王海燕

思考是兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知的關(guān)鍵，深入而持久的思考、深刻而理性的思維是人的核心素養(yǎng)之一。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要立足兒童的學(xué)習(xí)需求，開發(fā)、整合學(xué)習(xí)資源，優(yōu)化、豐富兒童的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)他們的數(shù)學(xué)思考自然展開，有效拓展其認(rèn)知的廣度、寬度和深度，積極改善其數(shù)學(xué)思維。

一、兒童數(shù)學(xué)思考不足的樣態(tài)掃描

在現(xiàn)實(shí)的課堂教學(xué)中，受教學(xué)環(huán)境、教學(xué)理念、教學(xué)機(jī)智、思維慣性等主客觀因素影響，兒童開展數(shù)學(xué)思考在一定程度上還存在著一些比較突出的問(wèn)題。

（一）條件干預(yù)，弱化兒童數(shù)學(xué)思考的參與

受傳統(tǒng)教育觀念影響，課堂上的“教”還沒(méi)有完全讓“學(xué)”，主要表現(xiàn)在：第一，教師不能正視兒童的學(xué)習(xí)能力，隨意介入兒童的學(xué)習(xí)活動(dòng)；第二，教師忽視兒童的認(rèn)知基礎(chǔ)，隨心為兒童搭建學(xué)習(xí)的“腳手架”；第三，教師漠視兒童的學(xué)習(xí)規(guī)律，隨便割裂其思考過(guò)程?！敖獭钡倪^(guò)度介入對(duì)兒童的數(shù)學(xué)思考造成了干擾，導(dǎo)致兒童數(shù)學(xué)思考的參與度不高。

（二）碎片問(wèn)答，窄化兒童數(shù)學(xué)思考的空間

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將課程目標(biāo)分為知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度四個(gè)方面，強(qiáng)調(diào)要以知識(shí)技能學(xué)習(xí)為載體，促進(jìn)其他目標(biāo)的達(dá)成。但是，在教學(xué)中，教師往往會(huì)忽視過(guò)程性目標(biāo)的達(dá)成，更多地偏向于知識(shí)技能目標(biāo)的順向引導(dǎo)，以問(wèn)答方式展開教學(xué)過(guò)程的現(xiàn)象屢見(jiàn)不鮮。教師課堂話語(yǔ)權(quán)的壟斷，窄化了兒童數(shù)學(xué)思考的空間，影響了兒童數(shù)學(xué)思考的流暢性和深入度。

（三）指向單一，固化兒童數(shù)學(xué)思考的聯(lián)結(jié)

兒童的思維和視角決定了其數(shù)學(xué)思考應(yīng)該是多樣的、多元的、立體的，且不同方法之間存在一定的邏輯性，打通不同方法之間的壁壘，可以讓兒童獲得對(duì)數(shù)學(xué)的深切感悟。但是，當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂的開放度還不夠，兒童的數(shù)學(xué)思考常限于書本與已知，對(duì)學(xué)科理解不深。教學(xué)中對(duì)知識(shí)本質(zhì)凸顯不夠，使得兒童視角站位不高，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常常淺嘗輒止，數(shù)學(xué)思考在低位往復(fù)。

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一頭連著個(gè)體內(nèi)在已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，一頭連著兒童外在可以觸摸的世界。在兒童不能憑借一己之力解決問(wèn)題時(shí)，教師可以適時(shí)呈現(xiàn)一些有一定吸引力和適度挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生理解與感悟。

二、基于兒童視角啟迪兒童數(shù)學(xué)思考的策略

（一）明晰認(rèn)知圖式，找準(zhǔn)數(shù)學(xué)思考的起點(diǎn)

孔子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)?！币寯?shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，必須要讓兒童理清原有相關(guān)認(rèn)知，同時(shí)明確即將展開的學(xué)習(xí)任務(wù)和目標(biāo)，在原有認(rèn)知與新知學(xué)習(xí)之間建立起圖式，圖式越清晰，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)就越牢固，數(shù)學(xué)思考就展開得越自然。

