲線, 而貝里曲率解析結(jié)果式(25)與精確結(jié)果對(duì)比如圖10 (b)和圖10 (c)所示. 其中解析結(jié)果與精確結(jié)果吻合很好, 印證了k?p微擾等效模型的有效性. 注意到貝里曲率精確模型與解析模型之間的細(xì)微差別, 精確結(jié)果具有和系統(tǒng)類似的120°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性, 而忽略了系統(tǒng)晶格特征的微擾模型給出的結(jié)果為完全各向同性. 由于等效參數(shù)m非常小, 貝里曲率主要分布在兩個(gè)谷點(diǎn)K和K′附近,在遠(yuǎn)離谷點(diǎn)時(shí)迅速衰減至零. 兩個(gè)谷的貝里曲率正好符號(hào)相反, 因此, 其在整個(gè)布里淵區(qū)的積分等于零, 即系統(tǒng)的陳數(shù)為零. 然而, 由貝里曲率在單個(gè)谷點(diǎn)附近進(jìn)行積分定義的谷陳數(shù)則可以不為零

圖10

即對(duì)于K′和K兩個(gè)谷點(diǎn), 其谷陳數(shù)分別為+1/2和?1/2. 因此, 當(dāng)通過不相等的質(zhì)量mp≠mq使得系統(tǒng)對(duì)稱性從C6v降至C3v時(shí), 系統(tǒng)變?yōu)楣然魻柦^緣體, 其中mq>mp時(shí)為正谷霍爾相,mq

根據(jù)體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系(Hasan et al. 2010), 不同拓?fù)湎嘟M成的界面上一定存在受拓?fù)浔Ｗo(hù)的界面態(tài). 根據(jù)導(dǎo)出的k·p微擾等效模型, 可以非常容易地解析驗(yàn)證界面態(tài)的存在性、傳播方向及其極化特征等. 為驗(yàn)證根據(jù)以上蜂窩質(zhì)量彈簧系統(tǒng)設(shè)計(jì)的谷霍爾絕緣體, 考慮由正、負(fù)兩種谷霍爾相組成的界面(圖11,x′ < 0,m> 0;x′ > 0,m< 0), 界面方向沿著y′呈現(xiàn)周期性, 界面左側(cè)單胞中q質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量較大, 而界面右側(cè)單胞中p質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量更大. 具體界面特征隨角度θ不同而變化.θ= 0o對(duì)應(yīng)于鋸齒形(zig-zag)界面, 而θ= 30o則呈扶手椅(amchair)界面. 根據(jù)微擾等效模型式(20), 界面兩側(cè)介質(zhì)中的彈性波傳播規(guī)律由如下微分方程給出(即將等效哈密頓量中兩種波矢做替換Δkx

圖11

為了求解界面態(tài)解析表達(dá)式, 注意到界面在y'方向具有周期性, 則其界面態(tài)具有布洛赫解形式ψ(x,y) = (c1,c2)Texp(λ′x′) exp(iΔk′yy′), 其中c1和c2為待求解的未知系數(shù). 將該表達(dá)式代入波動(dòng)控制方程(27)可得

為獲得非零解, 需要系數(shù)矩陣的行列式為零, 據(jù)此可得到特征頻率以及特征模態(tài)

要使得特征模態(tài)局域在界面附近, 需要參數(shù)λ′x′ 在界面兩側(cè)均為負(fù)數(shù), 使得特征模態(tài)沿法向遠(yuǎn)離界面時(shí)呈現(xiàn)指數(shù)衰減. 此外, 比例c1/c2在界面兩側(cè)必須連續(xù), 即滿足界面連續(xù)性條件. 注意到Δω/ω0和Δky′在界面兩側(cè)分別相等, 則可以非常容易驗(yàn)證, 存在如下指數(shù)衰減且滿足線性色散關(guān)系的界面態(tài)

將K′和K谷態(tài)對(duì)應(yīng)表達(dá)式代入上式, 可以得到p和q質(zhì)點(diǎn)位移的具體表達(dá)式

可以看到, 界面態(tài)由之前的谷態(tài)組成, 外加指數(shù)衰減項(xiàng)及相位差因子. 從色散關(guān)系曲線式(30)可以清晰看出, 由谷點(diǎn)K′ 特征模態(tài)組成的界面態(tài)沿著?y′ 方向傳播, 而由另一個(gè)谷點(diǎn)K特征模態(tài)組成的界面態(tài)則沿著反方向傳播. 如果交換兩個(gè)谷霍爾相的位置, 則對(duì)應(yīng)關(guān)系將發(fā)生反轉(zhuǎn).還注意到, 指數(shù)衰減因子|m(x′)/v|與微繞模型中的等效質(zhì)量相關(guān), 即p和q質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量差異越大, 界面態(tài)越集中在界面附近. 此外, 上述表達(dá)式表明, 對(duì)于任意的界面方位角θ均存在相應(yīng)的界面態(tài),這表明界面態(tài)具有一定魯棒性. 以上解析表達(dá)式并不能直接反映彎曲的影響, 下文將通過數(shù)值算例驗(yàn)證界面夾角突然改變時(shí)界面態(tài)的魯棒性.

圖12 (a)(b)給出了兩種谷霍爾相組成的條狀界面(A:mp= 0.9,mq= 1.1; B:mp= 1.1,mq=0.9)以及對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu). 界面沿著y方向, 根據(jù)圖11 (b)其對(duì)應(yīng)于方位角θ= 0o. 在計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)時(shí), 條狀幾何的上下邊界施加有布洛赫連續(xù)性條件. 在能帶結(jié)構(gòu)圖中(圖12 (b)), 灰色曲線代表體態(tài), 在禁帶范圍內(nèi)出現(xiàn)了一條由藍(lán)色曲線代表的額外模態(tài). 該傳播模態(tài)對(duì)應(yīng)于界面態(tài), 從給出的位移場(chǎng)(圖12 (c)?(e))可以看出. 對(duì)于界面態(tài)(圖12 (d)), 只有靠近界面的質(zhì)點(diǎn)具有很大的位移振幅. 從色散曲線亦可以得出, 在K′的界面態(tài)具有負(fù)的群速度, 與之前理論預(yù)期一致.

圖12

為更清晰地看出界面態(tài)質(zhì)點(diǎn)(圖13 (a))的運(yùn)動(dòng),圖13 (b)(c)給出了靠近界面附近質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡. 對(duì)于谷點(diǎn)K′ 對(duì)應(yīng)的界面態(tài), 質(zhì)點(diǎn)p/q分別按照逆時(shí)針/順時(shí)針繞平衡位置運(yùn)動(dòng), 和上述解析表達(dá)式一致. 對(duì)于谷點(diǎn)K對(duì)應(yīng)的界面態(tài), 所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)反向. 由于微擾等效模型為完全各向同性, 解析表達(dá)式(31)給出的質(zhì)點(diǎn)軌跡為標(biāo)準(zhǔn)圓形, 實(shí)際上質(zhì)點(diǎn)軌跡為主方向沿x或者y的橢圓. 這主要是由于真實(shí)系統(tǒng)僅滿足C3v離散對(duì)稱性, 而不是完全各向同性.q/p質(zhì)點(diǎn)水平位移沿著x方向的分布如圖13 (d)(e)所示, 其中的指數(shù)衰減規(guī)律和解析表達(dá)式(31)的預(yù)測(cè)高度一致.

圖13

如前所示, 在谷霍爾絕緣體設(shè)計(jì)中, 關(guān)鍵在于如何使其頻散曲線產(chǎn)生線性簡(jiǎn)并的狄拉克錐.之前部分的谷霍爾設(shè)計(jì)主要依靠布拉格散射相關(guān)的狄拉克簡(jiǎn)并, 相應(yīng)的頻率位置由晶格常數(shù)決定. 這意味著實(shí)現(xiàn)低頻拓?fù)鋫鬏敼δ苄枰^大的晶格尺寸, 不利于實(shí)際應(yīng)用需求. 這里介紹基于局域共振的谷霍爾絕緣體設(shè)計(jì)(Zhang et al. 2020), 基本思路為在滿足C3v對(duì)稱性的點(diǎn)陣中引入局域振子, 可產(chǎn)生頻率位置由振子共振頻率決定的狄拉克錐以及相應(yīng)的谷傳輸拓?fù)浣缑鎽B(tài).

考慮如圖14 (a)所示的彈簧質(zhì)量離散模型. 該蜂窩點(diǎn)陣的代表單胞為灰色菱形所示, 其晶格常數(shù)取為單位1. 每個(gè)單胞內(nèi)包含兩個(gè)質(zhì)量均為M的外部質(zhì)點(diǎn), 分別記作p和q.p和q內(nèi)部各有一個(gè)局域振子(分別記作r和s), 其質(zhì)量分別為mr和ms. 這里只考慮出平面極化振動(dòng)模式, 因此所有質(zhì)點(diǎn)均只沿出平面方向運(yùn)動(dòng). 臨近的外部質(zhì)點(diǎn)由出面剛度為Kt的彈簧連接, 局域振子的出面剛度均為k. 該彈簧質(zhì)量模型的第一布里淵區(qū)如圖14 (b)所示.

圖14

當(dāng)β1=β2=β= (mr+ms)/2M時(shí), 這四個(gè)特征頻率兩兩簡(jiǎn)并, 即ω1=ω2且ω3=ω4, 分別與圖15 (a)中的兩個(gè)狄拉克錐對(duì)應(yīng). 可以較容易地證明得到,表明較低頻狄拉克錐的頻率一定小于局域振子的共振頻率. 因此, 在不改變晶格常數(shù)的前提下, 可以通過改變局域振子的共振頻率調(diào)節(jié)該狄拉克錐的頻率位置. 當(dāng)單胞中兩個(gè)局域振子的質(zhì)量存在小幅差異, 即0 < |β1-β2| <<β時(shí), 由于兩振子的共振頻率不同, 狄拉克錐簡(jiǎn)并退化并形成新的帶隙, 如圖15 (b)所示.

圖15

谷點(diǎn)(K或K′)附近的特征模態(tài)可由谷點(diǎn)處的特征模態(tài)線性組合近似表示. 參考第二節(jié)介紹的k?p微擾等效方法, 可以得到該局域共振型谷霍爾絕緣體的等效模型為

基于上述彈簧質(zhì)量離散模型, 可設(shè)計(jì)如圖16 (a)所示的實(shí)體微結(jié)構(gòu)模型(Zhang et al. 2020).將鋁板(銀白色部分,Eal= 70 GPa,ρa(bǔ)l= 2700 kg/m3,υal= 0.33)局部鏤空形成剛度弱化, 與附加鉛柱(黑色部分,El= 17 GPa,ρl= 11 300 kg/m3,υl= 0.33)一起構(gòu)成局域振子. 晶格常數(shù)為L(zhǎng)= 3 cm,鋁板厚度為h= 2 mm; 細(xì)梁的厚度和寬度分別為tb= 0.5 mm和hb= 1 mm; 鋁板上鏤空的圓孔半徑為R= 7.5 mm, 鉛柱的半徑為r= 3.5 mm. 單胞中兩個(gè)鉛柱的厚度分別記為h1和h2.

圖16

h1=h2= 2.0 mm時(shí)的頻散曲線如圖16 (b)所示, 顏色表征極化模式, 這里只關(guān)注顏色值接近于1的出平面極化振動(dòng). 可以看到, 在關(guān)注的頻率范圍內(nèi), 布里淵區(qū)角點(diǎn)K處存在兩處狄拉克簡(jiǎn)并. 根據(jù)先前彈簧質(zhì)量離散模型分析結(jié)果, 較高頻處的狄拉克簡(jiǎn)并(簡(jiǎn)并2)與不含局域振子的蜂窩點(diǎn)陣所具有的簡(jiǎn)并一致, 相應(yīng)的特征模態(tài)呈現(xiàn)布拉格散射特性. 另一個(gè)狄拉克簡(jiǎn)并(簡(jiǎn)并1)位于該模型的局域共振帶隙正下方, 其特征模態(tài)表現(xiàn)出明顯的局域共振特性, 表明該狄拉克簡(jiǎn)并的頻率位置主要由局域振子的共振頻率決定. 當(dāng)h1= 2.3 mm且h2= 1.7 mm時(shí), 該模型的頻散曲線如圖16 (c)所示. 由于單胞中兩個(gè)局域振子的共振頻率不同, 簡(jiǎn)并1退化產(chǎn)生帶隙(藍(lán)色區(qū)域). 同時(shí),圖16 (d)給出了該參數(shù)下模型的出平面等效密度. 可以看到, 在新產(chǎn)生的帶隙頻率范圍內(nèi), 等效密度要么為負(fù)值要么為較大的正值, 具有明顯的局域共振特點(diǎn).

為了證明在由狄拉克簡(jiǎn)并1退化而形成的局域共振帶隙范圍內(nèi)存在界面態(tài)傳播模式, 進(jìn)一步分析如圖17 (a)所示的包含16個(gè)單胞的條帶狀超胞的頻散特性. 該條帶狀超胞包含8個(gè)A型單胞和8個(gè)B型單胞, 其中,h1= 2.3 mm,h2= 1.7 mm. 相應(yīng)的頻散曲線如圖17 (b)所示,藍(lán)色色標(biāo)對(duì)應(yīng)出平面振動(dòng)模式. 在單胞的拓?fù)渚钟蚬舱駧斗秶鷥?nèi), 觀察到一條界面態(tài)傳播模式, 如綠色實(shí)線標(biāo)注所示.圖17 (c)給出了f= 2500 Hz時(shí)的特征模態(tài), 位移主要集中于靠近界面的局域振子上.

圖17

下面研究上述界面態(tài)傳播模式對(duì)拐角的免疫特性. 考慮如圖17 (d)~圖17 (f)所示的三種結(jié)構(gòu), 分別對(duì)應(yīng)不包含界面、“直線”形界面路徑、“Z”形界面路徑, 均包含16 × 16個(gè)單胞. 對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行頻域模擬, 四周施加低反射邊界, 并在界面路徑入口處施加頻率為2500 Hz的簡(jiǎn)諧激勵(lì), 如紅色波浪箭頭所示.圖17 (d)給出了不包含界面的結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng), 由于帶隙范圍內(nèi)不存在體態(tài)傳播模式, 位移在遠(yuǎn)離激勵(lì)源處迅速衰減. 對(duì)于含“直線”形界面路徑(圖17 (e))和“Z”形界面路徑(圖17 (f))的結(jié)構(gòu), 激發(fā)的彎曲波均可沿界面?zhèn)鞑? 特別地,圖17 (g)給出了圖17 (e)中藍(lán)色虛線上的振幅分布. 以界面處的振幅為參考, 振幅衰減為最大振幅的一半對(duì)應(yīng)的寬度(FWHM, 即半高寬)為1.16L(L為晶格常數(shù)), 表明位移在遠(yuǎn)離界面方向迅速衰減. 此外,圖17 (h)給出了三種結(jié)構(gòu)在2375 ~ 3000 Hz范圍的透射率. 可以看到, 在拓?fù)渚钟蚬舱駧斗秶鷥?nèi), “直線”形界面路徑和“Z”形界面路徑的透射率相當(dāng), 均遠(yuǎn)高于體態(tài)的傳輸率, 表明該界面態(tài)在一定程度上受拓?fù)浔Ｗo(hù).而在普通的局域共振帶隙范圍內(nèi), 除個(gè)別透射峰外, 三種結(jié)構(gòu)的透射率均非常低.

