Falk M L Langer J S

1 約翰霍普金斯大學(xué)材料科學(xué)與工程系、機(jī)械工程系、物理與天文系, 馬里蘭州巴爾的摩 21218

2 加州大學(xué)物理系, 加利福尼亞州圣巴巴拉 93106-9530

1 概 述

類固體非晶態(tài)材料的變形和破壞是一個(gè)廣受關(guān)注且歷史悠久的話題. 這類材料包括結(jié)構(gòu)和金屬玻璃、玻璃態(tài)聚合物、 致密膠體懸浮液、多種顆粒物質(zhì)以及種類繁多的生物物質(zhì). 盡管這些材料固有的無(wú)序帶來(lái)了諸多挑戰(zhàn), 但因它們廣泛的應(yīng)用而備受關(guān)注. 其中, 對(duì)它們失效模式的預(yù)測(cè)至關(guān)重要. 在整個(gè)20世紀(jì)后半葉, 不同的物理和材料學(xué)家團(tuán)隊(duì)對(duì)外力驅(qū)動(dòng)下的非晶態(tài)固體行為開展了研究. 近年來(lái), 該領(lǐng)域得到了迅速發(fā)展, 這主要源于從數(shù)值模擬中所獲得的深入認(rèn)識(shí)(Falk & Maloney 2010), 部分歸因于一些新理論概念的引入. 然而, 是否存在一個(gè)被廣泛認(rèn)可的、從第一性原理出發(fā)的類固體非晶態(tài)變形理論的基本表述,仍是一個(gè)具有爭(zhēng)議的話題.

計(jì)算機(jī)推動(dòng)的進(jìn)展之一是非晶塑性的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論, 該理論由我們?cè)?998年提出(Falk &Langer 1998), 之后經(jīng)歷了一系列的改進(jìn)和發(fā)展(Langer & Pechenik 2003; Falk et al. 2004; Langer 2004, 2008; Pechenik 2005; Bouchbinder et al. 2007a, 2007b). 本綜述將主要圍繞剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論展開討論. 我們主要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn): (1)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論源于分子重排本質(zhì)這一特定假設(shè), 最終實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證性預(yù)測(cè); (2)通過(guò)在非平衡態(tài)熱力學(xué)基本原理框架下構(gòu)建理論, 增強(qiáng)了這些理論假設(shè)的合理性.

從一開始, 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論 (Falk & Langer 1998)就旨在成為Turnbull等(Turnbull & Cohen 1970, Spaepen 1977, Argon 1979, Spaepen & Taub 1981, Argon & Shi 1983) 流動(dòng)缺陷理論的延伸, 這些理論中分子團(tuán)簇在外加剪應(yīng)力作用下發(fā)生不可逆的重排. 從非常粗略的意義上講, 非晶材料中的流動(dòng)缺陷類似晶體中的位錯(cuò), 是塑性流動(dòng)的載體. 所有這些理論, 包括剪切轉(zhuǎn)變區(qū), 首先假設(shè)所關(guān)注的是類固體材料?具有剪切模量, 但同時(shí)流動(dòng)缺陷或位錯(cuò)允許其在某些情況下表現(xiàn)出類液體行為. 因此, 流動(dòng)缺陷理論與基于流體的理論在本質(zhì)上是不同的, 比如模式耦合理論(G?tze 1991, G?tze & Sj?gren 1992, Brader et al. 2009), 起源于對(duì)物質(zhì)的類液體、多體描述, 預(yù)測(cè)在高密度和低溫條件下類固行為的發(fā)生.

剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論與以往理論最重要的區(qū)別是認(rèn)識(shí)到流動(dòng)缺陷必須具有內(nèi)部自由度. 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)不僅在構(gòu)型漲落期間形成和湮滅; 它們還會(huì)從一個(gè)取向變換到另一個(gè)取向, 這些轉(zhuǎn)變發(fā)生的凈速率決定了不可逆剪切變形率. 正如我們后文所述, 該方向自由度的運(yùn)動(dòng)方程預(yù)測(cè)系統(tǒng)在屈服應(yīng)力下, 或更準(zhǔn)確地說(shuō), 在最小流動(dòng)應(yīng)力下, 經(jīng)歷從阻塞狀態(tài)到流動(dòng)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性轉(zhuǎn)變. 這種對(duì)屈服現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)解釋與應(yīng)力驅(qū)動(dòng)翻越勢(shì)壘的傳統(tǒng)圖像不完全相同; 由于與確定性動(dòng)力學(xué)相關(guān), 因此它與熵增存在緊密關(guān)聯(lián). 定向自由度還賦予系統(tǒng)定向記憶, 比如導(dǎo)致包辛格效應(yīng) (Dieter 1986).

近年來(lái), 通過(guò)引入有效無(wú)序溫度賦予剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論一種熱力學(xué)表述形式. 與流動(dòng)缺陷圖像一樣, 有效溫度的概念起源于Cohen和Turnbull (1959)的玻璃理論. 以Spaepen (1977)為代表的其他研究人員, 通過(guò)自由體積 vf描述非晶態(tài)材料的內(nèi)在無(wú)序狀態(tài). 這些研究者們敏銳地認(rèn)識(shí)到他們所定義的vf并不是當(dāng)前態(tài)相對(duì)密堆狀態(tài)的過(guò)剩體積(即一個(gè)廣延量), 而是一個(gè)強(qiáng)度量 ? 構(gòu)型熵對(duì)體積導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)(即關(guān)于分子力學(xué)穩(wěn)定位置的無(wú)量綱熵, 不包含動(dòng)力學(xué)或振動(dòng)的貢獻(xiàn)). 因此,他們提出流動(dòng)缺陷的濃度可能正比于類玻爾茲曼因子 exp(?constant/vf), 而不僅僅是vf本身. Edwards及其同事 (Edwards & Oakeshott 1989, Mehta & Edwards 1989)進(jìn)一步對(duì)這種熱力學(xué)類比加以發(fā)展, 用以描述如粉末等嚴(yán)格非熱材料. Lemaitre (2002, 2006) 采用了自由體積的概念, 其描述方式與此處的有效溫度分析密切相關(guān).

當(dāng)系統(tǒng)的力學(xué)行為由它的基本組分之間的相互作用決定時(shí), 通過(guò)能量而非體積來(lái)進(jìn)行熱力學(xué)分析變得至關(guān)重要. 故而, 自由體積vf類似一個(gè)有效的無(wú)序溫度Teff, 這里定義為構(gòu)型能對(duì)構(gòu)型熵的導(dǎo)數(shù). 對(duì)于高的環(huán)境溫度T,Teff與環(huán)境溫度保持平衡. 然而, 低環(huán)境溫度T下, 力學(xué)變形導(dǎo)致分子無(wú)序, 或玻璃形成液體淬火發(fā)生玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí), 可能使系統(tǒng)處于非平衡態(tài). 在后一種情況下,Teff與虛擬溫度 (fictive temperature)相同 (Tool 1946, Angell et al. 2000). 與自由體積公式類似,穩(wěn)態(tài)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)濃度與 exp(?TZ/Teff)成 正比, 其中eZ=kBTZ為典型的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)形成能.