1.創(chuàng)設(shè)情境，生成關(guān)鍵問(wèn)題。

現(xiàn)實(shí)情境是數(shù)學(xué)問(wèn)題的載體和催化劑，不僅能讓兒童親近數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，還能營(yíng)造良好的數(shù)學(xué)思考氛圍，幫助兒童較好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，生成關(guān)鍵性問(wèn)題。例如，教學(xué)蘇教版五下《圓的認(rèn)識(shí)》一課，面對(duì)學(xué)生沒(méi)有備好圓規(guī)無(wú)法畫圓的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，教師相機(jī)提問(wèn)：“沒(méi)有圓規(guī)，用直尺能否畫出圓？”大部分學(xué)生表示不能。于是，教師課件動(dòng)態(tài)演示用直尺畫圓的過(guò)程，即借助直尺描出到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)無(wú)限多時(shí)，便組成了一個(gè)圓。從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)兒童的認(rèn)知沖突，進(jìn)而通過(guò)比較與溝通畫圓的方法，打開了兒童的視野，啟迪兒童產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)思考，使他們深刻理解了圓的概念本質(zhì)。

（圖2）

2.嘗試解決，獲得初步體驗(yàn)。

3.適當(dāng)留白，促發(fā)認(rèn)知需求。

留白是一種教學(xué)智慧，適當(dāng)?shù)牧舭资菫榱烁玫匮a(bǔ)充。通過(guò)留白給兒童提供思考的時(shí)間與空間，有助于兒童自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，并產(chǎn)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的積極心理趨向，從而較好地實(shí)現(xiàn)認(rèn)知由機(jī)械接受向有意義理解的轉(zhuǎn)變。例如，教學(xué)蘇教版六下《面積的變化》一課，在學(xué)生對(duì)將長(zhǎng)方形按比例放大后面積的變化有了一定感知后，教師提出要求：“在方格紙上畫出其他平面圖形，將其按一定比例放大，比較放大后與放大前面積的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生不僅列舉了三角形、正方形、圓等學(xué)過(guò)的平面圖形，還研究了不規(guī)則圖形，豐富了對(duì)平面圖形面積變化的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生自主提出問(wèn)題：“立體圖形按比例放大后，體積比與長(zhǎng)度比會(huì)有什么關(guān)系？”并通過(guò)推理得出了結(jié)論。教師隨即課件呈現(xiàn)平面圖形的二維性與面積變化之間的關(guān)系、立體圖形的三維性與體積變化之間的關(guān)系。學(xué)生欣賞后腦洞大開，追問(wèn)有沒(méi)有四維圖形。留白把“學(xué)”置于課堂中央，學(xué)生基于活動(dòng)感知產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)需求，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。

（二）拓寬兒童視域，激活數(shù)學(xué)思考的拐點(diǎn)

數(shù)學(xué)思考是由淺入深逐步打開的過(guò)程，這是由數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性決定的。呈現(xiàn)具有一定吸引力和適度挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)兒童展開理解與分析，可以拓寬兒童的視域。

1.追本溯源，領(lǐng)略“是什么”，延長(zhǎng)數(shù)學(xué)思考。

概念教學(xué)雖然依附于具體情境，但不能淺嘗輒止，滿足于表象的建立和特征的把握，而要在學(xué)生充分感知的基礎(chǔ)上，揭示其背后的內(nèi)涵與本質(zhì)，從學(xué)科的角度進(jìn)行理解與把握，延伸數(shù)學(xué)思考的長(zhǎng)度。例如，教學(xué)蘇教版五上《認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)》一課，通過(guò)創(chuàng)設(shè)溫度計(jì)、海拔高度等具體情境讓學(xué)生認(rèn)識(shí)正數(shù)和負(fù)數(shù)后，教師通過(guò)課件動(dòng)態(tài)演示，把溫度計(jì)的刻度與海報(bào)的高度抽象成數(shù)軸，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸這一數(shù)學(xué)化工具，將正數(shù)和負(fù)數(shù)放在原有自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的概念中進(jìn)行理解，從而形成對(duì)數(shù)的序列化認(rèn)識(shí)。在具體情境中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動(dòng)且深刻。