3.2 谷霍爾絕緣體實(shí)驗(yàn)

在彈性波谷霍爾絕緣體實(shí)驗(yàn)研究方面, 目前已有不少相關(guān)工作(Vila et al. 2017, Pal et al.2017, Gao et al. 2021). 這方面的多數(shù)研究是基于布拉格散射系統(tǒng), 即谷傳輸邊界態(tài)的頻率位置與晶格常數(shù)相關(guān). 為了突破該限制, Zhang等(2020)制備了局域共振型谷霍爾絕緣體, 并通過實(shí)驗(yàn)研究在局域共振帶隙中觀察到了谷傳輸界面態(tài)傳播現(xiàn)象. 此外, 針對(duì)當(dāng)前研究中一旦設(shè)計(jì)的拓?fù)洳牧现苽渫瓿? 材料中允許傳播的界面態(tài)路徑是固定不變的這個(gè)問題, Zhang等(2019a)還設(shè)計(jì)了一種可編程谷霍爾絕緣體, 實(shí)現(xiàn)了可重構(gòu)的界面態(tài)傳播路徑. 下面就這兩方面展開具體介紹.

3.2.1 局域共振型谷霍爾絕緣體實(shí)驗(yàn)研究

相關(guān)理論設(shè)計(jì)及數(shù)值研究部分在3.1小節(jié)已作介紹, 下面主要介紹相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究部分. 制備的局域共振型谷霍爾絕緣體如圖18所示, 材料參數(shù)以及微結(jié)構(gòu)幾何尺寸與圖16 (a)所示模型一致. 結(jié)構(gòu)中包含一條“Z”形界面路徑, 如圖18中紅色實(shí)線所示. 界面兩側(cè)的單胞互為鏡像, 如圖17 (a)所示. 激振器置于結(jié)構(gòu)背面, 探頭垂直固定于黑色圓點(diǎn)所示位置.

圖19 (a)給出了圖18中A點(diǎn)和B點(diǎn)處的頻響曲線. 其中, A點(diǎn)位于“Z”形界面路徑上, B點(diǎn)位于界面一側(cè)的材料體內(nèi). 可以觀察到兩個(gè)明顯的低透射區(qū)域, 用灰色和藍(lán)色矩形標(biāo)注如圖. 在灰色低透射區(qū)域內(nèi), A點(diǎn)和B點(diǎn)的透射率均非常低, 而在藍(lán)色低透射區(qū)域內(nèi), A點(diǎn)的透射率較B點(diǎn)提升了約20 dB. 這意味著在藍(lán)色區(qū)域頻率范圍內(nèi), 存在界面態(tài)傳播模式. 因此, 結(jié)合圖17 (h)中數(shù)值模擬給出的透射率曲線可以判定, 藍(lán)色區(qū)域?qū)?yīng)該局域共振型谷霍爾絕緣體的拓?fù)渚钟蚬舱駧? 而灰色區(qū)域?qū)?yīng)其平凡局域共振帶隙. 為了驗(yàn)證該結(jié)論, 利用掃描式激光多普勒測(cè)振儀記錄了結(jié)構(gòu)在三個(gè)代表性頻率下的均方根速度場(chǎng), 分別為1500 Hz(位于通帶范圍內(nèi))、2045 Hz(位于拓?fù)渚钟蚬舱駧斗秶鷥?nèi))、2500 Hz(位于平凡局域共振帶隙范圍內(nèi)). 可以發(fā)現(xiàn), 當(dāng)激勵(lì)頻率位于拓?fù)渚钟蚬舱駧斗秶鷥?nèi)時(shí)(圖19 (c)), 激發(fā)的彎曲波沿“Z”形界面?zhèn)鞑? 在遠(yuǎn)離界面方向迅速衰減. 而當(dāng)激勵(lì)頻率位于平凡局域共振帶隙范圍內(nèi)時(shí)(圖19 (d)), 位移集中于振源附近, 未觀察到傳播現(xiàn)象. 作為參考, 激勵(lì)頻率位于材料通帶范圍內(nèi)時(shí)(圖19 (b)), 能量分布于整個(gè)結(jié)構(gòu).

圖18

對(duì)比圖19 (a)中的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與圖17 (h)中的數(shù)值模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn), 實(shí)驗(yàn)測(cè)得的帶隙頻率明顯低于數(shù)值計(jì)算中的帶隙頻率. 該差異主要是由于材料制備造成的. 實(shí)驗(yàn)中, 基體鋁板與局域振子是分開加工, 然后再用膠水粘接一起的. 因此局域振子的剛度相對(duì)數(shù)值模型要小一些,導(dǎo)致帶隙位置向低頻偏移. 為了驗(yàn)證這一點(diǎn), 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 將數(shù)值模擬中微結(jié)構(gòu)梁的厚度tb(圖16 (a))調(diào)整為0.42 mm, 再次計(jì)算了圖17 (a)所示條帶狀超胞的帶結(jié)構(gòu), 如圖20所示. 可以看到, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示的帶隙位置與超胞體帶隙的位置吻合較好. 需要說明的是, 由于振子質(zhì)量不變而剛度降低, 空間反演對(duì)稱性破壞程度增強(qiáng), 導(dǎo)致拓?fù)浣缑鎽B(tài)(綠色實(shí)線)的帶寬減小.

圖19

圖20

3.2.2 通路可編程谷霍爾絕緣體實(shí)驗(yàn)研究

為實(shí)現(xiàn)可重構(gòu)的界面態(tài)傳播路徑, Zhang等(2019a)提出了一種可編程谷霍爾絕緣體, 其單胞由固體基體和液體夾雜(磁性流體)構(gòu)成. 通過設(shè)計(jì)的可編程磁場(chǎng)控制系統(tǒng), 可獨(dú)立地調(diào)節(jié)每個(gè)單胞中的磁流體分布, 從而改變結(jié)構(gòu)中拓?fù)浣缑鎽B(tài)傳播路徑.

設(shè)計(jì)的正六邊形蜂窩點(diǎn)陣如圖21所示, 其代表單胞含有兩個(gè)圓柱形空腔, 通過細(xì)小的拱形通道連通. 當(dāng)單胞不含磁流體時(shí), 根據(jù)3.1節(jié)介紹, 由于點(diǎn)陣材料同時(shí)滿足C3對(duì)稱性和空間反演對(duì)稱性, 其頻散曲線在K點(diǎn)處線性簡(jiǎn)并形成狄拉克錐, 如圖21 (a)所示. 需要說明的是, 這里僅關(guān)注出平面極化振動(dòng)模式, 即圖中藍(lán)色頻散分支. 當(dāng)單胞其中一個(gè)空腔充滿磁流體時(shí), 不對(duì)稱的質(zhì)量分布打破了點(diǎn)陣材料的空間反演對(duì)稱性. 相應(yīng)地, 藍(lán)色頻散分支上的狄拉克錐退化形成帶隙(圖21 (b)). 那么, 在該帶隙頻率范圍內(nèi), 受拓?fù)浔Ｗo(hù)的界面態(tài)可以沿著由具有相反質(zhì)量分布的點(diǎn)陣構(gòu)成的界面進(jìn)行傳播, 如圖21 (c)所示. 利用設(shè)計(jì)的可編程磁場(chǎng)控制系統(tǒng), 可獨(dú)立調(diào)節(jié)每個(gè)單胞中的磁流體分布(圖21 (d)), 進(jìn)而可根據(jù)實(shí)際需要重構(gòu)用于傳播拓?fù)浣缑鎽B(tài)的路徑形狀, 如圖21 (e)所示.

圖21

單胞幾何參數(shù)如圖21 (f)所示, 固體基體可由3D打印(打印機(jī): Object 350, Stratasys, USA;耗材: RGD810, VeroClear, Stratasys, USA)而成, 黑色部分為磁流體夾雜. 固體基體的模量和密度分別為E= 2 GPa和ρ=1200 kg/m3, 泊松比為0.4. 單胞的晶格常數(shù)為L(zhǎng)= 4.0 cm, 厚度為h=4.0 mm; 圓柱空腔的外半徑和壁厚分別為8.6 mm和0.7 mm; 單胞兩側(cè)三角棱柱的邊長(zhǎng)為l=1.866 cm, 單胞之間連接處的寬度為a=L? 2l.

為了驗(yàn)證在圖21 (b)中帶隙范圍內(nèi)存在界面態(tài)傳播模式, 進(jìn)一步研究由16個(gè)單胞組成的條帶狀超胞的頻散特性. 在COMSOL Multiphysics中建立如圖22 (a)所示的條帶狀超胞, 包含8個(gè)磁流體集中于左側(cè)空腔的單胞和8個(gè)磁流體集中于右側(cè)空腔的單胞. 這兩種類型單胞的連接處稱之為“界面”. 數(shù)值計(jì)算中, 該條帶狀超胞的上下兩端為自由邊界條件, 左右兩端為布洛赫周期性邊界條件. 得到的出平面極化振動(dòng)模式的頻散分支如圖22 (b)所示. 在體帶隙范圍內(nèi)(約1226 ~1441 Hz)出現(xiàn)一條界面態(tài)頻散分支, 如藍(lán)色點(diǎn)線所示.圖22 (c)給出了該超胞在1234 Hz下的特征模態(tài), 位移集中分布于條帶狀超胞的界面處而在遠(yuǎn)離界面的方向迅速衰減, 呈現(xiàn)界面態(tài)特征.

圖22

進(jìn)一步, 對(duì)該含液體夾雜的可編程谷霍爾絕緣體的界面態(tài)傳播進(jìn)行了頻域模擬.圖22 (d)(e) (f)分別給出了16 × 16的有限尺寸結(jié)構(gòu)在直線界面路徑、“L”形界面路徑、“Z”形界面路徑下的穩(wěn)態(tài)位移場(chǎng). 模擬中, 結(jié)構(gòu)四周施加低反射邊界條件, 界面路徑中間(藍(lán)色圓點(diǎn)所示)施加頻率為1234 Hz的簡(jiǎn)諧激勵(lì). 可以發(fā)現(xiàn), 在不同界面路徑形狀下, 激發(fā)的彎曲波均沿著界面路徑傳播.

3D打印制備的包含16 × 16個(gè)單胞的測(cè)試樣件如圖23 (a)所示. 可以看到, 界面兩側(cè)單胞中的磁流體分布狀態(tài)相反. 實(shí)驗(yàn)測(cè)得的直線形界面路徑構(gòu)型在1450 Hz下的出面位移場(chǎng)如圖23 (b)所示, 激發(fā)的彎曲波只沿著界面進(jìn)行傳播, 在垂直界面的方向迅速衰減. 利用設(shè)計(jì)的可編程磁場(chǎng)控制系統(tǒng)(圖24), 通過轉(zhuǎn)移單胞中的磁流體, 可重構(gòu)結(jié)構(gòu)中界面態(tài)路徑的形狀.圖23 (c)和23(d)給出了“L”形界面路徑構(gòu)型和“Z”形界面路徑構(gòu)型的出面位移場(chǎng), 彎曲波沿著新形成的界面路徑傳播, 并且可很好地繞過拐角. 需要說明的是, 實(shí)驗(yàn)中觀察到的界面態(tài)頻率與數(shù)值模擬中的頻率有一定差異, 這主要由于3D打印結(jié)構(gòu)的幾何尺寸與數(shù)值中的理想模型有偏差造成的. 此外, 實(shí)驗(yàn)測(cè)試樣件是分塊打印再用膠水粘接在一起的, 空腔的密封也使用了膠水, 這對(duì)整體材料屬性也有一定的影響.

圖23

圖24

綜上所述, 設(shè)計(jì)谷霍爾絕緣體的關(guān)鍵步驟是首先得到狄拉克錐簡(jiǎn)并系統(tǒng), 然后通過降低對(duì)稱性打破簡(jiǎn)并實(shí)現(xiàn)谷霍爾拓?fù)湎? 代表性的設(shè)計(jì)方案是基于蜂窩或三角晶格系統(tǒng)在布里淵區(qū)角點(diǎn)的狄拉克錐, 利用鏡像或反演對(duì)稱破卻設(shè)計(jì)出谷霍爾絕緣體(Pal et al. 2017, Liu et al. 2018). 彈性波谷霍爾絕緣體實(shí)驗(yàn)研究已比較成熟, 如Zhu等(2018)、Vila等(2017)都在蜂窩點(diǎn)陣板系統(tǒng)中驗(yàn)證了谷霍爾效應(yīng), 其中Vila等(2017)在蜂窩晶格其中一個(gè)格點(diǎn)附加額外的磁鐵, 類似第3.1小節(jié)中兩個(gè)格點(diǎn)具有不同質(zhì)量. Gao等(2021)則設(shè)計(jì)了基于三角排布散射體的谷霍爾絕緣體, 并驗(yàn)證了界面態(tài)的拓?fù)浔Ｗo(hù)特性. 由于線彈性理論的線性縮放特性, Yan et al.等(2018)設(shè)計(jì)了微納米尺度的谷霍爾絕緣體, 并研究了不同界面夾角對(duì)彈性波束分波的效果.

4 陳絕緣體研究進(jìn)展

4.1 陳絕緣體設(shè)計(jì)

前一節(jié)通過調(diào)節(jié)蜂窩質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的質(zhì)量參數(shù), 打破反演對(duì)稱性已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了谷霍爾絕緣體,本小節(jié)將在相同的系統(tǒng)中設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)陳絕緣體. 在之前背景中已經(jīng)介紹, 實(shí)現(xiàn)陳絕緣體需要打破系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性. 外加磁場(chǎng)常用于打破電子系統(tǒng)或電磁系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性, 然而, 彈性波、聲波等機(jī)械波與磁場(chǎng)幾乎不耦合, 無法通過磁場(chǎng)打破時(shí)間反演對(duì)稱. 針對(duì)這里的質(zhì)量彈簧振動(dòng)系統(tǒng), 將通過科里奧利力(簡(jiǎn)稱科氏力)打破時(shí)間反演對(duì)稱性(Wang et al. 2015b, Chen et al.2019), 具體做法可將系統(tǒng)置于旋轉(zhuǎn)基座.

將之前的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)置于旋轉(zhuǎn)基座上(圖25), 在與旋轉(zhuǎn)基座固定的坐標(biāo)系下分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 在此非慣性坐標(biāo)系中, 運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)受到虛擬的科氏力Fcori= ? 2Ω× (mv)以及離心力Fcent=m|Ω|2r, 其中v和r分別為質(zhì)點(diǎn)的速度與位置矢量. 假定旋轉(zhuǎn)基座角速度較小, 則質(zhì)點(diǎn)受到的科氏力占主導(dǎo), 離心力可以忽略不計(jì). 在頻率為ω的簡(jiǎn)諧振動(dòng)情況下, 科氏力等價(jià)為Fcori= ? 2?×(mv) = 2i?× (ma/ω),a代表質(zhì)點(diǎn)的加速度. 通過列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以發(fā)現(xiàn), 該科氏力可以通過將系統(tǒng)的質(zhì)量等效為厄爾米特形式加以考慮, 單胞內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量等效為mp(I +γσy),mq(I +γσy), 其中因子γ= 2Ω/ω表示耦合強(qiáng)度.

