徐士祺，殷彥龍，林清軍，熊小偉，朱廣虎

(1.西安石油大學(xué) 石油工程學(xué)院，陜西 西安 710065；2.西安石油大學(xué) 陜西省油氣田特種增產(chǎn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065；3.長(zhǎng)慶油田分公司第八采油廠，陜西 西安 710016；4.中國石油長(zhǎng)慶油田分公司第三采油廠，寧夏 銀川 750000；5.中國石化銷售股份有限公司陜西咸陽石油分公司，陜西 咸陽 237000)

0 引言

含蠟原油在管道輸送過程中的蠟質(zhì)沉積現(xiàn)象是長(zhǎng)期困擾原油生產(chǎn)和運(yùn)輸?shù)?個(gè)重要難題。當(dāng)管壁溫度低于油溫且低于原油析蠟點(diǎn)時(shí)，原油中的蠟分子便會(huì)析出并沉積在管壁上。蠟的形成和沉積導(dǎo)致原油的流動(dòng)能力降低，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)斐晒艿蓝氯?，造成?jīng)濟(jì)損失和嚴(yán)重的安全風(fēng)險(xiǎn)[1-5]。

目前，主要采用定期清管的方式減小蠟沉積對(duì)管道安全運(yùn)行的影響，而要確定合理的清管周期，就必須掌握管道的蠟沉積厚度[6]。因此準(zhǔn)確預(yù)測(cè)蠟沉積厚度對(duì)于解決管道蠟沉積問題有著重要的實(shí)際意義。靳文博等[7]根據(jù)蠟沉積厚度隨時(shí)間變化的實(shí)驗(yàn)曲線將蠟沉積過程劃分為快速沉積、較快沉積、緩慢沉積3個(gè)階段，建立了1種蠟沉積厚度預(yù)測(cè)的新模型，具有較強(qiáng)優(yōu)勢(shì)和應(yīng)用價(jià)值；陳小榆等[8]利用PVTsim軟件對(duì)環(huán)道實(shí)驗(yàn)蠟沉積進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，論證該方法的可行性；王繼平等[9]基于1種普適性結(jié)蠟?zāi)Ｐ烷_發(fā)1種熱油管道結(jié)蠟厚度預(yù)測(cè)程序，但該方法所需參數(shù)較多，計(jì)算適用范圍有限。除此之外，灰色系統(tǒng)理論同樣被應(yīng)用到原油管道蠟沉積厚度預(yù)測(cè)中?；疑到y(tǒng)理論是1種研究少數(shù)據(jù)、貧信息不確定性問題的新方法[10]。利用灰色系統(tǒng)理論建立的灰色模型就是通過少量的、不完全的信息，建立灰色微分預(yù)測(cè)模型，對(duì)事物發(fā)展規(guī)律作出預(yù)測(cè)的1種方法。GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論中的單序列一階灰色微分方程，其所需信息較少，方便簡(jiǎn)潔。邱姝娟等[11]將傳統(tǒng)GM(1,1)模型引入用于管道蠟沉積厚度的預(yù)測(cè)，取得良好的結(jié)果，證明灰色理論用于預(yù)測(cè)蠟沉積厚度的可行性，但預(yù)測(cè)精度有待進(jìn)一步提高。

對(duì)于傳統(tǒng)GM(1,1)模型而言，如果原始序列本身的光滑度不高，或者存在某些極端值的話，就會(huì)嚴(yán)重影響模型的預(yù)測(cè)精度。近年來，學(xué)者們提出許多改善原始序列光滑度以提高GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的方法。文獻(xiàn)[12]～[17]分別提出利用對(duì)數(shù)函數(shù)變換、冪函數(shù)變換、正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、余切函數(shù)和余弦函數(shù)變換改善原始序列光滑度；王飛飛等[18]對(duì)初始序列進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，并采用歐拉改進(jìn)法構(gòu)建改進(jìn)的灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[19]提出利用平移變換來提高GM(1,1)模型精度的方法；同時(shí)，文獻(xiàn)[20]提出利用cot(xT)變換建立GM(1,1)模型，并證明該方法能有效提高建模序列的光滑度?；诖?，本文在函數(shù)cot(x2)變換的基礎(chǔ)上，結(jié)合平移變換的思想，提出1種新的函數(shù)變換，即利用函數(shù)cot(x2+c)變換建立改進(jìn)GM(1,1)模型，達(dá)到在函數(shù)cot(x2)變換的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高模型預(yù)測(cè)精度的目的。

