陶永虎，饒軍應(yīng)，熊 鵬，聶崇欣，謝財進(jìn)

(貴州大學(xué) 土木工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

近年來，隨著經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，各類巖土工程、邊坡工程及隧道工程等項(xiàng)目建設(shè)愈發(fā)頻繁，而工程事故也隨之增多，尤其在隧道建設(shè)方面，由襯砌變形、漏水、內(nèi)應(yīng)力增大等原因引起的事故不計(jì)其數(shù)[1-4]。目前，大多數(shù)施工單位都是通過布設(shè)測點(diǎn)測量襯砌變形情況來預(yù)判隧道安全與否，但此方法只能大概估計(jì)襯砌應(yīng)變情況，誤差較大，故準(zhǔn)確判斷已建隧道襯砌應(yīng)力變化對隧道的安全使用是非常必要的。若能建立原型-模型襯砌應(yīng)力理論模型，通過模型襯砌應(yīng)力變化反映實(shí)際襯砌應(yīng)力變化，那么就能從理論上準(zhǔn)確掌握隧道襯砌應(yīng)力變化情況，及時采取補(bǔ)救措施，這不但節(jié)省了勞動力，同時還保證了隧道運(yùn)營安全[5-10]。

在原型與模型試驗(yàn)研究方面，朱葉艇等[11]進(jìn)行了異形盾構(gòu)隧道襯砌應(yīng)力計(jì)算模型及受力特性研究，得到了襯砌應(yīng)力計(jì)算的分析模型，但在原型-模型襯砌應(yīng)力之間未給出明確的理論關(guān)系；江浩等[12]研究了幾何相似比對模型試驗(yàn)及原型試驗(yàn)隧道襯砌內(nèi)力的影響，總結(jié)出相似比的變化對襯砌應(yīng)力變化影響顯著，但未從隧道受力方面給出模型襯砌應(yīng)力的具體計(jì)算方法；張鵬[13]利用模型試驗(yàn)研究海底隧道襯砌應(yīng)力變化規(guī)律，根據(jù)相似準(zhǔn)則建立模型試驗(yàn)，總結(jié)出襯砌應(yīng)力與流固耦合之間存在較大關(guān)系，但在理論研究方面，沒有明確給出其理論計(jì)算模型；景詩庭[14]利用模型試驗(yàn)研究襯砌應(yīng)力變化，分析了原型-模型試驗(yàn)之間的區(qū)別，但未從理論上給出其計(jì)算方法；劉金云等[15]進(jìn)行了流固耦合下的輸水隧道動力模型試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)通過數(shù)值模擬，模型試驗(yàn)襯砌應(yīng)力結(jié)果可反映到原型試驗(yàn)值上，但未從理論方面進(jìn)行研究解釋。綜上所述，目前關(guān)于模型-原型試驗(yàn)的研究主要集中于相似材料、模型與原型關(guān)系、幾何相似比對模型的影響等方面，并通過數(shù)值模擬來反映襯砌應(yīng)力變化，但參數(shù)選擇及材料假定會給數(shù)值模擬帶來一定的偏差，導(dǎo)致模擬結(jié)果模棱兩可，故從理論方面研究原型-模型襯砌應(yīng)力關(guān)系是很有必要的，這既能糾正數(shù)值模擬的偏差，也能為襯砌應(yīng)力計(jì)算提供理論方法。

本文在前人研究基礎(chǔ)上，利用相似原理建立原型-模型襯砌應(yīng)力關(guān)系，通過復(fù)變函數(shù)保角變換將雙連拱隧道襯砌轉(zhuǎn)化為兩個相切的圓環(huán)，通過假定應(yīng)力解析函數(shù)及位移解析函數(shù)對變換的模型進(jìn)行應(yīng)力求解，最后再根據(jù)已建的應(yīng)力關(guān)系，得到化簡后的原型-模型襯砌應(yīng)力理論計(jì)算模型，并對模型進(jìn)行化簡及分析。

1 模型構(gòu)建

1.1 原理介紹

這里視隧道襯砌為薄板結(jié)構(gòu)，本模型試驗(yàn)采用靜態(tài)平面應(yīng)變模型。隧道襯砌相似條件主要依據(jù)彈性力學(xué)本構(gòu)關(guān)系，若以下標(biāo)N和M分別表示原型和模型的物理量，則原型和模型都應(yīng)滿足彈性力學(xué)的基本方程[16]：

1)平衡微分方程

原型：

(1)

模型：

(2)

2)相容方程

原型：

(3)

模型：

(4)

3)物理方程

原型：

(5)

模型：

(6)

4)幾何方程

原型：

(7)

模型：

(8)

5)邊界條件

原型：

(9)

模型：

(10)