圖25

考慮單胞內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相等mp=mq=m0且科氏力效應(yīng)較弱γ<< 1的系統(tǒng), 根據(jù)之前微擾等效模型建立方法, 以簡(jiǎn)并系統(tǒng)在K′ (K)的特征態(tài){u1(K′),u2(K′)}({u1(K),u2(K)})為基, 可以得到與式(21)完全相同的等效模型

注意到, 由于科氏力打破了時(shí)間反演對(duì)稱,K′ (K)谷點(diǎn)的等效模型中等效質(zhì)量m互為相反數(shù). 且在旋轉(zhuǎn)角速度Ω不為零時(shí), 系統(tǒng)存在寬度為m的禁帶. 類似之前, 可以計(jì)算得到低頻分支對(duì)應(yīng)的貝里曲率

此時(shí), 兩個(gè)谷K和K′攜帶相同的貝里曲率. 將貝里曲率在整個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)積分, 可以得到陳數(shù),也即是貝里曲率在兩個(gè)谷附近積分的和

當(dāng)旋轉(zhuǎn)基座的角速度不為零時(shí), 系統(tǒng)的陳數(shù)就不為零, 表明系統(tǒng)構(gòu)成陳絕緣體. 此時(shí), 系統(tǒng)允許單向傳播的界面態(tài), 可以按照之前的解析方法驗(yàn)證. 考慮類似圖11 (a)中陳絕緣體組成的界面(x′ <0,m< 0;x′ > 0,m> 0), 假定兩側(cè)結(jié)構(gòu)在y′方向具有周期性后, 可得到界面態(tài)

從色散關(guān)系可以看出, 由K′ (K)谷態(tài)組成的界面態(tài)均沿+y′方向傳播, 意味著界面態(tài)僅沿單向傳播. 同理可以驗(yàn)證, 兩種拓?fù)湎嘟粨Q位置后(x′ < 0,m> 0;x′ > 0,m< 0), 界面態(tài)沿相反方向傳播.這種現(xiàn)象可以在物理上理解為, 旋轉(zhuǎn)基座的引入打破了系統(tǒng)在上下的對(duì)稱性, 使得界面波只能沿某一方向傳播.

對(duì)于最一般的系統(tǒng), 即單胞內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量不等且存在科氏力時(shí), 同樣以簡(jiǎn)并系統(tǒng)在K′(K)的特征態(tài){u1(K′),u2(K′)}({u1(K),u2(K)})為基, 亦可以得到與(21)完全相同的等效模型

當(dāng)時(shí)間反演對(duì)稱性及空間反演對(duì)稱性同時(shí)被打破的時(shí)候, 根據(jù)兩種對(duì)稱性的破壞程度, 即旋轉(zhuǎn)基座角速度大小和胞元內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量差, 系統(tǒng)可以處于四種不同的拓?fù)湎?圖26 (a)), 其中兩種為谷霍爾絕緣體, 另兩種為陳絕緣體. 括號(hào)內(nèi)數(shù)值為貝里曲率在谷點(diǎn)K′和K的積分, 陳數(shù)為兩個(gè)數(shù)值之和. 參數(shù)處于A ~ D四個(gè)區(qū)域內(nèi)部時(shí), 系統(tǒng)為包含完全禁帶的谷霍爾絕緣體或陳絕緣體. 當(dāng)參數(shù)處于四個(gè)區(qū)域的邊界時(shí), 系統(tǒng)沒有完全禁帶, 不屬于絕緣體. 此時(shí), 第2、第3支色散曲面僅在谷點(diǎn)K′或K打開帶隙, 在另一個(gè)谷點(diǎn)則仍保持簡(jiǎn)并, 如圖26 (b)中給出的帶結(jié)構(gòu)曲線情況, 其中參數(shù)為mp= 0.95,mq= 1.05和Ω= ?ω0/40. 這種現(xiàn)象源于旋轉(zhuǎn)基座打破了系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性, 對(duì)由質(zhì)量差在K和K′引起的禁帶產(chǎn)生相反的影響,K點(diǎn)附近的禁帶由于旋轉(zhuǎn)而拓寬了,K′附近的禁帶則由于旋轉(zhuǎn)而減弱.

圖26

為了驗(yàn)證不同拓?fù)湎嗟耐負(fù)浣缑鎽B(tài),圖27 (a)~圖27 (f)給出了以上4種拓?fù)湎?A:mp= 0.9,mq=1.1,Ω= 0; B:mp= 1.1,mq= 0.9,Ω= 0; C:mp= 1.0 =mq,Ω= ? 0.05ω0; D:mp= 1.0 =mq,Ω= +0.05ω0)組成的6種鋸齒界面對(duì)應(yīng)帶結(jié)構(gòu). 帶結(jié)構(gòu)通過求解圖12 (a)中所示條狀超胞波動(dòng)方程得出, 其中上下邊界施加有布洛赫連續(xù)性條件. 帶結(jié)構(gòu)中的藍(lán)色曲線代表界面態(tài)色散曲線, 對(duì)于陳絕緣體C/D組成的界面, 可以看到兩條界面態(tài)色散曲線, 而其它拓?fù)湎鄻?gòu)成的界面僅有一條界面態(tài)色散曲線. 在傳播方向上, 谷霍爾絕緣體A/B組成的界面支持雙向傳播的界面態(tài), 而在包含陳絕緣體的界面僅支持單向傳播界面態(tài)(圖27 (b)~圖27 (f)). 需要指出的是, 由于自由空間可以看作平凡的絕緣體, 因此在陳絕緣體的邊界也存在相應(yīng)的邊界態(tài). 為了帶結(jié)構(gòu)曲線更加簡(jiǎn)潔, 以上圖中并沒有畫出邊界態(tài)對(duì)應(yīng)的色散曲線.

圖27

圖28給出了彈性波在以上幾種拓?fù)湎嘟M成的界面?zhèn)鞑ツM結(jié)果, 紅色表示面內(nèi)位移振幅大,虛線表示界面位置, 虛線內(nèi)外為兩種不同的拓?fù)湎? 為驗(yàn)證界面態(tài)的拓?fù)浔Ｗo(hù)特性, 該界面特別包含了如110o和80o的劇烈轉(zhuǎn)角. 在谷霍爾相A/B組成的界面, 彈性波可以沿著雙向傳播, 而在包含陳絕緣體的界面(圖28 (b)~圖28 (f)), 彈性波只能沿著單向傳播. 數(shù)值模擬結(jié)果與之前的解析結(jié)果和帶結(jié)構(gòu)計(jì)算吻合, 而且證實(shí)了彈性波可以沿著任意界面完美傳播, 而不會(huì)因界面拐角產(chǎn)生明顯的后向反射或散射.

圖28

4.2 連續(xù)介質(zhì)邊界態(tài)

以上單向拓?fù)浣缑鎽B(tài)基于周期晶格材料, 其拓?fù)洳▊鞑ヌ匦苑治鲆阅軒Ю碚摓榛A(chǔ). 而常規(guī)固體力學(xué)的研究則主要以柯西連續(xù)介質(zhì)理論為框架. 若能通過連續(xù)介質(zhì)理論對(duì)拓?fù)鋫鞑ヌ匦赃M(jìn)行刻畫, 并揭示材料等效參數(shù)對(duì)波動(dòng)的影響, 對(duì)于拓?fù)洳牧系脑O(shè)計(jì)與優(yōu)化將是非常有益的. 為了在經(jīng)典柯西彈性理論中刻畫單向傳輸界面態(tài), 則必然需要對(duì)彈性理論進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣? 引入相關(guān)的額外等效材料參數(shù). 一種方式是將密度等效為Hermitian形式, 即ρ= {ρ, iα; ?iα,ρ}, 物理上可將旋轉(zhuǎn)陀螺嵌入彈性體來實(shí)現(xiàn)(圖29). 下面將闡釋, 此時(shí)材料界面波動(dòng)性質(zhì)可從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)角度去研究, 且在特定參數(shù)情況下也能出現(xiàn)單向界面態(tài).

首先, 考慮如圖29所示的復(fù)合材料. 基體為彈性固體, 夾雜為剛體, 其內(nèi)部耦合一個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng). 剛體在運(yùn)動(dòng)過程中與轉(zhuǎn)子發(fā)生相互作用, 產(chǎn)生耦合作用力. 轉(zhuǎn)子對(duì)剛體的作用力可以等效為剛體具有手性慣性質(zhì)量的陀螺力. 為了進(jìn)一步量化手性慣性質(zhì)量的大小(記為常數(shù)α), 下面以陀螺轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象, 推導(dǎo)該常數(shù)與已知給定物理量的關(guān)系. 首先建立如圖29 (c)所示的直角坐標(biāo)系Oxyz, 其中ψ,φ, 和θ分別代表相對(duì)于轉(zhuǎn)子主軸的自旋角, 進(jìn)動(dòng)角和章動(dòng)角. 忽略重力作用, 轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為

圖29

Mx,My,Mz分別為沿x軸,y軸和z軸的扭矩.I0=Ixx=Iyy,I=Izz代表轉(zhuǎn)子沿對(duì)應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.考慮小幅簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)情形, 章動(dòng)角θ(t) =Θexp(iωt), 且|Θ| << 1. 假設(shè)進(jìn)動(dòng)角速度不變且轉(zhuǎn)子沒有受到沿x軸和y軸的扭矩, 即Mx=My= 0, 即轉(zhuǎn)子和點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)僅發(fā)生面內(nèi)耦合. 可以推導(dǎo)得到(Brun et al. 2012)

上式表明, 進(jìn)動(dòng)角速率和頻率大小相等, 且自轉(zhuǎn)速率和頻率滿足以上關(guān)系. 將上式代入式(41)可得

設(shè)轉(zhuǎn)子的特征長(zhǎng)度為h, 則轉(zhuǎn)子頂端偏離z軸的位移和轉(zhuǎn)子章動(dòng)角之間滿足U=hθ. 那么, 轉(zhuǎn)子所受扭矩可表示為Mz=fhθ. 其中f為“陀螺力”, 方向垂直于時(shí)諧位移, 大小為虛數(shù)i表明陀螺力相對(duì)時(shí)諧位移有一個(gè)固定的相位差. 陀螺力的符號(hào)和轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)方向有關(guān), 當(dāng)自轉(zhuǎn)方向變化時(shí), 對(duì)應(yīng)的符號(hào)也會(huì)改變. 這里可以記自旋常數(shù)為α=Ih?2. 由牛頓第三定律可知, 轉(zhuǎn)子對(duì)點(diǎn)陣的反作用力為fg= ±iω2αU, 其對(duì)應(yīng)的矩陣表達(dá)式為

那么, 夾雜在運(yùn)動(dòng)過程中的平衡方程為fext+fgyro= ?mω2U,fext為彈性基體產(chǎn)生的外力

由此可知, 陀螺轉(zhuǎn)子的作用相當(dāng)于使得節(jié)點(diǎn)質(zhì)量具有了陀螺慣性. 當(dāng)節(jié)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí), 轉(zhuǎn)子會(huì)耦合產(chǎn)生手性的陀螺力, 使得節(jié)點(diǎn)在平面內(nèi)的振動(dòng)由線偏振變?yōu)闄E圓偏振. 此時(shí), 由于系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性被打破, 從而可以實(shí)現(xiàn)多種奇特的物理現(xiàn)象.

在長(zhǎng)波極限下對(duì)陀螺復(fù)合材料進(jìn)行均質(zhì)化等效后, 可以從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)角度來分析邊界態(tài)的特性. 對(duì)于一般的各向異性彈性介質(zhì), Stroh理論是求解瑞利波的經(jīng)典方法(Stroh 1962). 當(dāng)引入陀螺介質(zhì)以后, 密度由標(biāo)量變成了張量, 需要將Stroh理論進(jìn)行適當(dāng)推廣, 才能給出彈性陀螺介質(zhì)的非互易瑞利波解. 將等效陀螺介質(zhì)的密度考慮為Hermitian形式, 即ρ= {ρ, iα; ?iα,ρ}, 則彈性陀螺介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方程為

對(duì)于半無限大空間, 陀螺介質(zhì)位移場(chǎng)的一般表達(dá)式為

其中, 矢量m和n分別為表面切向和表面法向, 矢量x為空間位置. 當(dāng)參數(shù)p的虛部為正值時(shí), 表明波在傳播過程中沿法向衰減. 在表面沿m方向傳播的表面波波數(shù)為ξ, 相速度為v, 極化矢量為a. 極化矢量可以為復(fù)數(shù), 代表模態(tài)軌跡為橢圓. 首先, 將式(47)代入式(46)可得關(guān)于p的廣義特征方程

對(duì)于自由表面n?x= 0, 將位移(47)代入表面力矢量t= (C:?u)?n可得

其中,l為表面力矢量幅值. 將式(48)和式(49)進(jìn)行線性變換可得關(guān)于p的特征方程, 稱之為Stroh特征方程

其中,p為特征值, [al]T為特征矢量,N為4 × 4的Stroh特征矩陣. 求解該特征方程可得到兩對(duì)共軛特征值角標(biāo)“+” 、 “?”代表了p的虛部符號(hào)同時(shí)也代表了表面波傳播方向. 對(duì)應(yīng)的特征分量分別為因此, 表面波的位移解可以顯式給出, 沿m正方向的表面波解為

這里v> 0, 并且ξ=ω/v> 0. 沿m負(fù)方向的表面波解為

這里v< 0, 并且ξ=ω/v< 0. 相應(yīng)的表面力為

當(dāng)α= 0時(shí),N為實(shí)數(shù)矩陣, 對(duì)應(yīng)的特征矢量為共軛對(duì), 即為共軛特征分量. 這種共軛特性決定了前向波和后向波是鏡像對(duì)稱的, 且具有相同的相速度. 當(dāng)α≠ 0時(shí),N為復(fù)數(shù)矩陣,不再是共軛對(duì), 由式(54)得到沿兩個(gè)方向的表面波波速出現(xiàn)差異, 甚至隨著α的增加, 表面波僅支持單向傳輸(Zhao et al. 2020).

作為驗(yàn)證,圖30給出了不同強(qiáng)度陀螺參數(shù)時(shí)表面波傳播模擬結(jié)果, 激勵(lì)形式為上下振動(dòng)點(diǎn)激勵(lì). 在無陀螺效應(yīng)時(shí)α/ρ= 0, 表面波在左右對(duì)稱分布, 在向右傳播的瑞利波中質(zhì)點(diǎn)沿橢圓軌跡逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn), 反之則順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn). 在陀螺參數(shù)α/ρ= 0.5時(shí), 自由體表面左右傳播的瑞利波不再對(duì)稱, 向右的瑞利波速度更快, 同時(shí), 其橢圓形軌跡在x方向更寬. 當(dāng)參數(shù)α為α/ρ=1.5和3.0時(shí), 向左傳播的瑞利波速進(jìn)一步下降, 質(zhì)點(diǎn)極化越發(fā)趨近于線極化剪切波模式, 而介質(zhì)表面不支持像右傳播的瑞利波.

圖30

綜上所述, 由于陳絕緣體需要打破時(shí)間反演對(duì)稱性, 其在物理實(shí)現(xiàn)上比較困難, 潛在途徑主要為以上介紹的兩種: (1)引入旋轉(zhuǎn)陀螺與系統(tǒng)耦合; (2)利用非慣性系中的科里奧利力. 兩種方案在理論和數(shù)值上都得到了驗(yàn)證(Wang et al. 2015a, 2015b; Chen et al. 2018b, 2019). 在實(shí)驗(yàn)方面,Nash等(2015)設(shè)計(jì)了包含陀螺效應(yīng)的離散質(zhì)量彈簧點(diǎn)陣系統(tǒng), 演示了霍爾絕緣體具有的單向傳輸邊界態(tài)特性, 并且發(fā)現(xiàn)通過改變點(diǎn)陣構(gòu)型可以調(diào)控單向態(tài)傳輸方向. 在連續(xù)系統(tǒng)中的實(shí)驗(yàn)研究還未見報(bào)道.

