徐 凡 楊易凡 汪 婷

復旦大學航空航天系力學與工程仿真研究所, 上海 200433

1 引 言

薄膜結構在自然界和現(xiàn)代工業(yè)中廣泛存在 (見圖1). 由于其具有質輕、二維、高柔度、可伸展和高收納比等特性被廣泛應用于航空航天和建筑工程, 例如大面積太陽電池陣、薄膜翼、充氣天線、太陽帆、再入減速裝置、太空艙和水立方膜結構等(杜星文等 2006, 王長國等 2007, 胡海巖 2016, 彭福軍等2017). 然而, 薄膜由于面外抗彎剛度較低(量級為厚度的三次方), 而面內剛度相對較高(量級為厚度的一次方), 因此, 薄膜結構易發(fā)生面外變形、失穩(wěn)和褶皺. 受限薄膜和薄殼等薄壁結構通過喪失面外穩(wěn)定性(起皺)來降低面內的拉伸/壓縮能, 通常被認為是走向災難性破壞的途徑(Ba?ant 2000, Wang et al. 2016, 曹進軍等2019, Luo et al. 2020). 從另一方面看, 隨著極端變形材料和柔性結構的興起和應用(Li et al. 2012, Reis et al. 2018, Reis 2015), 可以反過來利用這種屈曲失穩(wěn)行為實現(xiàn)特定的功能, 例如通過可編程的起皺紋理形成偽裝皮膚(Pikul et al.2017), 引入微結構的褶皺區(qū)域定位(Yan et al. 2014), 利用拓撲優(yōu)化的無褶皺設計(Luo et al.2017), 軟體驅動的形貌控制(Siéfert et al. 2019), 自主驅動的分岔引導打印(Jiang et al. 2019), 形狀可編輯的多穩(wěn)態(tài)超表面(Bende et al. 2015), 褶皺斑圖地貌的動態(tài)調控(Paulsen et al. 2016)以及自適應氣動性能控制(Terwagne et al. 2014)等. 可逆的失穩(wěn)響應操控, 尤其是屈曲和穩(wěn)定狀態(tài)之間的靈活過渡, 將是相關功能性應用的關鍵, 可為幾何拓撲相關的功能性薄膜結構的智能制造提供指導, 具有廣闊的應用前景.

平面薄膜結構的褶皺失穩(wěn)形貌在各個面內尺度下較為相似, 表現(xiàn)為無尺度效應(見圖1 (a)~圖1(e)).然而, 初始曲率影響下薄膜結構的變形失穩(wěn)形貌卻較為復雜(見圖1 (f)~圖1(j)), 與平面構型下的褶皺斑圖存在明顯差異, 反映出曲率的作用效果. 軟膜?硬基底系統(tǒng)中的曲率可以引導缺陷自組裝, 例如裂紋擴展路徑(Mitchell et al. 2017)和褶皺形貌(Irvine et al. 2010, Ma et al. 2019, Janssens et al. 2020). 曲率在核殼結構(Li et al. 2011; Zhao et al. 2014; Xu & Potier-Ferry 2016; Xu et al.2017, 2020b; Zhao et al. 2021)和膜基系統(tǒng)(Cai et al. 2011, Yang et al. 2018, Xu & Zhao 2020, Zhao et al. 2020, Ding et al. 2021)的褶皺模態(tài)選擇和形態(tài)轉化中起關鍵作用. 自發(fā)曲率會導致薄殼旋轉對稱性破缺和跳躍屈曲失穩(wěn)(Zhang et al. 2018, Pezzulla et al. 2018). 另外, 曲率可延緩均勻生長系統(tǒng)中褶皺的形成(Jia et al. 2018). 在發(fā)育中的哺乳動物大腦溝壑形態(tài)的異質系統(tǒng)中, 曲率小的區(qū)域首先發(fā)生失穩(wěn)(Budday et al. 2015). 結合曲率和剪裁設計可以實現(xiàn)波在折紙結構中的傳播(Rafsanjani et al. 2019). 在拉伸作用下, 曲線絲狀超結構網(wǎng)絡可以使變形模式從拉伸到彎曲轉變(Yan et al. 2020). 總之, 理解曲率對褶皺形貌演變和失穩(wěn)模態(tài)成形的力學機理對于有效利用失穩(wěn)實現(xiàn)智能表面等功能性用途至關重要.