通過假定材料幾何相似比，由式(1)～(10)可以確定模型試驗(yàn)的相似參數(shù)。

1.2 模型參數(shù)設(shè)定

由于雙連拱隧道襯砌受力較為復(fù)雜，且假設(shè)襯砌材料均為彈性連續(xù)介質(zhì)，故采用方程分析法確定相似常數(shù)。根據(jù)方程分析相似準(zhǔn)則，設(shè)ξ表示相似常數(shù)，將其分別代入式(1)～(10)。

依據(jù)式(1)得：

(11)

同理,將ξσ、ξL、ξε、ξE代入式(3)～(10)得：

(12)

(13)

(14)

(15)

已知相似比時，便可通過式(11)～(15)求得其他相似常數(shù)，從而確定原型應(yīng)力與模型應(yīng)力之間的數(shù)量關(guān)系。

1.3 原型-模型襯砌應(yīng)力關(guān)系構(gòu)建

由相似試驗(yàn)可知，模型襯砌應(yīng)力與原型襯砌應(yīng)力之間相差一個常數(shù)關(guān)系，為求得模型與原型襯砌應(yīng)力之間的關(guān)系，現(xiàn)將連拱隧道看作是一個平面應(yīng)變問題，只在x、y方向受均布壓力，其計(jì)算原型如圖1、圖2所示。

圖1 原型連拱隧道自重應(yīng)力場分布Fig.1 Self-weight stress field distribution of the prototype double-arch tunnel

圖2 等效模型施加外加應(yīng)力的應(yīng)力分布Fig.2 Stress distribution of equivalent model applied stress

1.4 原型-模型襯砌應(yīng)力關(guān)系

1.4.1σN與σM關(guān)系的建立

在非兩拱共用邊墻部位，隧道襯砌受力較兩拱連接處簡單，采用彈性力學(xué)本構(gòu)方程進(jìn)行求解，其計(jì)算模型如圖3所示。假設(shè)襯砌薄板均布壓力為q，慣性矩為W，K為彎曲剛度，板厚為t。

圖3 薄板受力Fig.3 Force of thin plate

根據(jù)材料力學(xué)薄板彎曲撓度方程[17]：

??2δ=0

(16)

對應(yīng)在直角坐標(biāo)方程中，則有：

(17)

式中：δ為薄板發(fā)生彎曲時產(chǎn)生的撓度；?表示哈密頓算子。

假設(shè)該隧道的幾何相似比ξL=1/λ，彈性模量EN=EM，泊松比μN(yùn)=μM，依據(jù)式(11)～(15)得：

(18)

再由式(11)～(15)可以得到原型與模型相關(guān)計(jì)算指標(biāo)的關(guān)系：

(19)

原型與模型薄板彎曲方程：

(20)

由式(18)～(20)解得：

(21)

若EN=EM、μN(yùn)=μM則：

(22)

若，則：

即：

(23)

由式(23)可知，模型襯砌應(yīng)力與原型襯砌應(yīng)力存在理論關(guān)系，通過確定模型襯砌應(yīng)力，便可知道該隧道襯砌的受力情況及變化規(guī)律。

1.4.2模型應(yīng)力σM復(fù)變解

在求解無中墻連拱隧道襯砌應(yīng)力時，將其視為無限平面中的孔口問題，忽略邊界條件及地應(yīng)力的變化[18]。襯砌問題是一個多連通域問題，其邊界由圍巖、隧道襯砌、空氣組成，而本文在計(jì)算襯砌應(yīng)力時，利用復(fù)變函數(shù)保角變換思想，將隧道襯砌假設(shè)為連續(xù)相切的圓環(huán)，依據(jù)復(fù)變函數(shù)[19-22]冪級數(shù)展開及結(jié)合邊界條件便可求得其隧道襯砌應(yīng)力，該變換模型屬于三連通域問題。該隧道模型關(guān)于邊墻中心對稱，故受力相同，下文均只取變換后的左圓環(huán)進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算，其計(jì)算圖如圖4所示(其中ρ、θ表示極坐標(biāo)下的極徑、旋轉(zhuǎn)角，a、b表示保角變換后的襯砌內(nèi)徑、襯砌外徑)。

圖4 Γ平面保角代換為φ平面示意圖Fig.4 Schematic diagram of Γ plane conformal substitution to φ plane

Γ平面中，C1、C′1與C2、C′2分別為左幅隧道和右幅隧道的圍巖與襯砌；P1、P′1分別表示左幅隧道與右幅隧道襯砌與大氣的接觸面；P2、P′2分別表示左幅隧道與右幅隧道襯砌與圍巖的接觸面，滿足襯砌與圍巖接觸時的連續(xù)邊界條件。由Γ平面通過保角代換得φ平面圓環(huán)結(jié)構(gòu)，其中C1、C′1、C2、C′2區(qū)域映射為φ平面的Z1、Z′1、Z2、Z′2區(qū)域；P1、P1′、P2、P′2區(qū)域映射為φ平面的ω1、ω′1、ω2、ω′2區(qū)域。

