欽 松，成剛虎，韓勝蘭，馬鵬飛

(1.西安理工大學(xué) 藝術(shù)與設(shè)計學(xué)院，陜西 西安 710054；2.西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院，陜西 西安 710054)

油墨具有選擇性吸光特性[1-3]，這是我們借以轉(zhuǎn)移圖文的基礎(chǔ)。施墨量的多寡決定了圖象的階調(diào)層次和色彩呈現(xiàn)，因而直接影響著彩色圖像的視覺效果。因此，油墨的定量控制就是包括印刷工程在內(nèi)的色彩工程[1，3-5]質(zhì)量控制的核心內(nèi)容。墨量的控制分為兩個方面，即厚度控制和面積(率)控制[6-8]。前者依靠控制模型實(shí)現(xiàn)，后者依據(jù)前者在印前處理中完成。因此，控制模型是墨量控制的關(guān)鍵[3-8]，其科學(xué)性和精確性一直是相關(guān)行業(yè)追求的目標(biāo)之一。

隨著墨層厚度的變化，墨層的吸光特性也會產(chǎn)生變化[1-2，4-6，8]。因為墨層厚度難以進(jìn)行精確的直接測量，目前在眾多的間接測量方法當(dāng)中，工程上絕大多數(shù)場合使用密度法[1-2,8-9]，就是根據(jù)印刷實(shí)地(塊)的反射密度與墨層厚度的關(guān)系進(jìn)行墨量的甄別與控制。實(shí)地密度與墨層厚度的關(guān)系，一直被視作印刷油墨量的控制模型[1-2,4-5]，是業(yè)界早期研究關(guān)注的焦點(diǎn)。

Lambert-Beer定律，揭示了半透明物質(zhì)的吸光特性，一直被認(rèn)為是光吸收的基本定律，是我們進(jìn)行光密度分析的定量基礎(chǔ)[1-2，7-10]。印刷油墨具有半透明的性質(zhì)，也具有“吸收光線的比例隨著墨層厚度的增加和油墨濃度的增加而增加[1-2]”的基本特征，因而理所當(dāng)然地被應(yīng)用于印刷工程領(lǐng)域的墨量控制，并長期占據(jù)著近乎統(tǒng)治的技術(shù)地位。然而，長期的生產(chǎn)實(shí)踐告訴我們，Lambert-Beer定律是一個有限法則[1-2]，僅僅在一定的范圍內(nèi)近似存在；而實(shí)地密度并不會無限增加的事實(shí)，更加暴露了Lambert-Beer定律在印刷領(lǐng)域的應(yīng)用局限性[1-2]。

遺憾的是，盡管對Lambert-Beer定律的質(zhì)疑一直存在[1-2，4-5,8,11-12]，然至今為止，這方面的研究一直再沒有新的理論問世，更多的研究則是從工程應(yīng)用角度進(jìn)行了嘗試[1-2,12]。

根據(jù)實(shí)際印刷過程數(shù)據(jù)分析和科學(xué)實(shí)驗觀察，實(shí)地密度與墨層厚度之間存在著一種曲線依存關(guān)系?；诖耍簧偃讼群蟛捎脭?shù)學(xué)方法進(jìn)行了控制模型的曲線擬合研究，發(fā)表了各自的經(jīng)驗公式。比較典型的成果有[1-2,8-9,13]：Tollenaar和Ernst經(jīng)驗公式，Uournerup經(jīng)驗公式 ，以及Calabro和Savagnone經(jīng)驗公式。其中尤以Tollenaar和Ernst提出的指數(shù)曲線(簡作TE經(jīng)驗公式)最為業(yè)界所接受[2,8-9]。但是很顯然，缺乏物理支持是其最大的問題。

本文通過理論分析，對現(xiàn)有模型存在的問題和不足進(jìn)行深度認(rèn)識和挖掘，在此基礎(chǔ)上，針對反射密度與透射密度的本質(zhì)區(qū)別，首次考慮并記入印刷品密度測量中不可避免的首層反射影響以及承印物(紙張)表面的光學(xué)特性，通過模型假設(shè)和理論光程分析，依據(jù)光的可加性原理，創(chuàng)建了墨層厚度與實(shí)地反射密度的關(guān)系模型。通過仿真分析和應(yīng)用分析，新模型揭示了密度與墨層厚度之間的非線性關(guān)系，對密度的飽和現(xiàn)象、密度的干退現(xiàn)象做出了新的解讀和闡釋，同時對長期困擾業(yè)界的色序(對呈色結(jié)果的)影響分析給出了新的科學(xué)解釋。