本文針對曲面薄膜結構褶皺失穩(wěn)行為, 從曲率影響下的薄膜拉伸穩(wěn)定性和膜基結構表面失穩(wěn)形貌選擇兩類問題的研究進展進行綜述, 重點圍繞曲率對失穩(wěn)模態(tài)的影響及力學機理、模型與方法進行闡述分析, 最后對其發(fā)展趨勢進行展望.

2 曲率影響下的薄膜拉伸穩(wěn)定性

2.1 平面薄膜拉伸起皺臨界

二十年前, Friedl等(2000), Cerda等(2002)以及 Cerda & Mahadevan (2003)相繼揭示了單軸拉伸下平面薄膜會出現(xiàn)橫向褶皺. 上述研究以及其他早期研究都受限于小應變(約1%)起皺行為, 研究對象通常是傳統(tǒng)硬材料, 如金屬和塑料薄膜. Friedl等(2000)給出了臨界拉應力的表達式

其中C=σyy/σxx為 比例系數(shù),σyy為 長度方向的應力,σxx為 橫向應力,L為 長度,W為寬度,h為膜厚,E為彈性模量,ν為泊松比,n1,n2分別是長度方向和橫向的半波數(shù). 隨后, Cerda等(2002)以及Cerda & Mahadevan (2003)通過能量極小化原理推導出褶皺波長λ和 幅值A的標度律關系

其中γ為拉伸應變. 進一步地, Jacques & Potier-Ferry (2005)基于穩(wěn)定性理論, 解析獲得了臨界拉應力和橫向失穩(wěn)波長l的表達式

其中l(wèi)x為 長度方向屈曲長度,lc為特征長度,k為橫向失穩(wěn)波數(shù). 隨后, Kim等(2016)和Puntel等(2011)通過能量變分, 給出了臨界拉伸應變的表達式

其中nk∈N.

2.2 平面超彈性薄膜拉伸起皺與再穩(wěn)定

隨著軟物質力學的發(fā)展(馮西橋等2017, Reis et al. 2018), 非線彈性有限變形理論得到廣泛應用. 同時, 人們開始利用軟材料大變形和失穩(wěn)突變等特性實現(xiàn)形貌調控等功能性用途. Zheng(2009)首次發(fā)現(xiàn)了過度拉伸的超彈性薄膜中的再穩(wěn)定(平整化)行為, 即隨著拉伸的持續(xù)增加, 薄膜褶皺幅值先增加、后減小, 最后消失(ε~ 0.3), 如圖2所示. 這是軟薄膜大變形后出現(xiàn)的孤立中心分岔(isola-center bifurcation)行為, 源自拉伸能與彎曲能之間的非線性競爭, 需要從解析、數(shù)值和實驗上對其力學機理進行深入探究. 同時, 由于薄膜拉伸產生較大的面內變形, 經典的小應變板殼模型已不再適用, 需要發(fā)展新的板殼理論和計算方法來預報超彈性薄膜拉伸起皺與再穩(wěn)定現(xiàn)象.

Healey等(2013)通過在F?ppl-von Kármán (FvK)薄板幾何方程中引入面內非線性變形梯度項, 提出了基于Saint-Venant Kirchhoff (SVK)本構的有限應變薄板模型. 其格林?拉格朗日應變張量表示為

其中u和w分 別表示面內位移和面外撓度,?(·)表 示二維面梯度,?表示張量積. 當忽略式(5)中的面內非線性項?uT?u, 則退化為經典的FvK板模型. 兩種模型都采用了線性曲率. 通過能量變分, 最后可得平衡微分方程

其中N為板中面的第二Piola-Kirchhoff (PK)應力張量. 注意到面內平衡方程中, 不同于經典FvK板模型第二PK應力的散度為零, 此處SVK板模型是第一PK應力的散度為零. 利用歐拉?牛頓數(shù)值算法求解, 可得到撓度?應變演化分岔圖2 (b). 結果表明SVK模型能預測起皺?消皺的孤立中心分岔行為, 而經典FvK板模型無法預報褶皺消失現(xiàn)象. 因此, 幾何方程中的面內非線性項對褶皺的消失起著決定性作用. 進一步地, Li和Healey (2016)探究了材料非線性行為, 即neo-Hookean (NH)和Mooney-Rivlin (MR)超彈性本構對孤立中心分岔演化的影響. 結果表明可描述材料非線性行為的NH和MR模型在預測褶皺消失的再穩(wěn)定點上比線彈性本構的SVK模型更精確. 然而, SVK模型仍足以捕捉到褶皺的出現(xiàn)和消失行為, 表明不同的超彈性材料本構模型并不會對這一孤立中心分岔行為產生質的影響, 說明該現(xiàn)象主要依賴于幾何非線性.