設(shè)χ(Γ)、ψ(Γ)分別為應(yīng)力解析函數(shù)、位移解析函數(shù)，則各計(jì)算指標(biāo)用復(fù)函數(shù)表示為：

應(yīng)力分量：

(24)

位移分量：

(25)

在P1邊界面，其邊界條件為：

(26)

在P2邊界面，其邊界條件為：

(27)

式中：u、ν分別表示圍巖水平和豎向位移；fx、fy分別表示x、y方向的面力；A為弧長起算點(diǎn)，F(xiàn)為邊界上任一點(diǎn)；C為弧長起算點(diǎn)，D為邊界上任一點(diǎn)；G為剪切模量，G=E/(1+2μ)；μ為泊松比。

在雙連通域中，其應(yīng)力解析函數(shù)和位移解析函數(shù)的形式為：

(28)

式中：χ*(Γ)為ρ=1單連通域的應(yīng)力單值解析函數(shù)；ψ*(Γ)為ρ=1單連通域的位移單值解析函數(shù)；m為邊界值。

利用復(fù)變函數(shù)共性映射原理求解復(fù)雜平面問題時，常將復(fù)雜的計(jì)算截面通過保角代換為規(guī)則的幾何形狀進(jìn)行求解，結(jié)合應(yīng)力和位移邊界條件進(jìn)行計(jì)算。由于隧道襯砌受力問題可以理解為平面應(yīng)變孔口受力問題，故將式(28)做如下化簡：

取映射函數(shù)Γ=Φ(φ)=b/ζ，φ=ρ(cosθ+isinθ)=ρeiθ，從而得到φ平面的極坐標(biāo)復(fù)變函數(shù)方程：

(29)

其中：

(30)

式中：M、M′、F′為無窮遠(yuǎn)處應(yīng)力常數(shù)；mk、sk為邊界面上某一點(diǎn)；ζk為冪級數(shù)展開關(guān)于ζ的項(xiàng)；bk表示常數(shù)b在第k序號時對應(yīng)的冪；k為大于0的正整數(shù)，k=3-4μ。

在極坐標(biāo)下，應(yīng)力分量：

(31)

利用Laurent冪級數(shù)進(jìn)行求解，將χ(Γ)、ψ(Γ)在φ平面上展開：

(32)

式中：α0和η0分別表示初始地應(yīng)力及初始位移。

對于該隧道模型，在φ平面上有三個應(yīng)力邊界，且在三個邊界面均不考慮面力，即當(dāng)ρ=1、ρ=a、ρ=b時，有：

假設(shè)隧道左側(cè)和右側(cè)最大荷載為q1，拱頂最大荷載為q2，由式(28)～(32)結(jié)合邊界條件化簡可得：

(33)

由式(33)可得其襯砌所受應(yīng)力關(guān)系，通過參數(shù)的確定便可求得襯砌在各個方向的應(yīng)力值，結(jié)合式(23)就可得到原型-模型的襯砌應(yīng)力關(guān)系。

2 模型化簡及分析

2.1 模型化簡

由于式(23)是直角坐標(biāo)下的方程，式(33)是極坐標(biāo)下的應(yīng)力方程，為了便于計(jì)算，進(jìn)行相應(yīng)坐標(biāo)變換，變換公式為：

(34)

σρ+σθ、σρ-σθ計(jì)算如下：

(35)

將式(35)代入式(34)得到：

(36)

式(36)較為復(fù)雜，而真實(shí)修建隧道時，只考慮最大襯砌應(yīng)力的影響(應(yīng)力過大，容易引起襯砌開裂、滲水)，為安全起見，現(xiàn)對模型進(jìn)行如下簡化：根據(jù)彈性力學(xué)可知σρ+σθ=σx+σy，根據(jù)保角代換可知當(dāng)θ→0時，相應(yīng)的β→0，此時對應(yīng)的襯砌應(yīng)力為邊墻應(yīng)力最大值，拱頂最大荷載q2幾乎為零，這時ρ近似為B(邊界值)，襯砌應(yīng)力為：

(37)

式(37)即為右邊墻受到的應(yīng)力情況，符合隧道在邊墻處的襯砌受力情況。

當(dāng)θ→π時，相應(yīng)的β→π，此時不考慮拱頂最大荷載q2，左邊墻襯砌受力為：

(38)

當(dāng)θ→π/2時，相應(yīng)的β→π/2，此時不考慮邊墻最大荷載q1，拱頂部位襯砌受力為：

(39)

式中：h為隧道凈高。

根據(jù)式(23)及式(37)～(39)建立組合模型，其結(jié)果為：

當(dāng)θ→0，β→0時：

(40)