在本綜述中, 我們只把在熱或力漲落引起的高頻環(huán)境噪聲下, 發(fā)生局部分子重排的材料作為討論對(duì)象. 因此, 將不考慮顆?；蚰z體材料臨近阻塞轉(zhuǎn)變狀態(tài)的嚴(yán)格非熱情形. 特別說(shuō)明, 我們討論的物理與非熱準(zhǔn)靜態(tài)數(shù)值模擬中觀察到的圖像有很大不同 (Maloney & Lemaitre 2004a, 2004b;Lemaitre & Caroli 2007, 2009; Maloney & Robbins 2009), 非熱準(zhǔn)靜態(tài)加載要求系統(tǒng)每經(jīng)歷系列小應(yīng)變后, 均需弛豫到它最近的能量極小狀態(tài). 無(wú)論是非熱準(zhǔn)靜態(tài)模擬, 還是趨于非熱準(zhǔn)靜態(tài)條件的極低溫和極小應(yīng)變率的全動(dòng)態(tài)模擬, 特征上均呈現(xiàn)出跨系統(tǒng)、類裂紋事件和尺寸相關(guān)的應(yīng)力漲落譜.

盡管非熱準(zhǔn)靜態(tài)與常態(tài)行為之間存在明顯差異, 但Lerner和Procaccia (2009) 斷言, 在非熱準(zhǔn)靜態(tài)極限或其附近觀察到的跨系統(tǒng)事件對(duì)所有基于局部化假設(shè)的塑性理論提出了嚴(yán)重質(zhì)疑.我們一直認(rèn)為, 這些事件可能是近乎阻塞顆粒材料在緩慢驅(qū)動(dòng)下的典型行為,但傳統(tǒng)非晶態(tài)分子材料并沒有表現(xiàn)出這種尺寸依賴的行為. 由于被模擬的系統(tǒng)內(nèi)存在正常的、有限范圍內(nèi)的分子間相互作用, 隨著溫度和應(yīng)變率升高, 必然存在一個(gè)從非熱準(zhǔn)靜態(tài)到常態(tài)行為的轉(zhuǎn)變. 跨系統(tǒng)的事件將被熱噪聲和機(jī)械噪聲抑制, 本構(gòu)關(guān)系和漲落譜將在無(wú)限體積的熱力學(xué)極限下表現(xiàn)出通常的行為. 最近, Procaccia及其同事 (Hentschel et al. 2010) 已經(jīng)證明情況確實(shí)如此; 事實(shí)上, 他們發(fā)現(xiàn)在極低溫條件下確實(shí)會(huì)發(fā)生從局部事件到正常塑性的預(yù)期改變. 這一觀察結(jié)果表明, 過(guò)度普適化非熱準(zhǔn)靜態(tài)結(jié)果是不合適的, 如參考文獻(xiàn) (Lerner & Procaccia 2009)所示, 并重申在一階近似下, 熱或機(jī)械噪聲的存在, 將使非晶分子系統(tǒng)處于局部事件控制動(dòng)力學(xué)的條件下, 這與剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論一致.

一個(gè)與剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論密切關(guān)聯(lián)的非晶態(tài)塑性描述是軟玻璃態(tài)流變 (Sollich et al. 1997, Sollich 1998). 該理論從局域、噪聲激勵(lì)的位移過(guò)程分布描述了廣泛的玻璃態(tài)行為. 與剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論一樣, 軟玻璃態(tài)流變表現(xiàn)出不同類型阻塞和流動(dòng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變, 至少在定性上, 可以解釋軟材料中觀察到的各種現(xiàn)象. 然而, 軟玻璃態(tài)流變一開始就假設(shè)存在一個(gè)固定的、寬泛的激活能分布, 而噪聲溫度控制了激活率. 到目前為止, 軟玻璃態(tài)流變?cè)肼暅囟鹊暮x和動(dòng)力學(xué)行為仍不清楚; 我們甚至不知道它是否與剪切轉(zhuǎn)變區(qū)有效溫度相同. 相比之下, 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論基于數(shù)值模擬和類比實(shí)驗(yàn)中直接觀察到的分子重排的特定模型. 有效溫度和導(dǎo)致有效溫度的耗散過(guò)程均可由分子自由度進(jìn)行定義.

本綜述由兩個(gè)主要部分組成, 分別在第2節(jié)和第3節(jié)中介紹. 在第2節(jié)中, 我們將展示剪切轉(zhuǎn)變區(qū)運(yùn)動(dòng)方程的一種極限形式, 并簡(jiǎn)要介紹幾種應(yīng)用, 特別是塊體金屬玻璃應(yīng)力應(yīng)變測(cè)量結(jié)果的闡釋, 剪切帶數(shù)值模擬分析, 以及剪切轉(zhuǎn)變區(qū)方程在自由邊界計(jì)算中的應(yīng)用. 在第3節(jié)中, 為簡(jiǎn)單起見, 將重點(diǎn)聚焦非晶塑性的非熱模型, 并使用該模型來(lái)說(shuō)明剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論的熱力學(xué)基礎(chǔ). 雖然熱力學(xué)論據(jù)主要基于參考文獻(xiàn) (Bouchbinder & Langer 2009a, 2009b, 2009c), 但仍有些分析是在本文首次展示. 第3節(jié)中的推導(dǎo)為第2節(jié)中的公式提供了從第一性原理出發(fā)的基礎(chǔ).

2 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論概述及應(yīng)用

2.1 彈塑性

首先我們將剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論用類固體材料彈塑性變形歐拉運(yùn)動(dòng)方程的一般形式進(jìn)行描述.考慮一個(gè)d維系統(tǒng), 其中i,j, ··· 是空間指數(shù), 并符合求和約定. 應(yīng)力張量σij表示為

其中p是靜水應(yīng)力,sij是 無(wú)跡、對(duì)稱的偏應(yīng)力. 類比于流體力學(xué),vi(x,t) 表示在物理位置x={xi}處和時(shí)間t對(duì)應(yīng)的物質(zhì)速度. 加速度和連續(xù)性方程為

此處,ρ0是 密度, d /dt表示作用在標(biāo)量位移上的物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)或速度場(chǎng)

在大多數(shù)情況下, 我們假設(shè)ρ0保持近似恒定, 因此式(2)中的第二個(gè)連續(xù)性方程不再需要.

彈塑性變形的解耦問(wèn)題長(zhǎng)期以來(lái)一直是固體力學(xué)的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)之一. 該問(wèn)題不在本文重點(diǎn)討論 (近期評(píng)述見參考文獻(xiàn) (Gurtin et al. 2010)). 在此, 我們作一個(gè)簡(jiǎn)單的近似, 假設(shè)總變形率張量可以表示為彈塑性貢獻(xiàn)的線性疊加

其中μ是剪切模量,K是體積模量,是塑性變形率. 符號(hào) D/Dt表 示作用在張量 (如Aij) 上的物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù). 由此, 我們可以得到

其中ωij是自旋張量, 可以表述為

式(4)中忽略了非線性彈性并假設(shè)所有位移的彈性部分都很小. 然而, 對(duì)塑性位移不做類似假設(shè).在歐拉公式中, 位移和應(yīng)變?cè)谶\(yùn)動(dòng)方程中均未顯示表達(dá), 速度場(chǎng)vi(x,t)可以描述任意大而復(fù)雜的物質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng).