2.投石問(wèn)路，欣賞“怎么辦”，拓寬數(shù)學(xué)思考。

受經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)能力限制，在分析與解決問(wèn)題時(shí)，兒童的思維容易固化，有時(shí)表現(xiàn)為面對(duì)問(wèn)題束手無(wú)策，思維停滯不前；有時(shí)表現(xiàn)為對(duì)單一問(wèn)題解決方法的滿足，缺乏對(duì)已有思維的審視與拓展。教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，可以通過(guò)提供新的學(xué)習(xí)材料，打開兒童的數(shù)學(xué)視野，讓數(shù)學(xué)思考在新的空間馳騁。例如，特級(jí)教師俞正強(qiáng)執(zhí)教拓展欣賞課《怎樣求出地圖的面積》，在學(xué)生十分困惑的情況下，教師抓住契機(jī)，讓學(xué)生觀摩問(wèn)題解決的具體過(guò)程：（1）沿不規(guī)則邊線剪下地圖（如圖2）；（2）把地圖貼在一塊較厚的纖維板上；（3）用細(xì)木鋸沿邊線鋸下木板；（4）稱出木板的重量并量出厚度；（5）在這種纖維板上鋸一塊體積為1立方厘米的木塊，并稱出重量；（6）算出鋸下的木板的體積（總重量÷每立方厘米的重量）；（7）用體積除以厚度得出底面積。然后組織學(xué)生討論“為什么我們沒(méi)有想到這種解決方法”，學(xué)生經(jīng)過(guò)反思，明確了“解決面積問(wèn)題除了從平面圖形角度思考，還可以從立體角度切入”，由此拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

（圖2）

3.尋根究底，通曉“為什么”，精深數(shù)學(xué)思考。

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓兒童掌握基本的方法和規(guī)則，還要弄清來(lái)龍去脈，對(duì)方法和規(guī)則進(jìn)行必要的解釋與說(shuō)明，通曉其存在的合理性，這樣，兒童才能真正建構(gòu)起對(duì)知識(shí)的理解。因此，教師教學(xué)時(shí)要抓住契機(jī)，進(jìn)一步啟發(fā)兒童展開數(shù)學(xué)思考，及時(shí)推進(jìn)一步、深挖一尺。例如，教學(xué)蘇教版六下《用方向和距離確定位置》一課，在學(xué)生掌握了用方向和距離描述位置的方法，并感受到用方向和距離確定位置的準(zhǔn)確性之后，教師適時(shí)追問(wèn)：“為什么用方向和距離可以準(zhǔn)確確定物體的位置呢？”一石激起千層浪，學(xué)生產(chǎn)生了強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，教師隨即借助課件向?qū)W生展示了“面—線—點(diǎn)”逐步精確確定位置的過(guò)程，學(xué)生恍然大悟，獲得了對(duì)確定位置方法的深度理解。之后，教師問(wèn)及“空間內(nèi)如何確定位置”時(shí)，學(xué)生提出“需要有類似的兩條線交叉確定”，可見(jiàn)，學(xué)生已經(jīng)勾勒出空間內(nèi)的經(jīng)線和緯線了。

（三）梳理知識(shí)脈絡(luò)，織就數(shù)學(xué)思考的結(jié)點(diǎn)

由于兒童的個(gè)體理解不同，認(rèn)知圖式有時(shí)還不夠清晰，甚至不準(zhǔn)確。教學(xué)時(shí)，教師要注重引導(dǎo)兒童回顧、反思、對(duì)比、分析，梳理知識(shí)脈絡(luò)，讓其認(rèn)知圖式更清晰，為其后續(xù)展開新的學(xué)習(xí)之旅做好孕伏。

