汪 鵬, 熊 釗, 于俊鵬, 田 勇, 李萬春

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 四川 成都 611731)

0 引 言

波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)是許多科研學(xué)者在陣列信號(hào)處理中關(guān)注和研究的重要領(lǐng)域[1],在軍用以及民用領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,如雷達(dá)探測(cè)[2-3]、電子對(duì)抗[4]、聲納[5]、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)[6-7]等。子空間類超分辨算法如多重信號(hào)分類(multiple signal classification,MUSIC)算法[8]和信號(hào)參數(shù)旋轉(zhuǎn)不變(estimating signal parameter via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法[9]通常要求接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的秩等于信源個(gè)數(shù),需要較多的快拍數(shù)來求得信號(hào)子空間和噪聲子空間從而提高估計(jì)的精準(zhǔn)度[10],是DOA估計(jì)常見的兩類算法。在軍事對(duì)抗過程中,信號(hào)出現(xiàn)的時(shí)間往往較短而且具有較快的跳變速度,使得信號(hào)難以被偵察到,以及其他要求系統(tǒng)具有很高的實(shí)時(shí)性和一些物理限制的場(chǎng)景,這意味著DOA估計(jì)使用的快拍數(shù)只能很少,甚至在最壞的情況下只有單快拍[11]。單快拍測(cè)向是短快拍測(cè)向的極限情況,近年來在傳統(tǒng)多快拍陣列測(cè)向的基礎(chǔ)上,國內(nèi)外學(xué)者同樣對(duì)其進(jìn)行了廣泛的研究,提出了在不同條件下的單快拍測(cè)向算法[1,10,12-14]。

在實(shí)際應(yīng)用中,相比均勻線陣(uniform linear array,ULA),均勻圓陣(uniform circular array,UCA) 能夠在360°全方位進(jìn)行測(cè)向,可以估計(jì)陣列平面內(nèi)無鏡像模糊的方位角和俯仰角,且在不同方位有著均勻的測(cè)向精度,因此有著更廣泛的應(yīng)用[15]。傳統(tǒng)的單快拍測(cè)向算法一般要求陣列流型具有Vandermonde結(jié)構(gòu),使得許多適用于ULA 的單快拍測(cè)向算法無法直接應(yīng)用在不具有Vandermonde矩陣結(jié)構(gòu)的UCA上[16]。為解決此問題,一般通過模式空間變換法[17]將 UCA 變換為虛擬均勻線陣(virtual ULA, VULA),間接地使其具有Vandermonde陣列結(jié)構(gòu)?；谀Ｊ娇臻g變換進(jìn)行UCA 的測(cè)向算法主要分為兩大類:① 空間平滑類算法,如經(jīng)典的模式空間平滑(mode spatial smoothing,MODESS)算法、模式空間前后向平滑(mode forward-backward spatial smoothing,MODE-FBSS)算法等,此類算法計(jì)算復(fù)雜度高、平滑次數(shù)不易確定[18];② 基于特征矢量重構(gòu)或數(shù)據(jù)矩陣重構(gòu)類算法,如模式空間Toeplitz矩陣重構(gòu)算法(mode Toeplitz,MODETOEP)、基于最大特征矢量的均勻圓陣解相干算法(mode and maximum eigenvector,MME)等[19]。

綜上分析,基于UCA的單快拍測(cè)向算法很多,針對(duì)以上問題,提出了一種新的偽協(xié)方差矩陣的構(gòu)造方法,解決了接收數(shù)據(jù)只有單快拍所造成的協(xié)方差矩陣秩不夠的問題,同時(shí)結(jié)合模式空間變換,將UCA轉(zhuǎn)換為具有Vandermonde形式的VULA,實(shí)現(xiàn)了UCA的單快拍測(cè)向。

1 基于MODE-FBSS的單快拍測(cè)向

1.1 空間平滑法

假設(shè)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的ULA,含有M個(gè)相同的全向陣元,相鄰陣元間距為d。現(xiàn)有N個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)分別以角度θi入射,則第p個(gè)陣元接收的數(shù)據(jù)為

(1)

空間平滑算法利用了ULA的平移不變性,將m個(gè)陣元作為一個(gè)子陣,從前向后將所有陣元分為彼此重疊的l個(gè)子陣。如圖1所示,為前向空間平滑算法原理圖,可以得到M=l+m-1。

圖1 前向空間平滑原理圖Fig.1 Schematic diagram of forward spatial smoothing

以第1個(gè)子陣為參考子陣,第k個(gè)子陣接收的數(shù)據(jù)可表示為

(2)

式中：

(3)