當(dāng)θ→π，β→π時：

(41)

當(dāng)θ→π/2，β→π/2時：

(42)

式(40)～(42)即為隧道襯砌受力的三種極端情況，保證三種應(yīng)力安全情況下，隧道偏于安全。

2.2 誤差分析

為分析該理論模型的誤差變化情況，現(xiàn)做如下計(jì)算：

y*-y=k(x*-x)

記e(y)=y*-y，e(x)=x*-x，則有：

e(y)=ke(x)

由Taylor公式展開得到絕對誤差及相對誤差：

(43)

將已知條件代入式(43)得：

(44)

式(44)即為該模型的誤差表達(dá)式，只要知道其相似參數(shù)，便可確定其誤差范圍。

3 典例分析

本文依托于云南大理某連拱隧道，其右幅K37+750～K38+205段(左幅ZK37+742～ZK38+180段)地形起伏較大，右幅全長455 m(左幅438 m)，最大埋深64.76 m。隧道區(qū)海拔高程1 743～1 817 m，相對高差74 m，屬構(gòu)造剝蝕中山地貌區(qū)。隧道區(qū)地形較為陡峻，地表植被發(fā)育較好。隧道圍巖等級為Ⅴ級，圍巖較破碎，風(fēng)化巖較多。

該模型的相關(guān)相似常數(shù)為ξL=25、ξγ=1、ξε=ξμ=1、ξR=ξσ=ξC=ξE=25(ξR、ξC為強(qiáng)度相似常數(shù)、粘聚力相似常數(shù))，其相關(guān)的物理力學(xué)參數(shù)及相似材料力學(xué)參數(shù)如表1所示。其測點(diǎn)布置如圖5所示，由于隧道左右幅受力情況相同，現(xiàn)取左幅隧道進(jìn)行襯砌應(yīng)力分析，原型-模型相關(guān)參數(shù)如表2所示，理論值與原型測量值相關(guān)參數(shù)如表3所示。原型-模型襯砌應(yīng)力如圖6所示。

表1 隧道物理力學(xué)參數(shù)Tab.1 Parameters of prototype tunnel

圖5 測點(diǎn)布置示意圖(單位：cm)Fig.5 Schematic diagram of measuring point layout (unit:cm)

表2 模型實(shí)測值與原型實(shí)測值之間的關(guān)系Tab.2 Relationship between model measurement value and prototype measurement value

表3 原型實(shí)測值與模型理論值之間的關(guān)系Tab.3 Relationship between prototype measured value and model theoretical value

圖6 原型-模型襯砌應(yīng)力示意圖Fig.6 Schematic diagram of prototype-model lining stress

由圖6(a)可知，模型實(shí)測值與原型實(shí)測值變形趨勢相同，均隨著時間增加，且σN/σM≈0.31；當(dāng)1d～3d時，原型與模型的襯砌應(yīng)力均隨時間大幅增加；當(dāng)3d～7d時，模型與原型襯砌應(yīng)力雖隨時間增加，但變化幅度較小。

由圖6(b)可知，模型理論計(jì)算值與原型實(shí)測值均隨時間增加，且其變化趨勢一致，說明模型理論值與原型實(shí)測值較為接近，表明該理論方法合理可行；理論值與實(shí)測值之間最大誤差為5.02%，最小誤差為0。

4 結(jié) 論

1)本文基于相似原理，構(gòu)建了原型-模型的襯砌應(yīng)力關(guān)系計(jì)算模型，其原型襯砌應(yīng)力與模型襯砌應(yīng)力之間相差一個常數(shù)，此常數(shù)可通過相似材料及圍巖物理力學(xué)參數(shù)來確定。

2)連拱隧道受力較為復(fù)雜，采用復(fù)變函數(shù)保角代換求解模型應(yīng)力，理論化簡得到原型-模型襯砌應(yīng)力關(guān)系，經(jīng)圍巖壓力計(jì)算可分別得到q1、q2，從而可通過模型應(yīng)力反推原型實(shí)際襯砌應(yīng)力。

3)經(jīng)模型化簡、誤差分析可得高應(yīng)力區(qū)模型-原型襯砌應(yīng)力理論關(guān)系，該模型產(chǎn)生的絕對誤差較小，最大誤差為5.02%，最小誤差為0。

4)經(jīng)分析，原型實(shí)測值與模型實(shí)測值均隨時間增加，其變化趨勢一致，且σN/σM≈0.31；原型實(shí)測值與模型理論值較為接近，且均隨時間增加。該結(jié)果驗(yàn)證了模型的合理性，說明根據(jù)模型值反推原型隧道襯砌應(yīng)力是可行的。

5)本文未考慮地下水壓力、地應(yīng)力的影響，后續(xù)研究會將其納入考慮，以便分析其對襯砌應(yīng)力變化的影響。