5 自旋霍爾絕緣體研究進(jìn)展

5.1 自旋霍爾絕緣體設(shè)計(jì)

本小節(jié)將介紹如何在2.2小節(jié)蜂窩系統(tǒng)中設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)自旋霍爾絕緣體. 在經(jīng)典波系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)類似的自旋霍爾效應(yīng), 關(guān)鍵在于構(gòu)造贗自旋態(tài)以及相應(yīng)的雙重狄拉克錐簡(jiǎn)并. 在此, 利用Wu等(2015, 2016)首先提出的超胞方法, 來設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)彈性波自旋霍爾絕緣體. 下面以前面的蜂窩彈性系統(tǒng)為例, 介紹該方法基本設(shè)計(jì)機(jī)理.

如圖31 (a)所示, 在所有質(zhì)量均相等(m0= 1)的蜂窩點(diǎn)陣系統(tǒng), 圖中六邊形所示區(qū)域即為一個(gè)胞元, 其中質(zhì)點(diǎn)按照順時(shí)針方向從1編號(hào)到6. 同一個(gè)胞元之間的質(zhì)點(diǎn)由剛度為ti的彈簧連接,而連接不同胞元間的質(zhì)點(diǎn)的彈簧剛度系數(shù)則為to, 分別用于調(diào)節(jié)胞內(nèi)耦合(intra-cell coupling)、胞間耦合強(qiáng)度(inter-cell coupling). 第一布里淵區(qū)如圖31 (b)中灰色六邊形區(qū)域所示. 當(dāng)胞元內(nèi)彈簧和胞元間彈簧剛度相等時(shí)ti=to, 最小單胞為圖31 (a)中的菱形區(qū)域所示, 其對(duì)應(yīng)的第一布里淵區(qū)應(yīng)如圖31 (b)中綠色六邊形. 在這種情形下, 布里淵區(qū)角點(diǎn)K′和K′′出現(xiàn)簡(jiǎn)并頻率相等的兩個(gè)狄拉克錐. 考慮到ΓK′和ΓK′′為圖31 (a)中六邊形胞元對(duì)應(yīng)的倒格矢量, 則布里淵區(qū)角點(diǎn)K′和K′′處的兩個(gè)狄拉克錐被折疊到Γ形成雙重狄拉克錐, 這為構(gòu)造贗自旋態(tài)提供了基礎(chǔ).

圖31

下面對(duì)系統(tǒng)的波動(dòng)規(guī)律進(jìn)行分析. 一個(gè)單胞包含6個(gè)質(zhì)點(diǎn), 對(duì)應(yīng)有12個(gè)平動(dòng)自由度. 按照第2節(jié)中的方法建立系統(tǒng)布洛赫波傳播方程, 可以得到一個(gè)12維矩陣表示的特征值問題. 由于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣非常繁瑣, 這里就不詳細(xì)列出. 該特征值問題一共可以求解出12支色散曲線,但此處主要關(guān)注在Γ處簡(jiǎn)并的幾條色散曲線. 對(duì)于彈簧剛度系數(shù)不相等的一般情況ti≠to, 第5到8支色散曲線在Γ處兩兩簡(jiǎn)并在一起, 而當(dāng)剛度相等ti=to=t時(shí)則形成雙重狄拉克錐簡(jiǎn)并, 對(duì)應(yīng)的特征模態(tài)及頻率給出如下

以上四個(gè)特征模態(tài)p1,p2,d1,d2按照質(zhì)點(diǎn)編號(hào)1到6的順序依次給出x方向和y方向的位移. 注意到各質(zhì)點(diǎn)的位移分量均為實(shí)數(shù), 其對(duì)應(yīng)的振動(dòng)形式為質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過其平衡位置做線極化振動(dòng)(圖31 (c)).p模態(tài)場(chǎng)在空間反演操作下呈現(xiàn)反對(duì)稱, 而d模態(tài)場(chǎng)在空間反演操作下對(duì)稱. 這種對(duì)稱性正好與原子p和d軌道波函數(shù)對(duì)稱性類似, 因此取名為p和d特征模態(tài).p/d特征模態(tài)的對(duì)稱性及簡(jiǎn)并特征本質(zhì)上源于系統(tǒng)特定的對(duì)稱性, 即C6v對(duì)稱群, 該點(diǎn)群正好包含兩個(gè)不可約的二維表示. 雖然以上質(zhì)量彈簧系統(tǒng)并不包含內(nèi)秉自旋自由度, 但根據(jù)以上求解的特征模態(tài)及系統(tǒng)具有的對(duì)稱性, 可以構(gòu)造贗自旋及對(duì)應(yīng)的反演算符(Wu et al. 2015)

這里, 符號(hào)+/-用于表示上/下自旋(pseudo spin-up/spin-down),K代表復(fù)共軛算符. 對(duì)于由p模態(tài)構(gòu)成的上/下自旋態(tài), 胞元內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)均逆時(shí)針/順時(shí)針繞其平衡位置做圓極化振動(dòng); 而由d模態(tài)構(gòu)成的上/下自旋態(tài)中質(zhì)點(diǎn)的圓極化振動(dòng)方向正好相反. 可以容易地驗(yàn)證, 當(dāng)贗時(shí)間反演算符作用于構(gòu)造的贗自旋態(tài)時(shí), 自旋方向發(fā)生改變同時(shí)出現(xiàn)180o的相位變化, 這一點(diǎn)和時(shí)間反演算符作用于電子自旋自由度的效果一致.

對(duì)于剛度系數(shù)差異較小的情況, |ti?to| << 1, 采用之前推導(dǎo)微擾等效模型的方法, 以上述四個(gè)自旋態(tài){p+,d+,p?,d?}作為基, 可以得到系統(tǒng)在Γ的等效哈密頓量

其中,h+(k)/h?(k)代表與上/下自旋對(duì)應(yīng)的哈密頓量,ψ為由上下自旋表示的特征向量. 參數(shù)δt,B和A分別稱為狄拉克質(zhì)量, 自旋軌道耦合系數(shù)及狄拉克速度. 注意到上下自旋相互解耦, 可以根據(jù)h+(k)ψ+= Δωψ+和h?(k)ψ?= Δωψ?分別求解出相應(yīng)特征模態(tài), 進(jìn)而得到一對(duì)二重簡(jiǎn)并解

高頻分支和低頻分支各自由上自旋和下自旋兩個(gè)解構(gòu)成, 記作為ψ+/ψ-, 其展開基為{p+,d+}/{p?,d?}. 高低頻分支間的帶隙大小為|2δt|, 當(dāng)剛度相等ti=to時(shí)帶隙關(guān)閉. 按照之前慣例, 這里同樣關(guān)注低頻分支, 根據(jù)上/下自旋態(tài)解式(61), 可以求解得到對(duì)應(yīng)的貝里曲率

上/下自旋對(duì)應(yīng)特征模態(tài)具有相反的貝里曲率. 按照定義, 將自旋態(tài)的貝里曲率在布里淵區(qū)積分,可以得到各自旋分支的自旋陳數(shù)

系統(tǒng)的陳數(shù)等于上下自旋陳數(shù)相加, 仍然為零, 這和系統(tǒng)滿足時(shí)間反演對(duì)稱性一致. 但自旋陳數(shù)本身卻可以不為零, 表明系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)自旋霍爾絕緣體. 當(dāng)參數(shù)B和δt的正負(fù)符號(hào)相同時(shí), 即B×δt> 0, 系統(tǒng)為自旋霍爾絕緣體, 反之則為平凡絕緣體. 注意參數(shù)B始終為正, 則當(dāng)剛度參數(shù)跨越臨界點(diǎn)ti=to時(shí), 系統(tǒng)將產(chǎn)生拓?fù)湎嘧? 當(dāng)胞元間彈簧的剛度較大時(shí), 滿足B× δt> 0, 上述蜂窩質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為自旋霍爾絕緣體.

上述自旋霍爾相變也可以由帶結(jié)構(gòu)反映.圖32給出了三種參數(shù)情形下系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)(ti= 1.05 >to= 0.90;ti= 1.0 =to;ti= 0.95 to變化到ti

圖32

為了驗(yàn)證自旋方向依賴的界面態(tài), 同樣考慮平凡絕緣體和自旋霍爾絕緣體構(gòu)成的界面, 并解析求解相應(yīng)的界面態(tài), 假定界面構(gòu)成類似之前圖11(x′ < 0, δt< 0;x′ > 0, δt> 0). 為了簡(jiǎn)化分析, 僅保留微擾等效模型式(58)中的一階近似項(xiàng), 忽略二次項(xiàng), 即不考慮自旋軌道耦合效應(yīng), 這在波矢足夠小|k| << 1時(shí)有效. 完全按照先前的分析, 通過連續(xù)條件可以得到上/下自旋對(duì)應(yīng)界面態(tài)(Shen 2017),

界面態(tài)ψ+由上自旋態(tài)p+和d+態(tài)構(gòu)成, 界面態(tài)ψ?則由下自旋態(tài)p?和d?態(tài)構(gòu)成. 兩個(gè)自旋相關(guān)的界面態(tài)具有線性色散關(guān)系, 其相速度均為A, 但傳播方向相反. 因此, 通過施加下(上)自旋激勵(lì), 可以選擇性地激發(fā)出只沿著界面向上或向下傳播的界面波, 稱為自旋鎖定界面態(tài). 當(dāng)左右交換自旋霍爾絕緣體和平凡絕緣體的位置后, 相應(yīng)界面態(tài)的傳播方向反向.

通過條狀幾何超胞帶結(jié)構(gòu)計(jì)算, 也可以驗(yàn)證上述自旋鎖定的界面態(tài).圖33 (a)給出了由左側(cè)自旋霍爾絕緣體(to= 1.10,ti= 0.95)和右側(cè)平凡絕緣體(to= 0.90,ti= 1.05)組成的條狀超胞, 界面沿y方向, 相當(dāng)于圖11中的θ= 0o界面方向.圖33 (b)給出了計(jì)算得到的帶結(jié)構(gòu)曲線. 在帶隙區(qū)域, 可以清楚地看到兩條斜率相反的界面態(tài), 其對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)如圖33 (c)所示, 僅界面附近的質(zhì)點(diǎn)有較強(qiáng)振動(dòng).圖33 (d)(e)給出了界面附近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡示意圖. 按照式(64)預(yù)期, 對(duì)于θ= 0o方向的界面, 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)為線性極化, 這里質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)軌跡非常接近于線極化.

圖33

通過人為的施加上/下自旋激勵(lì), 可以產(chǎn)生單向傳播的彈性波, 瞬態(tài)數(shù)值模擬結(jié)果如圖34所示. 其中自旋霍爾絕緣體(to= 1.10,ti= 0.95,m0= 1)與平凡絕緣體(to= 0.90,ti= 1.05,m0=1)組成與之前類似的復(fù)雜彎曲界面. 在數(shù)值模擬中, 激勵(lì)源處胞元內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的激振位移按照自旋模態(tài)p+或p?施加, 并由時(shí)域高斯脈沖信號(hào)exp(?(ω0t/80)2) × cos(ω0t)調(diào)制, 且激勵(lì)中心頻率ω0=2π/T0處于帶隙范圍. 在上自旋激勵(lì)中(圖34 (a)(b)), 1到6號(hào)質(zhì)點(diǎn)順時(shí)針圍繞平衡位置作圓極化振動(dòng), 振動(dòng)幅值相同相位依次相差120o, 激發(fā)產(chǎn)生的彈性波只能沿著界面順時(shí)針方向傳播, 而且完美繞過界面拐角而不產(chǎn)生散射或反射. 當(dāng)采用下自旋模態(tài)激勵(lì)時(shí), 界面態(tài)將沿反方向傳播(圖34 (c)(d)).

圖34

需要指出的是, 以上自旋鎖定的界面態(tài)出現(xiàn)在自旋霍爾絕緣體與平凡絕緣體組成的界面. 如電子自旋霍爾絕緣體一樣, 這里的彈性波自旋霍爾絕緣體也支持自旋鎖定的邊界態(tài), 但其魯棒性不如具有內(nèi)秉自旋的電子自旋霍爾絕緣體. 本質(zhì)原因在于贗自旋態(tài)由超胞的布洛赫模態(tài)構(gòu)建, 與超胞的C6v對(duì)稱性密切相關(guān), 破壞C6v對(duì)稱性會(huì)破壞贗自旋態(tài). 為了在自旋霍爾絕緣體邊界觀測(cè)到自旋鎖定的邊界態(tài), 需要邊界處胞元保持局部C6v對(duì)稱性, 否則將無法觀測(cè)到自旋邊界態(tài). 如圖35 (b)所示, 當(dāng)邊界按照完整胞元截?cái)鄷r(shí)(圖35 (a)), 帶結(jié)構(gòu)曲線中出現(xiàn)無能隙的邊界態(tài), 而當(dāng)邊界截取為不完整胞元時(shí)(圖35 (c)), 邊界不支持傳播模態(tài)(圖35 (d)).

圖35

以上單向波傳播現(xiàn)象來自于構(gòu)造的贗自旋態(tài). 實(shí)際上, 經(jīng)典彈性波中也存在類似的自旋霍爾自由度. 例如, 彈性體自由表面的瑞利波, 其質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡一般為橢圓 (圖30), 表明瑞利波攜帶有內(nèi)在的自旋(Long et al. 2018), 且沿界面向左右傳播的瑞利波質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向相反(圖36 (a)). 在彈性體界面施加圓極化的的振動(dòng), 可以產(chǎn)生類似的自旋鎖定傳播現(xiàn)象(圖36 (b)). 需要注意的是,瑞利波攜帶的自旋來源于物理場(chǎng)本身, 容易發(fā)生散射, 對(duì)缺陷和路徑彎曲的魯棒性較差.

圖36

壓電等主動(dòng)控制技術(shù)常被用在彈性波傳播控制中, 但與拓?fù)洳▌?dòng)結(jié)合的研究不多. 相較于基于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)狄拉克簡(jiǎn)并, Li等(2020)給出了一種利用壓電主動(dòng)控制實(shí)現(xiàn)雙重狄拉克錐的方法.圖37是其設(shè)計(jì)的六邊形蜂窩單胞, 角上覆蓋有壓電片, 可與包含負(fù)電容的電路連接. 在壓電電路斷開時(shí), 系統(tǒng)在2200Hz左右形成兩條雙重簡(jiǎn)并能帶, 在負(fù)電容介入電路后, 四條能帶完全簡(jiǎn)并形成雙重狄拉克錐. 這與調(diào)節(jié)參數(shù)實(shí)現(xiàn)的偶發(fā)四重簡(jiǎn)并有類似之處, 不同點(diǎn)在于這里的調(diào)節(jié)參數(shù)為電路參數(shù). 進(jìn)一步利用壓電主動(dòng)控制, 或可實(shí)現(xiàn)材料在平凡絕緣體和自旋霍爾絕緣體之間切換.