式中:βi=2πdsinθi/λ。那么,該子陣接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(4)

采用前向空間平滑算法求出每個(gè)子陣的協(xié)方差矩陣,再利用其均值來得到滿秩的協(xié)方差矩陣,則修正后的協(xié)方差矩陣為

(5)

從式(5)可知,如果每個(gè)子陣的陣元數(shù)目m≥N,那么當(dāng)p≥N時(shí),經(jīng)過上述方法得到的是一個(gè)滿秩的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣Rf。后向空間平滑算法對(duì)矩陣進(jìn)行劃分的過程如圖2所示,類似地能夠求出協(xié)方差矩陣Rb。采用前后向空間平滑算法,將上述求得的協(xié)方差矩陣Rf和Rb取平均,計(jì)算求出雙向空間平滑協(xié)方差矩陣Rfb=(Rf+Rb)/2,然后對(duì)滿秩的協(xié)方差矩陣Rfb進(jìn)行特征分解,再使用MUSIC算法來完成單快拍測(cè)向。

圖2 后向空間平滑原理圖Fig.2 Schematic diagram of backward spatial smoothing

1.2 模式空間法

UCA的陣列流型不具有Vandermonde形式,為此要進(jìn)行模式空間法變換轉(zhuǎn)化為VULA。假設(shè)在xoy平面上的UCA,其半徑為R,圓周上均勻分布了M個(gè)各向同性的陣元,N個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)源入射到UCA上,每個(gè)信號(hào)只接收到單快拍。圖3為UCA的結(jié)構(gòu)示意圖,取圓心O為參考點(diǎn),可以用(θi,φi)來描述DOA估計(jì),方位角θ為入射信號(hào)在xoy平面上的投影與x軸在逆時(shí)針方向上的夾角,范圍為[0°,360°);俯仰角φ為入射信號(hào)與z軸的夾角范圍為[0°,90°]。同時(shí),假設(shè)所有信號(hào)源都與UCA共面,即俯仰角φ=90°[20]。

圖3 UCA模型Fig.3 UCA model

由于在模式空間變換后噪聲功率發(fā)生改變,避免噪聲功率分布不均的問題,假設(shè)當(dāng)無噪聲時(shí),陣元p上的快拍數(shù)據(jù)為

(6)

式中：波數(shù)β=2πR/λ。對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量為

(7)

對(duì)陣列上所有陣元接收的快拍數(shù)據(jù)作空間離散傅里葉變換有:

(8)

-K≤q≤K

(9)

(10)

即:

(11)

那么,式(8)的矩陣形式表示為

(12)

可以得到:

u=FHx

(13)

FHF=MI

(14)

F是一個(gè)正交矩陣。由式(11)和式(13)可得預(yù)處理矩陣T:

(15)

對(duì)UCA接收數(shù)據(jù)進(jìn)行模式空間變換后得到了一個(gè)陣元數(shù)為M′=2K+1的VULA,其陣列接收數(shù)據(jù)為

(16)

為了補(bǔ)充協(xié)方差矩陣的秩可采用前文所述的空間平滑法,然后再通過MUSIC等算法進(jìn)行測(cè)向。

2 基于改進(jìn)的偽協(xié)方差矩陣的單快拍測(cè)向

2.1 改進(jìn)的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造原理

由式(10)可知,UCA經(jīng)過模式空間變換后的VULA陣列流型為

(17)

其導(dǎo)向矢量為

(18)

式中：k=1,2,…,M′；i=1,2,…,N。

VULA與ULA的陣列結(jié)構(gòu)均具有Vandermonde形式,若將傳統(tǒng)基于ULA的偽協(xié)方差矩陣的構(gòu)造方法直接用于VULA,得到的協(xié)方差矩陣為

(19)

由式(19)可知,此時(shí)的R需要x1+M′,x2+M′,…,xK+M′等數(shù)據(jù),而VULA只有M′個(gè)陣元,對(duì)應(yīng)只有M′個(gè)數(shù)據(jù),因此通過該方法無法構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣。基于此,本文只取VULA的第K+1個(gè)陣元到第M′個(gè)陣元上的數(shù)據(jù)[21],則陣元接收的數(shù)據(jù)為

(20)

令h=k-K,則式(20)可寫成:

(21)

此時(shí)導(dǎo)向矢量變?yōu)?/p>

ak(θi)=ej(k-1)θi,i=1,2…,N

(22)

(23)

此時(shí)構(gòu)造的偽協(xié)方差矩陣為

(24)

其中,

(25)

(26)

因此構(gòu)造的偽協(xié)方差矩陣為

(27)