1 傳統(tǒng)GM(1,1)模型及改進(jìn)GM(1,1)模型的建立

1.1 傳統(tǒng)GM(1,1)模型

傳統(tǒng)GM(1,1)模型建模過程如下：

1)原始數(shù)據(jù)序列如式(1)所示：

X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(1)

式中：X(0)為原始數(shù)據(jù)序列；x(0)(k)>0，k=1,2,…,n。

2)對(duì)數(shù)據(jù)序列X(0)進(jìn)行1次累加生成，如式(2)所示：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(2)

3)均值序列如式(3)所示：

Z(1)(k)=αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)

(3)

式中：Z(1)(k)為生成的均值序列；0≤α≤1，通常取α=0.5；k=2,3,…,n。

4)建立GM(1,1)模型白化微分方程，如式(4)所示：

(4)

式中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量；k為時(shí)間變量。

灰微分方程如式(5)所示：

x(0)(k)+aZ(1)(k)=b

(5)

式(4)～(5)中a,b由最小二乘解得到，方法如式(6)所示：

(6)

5)求解式(4)得GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列，如式(7)所示：

(7)

6)還原得到模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列，如式(8)所示：

(8)

1.2 利用函數(shù)cot(x2)變換建立GM(1,1)模型

1.2.1 預(yù)處理過程

1)原始數(shù)據(jù)序列如式(9)所示：

Y(0)={y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}

(9)

式中：Y(0)為原始數(shù)據(jù)序列；y(0)(k)>0，k=1,2,…,n。

2)對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，如式(10)所示：

Y(1)={y(1)(1),y(1)(2),…,y(1)(n)}

(10)

3)對(duì)數(shù)據(jù)序列Y(1)進(jìn)行函數(shù)cot(x2)變換得到X(0)，如式(11)所示：

X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(11)

式中：X(0)為經(jīng)過函數(shù)變換后的數(shù)據(jù)序列；x(0)(k)=cot[(y(1)(k))2]；(y(1)(k))2∈[1，π/2]。

1.2.2 建模過程

1.2.3 還原過程

(12)

1.3 利用函數(shù)cot(x2+c)建立改進(jìn)GM(1,1)模型

利用函數(shù)cot(x2+c)變換建立GM(1,1)模型的建模過程如下。

1.3.1 預(yù)處理過程

1)原始數(shù)據(jù)序列如式(13)所示：

Y(0)={y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}

(13)

式中：Y(0)為原始數(shù)據(jù)序列；y(0)(k)>0,k=1,2,…,n。

2)對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，如式(14)所示：

Y(1)={y(1)(1),y(1)(2),…,y(1)(n)}

(14)

3)對(duì)數(shù)據(jù)序列Y(1)進(jìn)行函數(shù)cot(x2+c)變換得到X(0)，如式(15)所示：

X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(15)

式中：X(0)為經(jīng)過函數(shù)變換后的數(shù)據(jù)序列；x(0)(k)=cot[(y(1)(k))2+c]；[(y(1)(k))2+c]∈[1，π/2]。

1.3.2 建模過程

1.3.3 還原過程

(16)

2 改進(jìn)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的改進(jìn)效果檢驗(yàn)

本文采用現(xiàn)場(chǎng)管道和室內(nèi)環(huán)道結(jié)蠟厚度為建模基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，分別建立傳統(tǒng)GM(1,1)模型、基于函數(shù)cot(x2)變換的GM(1,1)模型以及基于函數(shù)cot(x2+c)變換改進(jìn)GM(1,1)模型，并對(duì)改進(jìn)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的改進(jìn)效果進(jìn)行檢驗(yàn)，同時(shí)探討平移量c對(duì)改進(jìn)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的影響。

2.1 現(xiàn)場(chǎng)管道蠟沉積厚度預(yù)測(cè)模型的建立

表1 不同時(shí)間下現(xiàn)場(chǎng)管道的結(jié)蠟厚度及標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)Table 1 Wax deposition thickness of field pipeline at different times and standardized data

(17)

對(duì)表1中標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)分別建立基于函數(shù)cot(x2)變換的GM(1,1)模型與改進(jìn)GM(1,1)模型，并與傳統(tǒng)GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)精度比較。利用不同方法建立的GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)序列式見表2。

表2 利用不同方法建立的GM(1,1)現(xiàn)場(chǎng)管道蠟沉積厚度模型的預(yù)測(cè)序列式Table 2 Prediction sequence formulas of GM(1,1) field pipeline wax deposition thickness models established by different methods