圖2

Fu等(2019)從三維超彈性應變能函數(shù)出發(fā)推導了多種二維薄膜超彈性本構模型, 提出了適用于多種可壓縮和不可壓縮超彈性本構及應變硬化材料的有限應變板模型, 采用基于連續(xù)攝動理論的數(shù)值漸近法與可處理空間微分離散的譜配點方法相耦合的數(shù)值計算框架, 準確預測了薄膜拉伸起皺?消皺的演化全景. Wang等(2019)基于Koiter穩(wěn)定性理論, 首次半解析地預測了孤立中心分岔點, 探究了泊松比對薄膜拉伸起皺與再穩(wěn)定的影響, 發(fā)現(xiàn)較小的泊松比會導致較滯后的褶皺出現(xiàn)、更低的失穩(wěn)振幅和較早的褶皺消失行為. 特別地, 當泊松比低于一個閾值時, 薄膜在單軸拉伸時不會出現(xiàn)褶皺. 另外, 當薄膜長寬比大于4時, 薄膜中心起皺將分裂為兩端起皺.

除考慮各向同性材料薄膜外, Sipos和Fehér(2016), Zhu等(2018), Liu等(2019), Yang等(2020)探究了各向異性材料對薄膜失穩(wěn)行為的影響. Liu等(2019)發(fā)現(xiàn)改變材料主方向和拉伸方向的夾角可對褶皺方向進行定向調控. Taylor等(2019)探究了不可壓纖維增強薄板在多種力學加載下的褶皺形貌. Yang等(2020)通過在大應變板理論中引入各向異性超彈性本構, 建立了各向異性超彈性有限應變板模型, 發(fā)現(xiàn)當纖維與基質的剪切模量比高于臨界值時, 褶皺消失, 即薄膜在拉伸過程中保持表面平展.

2.3 曲面薄膜穩(wěn)定性與曲率消皺機制

薄膜結構通常具有曲面幾何構型, 自然而然引出一些科學問題: 曲率是否影響褶皺失穩(wěn)發(fā)生發(fā)展? 薄膜起皺是否依賴于初始曲率? 曲率能促進亦或是抑制薄膜起皺行為?

Wang等(2020)發(fā)現(xiàn)曲率可以有效且精確地調控起皺與消皺行為(見圖3). 當薄膜彎曲時(具有初始曲率), 不同于平面薄膜拉伸出現(xiàn)局部起皺現(xiàn)象, 曲面薄膜會出現(xiàn)局部起皺與整體彎曲的耦合變形行為. 且存在臨界曲率, 當曲率大于閾值時, 薄膜拉伸時始終保持表面光滑, 不會出現(xiàn)褶皺, 即曲率可抑制褶皺發(fā)生. 為定量理解其內在力學機理和影響因素, Wang等(2020)基于廣義曲線坐標系的微分幾何, 建立了可以描述柱面的有限應變薄殼模型, 可準確預測薄膜起皺?消皺行為. 對于柱面幾何, 采用弧長s和軸長z組成曲線坐標系 (s,z), 則柱面可以參數(shù)化為且其度量張量和曲率張量分別表示為

圖3

柱面下的格林?拉格朗日應變張量可以表示為

(1)小曲率:uδ,α～O(?)和bγβ～O(?2). 小曲率下柱面薄膜應變張量為

當?shù)诙椕鎯确蔷€性項忽略時, 模型退化為經典Donnell-Mushtari-Vlassov (DMV)殼模型(Yamaki 1984).