2.2 算法步驟總結(jié)

表1 算法實(shí)現(xiàn)步驟Table 1 Algorithm implementation steps

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

根據(jù)上述的分析,本文分別采用MODE-FBSS算法與改進(jìn)后的偽協(xié)方差矩陣算法在UCA進(jìn)行DOA估計(jì),通過多次仿真實(shí)驗(yàn)分析兩種算法的方位估計(jì)均方根誤差(root mean squard error, RMSE)隨信噪比(signal to noise ratio, SNR)、陣元數(shù)量(M)的變化關(guān)系,方位估計(jì)均方根誤差定義如下:

(28)

設(shè)定UCA的陣元數(shù)M為21個(gè),陣元間隔為半波長(zhǎng),圓陣半徑R為1.5λ,入射的窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)數(shù)為4,入射的方位角分別為75°、130°、190°、340°,俯仰角均為90°,默認(rèn)SNR為20 dB,快拍數(shù)為1,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為1 000。

仿真 1兩種算法的空間譜估計(jì)結(jié)果的比較

仿真得到的最大相位模式數(shù)為9,VULA陣元數(shù)為19,采用兩種算法的仿真結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出,通過本文算法和MODE-FBSS算法對(duì)4個(gè)信號(hào)源均測(cè)出了正確的到達(dá)方向,但經(jīng)本文提出的算法仿真得到的空間譜的旁瓣壓制得更低點(diǎn),譜峰稍尖銳,分辨信號(hào)源的能力更高。

圖4 兩種算法空間譜估計(jì)圖Fig.4 Spatial spectrum estimation of two algorithms

仿真 2SNR對(duì)兩種算法估計(jì)性能的比較

本次仿真的SNR從0 dB到40 dB以5 dB的間隔變化,其他條件保持不變。如圖5所示,為RMSE隨SNR的變化曲線。由仿真結(jié)果可知,兩種算法的RMSE均隨著SNR的增加而降低,且二者的RMSE差值隨著SNR的增加而越來越大。在相同SNR的條件下,采用本文提出的算法得到的RMSE要比采用MODE-FBSS算法的低,因此本文提出的算法總體性能要優(yōu)于MODE-FBSS。

圖5 兩種算法的估計(jì)性能隨SNR變化曲線Fig.5 Estimation performance with SNR for the two algorithms

仿真 3基于改進(jìn)后與原協(xié)方差矩陣的兩種算法的估計(jì)性能比較

本次仿真SNR從0 dB到40 dB以5 dB的間隔變化,仿真得到DOA估計(jì)的RMSE隨SNR的變化曲線如圖6所示。由仿真結(jié)果可知,基于ULA構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣的方法若直接用于UCA模式空間變換后的虛擬線陣,進(jìn)行單快拍測(cè)向性能較差;而改進(jìn)后的偽協(xié)方差矩陣用于UCA的單快拍測(cè)向時(shí),其RMSE隨SNR的增加而逐漸減小,并趨向于0,估計(jì)性能明顯較好。

圖6 改進(jìn)的與原偽協(xié)方差矩陣法的性能比較Fig.6 Performance comparison between improved and original pseudo-covariance matrix methods

仿真 4M對(duì)兩種算法估計(jì)性能的比較

UCA陣元數(shù)量M增加到40,步長(zhǎng)為4,圖7所示為RMSE隨陣元數(shù)M的變化曲線。由仿真結(jié)果可知,采用本文提出的算法得到的RMSE隨著陣元數(shù)的增加而減小并趨于平緩,性能明顯優(yōu)于MODE-FBSS算法。

圖7 兩種算法的估計(jì)性能隨陣元數(shù)變化曲線Fig.7 Estimation performance with number of array elements for the two algorithms

4 結(jié) 論

在諸多現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景下,偵察接收到的消息常常是有限的,為了有效地進(jìn)行單快拍測(cè)向,本文利用改進(jìn)的偽協(xié)方差矩陣提出了一種基于UCA的單快拍測(cè)向算法。通過仿真可知,傳統(tǒng)的適用于ULA偽協(xié)方差矩陣的構(gòu)造方法不能直接用在與UCA有關(guān)問題上,因此對(duì)傳統(tǒng)的偽協(xié)方差的構(gòu)造方法進(jìn)行改進(jìn),利用模式空間變換得到的具有Vandermonde形式的虛擬線陣,然后再對(duì)虛擬線陣的數(shù)據(jù)完成進(jìn)一步地處理,實(shí)現(xiàn)了UCA的單快拍測(cè)向。通過對(duì)比仿真,分析驗(yàn)證了本文提出算法的有效性。