顏云

摘要：函數(shù)極限是微積分學(xué)的基本概念之一，而求解函數(shù)極限的方法則是研究函數(shù)的重要工具。因此，本文就如何利用一些求解函數(shù)極限的兩種基本方法展開論述，包括遞推形式的函數(shù)、洛必達(dá)法則。本文把每一種方法的使用特點(diǎn)和前提作了詳細(xì)說(shuō)明，再借助一些經(jīng)典案例加以對(duì)比分析，并在過(guò)程中滲透每一種解題的思路，旨在能夠熟練地的應(yīng)用這些方法作為求解函數(shù)極限地有力手段。

關(guān)鍵詞：函數(shù)極限;洛必達(dá)法則;遞推形式

1.遞推形式求極限

有些數(shù)列常利用遞推形式給出，則完成這樣的一些函數(shù)極限的求解問(wèn)題時(shí)，一般可以利用單調(diào)有界定理求解函數(shù)極限。

定理1^[1]（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.

要點(diǎn)：假如可以利用某種方法證明遞推數(shù)列的極限存在，然后對(duì)此遞推式的兩邊取極限，便可以得到關(guān)于所設(shè)極限值為A的方程，解此方程即得A值.

①判斷“單調(diào)性”的常用方法：

： 當(dāng)時(shí)：?jiǎn)握{(diào)遞增 當(dāng)時(shí)：?jiǎn)握{(diào)遞減

： 當(dāng)時(shí)：?jiǎn)握{(diào)遞增 當(dāng)時(shí)：?jiǎn)握{(diào)遞減

若則當(dāng)時(shí)：?jiǎn)握{(diào)遞增;當(dāng)時(shí)：?jiǎn)握{(diào)遞減

②判斷“有界性”的常用方法：

基本的不等式 數(shù)學(xué)歸納法 利用單調(diào)性 從數(shù)列遞推關(guān)系式中觀察

例1^[3]證明數(shù)列{}收斂，其中，. 并求極限.

分析：首先利用基本不等式進(jìn)行“有界性”的判定，其次根據(jù)極限式的特征利用“作商”來(lái)判斷單調(diào)性.

證明 由題意可得： 所以{}有下界

又由于： 所以{}單調(diào)遞減，從而依據(jù)單調(diào)有界定理可知：存在 對(duì)兩邊取極限可得：

解之可得：.

2.利用洛必達(dá)（LHospital）法則求解函數(shù)極限

（1）要點(diǎn)

每次使用洛必達(dá)法則之前，務(wù)必要看清它是否屬于可使用洛必達(dá)法則的幾種常見(jiàn)的不定式極限型，否則不可使用。洛必達(dá)法則是求解不定時(shí)極限的常用方法，而且?guī)追N常用的等價(jià)關(guān)系也變得十分明顯易記。

例1求極限.

分析：對(duì)于本題所求極限式，首先應(yīng)當(dāng)進(jìn)行三角恒等變換，然后不斷地使用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解.

解 原式

.

參考文獻(xiàn)：

[1] 華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010，6：1-200.

[2] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006，1：2-73.

[3] 溫錄亮.論函數(shù)極限的求解方法[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，29（3）：14-84.

[4] 費(fèi)定輝，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2003，2：33-39.