與密度ρ0保 持恒定假設(shè)一致, 我們假設(shè)變形率張量塑性部分和sij一樣, 是一個(gè)無(wú)跡對(duì)稱張量, 因此塑性變形滿足體積守恒. 這個(gè)假設(shè)并非理論必須, 只是為了降低數(shù)學(xué)分析的復(fù)雜性而給定的, 并在大多數(shù)物理情況下滿足精確近似. 當(dāng)體脹變得重要時(shí), 可以簡(jiǎn)單地給疊加一個(gè)體積非守恒項(xiàng).

2.2 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)運(yùn)動(dòng)方程

此處,s表示應(yīng)力張量;θ=kBT和χ=kBTeff分別為以能量單位表示的通常溫度和有效溫度;eZ是剪切轉(zhuǎn)變區(qū)形成能;τ0是 分子時(shí)間尺度.fij(s,θ)的 低溫表達(dá)式如式(38)所示. 原則上,還取決于兩個(gè)內(nèi)部狀態(tài)變量: 一個(gè)無(wú)量綱的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)濃度Λ和帶有方向記憶的張量mij. 這兩個(gè)變量都必須滿足它們各自的運(yùn)動(dòng)方程, 并在3.4節(jié)的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)中發(fā)揮關(guān)鍵作用. 從這些方程到如式(7)所示的特殊形式, 我們假設(shè)Λ和mij在比塑性變形的時(shí)間尺度更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡. 如下所示, 在低溫和準(zhǔn)靜態(tài)變形下, 當(dāng)應(yīng)力|s|小 于動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力sy時(shí) ,mij的 動(dòng)力學(xué)使得fij(s,θ)消失. 在稍高的溫度下,m動(dòng)力學(xué)導(dǎo)致在近乎相同的屈服應(yīng)力下, 變形模式從熱輔助蠕變平滑過(guò)渡到穩(wěn)態(tài)流動(dòng). 通過(guò)在式(7)的右側(cè)忽略mij, 我們不考慮包辛格效應(yīng)或屈服應(yīng)力以下的非彈性應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng), 這些自然包含在該理論的一般形式中.

式(7)反映了剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論的核心前提, 即在塑性變形過(guò)程中, 局部的不可逆分子重排必須偶爾發(fā)生在分散點(diǎn)上. 在數(shù)值模擬中已經(jīng)直接觀察到的重排(Falk & Langer 1998, Lundberg et al. 2008, Haxton & Liu 2007) 是從一種取向狀態(tài)到另一種取向狀態(tài)的剪切轉(zhuǎn)變. 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)本身是短暫的、噪聲激活的構(gòu)型漲落, 易于被應(yīng)力驅(qū)動(dòng). 當(dāng)在剪切轉(zhuǎn)變區(qū)形成過(guò)程中, 如果它的激活方向與應(yīng)力一致, 則迅速經(jīng)歷剪切轉(zhuǎn)變. 一旦發(fā)生, 它將無(wú)法沿原來(lái)的方向繼續(xù)轉(zhuǎn)變; 而在進(jìn)一步更顯著的變形發(fā)生前, 它可以在反向應(yīng)力的作用下發(fā)生逆向轉(zhuǎn)變(Lundberg et al. 2008). 在任何一種情況下, 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)最終都會(huì)消失在嘈雜漲落的背景中. 該圖像假設(shè)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)轉(zhuǎn)變?yōu)橄∮惺录? 相應(yīng)的塑性變形長(zhǎng)時(shí)間尺度, 可以通過(guò)類玻爾茲曼因子 exp(?eZ/χ)用式(7)予以表示.

式(7)須補(bǔ)充χ的運(yùn)動(dòng)方程. 如3.3節(jié)所示, 該方程基本上是對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中熵流的描述. 它可以表示為

其中κ1和κ2是 無(wú)量綱常數(shù). 式(8)右側(cè)的第一項(xiàng), 即乘積 exp(?eZ/χ)Γ(s,θ)正比于力驅(qū)動(dòng)的熵產(chǎn)生率. 如第3節(jié)中所示, 根據(jù)式(7), 低溫下該乘積正比于功率其中包含因子 exp(?eZ/χ). 因此, 塑性變形和有效溫度為類似的動(dòng)力學(xué)慢參量. 更一般地說(shuō),Γ(s,θ)是一個(gè)非負(fù)噪聲強(qiáng)度, 它須依賴溫度, 因?yàn)楣β时旧砜赡苁秦?fù)的, 比如當(dāng)熱漲落驅(qū)動(dòng)塑性流動(dòng)沿應(yīng)力相反的方向進(jìn)行時(shí)(Langer 2008).

與κ1成 正比項(xiàng)中的第二個(gè)因子說(shuō)明χ會(huì) 趨近于穩(wěn)態(tài)值χss(q). 這里,表示塑性應(yīng)變率的大小, 可通過(guò)分子頻率進(jìn)行歸一化. 在正常情況下,q<<1, 同時(shí)χss(0)≡χ0是由緩慢的應(yīng)變或運(yùn)動(dòng)引起的無(wú)序度的度量. 然而, 當(dāng)應(yīng)變率非常大時(shí),q～1且χss(q)變大.

式(8)右側(cè)與κ2成 比例的項(xiàng)對(duì)應(yīng)于在沒有外部驅(qū)動(dòng)的情況下χ弛 豫到θ的變化率. 該變化率包含因子 exp(?eA/χ), 這決定了與普通熱漲落耦合的構(gòu)型漲落頻率, 大致類似于剪切轉(zhuǎn)變區(qū)與外部應(yīng)力的耦合方式. 一般來(lái)說(shuō), 我們預(yù)測(cè)這種漲落的形成能eA不 同于eZ. 因子ρθ/τ0是熱激活事件的嘗試頻率; 它具有一種超級(jí)阿倫尼烏斯形式, 在玻璃化轉(zhuǎn)變以下將會(huì)消失. 當(dāng)ρ為零時(shí), 老化停止,在沒有剪切應(yīng)力的情況下, 有效溫度χ不發(fā)生演變.

2.3 塊體金屬玻璃的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

Lu等(2003)對(duì)塊狀金屬玻璃Vitreloy 1 (Zr41.2Ti13.8Cu12.5Ni10Be22.5)開展了系統(tǒng)的變形測(cè)量實(shí)驗(yàn), 首先結(jié)合這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)說(shuō)明剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論預(yù)測(cè)的有效性. 在這些實(shí)驗(yàn)中, 塊體金屬玻璃均勻棒狀樣品受單軸壓縮應(yīng)力作用, 對(duì)于寬的應(yīng)變率和溫度范圍(超過(guò)玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變溫度), 在恒定應(yīng)變率下測(cè)量應(yīng)力隨應(yīng)變的變化規(guī)律. 關(guān)于這些數(shù)據(jù)的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論分析可見參考文獻(xiàn)(Langer 2004, 2008). 在此, 我們僅總結(jié)理論與實(shí)驗(yàn)比較中的一般特征.

