盧新華 張小峰

摘? 要：現(xiàn)有介紹微幅波理論的教材或著作，從控制方程組的形式、邊界條件的提法，到解的推求過(guò)程中存在多處易使學(xué)生產(chǎn)生困惑的地方。文章針對(duì)這些地方分別提出了改進(jìn)的教學(xué)方法、改進(jìn)后的控制方程組和邊界條件，提法更容易理解，整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程更流暢，也更易被學(xué)生接受。

關(guān)鍵詞：微幅波;運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件;動(dòng)力學(xué)邊界條件;勢(shì)流理論;自由水面

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2021）28-0126-04

Abstract： In existing textbooks or monographs， the descriptions on small-amplitude wave theory may easily make students confused from the forms of the governing equations and the prescribed boundary conditions to the derivation process of the solution. Aiming at resolving these issues， this paper proposes an improved teaching method. In this method， the governing equations and the boundary conditions can be more easily understood， and the derivation process is more fluent， and is thus more acceptable to students.

Keywords： small-amplitude wave; kinetic boundary condition; dynamic boundary condition; potential theory; free-surface

水波是流體（液體）運(yùn)動(dòng)的一種形式，波浪運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律服從流體運(yùn)動(dòng)的基本控制方程組即Navier-Stokes組方程。但由于數(shù)學(xué)求解Navier-Stokes方程組存在困難，人們轉(zhuǎn)而尋求各種簡(jiǎn)化方法來(lái)描述波浪運(yùn)動(dòng)。依照不同的簡(jiǎn)化方法和途徑，形成了多種適用于不同條件的波浪理論。

簡(jiǎn)化的途徑之一是假定水體無(wú)粘和無(wú)旋，進(jìn)而引入流速勢(shì)函數(shù)將Navier-Stokes方程組轉(zhuǎn)化為波浪運(yùn)動(dòng)控制方程，在給定相應(yīng)邊界條件后可以進(jìn)行求解。但由于直接進(jìn)行求解還存在困難，需要做進(jìn)一步的簡(jiǎn)化或近似，于是便產(chǎn)生了微幅波、有限振幅波等理論。微幅波是其中最基本的一種波浪理論，是海岸動(dòng)力學(xué)、多學(xué)時(shí)的流體力學(xué)或水力學(xué)課程水波運(yùn)動(dòng)部分的重要內(nèi)容。

然而，現(xiàn)在介紹波浪運(yùn)動(dòng)控制方程與微幅波求解過(guò)程的教材或著作中（如文獻(xiàn)[1-3]），有若干個(gè)容易使學(xué)生產(chǎn)生困惑的地方。一是控制方程的個(gè)數(shù)，一般只寫了一個(gè)從連續(xù)性方程轉(zhuǎn)化得到的方程，那運(yùn)動(dòng)方程呢？二是水面的動(dòng)力學(xué)邊界條件表達(dá)式不容易接受;三是床面處為何只提了運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件而無(wú)動(dòng)力學(xué)邊界條件;四是得到的解的表達(dá)式中出現(xiàn)了波高等物理量，而這些物理量并沒(méi)在定解條件中出現(xiàn)，是怎么“冒”出來(lái)？

為解決這幾個(gè)問(wèn)題，教學(xué)中我們采用了如下的改進(jìn)方法。

一、波浪運(yùn)動(dòng)控制方程

已有的多種波浪理論，都是以相對(duì)簡(jiǎn)單的立面二維波浪運(yùn)動(dòng)作為研究對(duì)象的。并作如下假定：流體是不可壓縮的、無(wú)粘性，水流運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的;自由水面的大氣壓強(qiáng)為常數(shù)，質(zhì)量力僅為重力，表面張力和柯氏力可忽略不計(jì);海底水平、不透水;波浪在立（剖）面二維空間運(yùn)動(dòng)。設(shè)定坐標(biāo)系為：x軸水平、位于靜水面上，z軸鉛垂向上，如圖1所示。

由于假定了水流運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，則必存在速度勢(shì)函數(shù)？準(zhǔn)（x，z，t）使得流速矢量的水平方向分量u和垂直分量w滿足：

于是，不可壓縮流體的水流連續(xù)性方程變?yōu)?/p>

根據(jù)上面的假定，原來(lái)x和z方向的兩個(gè)水流運(yùn)動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為一個(gè)（理想流體的伯努利方程）

對(duì)一般的立面二維不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)，待求的物理量為三個(gè)，分別是u、w和p，對(duì)應(yīng)的控制方程也是三個(gè)（連續(xù)性方程、x和z方向的運(yùn)動(dòng)方程），是封閉的。但對(duì)無(wú)旋流動(dòng)，x和z方向的流速分量可以用同一個(gè)物理量？準(zhǔn)來(lái)表出，待求的物理量變?yōu)閮蓚€(gè)即？準(zhǔn)和p，對(duì)應(yīng)的控制方程自然也減少為二個(gè)，即方程（2）和（3），方程數(shù)與待求物理量個(gè)數(shù)相等，也是封閉的。有必要指出，對(duì)有自由表面的流動(dòng)問(wèn)題，水位也是待求的量，這個(gè)量須通過(guò)邊界條件確定。

現(xiàn)有教程通常只寫了方程（2），沒(méi)有明確把方程（3）包括在控制方程中，這種處理雖不影響求解結(jié)果，卻容易使學(xué)生產(chǎn)生困惑。

二、邊界條件

求解微分方程組時(shí)，需要首先確定初始和邊界條件。對(duì)立面二維Navier-Stokes方程組（研究圖1所示的立面二維波浪運(yùn)動(dòng)），當(dāng)研究的波浪要素不隨時(shí)間變化時(shí)，初始條件可不予考慮。邊界條件包括三個(gè)方面：海底、水面和左右側(cè)。目前教材給出的邊界條件表達(dá)式一般為：

式中，L為波長(zhǎng)，T為波周期。值得說(shuō)明的是式（7）的第二個(gè)等式本質(zhì)上不應(yīng)歸入邊界條件，此處列于此以反映解的時(shí)間周期性。

但是，按這樣給出的邊界條件，容易產(chǎn)生三個(gè)方面的困惑：一是水面的動(dòng)力學(xué)邊界條件表達(dá)式不容易接受;二是在水面即液-氣交界面處提了兩個(gè)邊界條件（式（5）和（6）），但為何液-固交界面即床面處只提了一個(gè)邊界條件（式（4））;三是推導(dǎo)得到的解中將出現(xiàn)方程與邊界條件中沒(méi)有出現(xiàn)的物理量，如波高（或振幅）。

對(duì)第一個(gè)問(wèn)題，我們認(rèn)為可以用更直觀的水面壓強(qiáng)條件來(lái)替代，即水面處相對(duì)壓強(qiáng)p滿足：