1 現(xiàn)有模型的解讀(現(xiàn)有模型的局限性分析)

Lambert最早研究了半透明液體的吸光特性，認(rèn)為吸光度與液體的厚度成正比。Beer研究了液體中吸光物質(zhì)(顏料)濃度的影響，結(jié)果表明，半透明液體的吸光度與液體中的顏料的濃度成正比[1-2]。兩者結(jié)合起來，就形成了Lambert-Beer定律[1-2]。其物理意義就是，當(dāng)一束平行單色光垂直通過某一均勻非散射的吸光物質(zhì)時,其吸光度A與吸光物質(zhì)的濃度c以及吸收層厚度h成正比。油墨可以看作是濃度一定的半透明物質(zhì)，因此將其應(yīng)用于印刷或其它色彩工程領(lǐng)域，即是：墨層的透射(反射)密度D隨墨層厚度h的增加而正比例增加[1-2]。亦即：

(1)

式中：A為吸光度；D為密度；T為透射率；ρ為反射率；k為摩爾吸收系數(shù)，與吸收物質(zhì)的性質(zhì)及入射光的光譜特性有關(guān)；b為比例系數(shù)(b=kc)。

雖然，濃度一定條件下實(shí)地密度有著隨墨層厚度增加而增加的趨勢，但是，這種趨勢在在逐步放緩，具有明顯有界性，兩者之間不存在線性關(guān)系。一般認(rèn)為，當(dāng)墨層厚度增加到一定程度時，實(shí)地密度不再增加，達(dá)到飽和狀態(tài)(其實(shí)是增加甚微)。TE經(jīng)驗公式[1-2，8-9,13]很好滿足了這種關(guān)系特征：

D=D∝(1-e-mh)

(2)

式中：D∝為飽和密度；m為比例系數(shù)，與紙張平滑度有關(guān)。

理論上分析現(xiàn)有模型存在的問題和不足，我們至少可以取得如下幾點(diǎn)共識。

1)Lambert-Beer定律原本是研究半透明體的吸光性，它揭示的是半透明體的透射密度與其厚度與濃度關(guān)系的。即使油墨與半透明體具有相似性，但是，透射密度與反射密度并不相同。兩者光程不同，不具有相同的物理背景，簡單移植不具有科學(xué)性，如果直接引用將難免產(chǎn)生偏差。

2)無論Lambert-Beer定律還是TE經(jīng)驗公式，在h=0時，D=0。這就是說，二者均沒有考慮承印物(如紙張)表面的光學(xué)特征與影響，顯然這是不符合實(shí)際工況的。

3)透射密度測量采用垂直照射、垂直測量的幾何條件，而反射密度測量采用進(jìn)行(0°/45°)或者(45°/0°)的幾何條件[1-2,8]。兩者受首層反射的影響和程度有較大的差異。在印刷實(shí)地色塊的反射密度測量中，無論如何也擺脫不了首層反射的影響。

2 新模型的探索研究

在實(shí)際的印刷樣張上，實(shí)地色塊的反射密度，受墨層首層反射、紙張密度、墨層厚度及油墨的光譜特性等因素的共同影響。

2.1 模型假設(shè)

當(dāng)平行光線照射到樣張上的墨層后，既會產(chǎn)生選擇性有益吸收，也會因為油墨的光譜特征不理想而產(chǎn)生多余吸收。由于油墨的不理想，導(dǎo)致其有用吸收不充分，而有害吸收不為0。當(dāng)然，如果油墨完全理想化，那么，控制模型就很簡單了。因為，此時沒有無用吸收(反射率、透射率為1，密度為0)，而有用吸收為無窮大(反射率、透射率為0，密度為無窮大)。

對于現(xiàn)實(shí)的油墨而言，印刷呈色過程中，墨層內(nèi)存在著復(fù)雜的光吸收、光反射、折射、多重內(nèi)反射等一系列物理過程[1-2,8]。要對這一復(fù)雜過程進(jìn)行細(xì)致的分析，不僅比較困難，而且也不具有十分緊迫的現(xiàn)實(shí)需求。面向?qū)嶋H應(yīng)用，通常我們只關(guān)心其吸收后的效果(通過密度度量其透射率或反射率)，并不關(guān)心具體吸收過程，現(xiàn)階段進(jìn)行精細(xì)分析意義不大。因此，為簡化分析，突出實(shí)用性，同時不失一般性和科學(xué)性，這里做出如下假定。