四種不同均勻應(yīng)變率的理論應(yīng)力?應(yīng)變曲線如圖1所示. 這組曲線, 以及不同溫度下的類似系列曲線, 都能與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在定量上吻合. 如圖所示, 應(yīng)力首先隨應(yīng)變成比例增加, 表現(xiàn)為彈性,此時(shí)式(4)右側(cè)的仍為小量. 根據(jù)式(8), 隨著χ和剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的濃度增加, 塑性流動(dòng)成為主導(dǎo),同時(shí), 應(yīng)力弛豫到其穩(wěn)態(tài)值. 用于繪制這些曲線的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論參數(shù)幾乎都可以通過(guò)穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)確定, 包括出現(xiàn)在轉(zhuǎn)換率公式中的參數(shù), 如下面式(37)所示. 式(8)中的熱耦合因子ρ(θ)的值, 可以由測(cè)得的牛頓粘度得到.圖1中的瞬態(tài)行為, 即從彈性到塑性響應(yīng)的轉(zhuǎn)變, 主要由式(8)中的參數(shù)κ1決 定, 或等效地由式(17)中定義的無(wú)量綱有效比熱ceff確定. 這些結(jié)果最重要特征是, 只借助于一個(gè)固定的單位比熱ceff值, 該理論自然再現(xiàn)了應(yīng)力峰值位置和瞬變向穩(wěn)態(tài)弛豫的速率. 換句話說(shuō), 在普遍實(shí)驗(yàn)條件下, 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了這些系統(tǒng)的非平衡動(dòng)力學(xué)特征, 包括彈性和非彈性機(jī)制之間的競(jìng)爭(zhēng).

圖1

圖2給出了不同溫度下穩(wěn)態(tài)應(yīng)力的理論預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的比較, 該應(yīng)力是應(yīng)變率與牛頓粘度乘積的函數(shù). 這些穩(wěn)態(tài)應(yīng)力與圖1中大應(yīng)變極限對(duì)應(yīng)的應(yīng)力相同. 當(dāng)應(yīng)變率采取這種標(biāo)度時(shí), 小應(yīng)力和應(yīng)變率的粘性極限下的數(shù)據(jù)自動(dòng)落在一條恒定斜率的曲線上. 該圖的重要特征是隨著應(yīng)變率和溫度的增加, 曲線從線性粘性轉(zhuǎn)變?yōu)樗^的超塑性. 幾乎所有的曲線（但不完全）塌縮到一個(gè)規(guī)律上; 無(wú)論是理論還是實(shí)驗(yàn)曲線, 溫度越高, 轉(zhuǎn)變發(fā)生所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力越高.圖2中顯示的所有溫度都高于玻璃轉(zhuǎn)變溫度; 因此, 小應(yīng)力下的線性粘性可以理解為熱輔助的塑性流動(dòng). 較大應(yīng)力下的非線性響應(yīng)發(fā)生在低溫屈服應(yīng)力附近, 這表明式(35)描述的屈服機(jī)制在這個(gè)區(qū)間開始發(fā)揮作用. 因此, 如圖2中理論與實(shí)驗(yàn)之間的定量比較是對(duì)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論核心特征的嚴(yán)格驗(yàn)證.

圖2

2.4 剪切帶

剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論最重要的應(yīng)用之一是闡明應(yīng)變局部化導(dǎo)致剪切帶形成和斷裂的機(jī)制. 這種失效機(jī)制使得金屬玻璃表現(xiàn)低延展性, 進(jìn)而抑制其作為結(jié)構(gòu)材料的應(yīng)用. 當(dāng)鋼在高應(yīng)變率載荷下發(fā)生變形時(shí), 剪切局部化顯然是由軟化機(jī)制和變形過(guò)程中所釋放熱量之間的某種反饋引起的. 在我們看來(lái), 這種機(jī)制尚待揭示. 然而, 在金屬玻璃中, 應(yīng)變局部化很常見, 即使是在相對(duì)較低的加載率下; 導(dǎo)致金屬玻璃局部化的失穩(wěn)行為與多晶材料非常不同, 該觀點(diǎn)受到了長(zhǎng)期的質(zhì)疑, 最近才得到令人信服的證明 (Lewandowski & Greer 2006). 對(duì)于金屬玻璃, 由于導(dǎo)熱系數(shù)太高以致不能滿足絕熱軟化, 從而難以解釋實(shí)驗(yàn)中所觀察到的小尺度失穩(wěn).

在剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論中, 如式7所示, 軟化的發(fā)生歸因于有效溫度的變化, 該過(guò)程以一個(gè)與局部剪切率成正比的速率發(fā)生非常緩慢的擴(kuò)散. 事實(shí)上,模擬中出現(xiàn)的剪切帶 (Shi & Falk 2005,2006; Li and Li 2005; Bailey et al. 2006; Cao et al. 2009)為剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論假設(shè)的驗(yàn)證提供了理想的虛擬實(shí)驗(yàn). 從剪切帶內(nèi)部到外部, 剪切速率相差幾個(gè)數(shù)量級(jí), 有效溫度也必然發(fā)生顯著變化. 在簡(jiǎn)單剪切載荷條件下, 這種變化為實(shí)驗(yàn)室尺度應(yīng)力條件下測(cè)量變形與結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)提供了機(jī)會(huì). Shi等 (2007) 模擬了二維、低溫、二元Lennard-Jones系統(tǒng)來(lái)測(cè)試式(7)中有效溫度和剪切速率之間的類玻爾茲曼關(guān)系. 為此, 他們使用了準(zhǔn)熱力學(xué)假設(shè)(Bouchbinder et al. 2007b), 即有效溫度與每個(gè)原子的平均勢(shì)能成正比. Manning等(2007)求解了上面第2.2節(jié)中的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)方程, 發(fā)現(xiàn)與分子動(dòng)力學(xué)結(jié)果具有很好的一致性, 并對(duì)此提出了一些意想不到的解釋.

模擬 (Shi et al. 2007)和理論 (Manning et al. 2007)之間的比較如圖3所示. 該系統(tǒng)是一個(gè)二維條帶, 受到沿上下邊緣施加的簡(jiǎn)單剪切作用. 該理論使用了簡(jiǎn)化的非熱剪切轉(zhuǎn)變區(qū)轉(zhuǎn)變率R(s), 如式(19)中定義, 當(dāng)應(yīng)力明顯大于sy時(shí), 該轉(zhuǎn)變率成線性增長(zhǎng).圖3 (a) (b)分別給出了模擬和理論預(yù)測(cè)的剪切速率, 該剪切速率沿條帶長(zhǎng)度取平均值, 是沿橫向坐標(biāo)Y的位置函數(shù). 如圖所示, 不同的曲線對(duì)應(yīng)于不同的應(yīng)變量, 應(yīng)變范圍高達(dá)800%.圖3 (c) (d)給出了在大致相同的總應(yīng)變序列下, 勢(shì)能和有效溫度隨位置的變化. 在符合準(zhǔn)熱力學(xué)假設(shè)條件下, 這些函數(shù)集可以準(zhǔn)確的互相跟蹤.

