邵明月，王 靜，武吉梅，慶佳娟

(西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院，陜西 西安710054)

薄膜作為一種常見(jiàn)的承印材料在柔性電子印刷及卷到卷制造中得到了廣泛應(yīng)用。在傳輸過(guò)程中薄膜由多個(gè)牽引輥以及導(dǎo)向輥支承，當(dāng)薄膜傳輸方向需要改變時(shí)通常采用斜支承輥，斜支承輥的支承作用以及輥與輥之間的安裝誤差所引起的張力不均情況[1]都會(huì)改變運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)特性，導(dǎo)致印刷過(guò)程中產(chǎn)生套印不準(zhǔn)等故障，引起較大的印刷誤差。因此，研究非均勻張力作用下斜支承運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)特性對(duì)優(yōu)化印刷設(shè)備，提高印刷質(zhì)量具有重要意義。

目前，已有部分學(xué)者分別對(duì)非均勻張力作用下運(yùn)動(dòng)材料的振動(dòng)問(wèn)題及具有支承的軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究。王硯等[1-2]分別基于解析法和微分求積法對(duì)非均勻張力作用下的運(yùn)動(dòng)薄膜穩(wěn)定性進(jìn)行研究。Banichuk等[3]的研究表明較小的張力不均勻性會(huì)對(duì)薄膜的發(fā)散形式產(chǎn)生較大影響。Nguyen和Hong[4]在考慮薄膜非均勻張力的基礎(chǔ)上提出了一種用于控制軸向運(yùn)動(dòng)薄膜系統(tǒng)振動(dòng)的新穎算法。Ma等[5]對(duì)張力呈拋物線分布的軸向運(yùn)動(dòng)薄膜橫向振動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究，結(jié)果表明較小的非均勻張力就會(huì)對(duì)薄膜的振型有影響。武吉梅等[6-7]采用次最優(yōu)控制法對(duì)非均勻張力作用下的運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)進(jìn)行控制并對(duì)中間支承運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)特性進(jìn)行研究。馬亮[8]考慮了柔性基板非均勻張力以及中間彈性支承影響，對(duì)柔性基板卷到卷輸送中橫向振動(dòng)特性、振動(dòng)控制及應(yīng)用進(jìn)行分析，結(jié)果表明變張力系數(shù)對(duì)基板內(nèi)應(yīng)力分布有較大影響。Liew等[9]在考慮多種邊界條件情況下研究了帶有內(nèi)部斜支承矩形板的自由振動(dòng)。Lai等[10]將DSC-Element法應(yīng)用于斜板的自由振動(dòng)分析，驗(yàn)證了DSC-Element法的有效性并得到具有混合邊界條件斜板的頻率解。Ketabdari等[11]通過(guò)參數(shù)研究，分析不同邊界條件、偏斜角、非均勻性因子及變彈性基礎(chǔ)剛度對(duì)斜板自由振動(dòng)的影響。Parida[12]和Ramu[13]分別對(duì)功能梯度材料斜板的振動(dòng)特性進(jìn)行研究。郭旭俠和薛曉飛[14]基于微分求積法對(duì)熱彈耦合運(yùn)動(dòng)斜板的振動(dòng)特性進(jìn)行研究。Kuma[15]等應(yīng)用有限元法對(duì)斜夾層板的自由振動(dòng)進(jìn)行研究。胡寒和聶國(guó)雋[16]研究了變角度纖維復(fù)合材料層合斜板的顫振，采用Ritz法得到了層合板的自振頻率和顫振不穩(wěn)定的臨界速度。

綜上所述，目前的研究表明考慮斜支承影響的研究對(duì)象多為板，未曾見(jiàn)到考慮斜支承對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜穩(wěn)定性影響的研究。本文綜合考慮了非均勻張力以及斜支承對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)特性的影響，對(duì)其進(jìn)行研究。本文通過(guò)直角坐標(biāo)系與斜坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，建立斜坐標(biāo)系中非均勻張力作用下斜支承運(yùn)動(dòng)薄膜的運(yùn)動(dòng)微分方程，并采用微分求積法求解得到運(yùn)動(dòng)薄膜的無(wú)量綱復(fù)頻率，分析變張力系數(shù)以及斜支承角度對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜橫向振動(dòng)的影響。

1 建立運(yùn)動(dòng)薄膜運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1 非均勻張力下斜支承運(yùn)動(dòng)薄膜力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of a moving membrane on oblique supports subjected to non-uniform tension

Tx沿y方向的變化規(guī)律為：

(1)