(2)有限曲率:uδ,α～O(?)和bγβ～O(?). 有限曲率下柱面薄膜應變張量為

線性化的彎曲應變張量可表示為

其中ε12n,ε?12n分別為參考和當前構型下基矢量的混合積. 假設短波失穩(wěn)下發(fā)生適當?shù)拿嫱廪D動(法矢量轉動較小), 則彎曲應變張量的非線性項可以忽略, 且近似有Bα=?w,α, 同時變形狀態(tài)下度量張量近似為1. 相應地, 存在兩種情況:

(1)小曲率:uδ,α～O(?)和bγβ～O(?2). 小曲率下柱面彎曲張量表示為

即為經典的DMV殼曲率假設(Yamaki 1984).

(2)有限曲率:uδ,α～O(?)和bγβ～O(?). 有限曲率下柱面彎曲張量為

基于歐拉?拉格朗日方程, 最后可得有限曲率柱面薄膜的平衡微分方程組

其中薄膜力N與彎矩M分別表示為

其中Ψm和Φb分別為薄膜能密度和彎曲能密度.

通過數(shù)值漸近法和譜配點法可定量求解方程(15)并預測追蹤非線性失穩(wěn)形貌演化全景(見圖4). 對于平面薄膜(曲率κ=0), 在拉伸應變約2.5%時褶皺出現(xiàn), 隨著拉伸應變增加, 褶皺幅值先增大后減小, 最后消失, 整個路徑即為孤立中心分岔演化. 對于曲面薄膜, 在拉伸過程中出現(xiàn)整體彎曲與局部起褶耦合的失穩(wěn)行為, 且褶皺幅值隨著曲率的增大而減小. 當曲率高于臨界值時,薄膜不會出現(xiàn)褶皺, 只發(fā)生整體彎曲變形. 這可以從彎曲能和薄膜能的非線性競爭來理解(見圖4 (b)).平面薄膜在拉伸過程中, 褶皺出現(xiàn)前其彎曲能保持為零; 褶皺出現(xiàn)后, 隨著繼續(xù)拉伸, 彎曲能先增加后減小; 當褶皺消失后, 彎曲能再次變?yōu)榱? 對于曲面薄膜, 在拉伸過程中, 彎曲能一直處于主導, 始終增加, 且當初始曲率大于臨界閾值時, 彎曲能不發(fā)生突變. 注意到經典DMV殼模型無法預報褶皺消失的再穩(wěn)定點, 而Wang等(2020)提出的有限應變殼模型可準確預測曲面薄膜拉伸起皺?消皺行為. 理解曲率對軟薄膜穩(wěn)定性形貌演變對于有效利用褶皺作為形貌設計至關重要,也為薄膜結構平整化(消褶)提供了新的思路.

圖4

3 曲率影響下膜基結構表面失穩(wěn)行為

3.1 平面膜基結構

把薄膜鋪在基底上, 則形成膜基結構. 軟物質表面失穩(wěn)現(xiàn)象, 即膜基結構表面起皺行為在自然界中普遍存在, 例如皮膚皺紋(Efimenko et al. 2005)、大腦溝回(Tallinen et al. 2016)、風干水果(Li et al. 2011)和花葉形貌(Xu et al. 2020a)等; 現(xiàn)代工業(yè)中, 膜基結構失穩(wěn)行為在表面自清潔、防污損(Pocivavsek et al. 2018)、形貌偽裝(Pikul et al. 2017)和微納米斑圖成形(Bowden et al.1998)等領域具有廣泛應用. 然而, 如何定量預測并連續(xù)追蹤后屈曲非線性失穩(wěn)模態(tài)中的多重分岔轉變仍是一項挑戰(zhàn).

由于薄膜褶皺波長λ通常遠大于膜厚, 薄膜面內應變一般可用FvK薄板幾何方程描述(Chen & Hutchinson 2004, Huang et al. 2005)

單軸壓縮下, 膜基系統(tǒng)通常會在臨界閾值處屈曲產生正弦形褶皺(Allen 1969; Biot 1963; Xu et al.2014, 2015; Xu and Potier-Ferry 2016), 此時薄膜力可表示為(Genzer & Groenewold 2006, Chung et al. 2011)