模擬和理論結(jié)果之間的定量一致性(如圖3所示), 以及參考文獻(xiàn)(Manning et al. 2007)中的穩(wěn)定性分析表明, 在這些材料中剪切帶是非線性的、瞬態(tài)失穩(wěn)行為. 系統(tǒng)初始為均勻剪切狀態(tài), 如圖3 (a) (b)底部的水平虛線所示.圖3 (c)底部的虛線是初始勢(shì)能, 其不規(guī)則性由樣品高溫淬火的速率決定.圖3 (d)顯示了不規(guī)則的初始有效溫度, 它們具有與模擬勢(shì)能大致相同的空間噪聲譜. 只有當(dāng)這種空間不規(guī)則性具有足夠大振幅, 即當(dāng)應(yīng)變率和初始平均有效溫度滿足參考文獻(xiàn)(Manning et al. 2007)中的條件時(shí), 剪切帶才會(huì)出現(xiàn). 剪切帶的形核位置取決于初始擾動(dòng)分布, 通過(guò)數(shù)值和理論預(yù)測(cè)的剪切帶行為幾乎一致. 剪切帶內(nèi)的應(yīng)變率迅速上升并從中心向外變化顯著,而剪切帶外的應(yīng)變率下降至一個(gè)非常小的值. 在極值處, 對(duì)應(yīng)于式(8)中的χss(0)≡χ0, 剪切帶內(nèi)的勢(shì)能和有效溫度達(dá)到飽和. 到非常后期, 當(dāng)總應(yīng)變達(dá)到100%時(shí), 剪切帶外的區(qū)域在小應(yīng)變率驅(qū)動(dòng)下,χ緩慢演化至其穩(wěn)態(tài)值χ0, 此時(shí)剪切帶逐漸向外擴(kuò)展并湮滅, 整個(gè)系統(tǒng)發(fā)生塑性流動(dòng).

圖3

總言之, 當(dāng)無(wú)量綱應(yīng)變率q接近1時(shí), 穩(wěn)態(tài)有效溫度χss(q)迅速上升. 由參考文獻(xiàn) (Manning et al.2009)中的分析可知,χss的這種特性導(dǎo)致強(qiáng)驅(qū)動(dòng)的剪切帶失效, 從而產(chǎn)生非常窄的斷裂狀破壞區(qū).Daub和同事 (Daub et al. 2008, Daub and Carlson 2010) 使用剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論描述了地震斷層中顆粒材料的動(dòng)力學(xué)行為, 并表明這種斷裂機(jī)制可以解釋在大型地震事件中偶然觀察到的突然應(yīng)力跌落.

2.5 自由邊界問(wèn)題

也許剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論最宏偉的目標(biāo)是將應(yīng)其用于如第2.1節(jié)所示的完整的彈塑性運(yùn)動(dòng)方程中, 并預(yù)測(cè)外力作用下的有限系統(tǒng)與時(shí)間相關(guān)的變形. 關(guān)于該方面, 參考文獻(xiàn) (Eastgate et al.2003) 首先給出了簡(jiǎn)單的數(shù)值步驟. 最近, Bouchbinder和同事們 (Bouchbinder et al. 2007c, 2008a,2008b)在孔洞失穩(wěn)的研究中使用了剪切轉(zhuǎn)變區(qū)塑性. 這類計(jì)算問(wèn)題具有挑戰(zhàn)性, 部分原因是將快速?gòu)椥院吐偎苄皂憫?yīng)包含在單個(gè)數(shù)值程序中是困難的, 尤其當(dāng)這是一個(gè)自由邊界問(wèn)題, 其幾何形狀是一個(gè)隨時(shí)間變化的函數(shù).

圖4展示了Rycroft & Gibou (2012)最近的結(jié)果, 其中材料變形由頸縮失穩(wěn)主導(dǎo)直至斷裂. 其系統(tǒng)是一個(gè)二維條帶, 該條帶在左右兩邊受到固定約束, 可垂直滑動(dòng), 它們以固定的速度相互遠(yuǎn)離. 條帶在靠近其上邊緣預(yù)制一個(gè)光滑的缺口. 紅色和藍(lán)色區(qū)域分別表示有效溫度的高和低. 在上圖中, 一對(duì)有效溫度更高, 即內(nèi)部無(wú)序的剪切帶從缺口沿最大剪應(yīng)力方向涌現(xiàn). 這些剪切帶, 如圖3中所示, 擴(kuò)展為滑移區(qū). 最終, 條帶分成兩部分, 每部分都在局部塑性流動(dòng)最大的地方呈現(xiàn)殘余無(wú)序條紋. 其他未展示的結(jié)果還表明彈性能量最初均勻地存儲(chǔ)在整個(gè)條帶中, 然后, 隨著頸縮不穩(wěn)定性的增加, 該能量流向頸縮部位并被耗散掉.

圖4

用于生成這些圖片的數(shù)值程序詳見(Rycroft and Gibou 2012). 該模擬基于在第3節(jié)中所述的非熱剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論, 其中引入一個(gè)非常簡(jiǎn)單的速率因子R(s), 類似于上述剪切帶分析. 其運(yùn)動(dòng)方程是如2.1節(jié)所示運(yùn)動(dòng)方程的二維形式, 僅在方程(2)的右側(cè)添加了一個(gè)與?2vi成比例的小的粘性項(xiàng)作為彈性振蕩阻尼器. 邊界通過(guò)等值面方法進(jìn)行跟蹤. 上下邊緣為自由面, 忽略表面張力.

這種數(shù)值算法的主要局限性是, 到目前為止, 它僅適用于描述如圖所示的延性行為. 如果模型很脆, 或者對(duì)于相同的模型參數(shù), 在數(shù)值上可以實(shí)現(xiàn)更大的拉伸速度, 一個(gè)或多個(gè)裂紋可能在缺口處形成, 并且向下擴(kuò)展貫穿整個(gè)系統(tǒng). 若可以克服這個(gè)技術(shù)限制, 將擁有一個(gè)強(qiáng)大的工具來(lái)研究動(dòng)態(tài)斷裂.

3 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)公式的熱力學(xué)推導(dǎo)

3.1 非熱剪切轉(zhuǎn)變區(qū)模型

為簡(jiǎn)單起見, 在該部分綜述中, 我們主要關(guān)注所謂的塑性理論的非熱極限. 這里所說(shuō)的非熱并不是嚴(yán)格意義上的零溫. 相反, 如第1節(jié)所述, 假設(shè)總有一些熱或機(jī)械噪聲為快速、小尺度的運(yùn)動(dòng)確定時(shí)間尺度τ0. 然而, 我們假設(shè), 在沒有外力作用下, 這種噪聲不足以引起大規(guī)模分子重排.特別是, 在式(8)中ρ(θ)=0. 因此, 這類模型具有明確定義的屈服應(yīng)力, 但不是線性粘度, 并且它們不表現(xiàn)出熱致應(yīng)變恢復(fù). 例如, 它們確實(shí)可以描述玻璃在低于或接近玻璃溫度時(shí)發(fā)生不可逆變形, 或密堆顆粒材料在受足夠大的應(yīng)力作用下開始流動(dòng)從而解除阻塞. 在本節(jié)的最后, 我們簡(jiǎn)要討論如何通過(guò)補(bǔ)充非熱理論來(lái)形成如第2節(jié)所示的更一般的運(yùn)動(dòng)方程.

我們的熱力學(xué)分析基于這樣的假設(shè): 當(dāng)系統(tǒng)在外力作用下發(fā)生持續(xù)變形時(shí), 固體材料內(nèi)的構(gòu)型自由度因熱量而失去平衡, 在該情況下它們可以自然地由有效溫度來(lái)進(jìn)行描述 (Bouchbinder &Langer 2009b). 用構(gòu)型自由度表示力學(xué)穩(wěn)定的分子位置, 它們?cè)诓豢赡孀冃纹陂g緩慢變化, 這不同于圍繞穩(wěn)定構(gòu)型極快的分子振動(dòng). 在數(shù)學(xué)上, 構(gòu)型自由度確定固有結(jié)構(gòu) (Goldstein 1969,Stillinger & Weber 1982, Stillinger 1988). 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的形成或其內(nèi)部取向狀態(tài)之間的剪切轉(zhuǎn)變對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)從一種固有結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變到另一種結(jié)構(gòu).