1.比較新舊學(xué)習(xí)方法，溝通聯(lián)系。

教學(xué)時(shí)，教師要注重引導(dǎo)兒童通過(guò)對(duì)比梳理新舊學(xué)習(xí)方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，把握不同學(xué)習(xí)方法的要點(diǎn)和關(guān)鍵，促進(jìn)他們形成結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)。仍以《圓的認(rèn)識(shí)》一課的教學(xué)為例，在學(xué)生掌握了圓規(guī)畫圓的方法，并欣賞了用直尺畫圓以及固定線一端畫圓的過(guò)程后，教師提出問(wèn)題：“幾種畫圓方法有什么異同？”引導(dǎo)學(xué)生深入分析比較，從操作要領(lǐng)的具體感知到原理的洞察理解，使他們逐步領(lǐng)悟知識(shí)本質(zhì)，即定點(diǎn)與定長(zhǎng)是形成圓的基本條件，從而促進(jìn)學(xué)生深入理解圓的概念，同時(shí)為其認(rèn)識(shí)圓心、半徑和直徑做好鋪墊。

2.解析學(xué)習(xí)過(guò)程，強(qiáng)化理解。

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，兒童往往會(huì)更多地關(guān)注結(jié)果，而忽視知識(shí)展開的過(guò)程；會(huì)更多地關(guān)注對(duì)現(xiàn)象的感知，而忽視對(duì)本質(zhì)的理解。因此，教師要注意引導(dǎo)兒童解構(gòu)過(guò)程，抓住關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行剖析，強(qiáng)化兒童的數(shù)學(xué)理解。例如，教學(xué)蘇教版三上《軸對(duì)稱圖形》一課，教師課件演示“將一張紙對(duì)折，畫一畫，剪一剪，做一個(gè)軸對(duì)稱圖形”，學(xué)生多關(guān)注做出軸對(duì)稱圖形的形狀，而對(duì)方法與過(guò)程缺乏必要的思考。為此，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思操作步驟，適時(shí)點(diǎn)撥“對(duì)折”要求，并在學(xué)生操作后追問(wèn)“為什么要將紙對(duì)折后再剪”，啟發(fā)學(xué)生做后思，鞏固對(duì)概念的理解與掌握。

3.感悟教學(xué)思想，提升認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)精神的內(nèi)核，是兒童“帶得走”的東西。但是，兒童不容易感悟到知識(shí)形成過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。因此，教師要對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有學(xué)科理解和把握，在兒童數(shù)學(xué)思考過(guò)程中因勢(shì)利導(dǎo)，幫助他們獲得感悟、提升認(rèn)識(shí)。例如，教學(xué)蘇教版六下《圓柱的體積》一課，教師課件動(dòng)態(tài)演示將圓柱32等分、64等分、128等分拼成近似的長(zhǎng)方體，使學(xué)生感知到“等分的份數(shù)越多，拼成的物體越接近長(zhǎng)方體”，如果無(wú)限等分下去可以拼成長(zhǎng)方體。接著，教師啟發(fā)學(xué)生反思：“圓柱體積計(jì)算推導(dǎo)過(guò)程‘似曾相識(shí)’，讓你想到了什么？”引導(dǎo)學(xué)生將圓柱體積計(jì)算推導(dǎo)與圓的面積計(jì)算推導(dǎo)勾連起來(lái)，感悟其中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想與極限思想。

綜上所述，立足兒童的學(xué)習(xí)心理和內(nèi)在需求，觀照兒童的認(rèn)知規(guī)律，拉進(jìn)兒童與數(shù)學(xué)的距離，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的自然性和生動(dòng)性。在教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)兒童理解數(shù)學(xué)，自然展開數(shù)學(xué)思考。