1)假定油墨是均勻的，墨層的吸光特性也是均勻的，其吸收的光通量只與墨層厚度相關(guān)。

2)反射密度測量時，密度計接收的反射光線可概括為兩部分：表層反射和紙面反射光的透射。

3)墨層內(nèi)發(fā)生的多重內(nèi)反射產(chǎn)生的射出光線，部分計入墨層表面反射，部分計入紙面反射后的透射。

4)經(jīng)過吸收后透過墨層的的光線，已經(jīng)不同于測量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的入射光，偏離了密度測量條件，理論上不能直接引用密度與反射率之定義式。但是，這里仍忽視其差異帶來的影響，仍然將其視作標(biāo)準(zhǔn)光源進(jìn)行分析。

2.2 反射密度測量的光程分析

綜上分析，筆者認(rèn)為，所謂的“Lambert-Beer定律失效”[1-2]，其實(shí)是我們對Lambert-Beer定律進(jìn)行了不完整的解讀。

我們借助于圖1所示的光程分析原理圖，進(jìn)行(0°/45°)幾何條件[1-2,8-9]下的光程分析(45°/0°幾何條件下的光程分析與此相仿)。

圖1 (單層油墨)反射密度測量原理光程示意圖Fig.1 (Single-layer ink)Schematic diagram for optical path of reflection density measurement principle

當(dāng)平行光線(設(shè)光通量為Φi)照射到墨層上時，一部分直接被反射(設(shè)光通量為Φ01)，余下的光通量經(jīng)過直接吸收、或者多層內(nèi)反射后再吸收(光通量不詳)，還有部分光線到達(dá)紙面，這時又有部分被吸收，部分被紙面反射。反射的光線經(jīng)過油墨再次部分吸收后透出墨層。假設(shè)透過墨層的反射光通量為Φ02。

密度測量時，密度計接收到的反射光(漫反射光)主要由這兩部分組成：即表層漫反射和透過墨層的紙面漫反射兩部分。即：

Φ0=Φ01+Φ02

(3)

式中：Φ0為總反射光通量；Φ01為表面反射光通量；Φ02為紙面反射的透射光通量。

2.3 新模型的建立

在式(3)中，Φ01取決于一定工藝條件下的入射光通量Φi，還與墨層表面的光譜特性與表面形態(tài)有關(guān)。但Φ02的大小受制于很多因素，不但與紙面的光譜反射有關(guān)，更受制于墨層的光譜透射，因而并不能簡單獲得，需要借助于詳細(xì)的光程分析方可獲得。

為求得Φ02，這里做如下分析。

照射于墨層表面光通量為Φi的入射光，經(jīng)過墨層吸收后，透射到紙張表面的光通量為Φi1。根據(jù)Lambert-Beer定律可知：

Φi1=Φi×10-bh

(4)

紙面進(jìn)行部分吸收后，產(chǎn)生漫反射。反射率為ρp，密度為DP,反射率光通量Φi2為：

Φi2=Φi×10-bh×10-Dp

(5)

根據(jù)圖1所示的光程分析可知，以光通量為Φi2的入射光，要二次穿過原墨層，形成漫射光的透射光通量Φ02，但此時的光程較之于第一次明顯要長一些。

根據(jù)Lambert-Beer定律可知：

(6)

將式(6)代入式(3)，同時式(3)兩邊同除以入射光通量Φi，即得總反射率ρ為：

(7)

式中：ρ為總反射率；ρ1為首層反射率，僅僅與墨層的光譜特性與表面形態(tài)有關(guān)，一定的工藝條件下可近似看作常數(shù)。

(8)

式(8)表明反射密度與墨層厚度的關(guān)系并不是一個簡單的線性關(guān)系。其反射密度大小不但與墨層厚度有關(guān)，還受墨層的首層反射率支配，也受承印紙張的反射密度的影響。

3 新模型的探索研究

在前面的分析建模中，我們摒棄了“反射密度與墨層厚度成正比的”慣用設(shè)定，考慮油墨的選擇性吸收與部分透明的事實(shí)，將反射密度視為紙面反射與墨層表面反射的共同作用，對Lambert-Beer定律進(jìn)行了新的解讀。那么，新模型有哪些特征？是否適合于工程實(shí)際呢？