3.2 塑性固體的熱力學(xué)第一和第二定律

前面的討論意味著非晶固體材料由兩個(gè)弱耦合子系統(tǒng)構(gòu)成: 一方面是緩慢的構(gòu)型自由度, 另一方面是快速的動(dòng)力學(xué)振動(dòng)自由度. 快速自由度與熱浴強(qiáng)耦合, 因此它們和熱浴構(gòu)成一個(gè)溫度為θ=kBT的熱庫(kù).

從微正則系綜公式著手, 其中構(gòu)型子系統(tǒng)能量UC是 構(gòu)型子系統(tǒng)熵SC、 體積V、彈性剪應(yīng)變?以及一系列內(nèi)變量{Λ}的函數(shù). 在3.4節(jié)中這些內(nèi)變量為剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的數(shù)密度及其平均方向的度量. 在整個(gè)討論中, 我們選擇將熵作為無(wú)量綱量 (狀態(tài)數(shù)的對(duì)數(shù)), 并用能量單位度量溫度θ和χ. 為簡(jiǎn)單起見, 僅考慮在x,y平面上的純剪切變形, 因此偏應(yīng)力張量的各個(gè)分量為sxx=?syy=s, 彈性應(yīng)變張量為?xx=??yy=?, 塑性變形率張量是讓熱庫(kù)具有能量UR和 熵SR.這個(gè)熱庫(kù)沒有自己的內(nèi)部自由度, 也不承受剪應(yīng)力. 根據(jù)溫度的定義, 構(gòu)型子系統(tǒng)的有效溫度為

這不一定與θ=?UR/?SR相同.

系統(tǒng)的總能量為

熱力學(xué)第一定律

簡(jiǎn)單的說(shuō), 當(dāng)系統(tǒng)以 2VsDtot的 速率做功時(shí), 能量保持守恒. 假設(shè), 如式(4)中所示, 總變形率Dtot是彈性和塑性部分之和, 即Dtot=ε˙+Dpl. 如果Vs=(?UC/??)SC,{Λ}, 即應(yīng)力起初完全是彈性的, 那么在式(11)的兩側(cè)彈性項(xiàng)相互抵消. 因此可以忽略ε和恒定體積V, 而作為UC和SC的顯式表達(dá). 第一定律變?yōu)?/p>

熱力學(xué)第二定律的基本統(tǒng)計(jì)表述是孤立系統(tǒng)的總熵是時(shí)間的非遞減函數(shù)

如參考文獻(xiàn)(Bouchbinder & Langer 2009a)中所述, 只有當(dāng)集合{Λ}由少量狀態(tài)變量組成, 每個(gè)狀態(tài)變量都是一個(gè)廣延量(或這種物理量的體積平均值), 這種表述才能滿足熱力學(xué)自洽. 使用式(12)來(lái)評(píng)估式(13)中的我們發(fā)現(xiàn)

對(duì)于Λα和SR的任意獨(dú)立變化, 必須滿足此不等式; 因此, 它的每個(gè)組成項(xiàng)必須分別滿足非負(fù). 令(χ?θ)S˙R≥0, 即

其中A(χ,θ)是非負(fù)熱導(dǎo)率,Q是熱量從熱庫(kù)流入構(gòu)型自由度的流動(dòng)速率.

不等式W(s,{Λ})≥0是Clausius-Duhem不等式的一種形式, 它需要滿足非負(fù)熱產(chǎn)生率; 也就是說(shuō), 做功的速率必須超過(guò)內(nèi)部?jī)?chǔ)能的速率. 在3.4節(jié)中將使用這個(gè)不等式來(lái)推演剪切轉(zhuǎn)變區(qū)運(yùn)動(dòng)方程的特征. 我們從基本原理出發(fā)得到這個(gè)不等式, 通過(guò)使用熵的明確統(tǒng)計(jì)定義 (Bouchbinder &Langer 2009a), 而不是假設(shè)它是第二定律的公理形式. 后一種策略是文獻(xiàn)中常見的. 例如, 參見Lubliner (1990), Maugin (1999)和Nemat-Nasser (2004)的專著或Coleman & Noll (1963)和Coleman & Gurtin (1967) 的系列經(jīng)典研究.

3.3 等效溫度的運(yùn)動(dòng)方程

熱力學(xué)第一定律式(12), 可表示為

由式(16)推導(dǎo)χ的運(yùn)動(dòng)方程. 首先, 盡管剪切轉(zhuǎn)變區(qū)解釋了外加應(yīng)力和塑性變形之間所有的耦合作用, 但其均為稀有漲落, 僅構(gòu)成構(gòu)型子系統(tǒng)總能量或熵非常小的部分, 幾乎可忽略不計(jì). 因此,式(16)是一個(gè)簡(jiǎn)單的能量守恒描述, 可以簡(jiǎn)化為

其次, 該非熱系統(tǒng)中唯一相關(guān)的率因子是功率 2V sDpl本身. 只要不存在能夠引起反向塑性流動(dòng)的熱漲落,Dpl必須與s具有相同的符號(hào), 所以該速率是非負(fù)的. 此外, 在不存在這種漲落的情形下,Q必須與 2V sDpl成正比; 在沒有外力的情況下, 構(gòu)型系統(tǒng)完全不演化.

最后, 我們知道χ在穩(wěn)定剪切流動(dòng)中必須達(dá)到某個(gè)穩(wěn)態(tài)值. 如式(8)所示, 定義無(wú)量綱應(yīng)變率q≡τ0|Dpl|, 并用χss(q)表 示穩(wěn)態(tài)有效溫度(有關(guān)q與χss的內(nèi)在關(guān)聯(lián)的詳細(xì)討論, 請(qǐng)參閱參考文獻(xiàn)Langer & Manning(2007)). 對(duì)于非熱非晶系統(tǒng), 當(dāng)處于q<<1極 限情況時(shí),χ0=χss(0)大約是(也許嚴(yán)格)等于玻璃化轉(zhuǎn)變溫度, 即χ0=kBTg. 換言之, 非熱系統(tǒng)在緩慢剪切下達(dá)到存在漲落的無(wú)序穩(wěn)定態(tài). 剪切速率越慢, 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間越長(zhǎng); 但最終χss的 值必須獨(dú)立于q, 僅僅因?yàn)榫S度原因?假設(shè)當(dāng)q→0時(shí) 不存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的時(shí)間尺度. 根據(jù)定義, 當(dāng)χ=χss(q)時(shí), 式(17)右側(cè)項(xiàng)消失. 因此, 對(duì)于接近χss(q)的χ, 式(17)可以近似表示為

在這里, 我們清楚地看到χ的特征時(shí)間尺度與塑性變形的時(shí)間尺度相同, 兩者都很慢, 因?yàn)镈pl與剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的低濃度成正比.

3.4 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程

現(xiàn)在構(gòu)建基于有效溫度熱力學(xué)的非熱剪切轉(zhuǎn)變區(qū)模型.