其中E為楊氏模量,ν為泊松比,hf為薄膜厚度,W為寬度, 下標f和s分別表示薄膜和基底. 應力極小化滿足條件 dN/dλ=0, 可得到臨界失穩(wěn)波長λc

可以看到, 臨界應變εc僅取決于模量比. 從能量角度看, 軟基底上薄膜起皺是在薄膜彎曲能、拉伸能和基底的變形能之間尋求平衡的過程(Khang et al. 2006, Huang et al. 2005, Song et al. 2009,Fu et al. 2018). 當達到臨界壓縮應變時, 薄膜會發(fā)生屈曲從而降低系統(tǒng)的總勢能. 考慮已經起皺的薄膜受到額外施加的應變(εappiled), Jiang等(2007)發(fā)展了一種有限變形框架下的模型用于預測褶皺波長和幅值

其中εpre為基底的預應變,ζ=5(εpre?εapplied)(1+εpre)/32. 式(21)提供了在額外施加應變下褶皺波長和幅值的預測.

對于膜基結構受雙軸壓縮的情況, 臨界應變εc和 應力σc與單軸壓縮的理論解僅存在系數(shù)上的差異, 分別表示為(Audoly & Boudaoud 2008, Chen & Hutchinson 2004)

Zhao等(2015)探究了受限各向同性生長(膨脹)條件下, 橫向尺寸對柔性基底上薄膜起皺的影響, 得到臨界生長應變εg為

其中方形薄膜的寬度為2a. 式(23)表明除彈模比外, 方形膜基結構起皺的臨界生長應變也依賴于臨界波長和薄膜寬度.

對于模量比Ef/Es～5?1000范圍內的膜基結構, 在臨界失穩(wěn)后進一步加載, 會出現(xiàn)倍周期模態(tài)(周期性的成對褶皺)的二次分岔失穩(wěn), 更進一步加載會導致四倍周期模態(tài)(Brau et al. 2011,Cao & Hutchinson 2012). 當系統(tǒng)存在結構缺陷、預拉伸或液體基底時, 還可能出現(xiàn)其他模態(tài), 如三倍周期(Budday et al. 2015a, 2015b)、凸脊(Auguste et al. 2018, Cao & Hutchinson 2012)、多級褶皺(Cheng & Xu 2021)和自接觸折痕(Pocivavsek et al. 2008, Sultan & Boudaoud 2008, Sun et al.2012)等復雜形貌(見圖5).

圖5

近年來隨著膜基結構表面自組裝技術的飛速發(fā)展, 各種薄膜材料包括無機物(Chen et al.2017)、金屬(Bowden et al. 1998)、聚合物(Rodríguez-Hernández 2015)和新型碳材料(Hu et al.2019)被用于制造微/納米結構. 驅動薄膜自組裝的機械力可由化學反應(例如表面聚合和氧化)(Rodríguez-Hernández 2015)或物理刺激(例如熱應變、預應變釋放和光致變形) (Ohzono &Monobe 2012, Fu et al. 2018, Zhao et al. 2019, Zhao et al. 2021). 總之, 軟基底上薄膜的起皺形貌、模態(tài)和特征尺度受多參數(shù)(例如薄膜和基底模量比、失配應變和應力分布等)影響(倪勇等2018). 早期的工作大多聚焦于平面初始構型下的膜基結構, 近年來越來越多的學者開始關注曲率對表面褶皺形貌的影響.

3.2 柱面膜基結構

本節(jié)討論在各種載荷下(例如軸向壓縮、熱膨脹/收縮和體積增長)的柱面核殼結構表面起皺行為. 柱面和錐面都是具有零高斯曲率的可展曲面, 幾何上屬同一類曲面構型. 對于半徑為R,外層厚度為hf(hf/R?1)的柱面核殼結構, 經典DMV框架下(Yamaki 1984)的應變張量和曲率張量為

與平面膜基系統(tǒng)相比, DMV淺殼模型中環(huán)向應變多了曲率的貢獻, 即w/R. 顯然, 當柱面退化為平面時(R→∞) , 有w/R→0 , 幾何方程與平面系統(tǒng)一致. 柔性核心剛度Ks取決于基底的彈模和屈曲半波長?x(Allen 1969, Biot 1963)

當柱面核殼結構受到軸向壓縮時, 由于曲率與核心的共同作用, 薄殼可能先屈曲成軸對稱的正弦形模態(tài)(見圖6 (a)), 繼續(xù)加載下轉變成非軸對稱的鉆石形模態(tài)(見圖6 (b)). 為表征柱面核殼結構的模態(tài)轉化規(guī)律, Xu & Potier-Ferry (2016)通過分析基底與薄膜變形能量級, 得到一個無量綱參數(shù)