式中：β為非均勻張力系數(shù)。

令薄膜在z軸方向所受的外力為F(x,y,t)，由d’Alembert原理可知當(dāng)非自由質(zhì)點(diǎn)受到約束時(shí)，其主動(dòng)力F以及約束力FN，與虛加的慣性力FI=-ma之和為零，即F+FN+FI=0，由此將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析[17]。則基于d’Alembert原理得到運(yùn)動(dòng)薄膜的橫向振動(dòng)微分方程為：

(2)

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換函數(shù)為：

ξ=x-ycotθ,η=ycscθ

(3)

令F(x,y,t)=0，將式(3)代入式(2)得到斜坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)薄膜橫向振動(dòng)微分方程為：

(4)

引入下列無(wú)量綱量：

(5)

式中：c為無(wú)量綱速度；r為長(zhǎng)寬比；λ表示長(zhǎng)度方向與寬度方向的張力比；τ表示無(wú)量綱時(shí)間。

得到無(wú)量綱方程為：

(6)

設(shè)方程(6)的解為：

W*(ξ*,η*,τ)=W(ξ*,η*)eIωτ

(7)

將式(7)代入式(6)，得到非均勻張力作用下斜支承運(yùn)動(dòng)薄膜的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(8)

薄膜四邊簡(jiǎn)支邊界條件為：

(9)

2 離散得到系統(tǒng)復(fù)特征值方程

應(yīng)用微分求積法對(duì)所得薄膜運(yùn)動(dòng)方程(8)求解，將薄膜區(qū)域劃分為N×N(N=15)個(gè)節(jié)點(diǎn)，應(yīng)用δ法將四邊簡(jiǎn)支邊界劃分為：

(10)

函數(shù)各階偏導(dǎo)數(shù)值為：

(11)

由Lagrange插值公式得到一階權(quán)系數(shù)為：

(12)

由此得到各階權(quán)系數(shù)為：

(13)

根據(jù)微分求積法得到運(yùn)動(dòng)薄膜的復(fù)特征值方程為：

(14)

根據(jù)微分求積法可將邊界條件離散為：

(15)

合并方程(14)與(15)得到系統(tǒng)特征方程為：

|ω2R+ωG+K|=0

(16)

式中：

K=[Kij]，其中Kij為：

(17)

3 數(shù)值分析

本文以陜西北人B624卷筒紙印刷機(jī)的基本參數(shù)為例，對(duì)變張力作用下斜支承運(yùn)動(dòng)薄膜進(jìn)行橫向振動(dòng)特性的研究，取薄膜張力T0=90 N/m，Ty=90 N/m，薄膜面密度ρ=0.12 kg/m2。

當(dāng)β=0，θ=π/2時(shí)，非均勻張力作用下斜支承運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)方程退化為均勻張力作用下直輥支承運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)方程。取無(wú)量綱速度c=0.164,張力比λ=0.2,長(zhǎng)寬比分別為r=1和r=2，計(jì)算運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)無(wú)量綱復(fù)頻率，將本文解與解析解[18]比較，見(jiàn)表1。取無(wú)量綱速度c=0.16,長(zhǎng)寬比r=1.8,張力比分別為λ=0.1和λ=0.5，計(jì)算運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)無(wú)量綱復(fù)頻率，將本文解與解析解[18]比較，見(jiàn)表2。

表1 無(wú)量綱頻率本文解與解析解[18]對(duì)比(c=0.164,λ=0.2)Tab.1 Comparing the solutions of dimensionless frequency in this paper and the analytical solution (c=0.164,λ=0.2)

表2 無(wú)量綱頻率本文解與解析解[18]對(duì)比(c=0.16,r=1.8)Tab.2 Comparing the solutions of dimensionless frequency in this paper and the analytical solution (c=0.16,r=1.8)

由表1和表2可知，采用微分求積法求得的頻率解與解析解有很好的一致性，且精度很高，表明使用該方法研究非均勻張力作用下斜支承運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)特性可行有效。

3.1 非均勻張力系數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)特性影響

圖2，圖3和圖4為斜支承角度θ=π/3，張力比λ=0.3，長(zhǎng)寬比r=0.5，非均勻張力系數(shù)分別為β=0.1,β=0.4和β=0.8時(shí)運(yùn)動(dòng)薄膜無(wú)量綱復(fù)頻率與無(wú)量綱速度之間的關(guān)系曲線。

圖2 無(wú)量綱速度與無(wú)量綱復(fù)頻率關(guān)系曲線(β=0.1)Fig.2 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (β=0.1)

圖3 無(wú)量綱速度與無(wú)量綱復(fù)頻率關(guān)系曲線(β=0.4)Fig.3 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (β=0.4)

圖4 無(wú)量綱速度與無(wú)量綱復(fù)頻率關(guān)系曲線(β=0.8)Fig.4 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (β=0.8)