(18)

(19)

根據(jù)表2的各模型預(yù)測(cè)序列式，預(yù)測(cè)現(xiàn)場(chǎng)管道第13，14，15 d的蠟沉積厚度，即計(jì)算k取13，14，15時(shí)各GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值，各模型的蠟沉積厚度預(yù)測(cè)結(jié)果及平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差見表3，各模型蠟沉積厚度預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比如圖1所示。

利用不同方法建立的GM(1,1)蠟沉積厚度預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比見表3，通過比較各模型平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差可得，本文提出的改進(jìn)GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度要好于基于函數(shù)cot(x2)變換的GM(1,1)模型及傳統(tǒng)GM(1,1)模型。其中，當(dāng)c取-0.125時(shí)，改進(jìn)GM(1,1)模型的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差僅為0.053 5%，相比基于函數(shù)cot(x2)所建GM(1,1)模型的4.263 9%和傳統(tǒng)GM(1,1)模型的6.425 0%明顯減小。同時(shí)從圖1可直觀地看出改進(jìn)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的改進(jìn)效果。其中，對(duì)于13，14，15 d蠟沉積厚度的預(yù)測(cè)，改進(jìn)GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值擬合較好，而基于函數(shù)cot(x2)變換的GM(1,1)模型和傳統(tǒng)GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值則有較大偏差。

表3 利用不同方法建立的GM(1,1)現(xiàn)場(chǎng)管道蠟沉積厚度預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison on prediction results of GM(1,1) field pipeline wax deposition thickness prediction models established by different methods

圖1 利用不同方法建立的GM(1,1)現(xiàn)場(chǎng)管道蠟沉積厚度預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比(注：1～12組數(shù)據(jù)為各模型擬合值；13～15組數(shù)據(jù)為各模型預(yù)測(cè)值)Fig.1 Comparison between predicted values and actual values of GM (1,1) field pipeline wax deposition thickness prediction models established by different methods(Note:1～12 sets of data were fitted values of each model,and 13～15 sets of data were predicted values of each model)

同時(shí)從表3可以看出，改進(jìn)GM(1,1)模型的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差隨著平移量|c|的依次增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)，這是由于初始數(shù)據(jù)經(jīng)式(17)標(biāo)準(zhǔn)化后得到的區(qū)間序列通過平移變換距光滑度較好區(qū)間呈靠近再遠(yuǎn)離的趨勢(shì)所致。同時(shí)，當(dāng)c取-0.300時(shí)，從表3可以看出，模型的預(yù)測(cè)誤差顯著增大，因?yàn)榇藭r(shí)x2+c<1，超出了區(qū)間[1，π/2]，即對(duì)c的取值來說，要始終保證1

2.2 室內(nèi)環(huán)道蠟沉積厚度預(yù)測(cè)模型的建立

表4 不同時(shí)間下室內(nèi)環(huán)道的結(jié)蠟厚度及標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)Table 4 Wax deposition thickness and standardized data of indoor loop at different times

(20)

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)分別建立基于函數(shù)cot(x2)變換的GM(1,1)模型與改進(jìn)GM(1,1)模型，并與傳統(tǒng)GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)精度比較。利用不同方法建立的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)序列式見表5。

表5 利用不同方法建立的GM(1,1)室內(nèi)環(huán)道蠟沉積厚度模型的預(yù)測(cè)序列式Table 5 Prediction sequence formulas of GM(1,1) indoor loop wax deposition thickness models established by different methods

(21)

(22)

根據(jù)表5的模型預(yù)測(cè)序列式，預(yù)測(cè)室內(nèi)環(huán)道第10，11，12 h的蠟沉積厚度，即計(jì)算k取6，7，8時(shí)各GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值，各模型的蠟沉積厚度預(yù)測(cè)結(jié)果及平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差見表6，各模型蠟沉積厚度預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比如圖2所示。