3.1 模型的仿真分析

為直觀探究反射密度與墨層厚度的關(guān)系，這里借助于仿真工具進(jìn)行可視化分析。

圖2為一組虛擬參數(shù)下的仿真分析圖。從圖2可以看出，總體而言，反射密度隨著墨層厚度的增加而增加。但是，在不同的階段，其增加的趨勢有所變化。

圖2 墨層厚度與反射密度新模型仿真示意圖Fig.2 Simulation sketch of new model for ink layer thickness and reflection density

在墨層很薄時，二者具有近似于線性的同向因果聯(lián)系。但是，隨著墨層厚度的增加，密度增加的趨勢在逐步放緩，當(dāng)墨層厚度增加到一定值時，密度就不會再增加(其實(shí)是增加甚微)，達(dá)到“飽和”狀態(tài)。因為：

(9)

式(9)表明密度存在一個飽和值，而這個飽和值就是由表層漫反射決定的。這完全與生產(chǎn)實(shí)際數(shù)據(jù)以及實(shí)驗研究結(jié)果是相符的。之所以會產(chǎn)生密度隨墨層厚度增加而緩慢增加(非直線增加)的現(xiàn)象，完全是由于光線穿過墨層而反射、繼而二次穿透墨層的作用，這一作用增加了密度測量時到達(dá)密度儀接收到的光通量，因而降低了視覺密度。但是這一作用的大小受制于Lambert-Beer定律的支配，隨墨層厚度的增加而線性減少。這樣看來，Lambert-Beer定律仍然是適用的，認(rèn)為“Lambert-Beer定律失效”的認(rèn)識值得商榷。

另外，式(8)以及仿真分析圖2均說明，即使墨層厚度為0，仍然會有密度存在。這其實(shí)是很顯然的，因為此時密度儀測量的實(shí)際是紙白的密度(此時ρ1取值為1)。筆者認(rèn)為，TE經(jīng)驗公式在這一點(diǎn)是不能自圓其說的。

至此，我們有理由認(rèn)為，式(8)抑或即是我們要尋找的墨量控制新模型。

3.2 密度干退現(xiàn)象[8-9]的再認(rèn)識

在新模型中，表層反射被認(rèn)為是常數(shù)，但這一常數(shù)的實(shí)際取值，或呈色效果，取決于工藝過程中油墨的光譜特性、墨層厚度、甚或油墨轉(zhuǎn)移過程等諸多因素。筆者認(rèn)為，這就是生產(chǎn)實(shí)踐中同樣(其實(shí)是近乎同樣)的工藝條件下密度具有不盡相同的測量值的主要原因所在。比如，密度的干退現(xiàn)象，也從另一個側(cè)面說明了這一常數(shù)具有不同的取值。

眾所周知，在剛印出的樣張上，油墨比較濕潤，光澤度高，而隨著其滲透、干燥，密度就下降了[11]，所以稱為干退現(xiàn)象。在新模型的推導(dǎo)過程中，表層反射被設(shè)定為常數(shù)，針對的是一定條件下的情況，而隨時間而變化的密度干退現(xiàn)象，則是另一范疇的事情。

采用新模型，可以對這一現(xiàn)象作出合乎邏輯的解釋。

密度的干退，主要是因為測量光程發(fā)生了變化引起的。在濕潤的實(shí)地色塊上測量時，墨層相對厚實(shí)、圓潤，鏡面反射明顯，不能忽略，而漫反射相對較弱，ρ1值較小，因而測量密度高。而在油墨干燥過程中，受制于紙面吸收、墨層內(nèi)分子間相互牽扯等不均勻作用，表層就會形成凹凸不平、甚或撕裂現(xiàn)象。此時測量時，表面的鏡面反射沒有(嚴(yán)格意義上講應(yīng)該是減小)了，但漫反射明顯增大(ρ1值變大)了，這就形成了密度的干退現(xiàn)象。

紙面反射的影響，在這一問題的分析中不起作用。因為實(shí)際印刷時，工程上多采用飽和(或近乎飽和)密度的墨層厚度。如前所述，飽和密度是由表層反射決定的。

3.3 色序影響[11]的密度學(xué)闡釋

多層油墨疊印后，一般會形成不同的色元區(qū)域。依據(jù)Neugebauer方程[2,14]進(jìn)行簡單分析可知，不同色序印刷，呈色的微觀差異僅在于形成的疊印(實(shí)地塊)色元的疊印關(guān)系有別[14]。