其表征了核殼彈模比Es/Ef和無量綱曲率半徑R/hf. 當Cs≥0.9, 屈曲模態(tài)是軸對稱的(見圖6 (a)),且超臨界分岔后的解是穩(wěn)定的; 當Cs≤0.7, 柱面核殼結構發(fā)生亞臨界二次分岔失穩(wěn)成鉆石形模態(tài)(見圖6 (b)). 此外, 對于極軟的核心, 其后屈曲行為接近于空心柱殼, 具有極強的缺陷敏感性.上述兩種失穩(wěn)形貌是軸壓下柱面核殼結構的普遍形式, 除了在模態(tài)過渡區(qū)中(0.7

圖6

外層殼和核心之間的失配應變可由外部激勵引起的非均勻膨脹/收縮產生, 如熱收縮(Tan et al.2019, Yuan et al. 2019), 溶劑引起的膨脹(Li et al. 2015, Yin et al. 2014)和體積增長(Ben Amar &Jia 2013). Chen & Yin (2010)在圓柱核殼結構中引入平面應變假設, 得到前屈曲中薄膜壓應力為

式(27)表明,σ0受 基底曲率半徑R、失配應變Δε和彈模比的影響. 從簡化的環(huán)形平面應變膜基模型中可以得到臨界波數(shù)nc、 臨界波長λc、 臨界應力σc、 臨界應變εc和起皺幅值A(Chen & Yin 2010)

利用智能材料對多物理場激勵產生的變形響應可用于形貌斑圖的靈活設計與調控. Zhao等(2021)將液晶分子取向產生的各向異性自發(fā)應變引入經典DMV薄殼理論中, 發(fā)現(xiàn)當指向矢在圓柱面內排布時, 失穩(wěn)形貌受核殼剛度比和曲率影響, 可出現(xiàn)軸對稱、油條狀或鉆石模態(tài); 當指向矢在圓柱面外分布時, 薄膜中的各向異性自發(fā)應變會導致斜條紋、平行珠鏈或鉆石模態(tài)(見圖7).通過改變液晶高聚物網(wǎng)絡(LCN)薄膜中液晶初始指向矢方向, 可實現(xiàn)表面褶皺斑圖的靈活設計.

圖7

另一種典型情況是軟殼在柱面核心上軸向受壓無粘連滑移(見圖8 (a)). 平面幾何構型下在桌面上擠壓一張紙的現(xiàn)象較為簡單, 紙張整體屈曲成單一凸脊(見圖8 (b)~圖8(d)). Yang等(2018)發(fā)現(xiàn)柱面基底上軟殼在軸向壓縮下, 由于曲率的影響, 會首先屈曲成正弦形褶皺(見圖8 (f)),實驗與理論計算表明臨界失穩(wěn)應變與無核心圓柱殼軸向受壓一致(van der Heijden, 2009)

圖8

3.3 球面膜基結構

球面膜基是另一種常見的曲面復合結構, 具有正高斯曲率. 許多果實和蔬菜可看作具有核殼結構的球體或類球體, 其生長過程中呈現(xiàn)出多樣的褶皺斑圖形貌, 例如甜瓜、脫水花粉粒和青豆等(Yin et al. 2009, Yang et al. 2016, Li et al. 2011). Yin等(2009)基于彈性薄殼理論和有限元, 模擬分析了各種球形核殼結構的表面不穩(wěn)定性和失穩(wěn)模態(tài). 他們發(fā)現(xiàn)球面核殼結構的失穩(wěn)模態(tài)主要取決于有效尺寸/厚度比、赤道/極半徑比和核殼彈性模量比.