圖37

5.2 自旋霍爾絕緣體實(shí)驗(yàn)

在固體彈性系統(tǒng)中, Yu等(2018)首次實(shí)現(xiàn)了彈性波類量子自旋霍爾效應(yīng), 驗(yàn)證了界面態(tài)對(duì)缺陷和拐角免疫性. 基本設(shè)計(jì)思路也是利用超胞構(gòu)造贗自旋態(tài). 構(gòu)建如圖38 (a)所示的蜂窩點(diǎn)陣穿孔板, 單胞內(nèi)包含6個(gè)等大小的孔洞, 通過調(diào)節(jié)相互距離, 可調(diào)節(jié)胞元內(nèi)、外的耦合強(qiáng)度. 當(dāng)b=a0時(shí), 布里淵區(qū)原點(diǎn)處出現(xiàn)兩對(duì)雙重簡(jiǎn)并(記為px/py和dx2 ?y2/dxy), 兩對(duì)簡(jiǎn)并頻率之間為出面振動(dòng)模式的完全帶隙. 當(dāng)b= 1.12a0時(shí), 兩對(duì)雙重簡(jiǎn)并仍然存在, 不過相應(yīng)的模態(tài)發(fā)生翻轉(zhuǎn), 即p和d模態(tài)的位置對(duì)調(diào)而兩者之間的帶隙位置基本不發(fā)生變化(圖38 (a)). 在這兩個(gè)構(gòu)型之間,當(dāng)b= 1.087 3a0時(shí), 帶隙完全消失, 兩對(duì)雙重簡(jiǎn)并合為一個(gè)具有四重簡(jiǎn)并特性的雙狄拉克錐, 表明構(gòu)型b=a0對(duì)應(yīng)的絕緣體和b= 1.12a0對(duì)應(yīng)的絕緣體之間需要發(fā)生拓?fù)湎嘧儾拍芟嗷ミ^渡. 與之前類似, 由這兩塊絕緣體形成的界面上, 存在與贗自旋pseudospin+和pseudospin-對(duì)應(yīng)的界面態(tài)(圖38 (b)), 由具有雙重簡(jiǎn)并特性的p和d模態(tài)組合而成(圖38 (c) (d) (e)).

圖38

圖39 (a)~圖39 (d)為不同類型界面?zhèn)鬏斕匦缘臄?shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果, 黃色虛線表示由拓?fù)浞瞧椒步^緣體和普通絕緣體構(gòu)成的拓?fù)浞瞧椒步缑? 數(shù)值模擬表明, 無論是界面存在“空位”缺陷(圖39 (b))、“位錯(cuò)”缺陷(圖39 (c))或是大幅拐角(圖39 (d))情況, 彈性波均能良好傳導(dǎo).此外,圖39 (e)給出了實(shí)驗(yàn)測(cè)量的上述四種類型界面路徑的傳輸率.

圖39

基于上述拓?fù)浣缑娴娜毕菝庖咛匦? Yu等(2018)還設(shè)計(jì)了任意形狀的彈性拓?fù)洵h(huán)形諧振器, 用于彈性能的收集與釋放. 所構(gòu)建的基于“回音壁模式”的環(huán)形諧振器如圖40 (a)所示, 包含一條平直界面波導(dǎo)和一個(gè)位于波導(dǎo)附近的環(huán)形諧振器. 在平直波導(dǎo)下端激發(fā)pseudospin+贗自旋態(tài)的出面彈性波并向上傳輸.圖40 (c)給出了實(shí)驗(yàn)測(cè)量的環(huán)形諧振腔中的能量頻譜, 可觀測(cè)到兩個(gè)諧振峰, 相應(yīng)的諧振頻率關(guān)于狄拉克頻率(波矢k= 0處)對(duì)稱分布, 如圖40 (b)所示.在這兩個(gè)諧振頻率處, 環(huán)形諧振器與旁邊的平直界面波導(dǎo)發(fā)生“臨界耦合”. 由于拓?fù)浣^緣體邊界具有“自旋?動(dòng)量鎖定”的特性, 由其構(gòu)成的“波導(dǎo)?環(huán)形諧振器”系統(tǒng)中的“臨界耦合”將具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì). 如圖40 (d) (e)所示, 當(dāng)處于回音壁模式的環(huán)形諧振器與平直波導(dǎo)發(fā)生“臨界耦合”時(shí), 能量幾乎完全分布于環(huán)形諧振器中. 也就是說, 拓?fù)浣^緣體邊界構(gòu)成的環(huán)形諧振器將如同一個(gè)能量“黑洞”?只有能量流入, 而無任何能量流出.

綜上所述, 在彈性波系統(tǒng)中設(shè)計(jì)自旋霍爾絕緣體, 主要難點(diǎn)在于構(gòu)造雙狄拉克錐簡(jiǎn)并以及贗自旋態(tài). 歸納現(xiàn)有方案主要有兩種: 一是利用薄板中的對(duì)稱模態(tài)與反對(duì)稱模態(tài)作為基礎(chǔ), 通過參數(shù)調(diào)節(jié)獲得兩種模態(tài)偶發(fā)簡(jiǎn)并的雙重狄拉克錐(Mousavi et al. 2015), 從而據(jù)此設(shè)計(jì)自旋霍爾絕緣體, Miniaci等(2018)給出了這種思路的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證; 第二種更普適的方法是利用5.1節(jié)已經(jīng)介紹的超胞能帶折疊機(jī)理, 將蜂窩系統(tǒng)布里淵區(qū)角點(diǎn)的狄拉克錐折疊至原點(diǎn)形成雙重狄拉克錐(Wu et al. 2015; Chen et al. 2018b, 2019), 這也是目前大部分彈性波自旋霍爾絕緣體實(shí)驗(yàn)采用的思路(Yu et al. 2018, Cha et al. 2018, Chaunsali et al. 2018).

6 高階拓?fù)浣^緣體與角態(tài)

彈性波谷極化拓?fù)鋺B(tài)和贗自旋拓?fù)鋺B(tài)的拓?fù)鋵傩杂烧麛?shù)拓?fù)洳蛔兞亢腕w能帶結(jié)構(gòu)的貝里相決定, 遵循體邊對(duì)應(yīng)原理. 近期研究發(fā)現(xiàn), 打破無帶隙邊緣能帶的拓?fù)湎? 使其轉(zhuǎn)化為具有帶隙的平庸邊緣能帶, 則在其帶隙內(nèi)生成了體極化(bulk polarization)屬性定義的高階拓?fù)湎?higherorder topological phase) (Benalcazar et al. 2017). 不同于傳統(tǒng)一階拓?fù)鋺B(tài), 高階拓?fù)鋺B(tài)出現(xiàn)在邊界的邊界. 對(duì)于二維拓?fù)湎到y(tǒng), 高階拓?fù)鋺B(tài)出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)角點(diǎn); 對(duì)于三維拓?fù)湎到y(tǒng), 高階拓?fù)鋺B(tài)出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的棱邊和角點(diǎn). 在機(jī)械(Fan et al. 2019, 2020; Tong et al. 2020; Serra-Garcia et al. 2018; Wu et al. 2020)、聲學(xué)(Ni et al. 2019, Zhang et al. 2019b, Zheng et al. 2020)等系統(tǒng), 研究人員成功觀察到了高階拓?fù)鋺B(tài). 在彈性波動(dòng)系統(tǒng)中, Fan等(2019)通過實(shí)驗(yàn)研究在彈性聲子晶體板中觀察到了拓?fù)浣菓B(tài). 下面對(duì)該研究展開具體介紹.

6.1 高階彈性聲子晶體板的復(fù)合元胞分析

考慮如圖41 (a)所示的復(fù)合元胞, 其包含6個(gè)節(jié)點(diǎn). 復(fù)合元胞周期性陣列組成圖41 (b)所示的蜂窩彈性聲子晶體板. 彈性板材料參數(shù)為密度ρ= 1190 kg/m3, 泊松比ν= 0.35, 楊氏模量E=3.2 GPa. 蜂窩彈性聲子晶體板的厚度為d= 1.98 mm, 橫梁的寬度和長(zhǎng)度分別為w= 5.02 mm和L= 15 mm. 蜂窩彈性聲子晶體板的節(jié)點(diǎn)上下表面各附著一個(gè)磁鐵, 如圖41中淺藍(lán)色圓柱所示.磁鐵的密度、泊松比和楊氏模量分別為ρ= 7400 kg/m3,ν= 0.28和E= 41 GPa. 磁鐵的高度和半徑分別為h= 2.0 mm和r= 2.51 mm. 磁鐵作為附加質(zhì)量塊和橫梁組成局域共振結(jié)構(gòu). 復(fù)合元胞的內(nèi)部耦合強(qiáng)度定義為胞內(nèi)耦合1/lintra. 相鄰復(fù)合元胞之間的耦合定義為胞間耦合1/linter. 胞內(nèi)耦合和胞間耦合的強(qiáng)度可通過調(diào)節(jié)橫梁的長(zhǎng)度lintra和linter來靈活調(diào)控.

圖41

依據(jù)長(zhǎng)波假設(shè)理論, 該彈性聲子晶體板可以近似為薄板結(jié)構(gòu). 采用COMSOL Multiphysics 軟件的固體力學(xué)模塊計(jì)算復(fù)合元胞的能帶結(jié)構(gòu)時(shí), 周期性邊界條件施加于復(fù)合元胞的所有邊界. 由拋物線色散描述的面外波動(dòng)模式與面內(nèi)波動(dòng)模式是弱耦合的, 因此, 面外能帶(紅線)與面內(nèi)能帶(灰色線)彼此獨(dú)立. 在本小節(jié), 忽略了超出研究范圍的面內(nèi)波動(dòng)模式, 主要考慮面外波動(dòng)模式.當(dāng)linter=lintra時(shí), 彈性聲子晶體板在不可約布里淵區(qū)(Brillouin zone)的Γ點(diǎn)出現(xiàn)了一個(gè)雙狄拉克錐, 如圖41 (c)所示. 雙狄拉克錐由四個(gè)能帶線性簡(jiǎn)并而成. 當(dāng)lintra降低到0.836L, 與此同時(shí)linter增加到1.328L時(shí), 雙狄拉克錐打開產(chǎn)生了1461 Hz ~ 1650 Hz的完全帶隙, 如圖41 (d)所示.相反, 當(dāng)lintra增加到1.2L, 而linter減小到0.6L時(shí), 雙狄拉克錐被打開生成了1503 Hz ~ 1715 Hz的完全帶隙. 因此, 當(dāng)復(fù)合元胞收縮(lintralinter)時(shí), 雙狄拉克錐打開而生成完全帶隙. 雖然收縮和膨脹復(fù)合元胞的能帶結(jié)構(gòu)是相似的, 不能直觀地區(qū)分, 但是它們?cè)诒举|(zhì)上描述了不同的拓?fù)湫再|(zhì). 收縮和膨脹復(fù)合元胞的能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)湎嗍潜舜讼喾吹? 如圖42 (a)所示,復(fù)合元胞的胞內(nèi)和胞間耦合強(qiáng)度在跨過lintra=linter(即lintra/L= 1)時(shí), 復(fù)合元胞的能帶彼此交叉并翻轉(zhuǎn), 導(dǎo)致平庸相與非平庸拓?fù)湎嘀g的拓?fù)滢D(zhuǎn)換.圖42 (b)所示,lintra/L= 0.836和lintra/L=1.2能帶的本征頻率模態(tài)圖清晰的反映了拓?fù)湎嗟姆D(zhuǎn). 與贗自旋拓?fù)浣^緣體的復(fù)合元胞模型類似, 膨脹復(fù)合元胞具有平庸拓?fù)湎? 收縮復(fù)合元胞具有非平庸的拓?fù)湎? 本節(jié)將主要關(guān)注收縮復(fù)合元胞所激發(fā)的拓?fù)浣菓B(tài).

圖42

6.2 正六邊形彈性聲子晶體板的高階角態(tài)分析與測(cè)試

圖43 (a) (b) (c)為三個(gè)具有37個(gè)復(fù)合元胞的正六邊形實(shí)驗(yàn)樣件. 第一個(gè)正六邊形樣件是由膨脹復(fù)合元胞(lintra>linter)組成的平庸樣件, 其本征頻率如圖43 (d)所示. 數(shù)值模擬時(shí), 自由邊界條件施加于樣件的邊緣. 該樣件的本征模態(tài)只有體模態(tài), 沒有邊緣模態(tài). 第二個(gè)正六邊形樣件是由收縮復(fù)合元胞(lintra

圖43

采用激光切割技術(shù)加工1.98 mm厚的亞克力板制備彈性聲子晶體板樣件. 用HEV-20型激振器對(duì)樣品進(jìn)行激勵(lì). 激振器頂桿的直徑為4 mm, 緊貼于面板表面. 用多普勒激光測(cè)振儀(LVS01)掃描位移場(chǎng). 由于測(cè)振儀的激光束垂直于面板, 因此只捕捉到垂直位移分量(即面外波能量). 位移信號(hào)由LMS-SCADAS測(cè)試系統(tǒng)記錄. 平庸正六邊形樣件的體(黑色)、邊緣(綠色)和角(紅色)傳輸譜如圖44 (a)所示. 對(duì)于體傳輸譜, 采用激振器激勵(lì)樣件內(nèi)部的某一個(gè)節(jié)點(diǎn), 并采用激光多普勒測(cè)振儀測(cè)量樣件內(nèi)部其他節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng). 對(duì)于邊緣傳輸譜, 采用激振器激勵(lì)樣件底部邊緣的某一個(gè)節(jié)點(diǎn), 并采用激光多普勒測(cè)振儀測(cè)量底部邊緣其他節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng). 對(duì)于角傳輸譜, 采用激振器激勵(lì)樣件的某一個(gè)角點(diǎn), 并采用激光多普勒測(cè)振儀在同一角點(diǎn)測(cè)量位移響應(yīng).從圖44 (a)可知, 在整個(gè)帶隙內(nèi), 體、邊緣和角的傳輸都很低, 這表明在平庸正六邊形樣件中, 彈性波的傳播被聲子帶隙有效阻斷. 拓?fù)湔呅螛蛹捏w(黑色)、邊緣(綠色)和角(紅色)傳輸譜如圖44 (b)所示. 從圖44 (b)可知, 體傳輸譜在低頻和高頻體區(qū)觀察到由完全帶隙隔開的峰值, 而在完全帶隙內(nèi)傳輸效率較低. 邊緣傳輸譜在1610 Hz左右觀察到一個(gè)峰值, 與圖43 (e)中預(yù)測(cè)的邊緣模態(tài)相匹配. 如圖43 (e)中所示, 拓?fù)湔呅螛蛹耐負(fù)浣菓B(tài)和平庸角態(tài)非常接近.因此,圖44 (b)角傳輸譜的拓?fù)浣菓B(tài)和平庸角態(tài)重疊成整體, 形成1550 Hz左右的峰值.