實(shí)地(反射)密度測量，其光程要復(fù)雜一些。這里以Y+M雙層疊印的實(shí)地塊為例做一簡單說明。多層疊印的分析與此相仿，這里不做贅述。

見圖3，兩層油墨疊印后，顯然，首層墨層的表面反射并未受任何影響，其反射率仍可視作常數(shù)。同時，紙面的反射仍然存在，只不過到達(dá)紙面的光線，已經(jīng)不同于單層油墨的情況，較之于單層油墨，其光通量減小了：不但經(jīng)過了兩層墨層的光(選擇性)吸收，還經(jīng)過了兩層墨層之間的界面反射，因此透過的光線會更弱。

圖3 雙層油墨實(shí)地密度測量光程示意圖Fig.3 Schematic diagram for double layer ink density measurement

基于圖3所示的分析和假設(shè)，不難看出，(漫)反射光通量主要由三部分組成。即：

Φ0=Φ01+Φ02+ΦP

(10)

式中：Φ0、Φ01、Φ02和ΦP分別代表總反射光通量、首層反射光通量、層間反射的透射光通量以及紙面反射的透射光通量。

這里為簡化分析，假定兩層油墨的墨層厚度相同，均為h。但是，兩層油墨的光譜特性不同，透射密度的比例常數(shù)分別為b1和b2。仿照單層墨層的分析過程，即可取得基于密度學(xué)體系下的反射率關(guān)系為(過程略)：

(11)

式中：ρ、ρ1、ρ2和ρp分別代表總反射率、首層反射率、層間反射率以及紙面反射率。

將式(11)轉(zhuǎn)化為密度方程也是不難的，只要引入密度定義式即可，這里從略。

式(11)表明兩層疊印的油墨呈色，其反射率、進(jìn)而反射密度，受到墨層的表面反射、墨層的透射、以及紙面反射的共同作用。數(shù)學(xué)邏輯顯示，疊印色塊的反射密度，表層反射的影響最大，層間反射的影響次之，紙面反射的影響最小。

值得注意的是：盡管理論上(理想油墨時)C+M色序(即先C后M)與M+C具有相同的呈色效果，主次密度相同，但是面向工程實(shí)際[1-2](油墨不可能是理想的)，兩種色序顯然具有不同的呈色效果。這不但早已被工程實(shí)踐所證實(shí)[1-2,4,11]，從工程實(shí)踐層面上對此給出了很好的詮釋[4，11]，也可以通過本模型做出合理的解釋。因為，兩種色序在獲得幾近相等的b反射(DB密度)的同時，C+M色序獲得了較高的r光反射，而M+C色序獲得了較高的g光反射。從而C+M色序獲得的主密度是DG,而M+C色序獲得的主密度是DR。C+M色序?qū)⒊尸F(xiàn)偏紅的藍(lán)色，而M+C將呈現(xiàn)偏綠的藍(lán)色。

實(shí)驗結(jié)果也證實(shí)了這一分析結(jié)論(參見表1)。

表1 不同色序疊印出的藍(lán)色的實(shí)地密度實(shí)驗值(50張連續(xù)樣張均值)Tab.1 Field density of blue overprinted in different color orders (average value of 50 consecutive samples)

筆者認(rèn)為，這也從另一個側(cè)面再次對現(xiàn)行密度學(xué)體系、特別是“密度的可加性”以及“密度的比例性”[2,15]命題提出了挑戰(zhàn)。

4 結(jié) 論

基于印刷實(shí)地塊反射密度測量的光程分析，計入墨層表層(漫)反射，將反射光線劃分為表層反射與紙面反射光的透射兩部分，并秉持Lambert-Beer定律在透射密度測量中的定量作用，通過光程分析，創(chuàng)建了反射密度測量新模型。簡單的仿真計算以及初步的應(yīng)用分析均表明，新模型完整解釋了反射密度隨墨層厚度的變化趨勢，揭示了密度“有界性”數(shù)學(xué)特征和物理本質(zhì)，彌補(bǔ)了Lambert-Beer定律的應(yīng)用局限性，指出了TE經(jīng)驗公式存在的數(shù)理邏輯欠缺，對印刷色序的呈色影響給出了新的密度學(xué)闡釋。