圖2為非均勻張力系數(shù)β=0.1。當(dāng)01.25時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜前三階模態(tài)又重新穩(wěn)定。c=1.03為系統(tǒng)的無(wú)量綱臨界發(fā)散失穩(wěn)速度，對(duì)應(yīng)薄膜工作的實(shí)際臨界速度為v=28.7m/s。

圖3為非均勻張力系數(shù)β=0.4。當(dāng)01.37時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜前三階模態(tài)又重新穩(wěn)定。c=1.04為系統(tǒng)的無(wú)量綱臨界發(fā)散失穩(wěn)速度，對(duì)應(yīng)薄膜工作的實(shí)際臨界速度為v=29.0 m/s。

圖4為非均勻張力系數(shù)β=0.8。當(dāng)01.49時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜前三階模態(tài)又重新穩(wěn)定。c=1.07為系統(tǒng)的無(wú)量綱臨界發(fā)散失穩(wěn)速度，對(duì)應(yīng)薄膜工作的實(shí)際臨界速度為v=29.8 m/s。

由上可知隨著非均勻張力系數(shù)的增加，系統(tǒng)工作的臨界速度增大。當(dāng)無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部為正，虛部為零時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)虛部出現(xiàn)，實(shí)部為零時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，而系統(tǒng)臨界速度就是無(wú)量綱頻率實(shí)部和虛部均為零時(shí)所對(duì)應(yīng)速度，所以系統(tǒng)工作的臨界速度增加時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)。

3.2 斜支承角度對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)特性影響

圖5，圖6和圖7為非均勻張力系數(shù)β=0.1，張力比λ=1，長(zhǎng)寬比r=2時(shí)運(yùn)動(dòng)薄膜斜支承角度分別為θ=π/4,θ=π/3和θ=5π/12時(shí)運(yùn)動(dòng)薄膜無(wú)量綱復(fù)頻率與無(wú)量綱速度之間的關(guān)系曲線。

圖5 無(wú)量綱速度與無(wú)量綱復(fù)頻率關(guān)系曲線(θ=π/4)Fig.5 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (θ=π/4)

圖6 無(wú)量綱速度與無(wú)量綱復(fù)頻率關(guān)系曲線(θ=π/3)Fig.6 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (θ=π/3)

圖7 無(wú)量綱速度與無(wú)量綱復(fù)頻率關(guān)系曲線(θ=5π/12)Fig.7 Relationship between the dimensionless speed and dimensionless frequency (θ=5π/12)

圖5為斜支承角度θ=π/4。當(dāng)01.41時(shí)運(yùn)動(dòng)薄膜前三階模態(tài)又重新穩(wěn)定。c=1.14為系統(tǒng)的無(wú)量綱臨界發(fā)散失穩(wěn)速度，對(duì)應(yīng)薄膜工作的實(shí)際臨界速度為v=32.9 m/s。

圖6為斜支承角度θ=π/3。當(dāng)01.49時(shí)運(yùn)動(dòng)薄膜前三階模態(tài)又重新穩(wěn)定。c=1.14為系統(tǒng)的無(wú)量綱臨界發(fā)散失穩(wěn)速度，對(duì)應(yīng)薄膜工作的實(shí)際臨界速度為v=31.8 m/s。

圖7為斜支承角度θ=5π/12。當(dāng)01.59時(shí)運(yùn)動(dòng)薄膜前三階模態(tài)又重新穩(wěn)定。c=1.14為系統(tǒng)的無(wú)量綱臨界發(fā)散失穩(wěn)速度，對(duì)應(yīng)薄膜工作的實(shí)際臨界速度為v=31.3 m/s。

由上可知隨著斜支承角度的增加，系統(tǒng)工作的臨界速度減小，系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域增大。運(yùn)動(dòng)薄膜的斜支承角度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有重要影響。

4 結(jié) 論

本文以陜西北人B624卷筒紙印刷機(jī)為例，采用微分求積法對(duì)非均勻張力作用下斜支承運(yùn)動(dòng)薄膜的橫向振動(dòng)特性進(jìn)行研究，得到以下結(jié)論。

1)隨非均勻張力系數(shù)的增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)。當(dāng)非均勻張力系數(shù)分別為β=0.1，β=0.4和β=0.8時(shí)，系統(tǒng)工作的臨界速度v分別為28.7 m/s，29.0 m/s和29.8 m/s。

2)隨斜支承角度的增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性減弱。斜支承角度分別為θ=π/4，θ=π/3和θ=5π/12時(shí)運(yùn)動(dòng)薄膜實(shí)際工作中的臨界速度v分別為32.9 m/s，31.8 m/s和31.3 m/s。適當(dāng)減小運(yùn)動(dòng)薄膜的斜支承角度可有效保障系統(tǒng)的穩(wěn)定性。