圖44

6.3 正三角形彈性聲子晶體板的高階角態(tài)分析與測(cè)試

圖45 (a)為收縮復(fù)合元胞(lintra

6.4 高階彈性聲子晶體板的拓?fù)渲笖?shù)分析

根據(jù)圖43正六邊形樣件和圖45正三角形樣件的不同角態(tài)可知, 受拓?fù)浔Ｗo(hù)的角模態(tài)只出現(xiàn)在2π/3的鈍角處, 而不出現(xiàn)在π/3的銳角處. 為了解釋這一現(xiàn)象, 引入拓?fù)渲笖?shù)N=|N+?N?|.拓?fù)渲笖?shù)N描述體哈密頓量的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和缺陷的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的相互作用, 被定義為角點(diǎn)的穩(wěn)定模式數(shù)(Noh et al. 2018). 拓?fù)浣悄? 也稱為“零?！? 是手征對(duì)稱算符Π的本征態(tài)(Bao et al.2019).N+和N?用于計(jì)算拓?fù)潆姾蔀?1和?1的Π的本征態(tài)數(shù). 手征對(duì)稱算符Π滿足

圖45

H(k,r)是哈密頓量的一種分類, 推廣了體邊對(duì)應(yīng)原則, 將體哈密頓量的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與缺陷的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(Altland et al. 1997, Teo et al. 2010).k定義為d維布里淵區(qū),r定義為環(huán)繞在D維表面的缺陷(即本節(jié)描述的角點(diǎn)). 在π/3銳角處, 有四種零模式, 如圖46 (a)所示. 其中兩種模式具有拓?fù)潆姾?1, 另兩種模式具有拓?fù)潆姾?1. 因此, 拓?fù)渲笖?shù)為N=N+?N?= 2 -2 = 0. 這意味著銳角處沒有穩(wěn)定模式(圖45 (c)). 在2π/3鈍角處, 有三種零模式, 如圖46 (b)所示. 其中兩種模式具有相同的電荷, 另一種角模式具有相反的電荷. 因此, 拓?fù)渲笖?shù)為N= |N+?N?| =|1 ? 2| = 1, 即穩(wěn)定模式可局限于鈍角處(圖43 (e)).

圖46

7 靜力學(xué)拓?fù)?/h2>

7.1 拓?fù)涔铝⒆?/h3>

孤立波(solitary wave)是一種空間局域的、形狀保持不變且單向穩(wěn)定傳輸?shù)姆蔷€性波包(Russell 1845). 而孤立子(soliton)則是一種具有強(qiáng)健穩(wěn)定性的孤立波(Russell 1845). 從物理學(xué)的角度, 孤子是由系統(tǒng)非線性效應(yīng)與色散現(xiàn)象相互平衡而產(chǎn)生的一類穩(wěn)定的空間相干結(jié)構(gòu)(擬序結(jié)構(gòu)), 彼此碰撞前后能量不色散、波形與速度保持不變而具有準(zhǔn)粒子屬性(Dauxois 2006). 從數(shù)學(xué)的角度, 它是一類描述可積系統(tǒng)的非線性微分方程(如KdV, NLS, Toda, Sine-Gordon以及φ4方程等)的穩(wěn)定孤波解(Dauxois 2006).

孤子因其在耗散介質(zhì)中穩(wěn)健傳輸?shù)木钟蚧匦? 以及擁有著在物理、化學(xué)和生物等系統(tǒng)中跨時(shí)空尺度傳遞信息和能量的潛力, 引起了眾多領(lǐng)域科學(xué)家們的廣泛關(guān)注(Dauxois 2006,Remoissenet 2013). 孤子理論作為非線性科學(xué)重要而活躍的分支, 不但推動(dòng)了部分傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論(如可積系統(tǒng))的發(fā)展, 更在刻畫和揭示自然科學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)中發(fā)揮著重要作用: 如晶體中的位錯(cuò)、鐵電體中的疇壁、聚合物的導(dǎo)電、長(zhǎng)約瑟夫森結(jié)的磁通子、化學(xué)反應(yīng)擴(kuò)散、以及DNA和蛋白質(zhì)等生物系統(tǒng)的非線性激發(fā)等(Dauxois 2006).

對(duì)于實(shí)際的力學(xué)系統(tǒng), 耗散與色散普遍存在, 嚴(yán)重阻礙了機(jī)械信號(hào)(尤其是諧波等)的長(zhǎng)距離穩(wěn)定傳遞. 隨著孤立子等研究熱潮的興起以及超材料的可設(shè)計(jì)性優(yōu)勢(shì), 激發(fā)了力學(xué)家們對(duì)耗散系統(tǒng)中局域化波包的激發(fā)與傳輸?shù)奶剿? 在力學(xué)超材料系統(tǒng)中, 孤子通常表現(xiàn)為局域化的應(yīng)變波包或穩(wěn)健的非關(guān)聯(lián)實(shí)體(Dauxois 2006). 例如, 借助Hertz接觸及其類比思想, 人們?cè)陬w粒介質(zhì)、張拉結(jié)構(gòu)、折紙超材料等中激發(fā)出孤立波(Nesterenko 1983, Daraio et al. 2006, Fraternali et al.2014, Yasuda et al. 2019). 此外, 基于突跳相變中疇壁的運(yùn)動(dòng)和相應(yīng)的能量補(bǔ)給, 分別在磁關(guān)聯(lián)的雙穩(wěn)態(tài)超材料以及3D打印的軟質(zhì)雙穩(wěn)態(tài)超材料鏈中實(shí)現(xiàn)了局域化的力學(xué)信號(hào)在耗散系統(tǒng)中的單向穩(wěn)定性傳輸(Nadkarni et al. 2014, 2016; Raney et al. 2016). 相對(duì)于孤立波(穩(wěn)定性可由系統(tǒng)耗散與非線性的動(dòng)態(tài)作用來支撐), 力學(xué)超材料中孤子的激發(fā), 其數(shù)學(xué)物理?xiàng)l件則相對(duì)苛刻: 控制方程解析解, 系統(tǒng)色散與非線性的恰當(dāng)平衡. 盡管如此, 通過類比彈性波的極化特征, 人們?cè)谲涃|(zhì)超材料中激發(fā)了兼具平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)極化, 并可由二次非線性Klein-Gordon方程所刻畫的矢量孤子(Deng et al. 2017), 并基于三次非線性Klein-Gordon方程, 研究了一維矢量孤子的幅值帶隙、反常碰撞與反射等一系列性質(zhì)(Deng et al. 2018, 2019a), 同時(shí)還探索了一維超材料中的周期性矢量孤子(Mo et al. 2019)和二維軟超材料中矢量孤子的聚焦和模式分離等行為(Deng et al. 2019b).

與以上平凡的孤子激發(fā)相對(duì)應(yīng), 在場(chǎng)論中還允許非平凡的孤子激發(fā), 即拓?fù)涔伦?topological soliton) (Manton et al. 2004). 拓?fù)涔伦蛹ぐl(fā)的一個(gè)必要條件是勢(shì)能面有簡(jiǎn)并基態(tài)(真空)的存在, 亦即在無窮遠(yuǎn)處的空間可存在不同的簡(jiǎn)并基態(tài)和邊界條件. 而非拓?fù)涔伦拥募ぐl(fā)則不要求基態(tài)簡(jiǎn)并, 其解(無論是否為孤子解)在無窮遠(yuǎn)處都有相同的邊界條件(如鐘形孤子). 從場(chǎng)論觀點(diǎn)來看, 盡管孤子都是相應(yīng)經(jīng)典場(chǎng)的非平庸解, 然而, 不同孤子其穩(wěn)定性的來源卻截然不同(郭柏林1987, Manton et al. 2004): 非拓?fù)涔伦拥姆€(wěn)定性主要由場(chǎng)組態(tài)的動(dòng)力學(xué)機(jī)制來實(shí)現(xiàn), 它源自于N?ether定理下的守恒量(N?ether荷); 拓?fù)涔伦觿t是基于非Abel規(guī)范理論, 描述其的拓?fù)涫睾懔颗cLagrange函數(shù)的不變性無關(guān), 而是源于場(chǎng)的內(nèi)稟自由度, 對(duì)應(yīng)于內(nèi)稟空間流形間的非平凡映射. 由于非Abel規(guī)范理論中非線性場(chǎng)方程的復(fù)雜性, 拓?fù)涔伦幽壳皟H在一些特定數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中得以求解, 如1D空間的扭結(jié)解(kink), 2D空間的渦旋解(vortex), 3D空間的‘t Hooft磁單極子解(monopole)以及4D歐氏空間的Polyakov瞬子解(instanton)等(郭柏林 1987, Manton et al.2004).

相比于抽象的數(shù)學(xué)詮釋, 機(jī)械系統(tǒng)中拓?fù)涔伦拥募ぐl(fā)則相對(duì)直觀, 且較常見的是1D空間. 早期的如Scott單擺鏈模型(Scott 1969), 在此系統(tǒng)中可激發(fā)出非拓?fù)涔伦印⒂蒘ine-Gordon方程描述的kink/antikink拓?fù)涔伦雍投?周期)孤子等(圖47 (a)). 隨后, 人們又在類擺鏈裝置中系統(tǒng)研究了kink孤子的碰撞、動(dòng)態(tài)性能, 以及kink-antikink晶格(周期孤子)、緊孤子(compaction)和擴(kuò)散孤子(diffusive soliton)的激發(fā)等(Dusuel et al. 1998) (圖47 (b)). 此類kink型拓?fù)涔伦?晶格), 其非平凡特征可在擁有多重或雙重簡(jiǎn)并基態(tài)的系統(tǒng)能譜空間中, 加以形象刻畫(圖47 (c)(d)). 最近, 力學(xué)超材料的興起, 再一次將人們?cè)诹W(xué)系統(tǒng)中探索拓?fù)涔伦拥臒崆橥葡蛄诵碌母叨? 較早吸引學(xué)者興趣的有一維SSH超材料鏈(Chen et al. 2014, Zhou et al. 2017, Sato et al. 2018)、極小曲面和彈性條帶等中的拓?fù)涔伦蛹ぐl(fā)(Machon et al. 2016, Bartolo et al. 2019,Sun et al. 2021). 代表性工作如Chen等(2014)實(shí)現(xiàn)的分別由φ4和Sine-Gordon方程描述的翻轉(zhuǎn)與旋轉(zhuǎn)式拓?fù)涔伦? 其可由鐫刻在3D圓環(huán)上構(gòu)型空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來分類(Chen et al. 2014). 隨后, Snee等(2019)也在二維拓?fù)淞W(xué)超材料中激發(fā)出拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界孤子, 其本質(zhì)是由二階NSL方程所描述的亮孤子(bright soliton)與暗孤子(dark soliton).

圖47

事實(shí)上, 盡管孤立波與孤立子?時(shí)空局域化的非線性物態(tài), 已在機(jī)械系統(tǒng)以及力學(xué)超材料中得到了實(shí)驗(yàn)激發(fā)和一定程度的探索, 然而當(dāng)前報(bào)道的結(jié)果卻表明, 它們普遍呈現(xiàn)出位置隨機(jī)、尺度無關(guān)的離散或單孤子狀態(tài), 依然是眾所周知的難以控制. 這使得, “如何開發(fā)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)去‘凍結(jié)’和控制孤子, 進(jìn)而實(shí)現(xiàn)有序局域化變形的調(diào)控？”仍舊是一個(gè)長(zhǎng)期以往的充滿挑戰(zhàn)的問題. 這里將以一類軟質(zhì)多孔力學(xué)超材料為例, 介紹靜態(tài)拓?fù)涔伦泳Ц竦募ぐl(fā)以及編程有序局域變形的普適性物理框架(Zhang et al. 2019c, 2019d).

構(gòu)建一類多孔力學(xué)超材料如圖48 (a)所示, 其元胞由正交的橢圓通孔在軟質(zhì)基體中陣列而成(圖48 (b)). 其中, 該軟質(zhì)介質(zhì)可由Mooney-Rivlin不可壓超彈性本構(gòu)方程描述. 為表述方便,此處定義無量綱參數(shù)來表征它的幾何特征. 通過上述無量綱參數(shù)的連續(xù)變化就可得到超材料的一個(gè)豐富的幾何空間. 這里關(guān)注于κ與1的大小關(guān)系, 并以此將該幾何空間分類. 在Oxy面內(nèi), 對(duì)超材料施加沿y方向的準(zhǔn)靜態(tài)位移壓縮(圖48 (c), 實(shí)驗(yàn)中結(jié)果表明(Zhang et al. 2019c, 2019d),κ< 1和κ> 1的超材料將發(fā)生平凡激發(fā), 分別表現(xiàn)為宏觀均勻的正、負(fù)泊松比變形; 而κ= 1的超材料卻發(fā)生了非線形拓?fù)浼ぐl(fā), 表現(xiàn)為規(guī)則有序的局域變形(圖48 (d)(e)). 可以在統(tǒng)一框架下(任意κ)建立理論模型, 在能譜(狀態(tài))空間中揭示支配兩類激發(fā)的內(nèi)在因素以及有序局域變形的物理本質(zhì).

圖48

為針對(duì)此類代表性元胞建立統(tǒng)一的解析模型(圖49 (a)), 考慮極端情形在位移載荷±uy作用下, 變形構(gòu)型的應(yīng)變能則主要集中于孔間的頸帶處, 可由彈性桿的伸縮(剛度K)、頸部彈簧的彎曲(剛度Cv,Ch)與剪切(剛度Cs)來刻畫(圖49 (b)). 假定元胞初始傾角為θ0,當(dāng)前構(gòu)型傾角為θ, 則可定義轉(zhuǎn)角α=θ?θ0為序參量來定量表征元胞的變形狀態(tài)(圖49 (b)).在給定應(yīng)變?chǔ)舮下, 代表性元胞的應(yīng)變能泛函可表示為Ucell(κ;αn) (圖49 (c)). 基于實(shí)驗(yàn)與模擬結(jié)果可知, 當(dāng)模型尺寸Ny/Nx<< 1時(shí), 變形構(gòu)型獨(dú)立于尺寸Ny(圖49 (d)(e)), 超材料可簡(jiǎn)化為Ny= 1的準(zhǔn)一維結(jié)構(gòu)(圖49 (d)). 考慮元胞間的相互作用, 系統(tǒng)的Lagrangian可表示為在位移加載過程中, 原位勢(shì)Ucell的形式逐漸演化, 而系統(tǒng)的變形構(gòu)型則取決于元胞間相互作用能與原位勢(shì)Ucell的競(jìng)爭(zhēng), 這一物理過程可由置于原位勢(shì)場(chǎng)且彼此相互作用的“球?鏈”模型形象地描述(圖49 (e)). 在變形許可的構(gòu)型/狀態(tài)中, 實(shí)際構(gòu)型則使得系統(tǒng)L取極小值. 由最小勢(shì)能原理可得離散控制方程(Zhang et al. 2019d)

圖49

基于該控制方程,κ≠ 1時(shí), 在所考慮的應(yīng)變范圍內(nèi)(如|εy| < 0.2),Ucell關(guān)于α非對(duì)稱且僅存在物理上允許的唯一基態(tài)(圖49 (c)).κ= 1時(shí),Ucell關(guān)于α始終對(duì)稱, 且隨εy演化將由初始的單一基態(tài)分岔為簡(jiǎn)并的雙基態(tài)(圖49 (c)(e)). 總之,κ主導(dǎo)了原位勢(shì)和控制方程關(guān)于序參量α的對(duì)稱性及其能譜空間Ucell(α;εy)中的分岔點(diǎn)數(shù), 從而支配了超材料穩(wěn)態(tài)演化路徑和(非)平凡激發(fā)的必要條件. 進(jìn)一步可知,κ≠ 1的超材料其宏觀均勻變形本質(zhì)上對(duì)應(yīng)于控制方程平凡解αn=α0(n=1, 2, ···,Nx; ?Ueff(α;εy)/?α|α=α0=0)(Zhang et al. 2019d).