考慮半徑為R的球形基底, 覆蓋一個厚度為hf的硬殼, 淺曲率球殼應變可表示為(Xu et al.2020b, Xu & Zhao 2020)

和柱面情況相比, 可以發(fā)現(xiàn)只在另一方向多了曲率影響, 即w/R. Li等(2011)通過臨界穩(wěn)定性分析和有限元模擬, 研究了neo-Hookean球面核殼結構因核心收縮引起的起皺和后屈曲模態(tài). 當收縮達到臨界值時, 球殼首先出現(xiàn)巴基球失穩(wěn)形貌, 然后逐步演化為迷宮模態(tài). 豌豆失水萎縮實驗進一步驗證了這一形貌的演化過程(見圖9 (a)). 基于Koiter彈性殼理論, Stoop等(2015)發(fā)展了一種廣義Swift-Hohenberg模型, 用于描述膜基結構褶皺形貌和模態(tài)選擇. López-Jiménez等(2016)基于廣義Swift-Hohenberg理論研究了曲率和拓撲結構對曲面核殼結構表面晶體壓痕斑圖的影響. 結果表明單個缺陷的位置和缺陷鏈的方向依賴于局部高斯曲率和梯度, 進一步說明曲率對膜基結構表面形貌演化有著重要影響. Zhao等(2020)進一步研究了曲率各向異性和曲率梯度對曲面膜基系統(tǒng)起皺的影響, 給出了描述各向異性曲率的模態(tài)選擇相圖. 他們發(fā)現(xiàn), 當曲率張量為各向異性且褶皺垂直于主曲率時, 曲面膜基系統(tǒng)的初始不穩(wěn)定模態(tài)是正弦形. 隨著殘余應力的增大, 正弦褶皺可演變?yōu)榱呅? 并經歷雙穩(wěn)態(tài)混合模態(tài)進一步轉化為迷宮形貌.

圖9

Xu等(2020b)從實驗和理論上發(fā)現(xiàn), 在核心收縮或表層膨脹時, 球面核殼結構的模態(tài)選擇主要取決于單一的無量綱參數(shù)Cs(見圖10). 當Cs<1.3時, 核殼結構通常經歷亞臨界分岔失穩(wěn)成局部凹陷形貌; 當 1.315時, 則產生無序的迷宮斑圖. 當Cs～1000, 核殼結構近似于雙軸壓縮下的平面膜基系統(tǒng), 失穩(wěn)成棋盤狀斑圖. 基于單一參數(shù)Cs的全域模態(tài)相圖與氧化聚二甲基硅氧烷(PDMS)微球的實驗觀察結果一致. 研究結果不僅對球面核殼結構失穩(wěn)形貌選擇提供了公式化解釋, 也為定量利用曲率和彈模調控表面斑圖成形及靈活設計提供了理論依據(jù).

圖10

4 結論

薄膜起皺現(xiàn)象由于其豐富的表面形貌和復雜的非線性力學行為, 過去二十年里引起了廣泛的研究興趣. 早期的工作聚焦于平面薄膜結構小變形起皺行為的臨界分析, 近年的工作開始探究曲率對薄膜結構大變形失穩(wěn)行為的影響, 促進了有限應變殼理論的發(fā)展. 研究發(fā)現(xiàn)增大初始曲率可抑制褶皺產生, 為薄膜結構平整化提供了新思路. 膜基雙層結構中, 曲率不僅會改變薄膜起皺的臨界載荷, 也會顯著影響空間褶皺的模態(tài)選擇和非線性演變, 具體可歸納為以下幾點: (1)失穩(wěn)的臨界應變一般隨曲率的增加而增加, 即曲率會延遲褶皺失穩(wěn); (2)曲率是調控表面失穩(wěn)形貌的重要參數(shù). 曲面核殼結構比平面膜基結構通常具有更大的變形, 更容易產生對稱性破缺, 使其在不同幾何曲率構型下產生更豐富多變的褶皺斑圖; (3)曲面基底可以是實心的, 也可以是空心的,可具有各種各樣跨尺度的幾何構型. 雖然文獻中已經實現(xiàn)了大量等曲率表面失穩(wěn)形貌演化的模擬, 但對于非均勻曲率表面上更為復雜的起皺形貌的精確預測, 仍需要普適的理論模型和高效的計算方法. 理解曲率影響下薄膜結構的非線性失穩(wěn)機理和形貌演化規(guī)律, 對于利用失穩(wěn)實現(xiàn)多功能表面制造具有應用潛力, 可促進拓撲形貌相關的功能性薄膜結構的設計及優(yōu)化.

致 謝國家自然科學基金(11872150, 11602058, 11772094); 上海市青年科技啟明星計劃(19QA 1400500)資助項目.