基于不同方法建模得到的GM(1,1)模型對(duì)室內(nèi)環(huán)道蠟沉積厚度的預(yù)測(cè)值見表6，通過比較各模型平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差可得，本文提出的改進(jìn)GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度要好于基于函數(shù)cot(x2)變換的GM(1,1)模型以及傳統(tǒng)GM(1,1)模型。其中，當(dāng)c取0.190時(shí)，改進(jìn)GM(1,1)模型的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差僅為1.218 6%，相比基于函數(shù)cot(x2)所建GM(1,1)模型的的5.130 9%和傳統(tǒng)GM(1,1)模型的16.846 6%明顯減小。同時(shí)從圖2可直觀地看出改進(jìn)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的改進(jìn)效果。其中，對(duì)于6，7，8組室內(nèi)環(huán)道蠟沉積厚度的預(yù)測(cè)，改進(jìn)GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值擬合較好，而基于函數(shù)cot(x2)變換的GM(1,1)模型和傳統(tǒng)GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值則有較大偏差。

表6 利用不同方法建立的GM(1,1)室內(nèi)環(huán)道蠟沉積厚度預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Table 6 Comparison of prediction results of GM(1,1) indoor loop wax deposition thickness prediction models established by differentmethods

圖2 利用不同方法建立的GM(1,1)室內(nèi)環(huán)道蠟沉積厚度預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比(注：1～5組數(shù)據(jù)為各模型擬合值；6～8組數(shù)據(jù)為各模型預(yù)測(cè)值)Fig.2 Comparison between predicted values and actual values of GM (1,1) indoor loop wax deposition thickness prediction models established by different methods(Note:1～5 sets of data were fitted values of each model,and 6～8 sets of data were predicted values of each model)

同時(shí)從表6可以看出，改進(jìn)GM(1,1)模型的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差隨著平移量c的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)，這是由于初始數(shù)據(jù)經(jīng)式(20)標(biāo)準(zhǔn)化后得到的區(qū)間序列通過平移變換距光滑度較好區(qū)間呈靠近再遠(yuǎn)離的趨勢(shì)所致。同時(shí)，當(dāng)c取0.350時(shí)，從表6可以看出，模型的預(yù)測(cè)誤差急劇增大，因?yàn)榇藭r(shí)x2+c>π/2，超出了區(qū)間[1，π/2]，即對(duì)c的取值來說，要始終保證1

3 結(jié)論

1)以現(xiàn)場(chǎng)管道結(jié)蠟數(shù)據(jù)為例建立GM(1,1)模型進(jìn)行蠟沉積厚度預(yù)測(cè)時(shí)，本文基于函數(shù)cot(x2+c)變換提出的改進(jìn)GM(1,1)模型可將平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差減小到0.053 5%，遠(yuǎn)小于基于函數(shù)cot(x2)變換所建模型的4.263 9%和傳統(tǒng)GM(1,1)模型的6.425 0%，極大地提高了對(duì)現(xiàn)場(chǎng)管道蠟沉積厚度的預(yù)測(cè)精度。

2)以室內(nèi)環(huán)道結(jié)蠟數(shù)據(jù)為例建立GM(1,1)模型進(jìn)行蠟沉積厚度預(yù)測(cè)時(shí)，本文基于函數(shù)cot(x2+c)變換提出的改進(jìn)GM(1,1)模型可將平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差減小到1.218 6%，遠(yuǎn)小于基于函數(shù)cot(x2)變換所建模型的5.130 9%傳和統(tǒng)GM(1,1)模型的16.846 6%，極大地提高了對(duì)室內(nèi)環(huán)道蠟沉積厚度的預(yù)測(cè)精度。

3)本文基于改進(jìn)GM(1,1)模型分別對(duì)現(xiàn)場(chǎng)管道結(jié)蠟數(shù)據(jù)和室內(nèi)環(huán)道結(jié)蠟數(shù)據(jù)建立了蠟沉積厚度預(yù)測(cè)模型，對(duì)各模型平移量c的最優(yōu)取值進(jìn)行了比選。改進(jìn)GM(1,1)模型的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差隨平移量|c|的依次增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)，且c的取值要保證在1

4)本文在函數(shù)cot(x2)變換的基礎(chǔ)上結(jié)合平移變換提出了改進(jìn)GM(1,1)模型，通過對(duì)平移量的合理選取，有效地規(guī)避了原始數(shù)據(jù)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后區(qū)間序列的不同分布對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的影響，進(jìn)一步提高了區(qū)間序列光滑度，進(jìn)而提高了模型的預(yù)測(cè)精度。該改進(jìn)模型建模方法簡(jiǎn)單靈活，同時(shí)預(yù)測(cè)精度相對(duì)較高，為管道蠟沉積厚度的預(yù)測(cè)提供了一條新的方法,從而可為清蠟工藝過程提供科學(xué)的決策依據(jù)，進(jìn)一步保障含蠟原油管道的安全運(yùn)行。