κ= 1超材料的有序局域變形對(duì)應(yīng)于非平凡激發(fā). 此時(shí),α=θ. 為進(jìn)一步得到控制方程的解析形式, 這里引入兩個(gè)基本假設(shè):

假設(shè)(1) 小轉(zhuǎn)角假設(shè)θn<< 1 (n= 1, 2, 3, ···)

若 具有唯一基態(tài)θn= 0. 在整個(gè)所考慮的應(yīng)變范圍內(nèi),超材料結(jié)構(gòu)均由“拉壓”主導(dǎo), 僅發(fā)生純壓縮變形的平凡激發(fā).

以λφ4方程為例, 可定義非平凡的拓?fù)浜?扭數(shù))Q來對(duì)孤子進(jìn)行拓?fù)浞诸? 它是流Jv守恒的結(jié)果, 即則(郭柏林 1987, Dauxois et al. 2006)

對(duì)于kink(antikink)有Q= +1(?1), 為非平凡映射; 對(duì)于基態(tài)則有Q= 0. 由于基態(tài)簡(jiǎn)并, 兩個(gè)基態(tài)可在θ→ ?θ反射下相互轉(zhuǎn)換, 而Kink則嵌入在x= ±∞處的兩個(gè)基態(tài)之間, 并與其在無窮遠(yuǎn)處趨近. 基于拓?fù)浜傻氖睾阈? 場(chǎng)的拓?fù)浼s束可視為一無限的位壘, 因此場(chǎng)組態(tài)kink與antikink的相互轉(zhuǎn)換抑或耗散為真空都需要無限大能量. 即, 拓?fù)涔伦硬凰p的強(qiáng)健穩(wěn)定性特征本質(zhì)上源于場(chǎng)的基態(tài)簡(jiǎn)并. 與此類似, 對(duì)于Sine-Gordon方程, 其拓?fù)浜蒕= 1/2π ·[φ(+∞) ?φ(?∞)] =n, 其中n為整數(shù), 且|n| > 1對(duì)應(yīng)多孤子解, 亦稱孤子晶格(soliton-lattice)解(Remoissenet 2013).

在圖49所構(gòu)建的超材料中, 考慮θ|x=0= 0以及周期性邊界條件, 可得由λφ4方程(68)所描述的周期性拓?fù)涔伦咏鉃?/p>

根據(jù)圖49 (f)可以發(fā)現(xiàn), 拓?fù)涔伦咏馐?70)和實(shí)驗(yàn)與有限元模擬結(jié)果一致性較好, 證實(shí)了有序局域變形樣式中位于兩相界面處的拓?fù)淙毕菁礊橛搔甩?方程所刻畫的kink-antikink對(duì). 該理論模型的拓?fù)浼ぐl(fā), 源自于超材料系統(tǒng)中的元胞存在著兩個(gè)極化相反的簡(jiǎn)并基態(tài)?內(nèi)凹與外凸極化變形. 在該有限尺寸的孤子晶格中, 每一個(gè)kink之后都有一個(gè)antikink的緊隨生成(圖48 (d)(e)和圖49 (c)). 類似的現(xiàn)象還廣泛存在于其他非線性物理領(lǐng)域, 典型的如力學(xué)傳輸線、導(dǎo)電聚合物以及鐵電體系統(tǒng)等(Dauxois et al. 2006, Remoissenet 2013).

需進(jìn)一步指出的是, 靜態(tài)拓?fù)涔伦拥姆蔷€性激發(fā)并不局限于特定樣式的超材料結(jié)構(gòu), 而取決于元胞多穩(wěn)態(tài)原位勢(shì)與元胞間強(qiáng)耦合能的競(jìng)爭(zhēng)中, 所主導(dǎo)的系統(tǒng)相變類型以及能量存儲(chǔ)和釋放的方式, 該理論機(jī)理具有廣泛的適用性. 由此, 可進(jìn)一步建立在超材料中激發(fā)靜態(tài)孤子晶格、編程有序局域變形的統(tǒng)一性策略, 提出普適性物理框架:

(1)基態(tài)轉(zhuǎn)變型元胞. 設(shè)計(jì)超材料元胞以使得: 隨外界激勵(lì)持續(xù)增大并超出臨界值(|ε| ≥|εc|)時(shí), 元胞原位勢(shì)Peff(θ)可經(jīng)歷由單基態(tài)向簡(jiǎn)并雙(多)基態(tài)的轉(zhuǎn)變. 以圖50為例, 其力學(xué)量須滿足這一剛度條件明確了超材料變形模式轉(zhuǎn)變時(shí), 可觸發(fā)系統(tǒng)序參量θ分岔和結(jié)構(gòu)相變的發(fā)生, 構(gòu)成非線性拓?fù)浼ぐl(fā)的必要條件(圖50 (a)(b)).

圖50

(2)滿足強(qiáng)耦合條件. 為了實(shí)現(xiàn)規(guī)則有序的非平凡激發(fā), 相對(duì)于基態(tài)間勢(shì)壘高度, 元胞間還應(yīng)該滿足強(qiáng)耦合作用條件. 其力學(xué)量須滿足這一剛度條件確保了原位勢(shì)基態(tài)轉(zhuǎn)變以及序參量對(duì)稱性破缺時(shí), 超材料位移型相變的發(fā)生以及靜態(tài)周期性拓?fù)涔伦拥募ぐl(fā)(圖50 (c)).

圖50形象地刻畫了這一普適性靜態(tài)孤子框架的物理圖像. 基于該理論框架, 設(shè)計(jì)“方塊”、“桿系”與“圓?橢圓”多孔超材料, 在與圖48相同的加載與邊界條件下, 依次可激發(fā)出2, 3, 2對(duì)antikink/kink孤子(圖50 (d)). 序參量空間分布的實(shí)驗(yàn)、模擬與理論結(jié)果明確證實(shí)了普適性框架的有效性和實(shí)用性(圖50 (e)). 該物理框架限定了由力學(xué)量表征的能量關(guān)系, 而各剛度量又關(guān)聯(lián)于元胞幾何參數(shù). 事實(shí)上, 通過適當(dāng)幾何設(shè)計(jì), 在κ= 1類的超材料中, 還能實(shí)現(xiàn)宏觀均勻的平凡激發(fā)以及其他類型的非平凡激發(fā): ①約束(1)不成立, 抑或約束(1)成立但存在額外約束θ=const.. “球鏈”將始終全部穩(wěn)定于系統(tǒng)唯一的基態(tài), 抑或多基態(tài)之一. 此時(shí), 超材料發(fā)生宏觀均勻變形, 系統(tǒng)拓?fù)浜蒕= 0. ②約束(1)成立, 但約束(2)不成立. 則元胞間弱耦合(耦合能遠(yuǎn)小于等效原位勢(shì)能壘). 在此情形下, 弱連接的非線性“球鏈”隨機(jī)的分布于基態(tài)之間. 與此對(duì)應(yīng), 超材料將會(huì)發(fā)生有序?無序(order-disorder)相變(Chaikin et al. 1995), 表現(xiàn)為隨機(jī)的局域化樣式, 系統(tǒng)拓?fù)浜蒕≠ 0且依賴于邊界條件.

由該物理框架所支配的拓?fù)涔伦泳Ц窦ぐl(fā), 在力學(xué)超材料中不僅展現(xiàn)出了“反?！钡奶卣鞒叨扰c尺度效應(yīng), 更是突破了長(zhǎng)期以來人們認(rèn)為局域變形通常是缺陷敏感且其尺寸和位置隨機(jī)性強(qiáng)而難以預(yù)測(cè)的傳統(tǒng)認(rèn)知. 事實(shí)上, 不僅在宏觀力學(xué)體系, 此類魯棒的非平凡激發(fā)還廣泛存在于眾多跨尺度的多基態(tài)系統(tǒng)之中, 如受限空間中的粒子輸運(yùn)(Sisan et al. 2014), DNA 堿基的旋轉(zhuǎn)(Peyrard et al. 1989), 鐵電疇變(Frazier et al. 2017)和長(zhǎng)約瑟夫森結(jié)的磁通量子傳輸(Frazier et al.2017)等?看似“毫不關(guān)聯(lián)”的、跨學(xué)科領(lǐng)域的自然現(xiàn)象背后, 均可由相同的數(shù)學(xué)物理本質(zhì)所支配. 構(gòu)建聯(lián)系此類現(xiàn)象背后的更一般的數(shù)學(xué)物理框架, 將會(huì)為在更寬廣的物理境遇中探索高維系統(tǒng)的非線性拓?fù)浼ぐl(fā)、可控的幾何相變, 以及揭示更復(fù)雜局域化現(xiàn)象的機(jī)理本質(zhì)鋪墊嶄新的道路.

7.2 拓?fù)淞隳苣Ｊ?/h3>

桁架結(jié)構(gòu)根據(jù)其穩(wěn)定與否可以分為超靜定結(jié)構(gòu)、靜定結(jié)構(gòu)和機(jī)構(gòu). 根據(jù)結(jié)構(gòu)中包含的節(jié)點(diǎn)和連桿數(shù)目能夠粗略估算能否構(gòu)成穩(wěn)定桁架, Maxwell (1864)最早給出了構(gòu)成靜定桁架結(jié)構(gòu)的必要條件. 近期研究表明, 對(duì)于特定桁架結(jié)構(gòu), 其機(jī)構(gòu)模式和自應(yīng)力模式只能以向體內(nèi)衰減的邊界態(tài)形式存在, 同時(shí)也具有與前述波動(dòng)現(xiàn)象類似的體?邊對(duì)應(yīng)關(guān)系, 即邊界零能模式(zero mode)受到無限大體的能帶拓?fù)湫再|(zhì)的保護(hù). Kane等(2014)發(fā)現(xiàn)滿足Maxwell臨界條件的桁架具有內(nèi)稟指向性, 由一拓?fù)錁O化矢量表征. 與電極化材料中正負(fù)電荷向材料的兩邊聚集類似, 非平凡拓?fù)錁O化的Maxwell桁架結(jié)構(gòu), 零能模式與自應(yīng)力模式也根據(jù)界面與拓?fù)錁O化的相對(duì)方向向材料兩側(cè)聚集. 零能邊界態(tài)的分布由體態(tài)拓?fù)湫再|(zhì)決定, 對(duì)邊界局部桿件長(zhǎng)度、剛度和節(jié)點(diǎn)質(zhì)量等擾動(dòng)不敏感. 該工作開啟了準(zhǔn)靜態(tài)結(jié)構(gòu)力學(xué)性質(zhì)拓?fù)浞较蛐缘难芯? 例如, 基于拓?fù)浔Ｗo(hù)的自應(yīng)力狀態(tài)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)陣材料局部可控屈曲變形(Paulose et al. 2015a), 將拓?fù)錁O化向量與Burgers矢量相結(jié)合構(gòu)造了點(diǎn)構(gòu)型松散模式(Paulose et al. 2015b), 設(shè)計(jì)外硬內(nèi)軟的防護(hù)器件等(Mao et al. 2018). 本小節(jié)對(duì)這一新方向做簡(jiǎn)要介紹.

考慮nb根桿和ns個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的d維自由桁架, 構(gòu)成穩(wěn)定結(jié)構(gòu)所需最少桿數(shù)目由Maxwell準(zhǔn)則nb=dns?f(d)給出, 其中f(d) =d(d+1)/2為剛體運(yùn)動(dòng)數(shù). 一個(gè)桁架存在的零能模式數(shù)由N0=dns-nb=M+f(d) 給出, 除f(d)個(gè)剛體模式外, 另有M個(gè)機(jī)構(gòu)模式, 在物理學(xué)領(lǐng)域也稱松散模式(floppy mode). 一般將剛好滿足該準(zhǔn)則且處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)(M= 0)的桁架稱為Maxwell結(jié)構(gòu),或等靜定結(jié)構(gòu)(isostatic structure), 例如圖51 (a). 但Maxwell準(zhǔn)則并非適用所有情形, 對(duì)于圖51 (b)的結(jié)構(gòu), 其nb,ns與圖51 (a)相同, 卻顯然有M= 1. Calladine (1978)指標(biāo)定理對(duì)Maxwell準(zhǔn)則進(jìn)行了修正

其中NSS為結(jié)構(gòu)包含的自應(yīng)力(self-stress state, 無需外部節(jié)點(diǎn)力即能自平衡的桿內(nèi)力)狀態(tài)數(shù).圖51 (b)中結(jié)構(gòu)中左側(cè)超靜定, 含自應(yīng)力狀態(tài)NSS=1, 因此, 式(71)給出作為整體N0= 4,M= 1.對(duì)于無限大周期點(diǎn)陣桁架, 引入配位數(shù)(每個(gè)節(jié)點(diǎn)所連桿數(shù))Z≡ 2nb/ns, 根據(jù)Maxwell條件臨界配位數(shù)滿足Z=ZC= 2d? 2f(d)/ns≈ 2d, 以二維結(jié)構(gòu)為例, 平均配位數(shù)Z= 4, 如圖52 (a)和52(c)中所示的Kagome點(diǎn)陣(規(guī)則型與扭曲型)是當(dāng)前研究最廣泛和最深入的Maxwell周期點(diǎn)陣材料.周期無限大Maxwell結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)與連桿數(shù)目滿足nb=dns, 因而恒有N0=NSS, 其分析通常采用單個(gè)胞元結(jié)合周期邊界進(jìn)行. 周期邊界去除了剛體旋轉(zhuǎn)模式, 有f(d) =d, 但也同時(shí)限制了胞元產(chǎn)生整體宏觀應(yīng)變, 使結(jié)構(gòu)的動(dòng)定、靜定條件界定比有限結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜(Guest et al. 2003). 對(duì)于無限大周期桁架結(jié)構(gòu), 若滿足Maxwell條件M= 0, 必有N0=NSS=d.

圖51

圖52

定性分析從周期無限大Maxwell桁架中截?cái)嘞鄳?yīng)桿件, 形成Nx×Ny個(gè)胞元構(gòu)成的有限結(jié)構(gòu).設(shè)有限結(jié)構(gòu)包含節(jié)點(diǎn)數(shù)ns, 則需截?cái)鄺U件數(shù)為量級(jí). 根據(jù)式(71), 由于nb減少,N0?NSS將由0增至與減少桿件相同量級(jí); 同時(shí), 結(jié)構(gòu)截?cái)嗤ǔ０殡S自應(yīng)力狀態(tài)NSS的消失, 指標(biāo)定理要求截取的有限結(jié)構(gòu)包含量級(jí)的零能模式. 但是, Calladine指標(biāo)定理無法給出這些零能模式為體態(tài)還是邊界態(tài)以及分布情況.

桁架結(jié)構(gòu)分析通常采用矩陣方法, 結(jié)合奇異值分解能夠清晰給出其機(jī)構(gòu)和自應(yīng)力模式, 并直接導(dǎo)出Calladine指標(biāo)定理(Pellegrino 1993), 該方法也適用于分析周期無限結(jié)構(gòu)(Hutchinson et al.2006). 結(jié)構(gòu)幾何協(xié)調(diào)關(guān)系由Bu=e描述,e和u分別為桿伸長(zhǎng)和節(jié)點(diǎn)位移向量,B為nb×dns協(xié)調(diào)矩陣; 桁架平衡關(guān)系由At= ?f給出,f和t分別為外部節(jié)點(diǎn)力和桿件內(nèi)力向量, 且由虛功原理容易得到B與A互為轉(zhuǎn)置. 自應(yīng)力狀態(tài)與零能模式分別位于平衡矩陣A和協(xié)調(diào)矩陣B的零空間. 取桿剛度和節(jié)點(diǎn)質(zhì)量均為單位值,D=AAT構(gòu)成結(jié)構(gòu)的對(duì)稱剛度矩陣, 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為Du=f. 對(duì)于周期桁架中的布洛赫波, 上述協(xié)調(diào)方程、平衡方程及動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行Fourier變換得到

此時(shí),t(q),e(q),u(q),f(q)均為胞元內(nèi)節(jié)點(diǎn)和桿相關(guān)的復(fù)振幅,A(q)與B(q)互為厄米共軛,q為布洛赫波矢,ω為角頻率. 值得注意對(duì)于Maxwell周期桁架, 矩陣A和B為方陣. Calladine指標(biāo)定理在波矢空間仍然成立.