最簡(jiǎn)單也是物理上最具傳遞性的方法, 就是假設(shè)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的取向僅與應(yīng)力相關(guān), 用正負(fù)±表示. 事實(shí)上, 這樣做并沒有失去一般性; 在分析末尾, 可以清楚地看到方程的張量推廣. 令正負(fù)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的數(shù)量為N±, 并讓分子位點(diǎn)的總數(shù)為N.N±的主方程表示為

其中R(±s)/τ0是 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)取向之間轉(zhuǎn)換的速率因子,Γ(s)/τ0是相應(yīng)的噪聲驅(qū)動(dòng)的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)產(chǎn)生和湮滅的相關(guān)因子. 平衡數(shù)Neq和 速率因子Γ(s)可以很快由熱力學(xué)推導(dǎo)確定. 3.2節(jié)引入的內(nèi)部狀態(tài)變量Λα為

這里,Λ是剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的百分比濃度,m是它們的取向偏差, 如式(7)提到的, 在更一般的理論形式中變成無(wú)跡的、對(duì)稱的張量mij. 根據(jù)式(19),Λ和m的運(yùn)動(dòng)方程表示為

和

其中

塑性變形率為

其中v0是一個(gè)分子尺度的體積, 它決定了由剪切轉(zhuǎn)變引起的塑性應(yīng)變?cè)隽康拇笮? 我們預(yù)計(jì)?0≡Nv0/V數(shù)量級(jí)為1.

模型假設(shè)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)是稀有事件, 且它們不存在相互作用, 意味著我們可以將熵寫成

其中S1和U1分 別表示所有非剪切轉(zhuǎn)變區(qū)自由度的熵和能量;ψ(m)是與平均取向?yàn)閙的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)相關(guān)的內(nèi)部熵; 對(duì)于Λ<<1

根據(jù)該假設(shè), 構(gòu)型能可寫為

現(xiàn)在推導(dǎo)式(14)中UC的偏導(dǎo)數(shù), 得到

其中

和之前一樣, 不等式(28)中的三個(gè)項(xiàng)必須分別是非負(fù)的; 但是對(duì)于第三項(xiàng)的論證是重要的. 如果

或者更一般地說(shuō), 如果Λ在類自由能函數(shù)FZ的 最小值處有一個(gè)動(dòng)力學(xué)不動(dòng)點(diǎn), 那么與Λ˙成比例的項(xiàng)將為非負(fù)值. 這個(gè)最小值出現(xiàn)在

這與式(21)中Λeq的 定義一致. 內(nèi)部熵ψ(m)必 然是一個(gè)正的對(duì)稱函數(shù), 在m=0時(shí)為最大值; 因此,式(28)中的第二項(xiàng)在給定合適的ψ(m)時(shí), 自然滿足非負(fù).

其中ξ(m),是T(s)的 逆函數(shù), 即T(ξ(m))=m. 這個(gè)條件意味著該乘積中的兩個(gè)s相關(guān)的因子都是單調(diào)函數(shù), 當(dāng)滿足相同的m和s相關(guān)性時(shí), 它們均消失. 可以采用任一種形式的第二定律約束. 在參考文獻(xiàn)(Bouchbinder & Langer 2009c)中, 假設(shè)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)是嚴(yán)格的兩態(tài)系統(tǒng), 沒有內(nèi)部自由度, 因此具有類似于Ising模型的熵. 在這種情況下, 速率因子R(s)必 須與 exp(v0s/χ)成正比. 一個(gè)更切實(shí)際的理解應(yīng)為剪切轉(zhuǎn)變區(qū)是具有大量?jī)?nèi)部自由度的復(fù)雜多體系統(tǒng). 因此, 更好的策略是選擇一種從物理出發(fā)的R(s)表 達(dá)形式, 并通過(guò)式(32)的選取來(lái)確定ψ(m).

在我們所考慮的非熱極限情況, 后一種策略非常有效. 該極限的最重要特征是物理上的重排轉(zhuǎn)變總是朝著應(yīng)力的方向; 擾動(dòng)不足以驅(qū)動(dòng)往相反的方向轉(zhuǎn)變. 這意味著R(?|s|)<

是單個(gè)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的分子數(shù). 有趣的是, 如果選擇非熱轉(zhuǎn)變率R(s), 那么基于熱力學(xué)第二定律, 我們發(fā)現(xiàn)在與剪切轉(zhuǎn)變區(qū)轉(zhuǎn)變相關(guān)的時(shí)間尺度上遍歷性被打破. 式(33)意味著任何給定的分子位點(diǎn)都有v(0)個(gè) 不同方式成為大小為v(0)的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的一部分, 這與剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的平均取向m無(wú)關(guān). 該條件僅當(dāng)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)在計(jì)算m的時(shí)間范圍內(nèi), 不發(fā)生取向之間來(lái)回切換時(shí), 才成立.

現(xiàn)在回到式(28). 根據(jù)我們的非熱假設(shè), 只有W表達(dá)式的最后一項(xiàng)保持非零. 當(dāng)緩慢變形時(shí),與Λ˙成 正比的項(xiàng)可以消去. 由于?ψ/?m≈0, 第二項(xiàng)也可略去. 對(duì)于一個(gè)具有能量量綱的因子,W是非負(fù)的構(gòu)型熵增率. Pechenik及其同事(Langer & Pechenik 2003, Pechenik 2005) 首次論證了噪聲強(qiáng)度Γ應(yīng)該與每個(gè)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的熵增率成正比, 其中的比例因子v0s0必須具有能量量綱. 因此

式(19)中的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)產(chǎn)生率Γ(s)Neq/τ0和 功率 2sDpl的關(guān)系, 參考文獻(xiàn) (Falk and Langer 1998)給出了猜測(cè), 并已被Heggen等 (2005) 在傳統(tǒng)流動(dòng)缺陷理論的框架下證實(shí). 通過(guò)機(jī)械噪聲強(qiáng)度確定的構(gòu)型無(wú)序產(chǎn)生率, 被證明是一個(gè)非常有用的概念, 比如用于預(yù)測(cè)式(36)所示的屈服應(yīng)力.

式(22)所示關(guān)于m的運(yùn)動(dòng)方程, 當(dāng)時(shí)變?yōu)?/p>

式(21)中的Λ˙和 式(35)中的m˙ 都描述了到穩(wěn)態(tài)的弛豫過(guò)程, 與式(18)描述的有效溫度相比,該過(guò)程是快過(guò)程. 式(18)的右側(cè)的因子Dpl包含小因子Λ, 但在式(21)或式(35)中沒有出現(xiàn)類似的因子. 因此, 我們確認(rèn)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)變量Λ和m是動(dòng)態(tài)地受制于s和χ相對(duì)緩慢的變化, 這是我們?cè)谕茖?dǎo)式(7) (8)中的假設(shè).

式(35)是通常的剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論結(jié)果. 在應(yīng)力s=s0處存在一個(gè)穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)變. 一方面, 當(dāng)|s|s0, 穩(wěn)態(tài)解為m=s0/s, 且

因此,s0=sy是動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力.