對(duì)圖52 (a)所示的規(guī)則Kagome結(jié)構(gòu)利用方程(72)進(jìn)行布洛赫波分析, 單胞節(jié)點(diǎn)和桿數(shù)分別為3和6. 由于規(guī)則Kagome桁架存在貫穿結(jié)構(gòu)的直線桿系, 在周期條件下每條貫穿直線桿系能夠支撐自應(yīng)力狀態(tài). 貫穿桿系沿3個(gè)不同方向, 與相應(yīng)布里淵區(qū)中的ΓM線垂直(圖52 (b)), 因此對(duì)于這些線上每個(gè)波矢q, 均存在自應(yīng)力狀態(tài). 根據(jù)Calladine指標(biāo)定理, 對(duì)這些波矢也必存在相同數(shù)量的零能模式.圖52 (a)中也分別以藍(lán)色塊和紅色直線給出了零能模態(tài)與自應(yīng)力模式的示例, 這兩個(gè)模式為波陣面水平的脈沖形式, 可視為垂直ΓM線上一系列零模態(tài)(紅色點(diǎn))的疊加.圖52 (b)的綠色線事實(shí)上給出了第一支色散曲面ω= 0的等頻線, 可見與多數(shù)穩(wěn)定結(jié)構(gòu)不同,規(guī)則Kagome桁架色散曲面零頻率點(diǎn)不僅僅位于Γ點(diǎn). 若截取圖52 (a)所示的有限結(jié)構(gòu)并去除周期邊界, 貫穿直線桿系的自應(yīng)力被釋放, 數(shù)量上等同于桿?節(jié)點(diǎn)數(shù)目相比于周期Maxwell條件的失配, 因此, 規(guī)則Kagome桁架中不會(huì)增加零能模式, 且零能模式仍為圖52 (a)所示的體態(tài). 對(duì)圖52 (c)所示的扭曲Kagome桁架進(jìn)行相同分析, 將得到迥異的結(jié)果. 盡管節(jié)點(diǎn)與桿件連接關(guān)系與前者相同, 但由于結(jié)構(gòu)中貫穿直線桿系變?yōu)榍? 在有限q下不能存在自應(yīng)力狀態(tài). 在Γ點(diǎn)處N0=NSS= 2, 對(duì)應(yīng)于剛體平移, 除此之外N0=NSS= 0. 因此扭曲Kagome桁架在ω= 0時(shí)在除Γ點(diǎn)外打開簡(jiǎn)并. 同樣考慮截取圖52 (c)所示的有限自由結(jié)構(gòu), 由于不存在原有自應(yīng)力狀態(tài)補(bǔ)償桿-節(jié)點(diǎn)失配, 因此有限結(jié)構(gòu)中必然出現(xiàn)新的零能模式; 又由于扭曲Kagome桁架缺乏零能體態(tài),這些零能模式只能存在于結(jié)構(gòu)邊界, 并向體內(nèi)衰減. 前述分析可見: (1)盡管連接關(guān)系相同, 規(guī)則與扭曲Kagome桁架具有顯著不同的聲子行為, Calladine指標(biāo)定理無法體現(xiàn); (2)有限Maxwell桁架零能模式的分布與無限大體的能帶結(jié)構(gòu)具有密切關(guān)系.

Maxwell桁架具有內(nèi)稟指向性, 由一拓?fù)錁O化向量表征

其中ai為晶格矢量,ni為復(fù)平衡矩陣A(q)行列式相位的纏繞數(shù), 定義為

其中φ為detA(q)的相位角,Ci為連接布里淵區(qū)兩點(diǎn)[q,q+bi]的閉合積分路徑,bi為倒格基矢量.界面/邊界零能模式和自應(yīng)力模式分布受拓?fù)錁O化影響, 同時(shí)在整體上也必須服從Calladine指標(biāo)定理, 因此, 綜合這兩種因素給出邊界/界面態(tài)零能模式的指標(biāo)定理. 考慮Bravis格點(diǎn)陣材料界面或邊界, 其法向可由一倒格矢量G標(biāo)定, 設(shè)界面上每個(gè)單胞的零能模式和自應(yīng)力模式數(shù)為界面指標(biāo)定理由下式給出

圖52 (c)所示的扭曲Kagome桁架是拓?fù)淦椒驳?RT= 0), 為產(chǎn)生拓?fù)錁O化需要對(duì)Kagome結(jié)構(gòu)進(jìn)行更一般的變形, 如圖52 (e)所示. 扭曲過程仍然保證Kagome點(diǎn)陣的Bravis格不變, 利于保證不同拓?fù)湎嗟腒agome桁架能夠順利連接以構(gòu)成界面. 由于可固定三個(gè)單胞獨(dú)立節(jié)點(diǎn)中的一個(gè)不變, Kagome桁架的一般變形由四個(gè)參量決定. 采用文獻(xiàn)(Kane et al. 2014)的參數(shù)化, 給定三個(gè)晶格矢量(a1,a2,a3= -a1-a2), 單胞節(jié)點(diǎn)位置由四個(gè)獨(dú)立參數(shù)(x1,x2,x3;z)確定:d1=a1/2 +s2,d2=a2/2 -s1,d3=a3/2, 其中s1=x1(a3-a2) + (z/3 +x3-x2)a1,s2=x2(a1-a3) +(z/3 +x1-x3)a2. 參照?qǐng)D52 (e)參數(shù)的幾何意義, 參數(shù)xi描述變形桁架相對(duì)于規(guī)則Kagome桁架中貫穿桿系的曲折程度,z給定兩個(gè)相鄰三角形尺寸. (0, 0, 0; 0)與(x,x,x; 0)分別對(duì)應(yīng)規(guī)則與扭曲Kagome桁架.圖52 (f)給出Kagome桁架在z= 0和x1+x2+x3= const.約束下連續(xù)變形的相圖, 結(jié)構(gòu)在xi變號(hào)時(shí)產(chǎn)生拓?fù)湎嘧儚亩哂袃?nèi)稟指向性, 具有拓?fù)錁O化向量

圖53 (a)所示為不同拓?fù)湎嗟腒agome桁架所構(gòu)成的界面系統(tǒng), 其中兩側(cè)區(qū)域?yàn)橥負(fù)淦椒驳呐で鶮agome桁架(參量(0.1, 0.1, 0.1; 0)), 中間部分為參量(0.1, 0.1, ?0.1; 0)的變形桁架, 拓?fù)錁O化向量如圖所示. 對(duì)該結(jié)構(gòu)施加周期邊界, 由于沒有截?cái)鄺U件, 因此不產(chǎn)生局部指標(biāo)失配而在左右兩個(gè)界面處分別有由于兩個(gè)界面處ν?T反號(hào), 對(duì)于結(jié)構(gòu)整體而言滿足全局Calladine指標(biāo)約束N0?NSS= 0, 但拓?fù)錁O化導(dǎo)致零能機(jī)構(gòu)模式集中于左側(cè)界面, 而自應(yīng)力模式集中于右側(cè)界面.圖53 (b)給出了超胞結(jié)構(gòu)隨qx(與界面平行)變化的色散關(guān)系, 其中負(fù)頻率曲線由剛度矩陣D=AAT的超對(duì)稱伴隨矩陣ATA得到. 圖中兩個(gè)零頻率分支分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)界面上的機(jī)構(gòu)模式和自應(yīng)力模式. 與波動(dòng)行為中的拓?fù)洮F(xiàn)象類似, 在變形Kagome桁架打開除布里淵區(qū)原點(diǎn)處的零頻率簡(jiǎn)并, 并且體態(tài)具有非平凡拓?fù)湎鄷r(shí), 該零能模式受到拓?fù)浔Ｗo(hù).圖53 (a)中也給出了對(duì)應(yīng)qx= π的機(jī)構(gòu)與自應(yīng)力邊界態(tài), 分別以箭頭和色線表示.

圖53

Maxwell桁架系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài), 其零能模式的研究對(duì)于理解材料的物態(tài)轉(zhuǎn)換、剛度與強(qiáng)度的本質(zhì)、散體流動(dòng)機(jī)制具有重要意義, 長(zhǎng)期為材料物理學(xué)界關(guān)注. 拓?fù)錁O化性質(zhì)無法由局部連接關(guān)系和幾何構(gòu)型直接呈現(xiàn), 證明這一簡(jiǎn)單系統(tǒng)可蘊(yùn)含極豐富的物理機(jī)制. 當(dāng)前, 拓?fù)淞隳苣Ｊ降难芯窟€局限于嚴(yán)格的Maxwell桁架系統(tǒng), 在分析上基于矩陣哈密頓算符. 對(duì)于不滿足Maxwell條件的弱超靜定桁架(非方陣算符)甚至連續(xù)體復(fù)合材料(微分算符), 是否存在類似的拓?fù)洹败洝蹦Ｊ绞侵档锰剿鞯膯栴}. 此外, 拓?fù)浞较蛐宰鳛椴牧弦环N新的內(nèi)稟屬性, 在傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和本構(gòu)關(guān)系框架中無法得到體現(xiàn), 尋求高階連續(xù)化理論以表征這一性質(zhì)也正在引起關(guān)注(Mao et al. 2018, Sun 2020). 由于周期結(jié)構(gòu)的低頻模式?jīng)Q定材料宏觀力學(xué)響應(yīng), 拓?fù)淞隳苣Ｊ降呢S富性、魯棒性和可操控性無疑為傳統(tǒng)點(diǎn)陣材料設(shè)計(jì)帶來新的契機(jī).

8 總結(jié)與展望

本文系統(tǒng)介紹了近年來彈性波拓?fù)浣^緣體相關(guān)研究進(jìn)展. 論文在引言部分對(duì)拓?fù)浣^緣體在電子波研究中的起源做了回顧. 隨后, 以離散質(zhì)量彈簧模型為例對(duì)拓?fù)浣^緣體研究有關(guān)概念、設(shè)計(jì)與分析方法等做了詳細(xì)闡述. 第3 ~ 第5小節(jié)分別介紹了谷霍爾、霍爾及自旋霍爾絕緣體設(shè)計(jì)原理、波動(dòng)規(guī)律及取得的研究進(jìn)展. 第6小節(jié)以二維角落態(tài)為例簡(jiǎn)單介紹了高階拓?fù)浣^緣體.

目前來看, 針對(duì)二維彈性波的拓?fù)浣^緣體研究比較完善, 常見拓?fù)浣^緣體都已實(shí)現(xiàn)并得到驗(yàn)證, 后續(xù)研究主要可以從以下方面進(jìn)一步拓展:

(1)三維彈性波拓?fù)浣^緣體研究. 三維材料有更豐富的帶結(jié)構(gòu)特征, 例如, 能帶可在三維動(dòng)量空間某一位置形成線性簡(jiǎn)并, 該簡(jiǎn)并點(diǎn)稱為外爾點(diǎn)(Weyl point), 簡(jiǎn)并點(diǎn)可以相互連接構(gòu)成封閉的拓?fù)涔?jié)線(nodal line), 拓?fù)涔?jié)線可進(jìn)一步相互嵌套成節(jié)線鏈(nodal chain), 這些所謂拓?fù)浒虢饘?topological semimetal)材料均存在獨(dú)特表面態(tài). 相關(guān)研究在聲波、電磁波系統(tǒng)中研究較多, 也逐漸被拓展到彈性波領(lǐng)域(Ganti et al. 2020). 三維拓?fù)浣^緣體的高階拓?fù)涮匦砸灿懈嗫赡? 如在零維角點(diǎn)的拓?fù)浣锹鋺B(tài)與一維邊界的鉸鏈態(tài).

(2)非厄米特(non-Hermitian)系統(tǒng)的拓?fù)洮F(xiàn)象也是近來熱門研究(Leykam et al. 2017, Shen et al. 2018, Zhang et al. 2019, Gao et al. 2020). 實(shí)現(xiàn)非厄米特性一般需要系統(tǒng)包含損耗或者增益效果, 這導(dǎo)致系統(tǒng)的能量不再守恒, 系統(tǒng)的特征頻率從實(shí)數(shù)變?yōu)閺?fù)數(shù). 這類系統(tǒng)也可以通過拓?fù)洳蛔兞靠坍? 系統(tǒng)邊界也允許常規(guī)拓?fù)浣^緣體中的拓?fù)浔Ｗo(hù)態(tài), 但其拓?fù)湎嘧儾皇峭ㄟ^能帶簡(jiǎn)并而實(shí)現(xiàn), 而是通過奇異點(diǎn)(exceptional point)進(jìn)行轉(zhuǎn)變. 在彈性和機(jī)械系統(tǒng)中, 這類新奇拓?fù)洮F(xiàn)象的研究比較少.

(3)彈性波拓?fù)浣^緣體的應(yīng)用探索. 后續(xù)研究除了揭示彈性波拓?fù)浣^緣體機(jī)理外, 更應(yīng)該注重拓?fù)浣缑鎽B(tài)與實(shí)際波動(dòng)控制應(yīng)用的結(jié)合, 這是目前拓?fù)浣^緣體研究比較欠缺的. 利用彈性波拓?fù)溥吔鐟B(tài)具有的免疫缺陷、背散射抑制等特性, 一方面, 可設(shè)計(jì)能量傳輸效率更高的無損檢測(cè)、聲波傳感器拓?fù)淦骷? 另一方面, 可降低器件對(duì)結(jié)構(gòu)加工精度等的要求, 更利于實(shí)際應(yīng)用.

(4)拓?fù)洮F(xiàn)象的連續(xù)化描述. 目前拓?fù)洮F(xiàn)象多數(shù)是通過具體微結(jié)構(gòu)來呈現(xiàn)和討論的, 這制約了新拓?fù)洳牧系脑O(shè)計(jì), 如果能在連續(xù)介質(zhì)框架下建立描述拓?fù)洮F(xiàn)象的相關(guān)理論, 或?qū)⒋龠M(jìn)拓?fù)洳牧系脑O(shè)計(jì)與開發(fā).

(5)靜態(tài)拓?fù)洮F(xiàn)象的進(jìn)一步發(fā)掘研究. 除了第7小節(jié)的拓?fù)涔铝⒆?、Maxwell點(diǎn)陣中的拓?fù)淞隳苣Ｊ酵? 其他靜力學(xué)現(xiàn)象中的拓?fù)浠蚩蛇M(jìn)一步發(fā)掘, 如固體中的位錯(cuò)就對(duì)應(yīng)著拓?fù)淙毕? 或可借鑒設(shè)計(jì)相關(guān)的靜力學(xué)超材料.

致 謝感謝趙玉臣提供連續(xù)介質(zhì)邊界態(tài)相關(guān)素材. 國(guó)家自然科學(xué)基金(11632003, 1173207,11872111, 11972080, 11972083, 11991030, 12002030, 12072108)資助項(xiàng)目.