為了完成推導(dǎo), 需要確定速率因子R(s). 我們選取一種在某些應(yīng)用中已證實(shí)有效的熱激活率的形式

其中R0(s)是 應(yīng)力的對(duì)稱函數(shù). 勢(shì)壘高度Δ(s)的指數(shù)形式是最簡(jiǎn)單的可能表達(dá)形式, 它只引入一個(gè)新參數(shù)μˉ. 該指數(shù)項(xiàng)在大的正應(yīng)力條件下消失, 而在大負(fù)應(yīng)力條件下發(fā)散. 對(duì)于參考文獻(xiàn)(Langer, 2008)中有關(guān)金屬玻璃的計(jì)算,其中 s1～sy. 如果 θ<<Δ0, 式(37)與非熱近似一致.

需要對(duì)上面導(dǎo)出的非熱方程進(jìn)行兩次推廣才能回到式(7) (8)中所示的全熱剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論. 對(duì)于各向同性材料, 系統(tǒng)中唯一的方向信息包含在偏應(yīng)力中. 假設(shè)塑性變形率張量與 sij/|s|成比例, 其中從而, 應(yīng)用式(36), 我們得到

作為式(8)的非熱形式, 式(18)可寫為

4 結(jié)論

據(jù)我們所知, 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論是唯一存在的對(duì)類固體非晶塑性的數(shù)學(xué)描述. 它從真實(shí)的分子模型出發(fā), 運(yùn)用非平衡熱力學(xué)原理來(lái)預(yù)測(cè)觀察到的現(xiàn)象. 迄今為止, 這些現(xiàn)象包括塊體金屬玻璃中線性粘性和超塑性之間的轉(zhuǎn)變, 它是溫度和應(yīng)變率的函數(shù); 真實(shí)和數(shù)值模擬玻璃形成材料中應(yīng)力-應(yīng)變曲線的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)部分; 玻璃材料中瞬態(tài)剪切帶失穩(wěn)的本質(zhì); 甚至引起大地震應(yīng)力劇烈跌落的顆粒剪切失穩(wěn)行為.

剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論 (Bouchbinder & Langer 2009a, 2009b, 2009c)發(fā)展過(guò)程中出現(xiàn)的非平衡熱力學(xué)公式最近已擴(kuò)展到對(duì)熱循環(huán)玻璃形成物質(zhì)記憶效應(yīng)的研究, 即Kovacs效應(yīng) (Bouchbinder &Langer 2010). 這個(gè)熱力學(xué)觀點(diǎn)甚至為非常廣泛的多晶固體位錯(cuò)塑性實(shí)驗(yàn)提供了準(zhǔn)確的解釋 (Langer et al. 2010). 位錯(cuò)和剪切轉(zhuǎn)變區(qū)之間的異同本身就很有趣. 位錯(cuò)是定義明確的實(shí)體, 可通過(guò)電子顯微鏡直接觀察, 并由易于理解和確定的運(yùn)動(dòng)方程控制. 只有當(dāng)大量的交互位錯(cuò)被外力驅(qū)動(dòng)形成混沌運(yùn)動(dòng), 熱力學(xué)概念才變得與它們相關(guān).

相比之下, 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)還未曾像位錯(cuò)一樣被直接觀測(cè)到. 與流動(dòng)缺陷相關(guān)的基本重排已為人所知數(shù)十年; 但對(duì)于處于變形過(guò)程中的系統(tǒng), 在事件發(fā)生前將永遠(yuǎn)無(wú)法識(shí)別缺陷. 在此發(fā)展的熱力學(xué)理論意味著, 除了一些特例, 對(duì)于大多的實(shí)用目的來(lái)說(shuō), 這種先驗(yàn)的識(shí)別是不可能的. 在當(dāng)前的理論中, 剪切轉(zhuǎn)變區(qū)形成、剪切轉(zhuǎn)變和湮滅是一個(gè)噪聲激活的過(guò)程. 例如, 它更類似于在過(guò)冷蒸汽中臨界液滴的成核, 而不是在Frank-Read位錯(cuò)源處產(chǎn)生位錯(cuò). 比起預(yù)測(cè)蒸汽中哪里會(huì)形成下一個(gè)液滴, 我們不應(yīng)再期望能夠盯著一種變形的非晶材料, 預(yù)測(cè)下一個(gè)剪切轉(zhuǎn)變區(qū)事件將在哪里發(fā)生. 當(dāng)然, 我們也無(wú)需擔(dān)心剪切轉(zhuǎn)變區(qū)塑性的隨機(jī)性質(zhì)會(huì)限制理論的預(yù)測(cè)能力.

非晶變形的確定性動(dòng)力學(xué)理論發(fā)揮作用的一個(gè)重要案例是在非熱準(zhǔn)靜態(tài)極限中. 在零溫下,使用數(shù)值模擬, 我們可以讓非晶系統(tǒng)緩慢變形, 通過(guò)在能量形貌的鞍點(diǎn)態(tài)觀測(cè), 可以預(yù)測(cè)下一次重排事件發(fā)生在哪里. 然而, 一旦系統(tǒng)越過(guò)鞍點(diǎn), 我們就無(wú)法預(yù)測(cè)下一次類似的事件在哪里發(fā)生,除非我們?cè)诶^續(xù)變形前, 停止對(duì)系統(tǒng)施加變形, 并讓系統(tǒng)弛豫到最近的能量極小態(tài). 這就是非熱準(zhǔn)靜態(tài)具體的數(shù)值操作過(guò)程, 它通常會(huì)產(chǎn)生跨系統(tǒng)、類似雪崩的事件和尺寸相關(guān)的噪聲譜. 許多真實(shí)的系統(tǒng)確實(shí)存在這樣的行為, 例如顆粒材料、泡沫或膠體懸浮液剪切得太慢以至于一個(gè)事件產(chǎn)生的機(jī)械噪聲在下一個(gè)事件發(fā)生之前已經(jīng)消失. 這不是我們所說(shuō)的普通塑性材料; 它們不能跟此處討論一樣用局部本構(gòu)理論進(jìn)行描述. 然而, 確定正常和非熱準(zhǔn)靜態(tài)系統(tǒng)之間的邊界, 從而理解剪切轉(zhuǎn)變區(qū)理論的局限性將是非常有趣的.

在我們看來(lái), 更值得關(guān)注的是, 使用這里發(fā)展的理論工具探索更廣泛背景下的正常塑性?特別是研究各種致密、復(fù)雜的流體和生物材料. 我們需要了解剪切轉(zhuǎn)變區(qū)和軟玻璃態(tài)流變理論之間的關(guān)系, 以及學(xué)習(xí)如何將兩種方法的優(yōu)勢(shì)相結(jié)合. 我們擁有一些用于理解非平衡現(xiàn)象的新工具; 我們樂(lè)觀地認(rèn)為, 這些工具將引導(dǎo)我們?nèi)〉眯碌陌l(fā)現(xiàn).

聲 明作者未意識(shí)到會(huì)影響本綜述客觀性的任何偏見.

致 謝感謝 Eran Bouchbinder 和 Michael Cates 閱讀了本綜述的早期版本并提出了許多寶貴的建議. 感謝 C. Rycroft 和 F. Gibou 在出版前提供了圖 4 中所示的圖片.

Falk M L 感謝美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì) DMR0808704 的經(jīng)費(fèi)支持. Langer J S 感謝美國(guó)能源部DEFG03-99ER45762 的經(jīng)費(fèi)支持.